CC BY
54
Вычислительные технологии
Том 14, № 6, 2009
Возможности метода интегральной индикатрисы светорассеяния для определения показателя преломления вещества больших оптически мягких сферических частиц
Н. В. ШЕПЕЛЕВИЧ Учреждение Российской академии наук Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия
e-mail: jet@icm.krasn.ru
Выявлена связь интегральной индикатрисы светорассеяния больших оптически мягких непоглощающих сферических частиц с показателем преломления их вещества. Предложен способ определения показателя преломления вещества взвесей частиц.
Ключевые слова: интегральная индикатриса светорассеяния, показатель преломления, приближение Релея—Ганса—Дебая, теория Ми.
Введение
Интегральная индикатриса светорассеяния F(в0) представляет собой долю потока, рассеянного в конус с углом раствора 2в0, ко всему потоку рассеянной энергии. В работе [1] показано, что в приближении Релея—Ганса—Дебая (РГД) интегральная индикатриса светорассеяния однородного шара инвариантна в координатах рв0 (здесь р = 2па/А, a — радиус сферического рассеивателя, А — длина волны зондирующего излучения в дисперсионной среде). В [1] развит теоретический метод определения среднего размера клеток по половинному уровню рассеяния, который наблюдается при рв0 = 1.75 , а в [2] предложен способ практической реализация метода интегральной индикатрисы.
В естественных условиях большинство частиц биологического происхождения находятся в среде с показателем преломления, близким к показателю преломления вещества рассеивателей. Таким образом, для диапазона длин волн (обычно видимая область), при котором поглощение биологических клеток пренебрежимо мало, относительный показатель преломления m (m = mp/m0, mp — показатель преломления вещества частиц, m0 — показатель преломления дисперсионной среды) близок к 1. О таких частицах принято говорить как об оптически мягких.
В литературе имеются данные о вариациях относительного показателя преломления вещества многих биологических объектов. Так, в работе [3] с помощью метода фазово-контрастной микроскопии измерены показатели преломления вещества одиночных биологических частиц (фибробласт L929). При этом среднее значение показателя преломления составило mp ~ 1.42 (m ~ 1.07, m0 = 1.33). Для клеток крови в водной среде относительный показатель преломления изменяется в пределах 1.01 < m < 1.08 [4]. Более полную информацию о значениях показателя преломления вещества биологических частиц можно найти в работах [1, 5, 6].
© ИВТ СО РАН, 2009.
При анализе составляющих взвеси наряду с размером и показателем преломления необходима также информация о концентрации частиц. Действительно, фиксируемое прибором значение оптической плотности по рассеянию О (в случае однократного рассеяния) определяется как
О = Ыа = Ыпа2Кр, (1)
где N = с ■ I, с — концентрация частиц, I — длина кюветы; а — коэффициент рассеяния одной частицы, Кр — фактор эффективности рассеяния, который в случае больших оптически мягких шаров связан с относительным показателем преломления вещества и размером частиц выражением [7]
К,(А) = 2 - 4^ + 41^, (2)
где А = 2р|т — 1|.
При решении обратной оптической задачи необходима априорная информация о концентрации частиц. Обычно концентрацию взвеси находят альтернативными способами, например, по содержанию углерода, азота, хлорофилла "а" [8], а затем с использованием (1), (2) можно восстановить и значение показателя преломления. Однако следует отметить, что такие методы лишь косвенно позволяют оценить концентрацию (биомассу) биологических объектов, так как содержание той или иной составляющей вещества частиц значительно варьирует в зависимости от факторов внешней среды [9].
Цель настоящей работы — теоретическое исследование возможностей определения показателя преломления вещества частиц по значениям интегральной индикатрисы светорассеяния без привлечения альтернативных измерений.
1. Связь показателя преломления вещества частиц с интегральной индикатрисой светорассеяния
В работе [10] было показано, что для случая больших сферических частиц в приближении РГД интегральная индикатриса принимает вид
Р Ш = 1 — Кр(2рво), (3)
где Кр(2рво) совпадает по форме с известной формулой Хюлста для КР(А) (2). Таким образом, можно получить опосредованную связь между относительным показателем преломления и интегральной индикатрисой. Действительно, при заданном значении А из вида уравнения (3) следует, что график функции
1 — 2Щ2К(А) (4)
должен пересекаться с кривой интегральной индикатрисы (3) в точке вт, где выполняется условие
2рв0 = 2р|т — 1|, или в0 = вт = |т — 1|. (5)
Для проверки этого результата все дальнейшие вычисления выполнялись на основе точной теории светорассеяния на шаре — теории Ми. При этом интенсивность светорассеяния вычислялась по алгоритму, предложенному в [11], погрешность вычислений значений интегральной индикатрисы Р(в0) составляла не более 0.1 %.
