CC BY
30
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 05. С. 309-318.
Б01: 10.7463/0515.0768602
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
03.04.2015 28.04.2015
УДК 535.36
Рассеяние света цилиндрической капсулой с произвольными торцами в приближении Рэлея-Ганса-Дебая
Шаповалов К. А.1'* 'ь^сопы^таДд!
1 Красноярский государственный медицинский университет имени профессора В.Ф. Войно-Ясенецкого, Красноярск, Россия
Рассмотрены оптически "мягкие" (имеющие показатель преломления близкий к окружающей среде) однородные цилиндрические капсулы, составленные из трех частей: центральной цилиндрической и двух симметричных скругленных торцевых. Получены формулы для амплитуды светорассеяния цилиндрической капсулы с произвольными торцами в приближении Рэлея-Ганса-Дебая (РГД). Проведено численное сравнение индикатрис светорассеяния для капсул, имеющих конические, сфероидальные и параболические торцы в приближении РГД. Также проведено численное сравнение индикатрис светорассеяния для капсулы, имеющей конические торцы, в приближении РГД с результатами расчета методом Парселла-Пеннипакера (или Дискретных диполей). Получено хорошее согласие в области применения приближения РГД.
Ключевые слова: рассеяние света; индикатриса светорассеяния; оптически "мягкие" частицы
Введение
В оптике аэрозолей, биологических взвесей, коллоидной химии для быстрого анализа характеристик светорассеяния частицами произвольной формы и структуры используются различные приближения [1-3]. Если светорассеивающие частицы оптически "мягкие" (|т — 1| « 1, где т = п + // - относительный комплексный показатель преломления частицы), то чаще применяют приближения Рэлея-Ганса-Дебая (РГД), Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ), и Аномальной Дифракции (АД). В приближении РГД и АД получены формулы для характеристик светорассеяния сферических частиц, сфероидов, эллипсоидов, цилиндров, которыми обычно моделируют клетки и биологические частицы [1-5]. Но цилиндр имеет плоский торец, поэтому необходимо рассмотреть составную (капсульную) форму, имеющую более выпуклую форму торца, например, сфероидальную [6] или конусообразную.
Целью настоящей работы является дальнейшее обобщение характеристик светорассеяния для цилиндрических капсульных частиц, имеющих произвольную форму торца, в приближении РГД.
1. Амплитуда светорассеяния
Предположим, что на цилиндр высоты Н и радиуса Я с различными торцами падает плоская электромагнитная волна в плоскости ZOY прямоугольной системы координат под углом вI к оси z (рис. 1).
Используем интегральное представление амплитуды светорассеяния в приближении РГД в скалярном виде [3, 7]:
Г( в,Р) (т2 — 1)ехр [/к5г] ¿V, (1)
где в,? - единичные векторы вдоль направления рассеяния и распространения света соответственно, г - радиус-вектор точки внутри частицы, к 5 = к (? — ?), | к 5 | = 2 кз Iп(2), к = 2*/х,
в - угол между векторами ? и р - угол между осью ъ (или единичным вектором оси е2) и вектором к 5 (см. рис. 1).
(а) (б) (в)
конусным (в) торцами
Тогда для амплитуды капсульной однородной частицы, используя полученные ранее свойства сложения форм-факторов в приближении РГД [6, 8-10], получим в скалярном виде:
Г (в, Р) = [ф су^суь + 2 УСАР ( Ф с о з — Ф з I п ) ] , (2)
где , ,
к [ с о э в I — с о з в5] , в I, ф I, в5, ф5- углы, указывающие направление падающего и рассеянного
J. - ^ 2A(fc4«)Sin(fc32-J , , света, в сферическом системе координат, Ф сух =--н - форм-фактор для
k4R к3—
цилиндра [1-3], k4 = / k\ + к\, Vcyx = лй2Н, Ф слр, V^- форм-фактор и объем торцевой части капсулы соответственно, причем к 3( б ,//) = к с о s// , к4 ( б ,// ) = к s i n //.
2 о
Очевидно, что объем Vcap для полусферы -лй3, для вытянутого вдоль оси вращения
2 n d у ü о
полусфероида -л Ь й2, для конуса -л й2, для параболоида вращения - лЬй 2 (см. рис. 1). Форм-фактор для полусферы [6]:
Ф5РЯ = Ф Шн + ¿Ф ЙН , (3)
где Ф^/н = 3"/lfc(A^R) ,7i(x) - сферическая функция Бесселя 1 порядка,
<н =¿i¡T/2sin ( к зйс о st)A ^sint)sin2tdt = 3Z » o^r(lgf) , ^i(x)
- функция Бесселя 1 порядка, hq(x) - сферическая функция Струве порядка q, ks =
V k 4 + k 3.