На рис. 1 представлены расчеты по проверке (5) для нескольких значений р и т (здесь также представлен результат (8), обсуждение которого рассмотрено в следующем разделе). Очевидно, что для фазовых сдвигов А < 3-4 кривая (4) действительно пересекает соответствующую ми-кривую интегральной индикатрисы в точке 9т или близкой к ней. Здесь следует отметить ряд особенностей. Из рис. 1, в видно, что точек пересечения кривых (3) и (4) нет. Это объясняется тем, что представление Кр в виде (2) является предельным при т ^ 1. Действительное значение Кр более сложным образом зависит от р и т [12]. В частности, при заданном значении А наблюдается систематическое увеличение Кр при возрастании т. При этом максимальные отклонения Кр от (2) наблюдаются в области первого максимума кривой фактора эффективности (А ^ 4). Вышесказанное и приводит к уменьшению значений (4), рассчитанных по теории Ми. Однако при А ^ 4 ми-кривая интегральной индикатрисы Г существенно отклоняется от кривой (3), в результате чего условие (5) выполняется достаточно точно.
Отмеченным поведением Кр объясняется и отклонение точки пересечения ми-кривых Г и (4) от условия (5), продемонстрированное на рис. 1, г. Укажем также, что на этом рисунке точек пересечения ми-кривых Г и (4) две. Их абсциссы соответствуют показателям преломления при одном и том же р, для которых значения Кр одинаковы и находятся по разные стороны от первого максимума кривой фактора эффективности светорассеяния. При этом первое значение т, как видно из рис. 1, г, завышается в силу
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 РВД а
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 в0, рад б
ПСР°
0.0-
т=1.1
р= 20
Д = 4.0
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 в0, рад в
—о—ми-решение) - Выражение (3)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 в, рад
Выражение (4) (ми-решение)---Выражение (8) (ми-решение)
Рис. 1. Зависимость совместного решения (4) и выражения для интегральной индикатрисы однородного шара, рассчитанных по теории Ми, от значений относительного показателя преломления т (А < 4)
вышесказанных причин, а второе соответственно занижается.
Резюмируя, можно сделать следующие выводы. Во-первых, совместное использование (4) и ми-решения позволяет установить опосредованную связь относительного показателя преломления с интегральной индикатрисой оптически мягких сферических частиц в широких пределах изменения их размеров (вплоть до А = 4). Во-вторых, положение точки пересечения ми-кривых Г(0О) и (4) в угловой разверстке не зависит от р и практически удовлетворяет условию (5), т.е. для диапазона 1.01 < в0 < 1.15 рабочей областью для определения относительного показателя преломления будут являться углы в0 ~ 0.01-0.15 рад (или в0 ~ 0.6-10°). В-третьих, с увеличением т значения Кр, вычисленные по теории Ми, более заметно отличаются от (2), что приводит к небольшому систематическому отклонению совместного решения Г(0О) и (4) от условия (5) в сторону больших углов.
2. К возможности определения показателя преломления
вещества частиц по интегральной индикатрисе светорассеяния
Для больших (р >> 1) оптически мягких шаров в области РГД поток рассеянного в заднюю полусферу углов рассеяния излучения [7]
Бъ = N|т - 1|2(1 - 1п2)па2. (6)
Тогда из отношения всего рассеянного потока (1) к потоку, рассеянному в заднюю полусферу углов рассеяния (6),
Б |т - 112 (1 - 1п 2)
— = --—---(7)
Бъ Кр 1 ;
можно найти значение Кр/|т - 1|2 и с учетом (5) получить, что в точке пересечения интегральной индикатрисы с кривой (4) ордината составляет величину
1 - 1п 2 Б
" = *■ XV (8)
Отношение Б/Бъ не зависит от концентрации частиц и определяется экспериментально. Значение р легко найти по половинному уровню рассеяния.
На рис. 1 горизонтальные штриховые линии соответствуют значениям V, рассчитанным по теории Ми. Очевидно, что лишь для графика 1, а наблюдается пересечение интегральной индикатрисы с ми-кривой в точке
Для выяснения границ применимости вышеуказанного подхода были просчитаны значения угла в0 = ви (при котором Г(^) = V) в диапазоне изменений показателя преломления 1.01 < т < 1.2 при размере частиц от р = 6 на нижней границе до ограниченного максимальным значением А = 5. Результаты расчетов представлены на рис. 2. На рис. 2, а показан наиболее интересный участок (т < 1.05), на котором возможно определение т.