Заметим, что ранее полученное выражение для форм-фактора капсульной частицы с полусферическими торцами [11], в отличии от (3) не содержит разложения мнимой части.
Аналогично (3) форм-фактор для вытянутого вдоль оси вращения полусфероида (b>R) [7]:
Ф5РНО = Ф 5РН D + i Ф WD , (4)
где ФШнD = , k 5 = VkíTTkf, г = Ь-
«hd = ¿ fj2 s i n ( k 3b с о s t) А ( k4« s i n t) s i n 2 t dt=3 Z« o " .
Форм-фактор для конуса, полученный нами ранее в приближении РГД [8,9]:
Ф con = 6 еТ( R 3d)/olexP( - ik 3d t) А ( k4« t) td t = Ф+ i Ф. (5)
При k 3d = k4« из (5) следует Ф = ^g^, =
i г. гг. j.í?p 6 sin(fc3d)\ , гто 6 (1 , cos(fc3d)-l\
пРи k4 = 0 имеем [8,9]: = ( 1 - , Ф ^ = ^ (l +
Укажем также форм-фактор для параболоида, полученный нами ранее в приближении РГД [7]:
Ф р^ = 4ÜF ^ exP ( - ik зЬ t2 ) А^й /^t) t2d t = Ф ^ + i , (6)
при k4 = 0 имеем [8,9] : Ф^^!-^ Ф- = ¿(l -
Таким образом, подставляя реальные и мнимые части форм-факторов для полусферы (3), вытянутого полусфероида (4), конуса (5) и параболоида (6) в (2), легко получим выражение для капсулы с такими торцами.
2. Индикатриса светорассеяния
Индикатриса светорассеяния [или элемент матрицы рассеяния для естественного света (поляризация хаотична) и при // = 0 рассчитывалась по формуле [2, 3]:
^ !( 0,//) = к2 | / ( 0,//) | (7)
где | f ( 0 , //) | 2- квадрат модуля амплитуды светорассеяния.
На рис. 2 приведен результат сравнения численного расчета индикатрис светорассеяния в приближении РГД для капсул с коническими, полусферическими, параболическими торцами кй = 1 , к Я = 2 , к й = 1 , кй = 1 , р = 1 и с показателем преломления т = 1 , 1 + / 0 , 0 1. Отметим, что в качестве капсулы с плоским торцом использовался простой цилиндр с к й = 1 и к Я = 3 -^/д с объемом равным капсуле с полусферическими торцами . Но даже при равных объемах заметно (см. рис. 2)
отличие индикатрис светорассеяния для капсулы с плоским торцом и полусферическим при больших углах светорассеяния и 0 £ =
Далее на рис. 3 показан результат сравнения численного расчета индикатрисы светорассеяния в приближении РГД и методом дискретных диполей (АДДА) [11] для капсулы с коническими торцами к й = 1 , к Я = 2 и показателем преломления т = 1 , 1 + / 0, 0 1. Сравнение с АДДА для РГД капсулы с полусферическими торцами приведено ранее в [6].
а)
Угол рассеяния в, град
Рис. 2. Индикатрисы светорассеяния ^ х (0,//) 1 (0, 0) цилиндрических капсул с плоскими (1), полусферическими (2), коническими (3), параболическими (4) торцами при кй = 1 в приближении РГД для падающего света вдоль оси симметрии (А) и перпендикулярно (Б)
А)
0. -,-,-,-,-,-,-,-,-,_
О 20 40 60 ВО 100 120 140 160 1В0
Угол рассеяния в , град
Б)
С'0 20 40 60 ВО 100 120 140 160 180
Угол рассеяния в , град
Рис. 3. Индикатрисы светорассеяния f± ± (в ,/?) / f ± х ( 0 , 0 ) цилиндрической капсулы с коническими торцами при kR = 1 , кН = 2 , кd = 1 в приближении РГД и АДДА для падающего света вдоль оси симметрии (А) и
перпендикулярно (Б)
Заключение
Таким образом, нами получено общее выражение для амплитуды светорассеяния цилиндрической капсулы с произвольными торцами в приближении РГД. Проведен численный расчет индикатрис светорассеяния для капсул с различными торцами: полусферическими, параболическими, коническими в приближении РГД.