Как следует из рис. 2, а, значения ви в широком диапазоне изменения р (вплоть до А ^ 4) остаются практически постоянными. Иначе говоря, для взвесей, имеющих распределения по размерам, в рамках указанных диапазонов изменения р значение ви может служить мерой величины т - 1.
0.08
А2 - А, А 15 / 4
• 3 . 4 (
0.06-
са
0.04-
1
0.00
20 29 37 46 54 78 101 124 148 211 р
0.7 0.6
9 0.5-t 0.40.3-
0.20.1 -0.0-
1
10
20
30
40
50
Р
Рис. 2. Зависимость положений в угловой разверстке точки пересечения кривой интегральной индикатрисы и (8), рассчитанных по теории Ми. Вычисления выполнены для относительных показателей преломления в диапазоне 1.01 < т < 1.2 с шагом 0.01, т.е. кривой 1 соответствует значение относительного показателя преломления 1.01, кривой 2 — 1.02 и т.д. На рис. 2, а значения р на оси абсцисс представлены в логарифмическом масштабе; пунктиром показаны значения фазовых сдвигов: Д2 = 2, Д3 = 3, Д4 = 4
В диапазоне т < 1.05 для ряда значений р выполняется неравенство V < 0. Для таких точек принималось ви = 0 (см. рис. 2). Однако осцилляции на отмеченных кривых (особенно сильные при относительно небольших значениях р и обусловленные поведением величины Оь для одиночной частицы) будут заметно сглажены даже для достаточно узких распределений частиц взвеси по размерам, что устранит имеющиеся неоднозначности.
Отметим, что в пределе |т — 1| ^ 0 6и = 6т = |т — 1| (см. кривые на рис. 2, а для т = 1.01,1.02). Однако при увеличении значений |т — 1| это правило нарушается. В таком случае необходимо пользоваться данными рис. 2, а.
Таким образом, на основе проведенного исследования получена связь относительного показателя преломления вещества оптически мягких сфер с интегральной индикатрисой светорассеяния в диапазоне А < 4 и предложен способ нахождения его значений методом интегральной индикатрисы. Данный способ может быть использован и для оценки значений концентрации частиц взвеси с помощью (1).
Список литературы
[1] Сидько Ф.Я., Лоплтин В.Н., Парамонов Л.Е. Поляризационные характеристики взвесей биологических частиц. Новосибирск: Наука, 1990. 119 с.
[2] пат. РФ № 2098794. Оптический способ определения размера частиц в суспензии / В.Н. Лопатин, А.Д. Апонасенко, Л.А. Щур, В.С. Филимонов. Опубл. в БИ, 1997. № 34.
[3] Beuthan J., Minet O., Helfmann J. et al. The spatial variation of the refractive index in biological cells // Phys. Med. Biol. 1996. Vol. 41. P. 369-382.
[4] Keohane K.W., Metcalf W.K. The cytoplasmic refractive index of lymphocytes, its significance and its changes during active immunization // Quart. J. Exper. Physiol. Cognate Med. Sci. 1959. Vol. 44. P. 343-346.
[5] Bolin F.P., Preuss L.E., Taylor R.C., Ference R.J. Refractive index of some mammalian tissues using a fiber optic cladding method // Appl. Opt. 1989. Vol. 28. P. 2297-2303.
[6] ЛопАтин В.Н., Сидько Ф.Я. Введение в оптику взвесей клеток. Новосибирск: Наука, 1988. 250 с.
[7] Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 536 с.
[8] Yentsch C.S. Measurement of visible light absorption by particulate matter in the ocean // Limnol. Oceanogr. 1962. Vol. 7, N 4. P. 201-205.
[9] ЛопАтин В.Н., Апонасенко А.Д., Щур Л.А. Биофизические основы оценки состояния водных экосистем (теория, аппаратура, методы, исследования). Новосибирск: Наука, 2000. 360 с.
[10] ЛопАтин В.Н., Шепелевич Н.В., ПростАковА И.В. Определение параметров взвесей оптически мягких частиц // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9. Спецвыпуск, посвященный 30-летию Института вычислительного моделирования СО РАН. С. 72-83.
[11] Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 660 с.
[12] Perelman A.Ya. Application of Mie series of soft particles // Pure and Appl. Geophys. 1978. Vol. 116. P. 1077-1088.
Поступила в редакцию 20 октября 2009 г.