Проведено численное сравнение индикатрис светорассеяния для РГД капсулы с коническими торцами и с результатами расчета АДДА. Получено хорошее согласие с результатами расчета АДДА.
Список литературы
1. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 660 с. [Bohren C.F., Huffman DR. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York: John Wiley & Sons, 1983. 545 p.]
2. Kerker М. The scattering of light and other electromagnetic radiation. New York, London: Academic Press, 1969. 666 p.
3. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. В 2 т. Т. 1. Однократное рассеяние и теория переноса: пер. с англ. М.: Мир, 1981. 280 с. [Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media. Vol.1. Single scattering and transport theory. New York: Academic Press, 1978. 250 p.]
4. Шаповалов К.А. Рассеяние света частицами цилиндрической формы в приближении Рэлея-Ганса-Дебая. 1. Строго ориентированные частицы // Оптика атмосферы и океана. 2004. Т. 17, № 4. С. 350-353.
5. Шаповалов К.А. Рассеяние света частицами тороидальной формы в приближении Рэлея-Ганса-Дебая // Оптика и спектроскопия. 2011. Т. 110, № 5. С. 858-861.
6. Шаповалов К.А. Рассеяние света цилиндрической капсулой со сфероидальными торцами в приближении Рэлея-Ганса-Дебая // XIV международная научно-практическая конференция «Научное обозрение физико-математических и технических наук в XXI веке» (г. Москва, 27-28 февраля 2015 г.): тр. М.: МНО "Prospero", 2015. С. 102-105.
7. Шаповалов К.А. Рассеяние света осесимметричными частицами в приближении Рэлея-Ганса-Дебая // Журнал Сибирского Федерального Университета. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5, № 4. С. 586-592. Режим доступа: http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/2311/3112/1/shapevalev.pdf (дата обращения 01.04.2015).
8. Shapovalov K.A. Light Scattering by a Prism and Pyramid in the Rayleigh-Gans-Debye Approximation // Optics. 2013. Vol. 2, no. 2. P. 32-37. DOI: 10.11648/j.optics.20130202.11
9. Шаповалов К.А. Амплитуда светорассеяния усеченной пирамиды и конуса в приближении Рэлея-Ганса-Дебая // Европейский исследователь. 2013. Т. 49, № 5-2. С. 1291-1297.
10. Шаповалов К.А Рассеяние света тонкослойными частицами в приближении Рэлея-Ганса-Дебая // Инновации и инвестиции. 2014. № 3. С. 244-247.
11. Cusack S., Miller A., Krijgsman P.C.J., Mellema J.E. An Investigation of the Structure of Alfalfa Mosaic Virus by Small-angle Neutron Scattering // Journal of Molecular Biology. 1981. Vol. 145, iss. 3. P. 525-543. DOI: 10.1016/0022-2836(81)90543-X
12. Yurkin M.A., Hoekstra A.G. The discrete-dipole-approximation code ADDA: Capabilities and known limitations // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2011. Vol. 112, iss. 13. P. 2234-2247. DOI: 10.1016/j.jqsrt.2011.01.031
Science^Education
of the Bauman MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 05, pp. 309-318.
DOI: 10.7463/0515.0768602
Received: 03.04.2015
Revised: 28.04.2015
ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Scattering Light by a Cylindrical Capsule with Arbitrary End Caps in the Rayleigh-Gans-Debye Approximation
X
K.A. Shapovalov ' £h_const:gmailju
Krasnoyarsk State Medical University n. a. Professor V. F. Voyno-Yasenetsky, Krasnoyarsk, Russia
Keywords: light scattering; phase function; optically "soft" particles
The paper concerns the light scattering problem of biological objects of complicated struc-
ture.
It considers optically "soft" (having a refractive index close to that of a surrounding medium) homogeneous cylindrical capsules, composed of three parts: central one that is cylindrical and two symmetrical rounding end caps. Such capsules can model more broad class of biological objects than the ordinary shapes of a spheroid or sphere. But, unfortunately, if a particle has other than a regular geometrical shape, then it is very difficult or impossible to solve the scattering problem analytically in its most general form that oblige us to use numerical and approximate analytical methods. The one of such approximate analytical method is the Rayleigh-Gans-Debye approximation (or the first Born approximation).
So, the Rayleigh-Gans-Debye approximation is valid for different objects having size from nanometer to millimeter and depending on wave length and refractive index of an object under small phase shift of central ray.
The formulas for light scattering amplitude of cylindrical capsule with arbitrary end caps in the Rayleigh-Gans-Debye approximation in scalar form are obtained. Then the light scattering phase function [or element of scattering matrix fn] for natural incident light (unpolarized or arbitrary polarized light) is calculated.
Numerical results for light scattering phase functions of cylindrical capsule with conical, spheroidal, paraboloidal ends in the Rayleigh-Gans-Debye approximation are compared. Also numerical results for light scattering phase function of cylindrical capsule with conical ends in the Rayleigh-Gans-Debye approximation and in the method of Purcell-Pennypacker (or Discrete Dipole method) are compared. The good agreement within an application range of the Rayleigh-Gans-Debye approximation is obtained.
Further continuation of the work, perhaps, is a consideration of multilayer cylindrical capsule in the Rayleigh-Gans-Debye approximation.
The results of given paper may be used for the analysis not only light scattering, but also for the calculation of neutron diffraction and small-angle scattering of X-rays.
References
1. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. John Wiley & Sons, New York, 1983. 545 p. (Russ. ed.: Bohren C.F., Huffman D.R. Pogloshchenie i rasseiianie sveta malymi chastitsami. Moscow, Mir Publ., 1986. 660 p.)
2. Kerker М. The scattering of light and other electromagnetic radiation. New York, London, Academic Press, 1969. 666 p.
3. Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media. Vol.1. Single scattering and transport theory. Academic Press, New York, 1978. 250 p. (Russ. ed.: Ishimaru A. Rasprostranenie i rasseiianie voln v sluchaino-neodnorodnych sredah. T.1. Odnokratnoie rasseiianie i teoriaperenosa. Moscow, Mir Publ., 1981. 240 p.)
4. Shapovalov K.A. Light scattering of cylindrical particles in Rayleigh-Gans-Debye approximation. 1. Rigorously oriented particles. Optika Atmosfery i Okeana, 2004, vol. 17, no. 4, pp. 350-353, 2004. (English version of journal: Atmospheric and Oceanic Optics, 2004, vol. 17, no. 4, pp. 310-313.).
5. Shapovalov K.A. Light scattering by particles of toroidal shape in the Rayleigh-Gans-Debye approximation. Optika i Spektroskopiya, 2011, vol. 110, no. 5, pp. 858-861. (English version of journal: Optics and Spectroscopy, 2011, vol. 110, no. 5, pp. 806-810. DOI: 10.1134/S0030400X11050146 ).
6. Shapovalov K.A. Light scattering by a cylinder capsule with spheroidal end caps in Rayleigh-Gans-Debye approximation. 14 Mezhdunarodnaia nauchno-practicheskaia konferentsiia "Nauchnoie obozrenie fiziko-matematicheskih i tehnicheskih nauk v 21 veke" [Proc. of the 14 Int. scientific practical conf. "Scientific review of physics - mathematical and technical sciences in 21 century"], Moscow, February 27-28, 2015. Moscow, MNO "Prospero" Publ., 2015, pp. 102-105. (in Russian).
7. Shapovalov K.A. Light scattering by particles with axis of symmetry in Rayleigh-Gans-Debye approximation. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2012, vol. 5, no. 4, pp. 586-592. Available at: http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/2311/3112/1/shapevalev, accessed 01.04.2015. (in Russian).
8. Shapovalov K.A. Light Scattering by a Prism and Pyramid in the Rayleigh-Gans-Debye Approximation. Optics, 2013, vol. 2, no. 2, pp. 32-37. DOI: 10.11648/j.optics.20130202.11
9. Shapovalov K.A. Amplitude of Light Scattering by a Truncated Pyramid and Cone in the Rayleigh-Gans-Debye Approximation. European Researcher, 2013, vol.49, no. 5-2, pp. 12911297. (in Russian).
10. Shapovalov K.A. Light scattering by thin shell particles in the Rayleigh-Gans-Debye approximation. Innovacii i Investicii, 2014, no. 3, pp. 244-247. (in Russian).
11. Cusack S., Miller A., Krijgsman P.C.J., Mellema J.E. An Investigation of the Structure of Alfalfa Mosaic Virus by Small-angle Neutron Scattering. Journal of Molecular Biology, 1981, vol. 145, iss. 3, pp. 525-543. DOI: 10.1016/0022-2836(81)90543-X
12. Yurkin M.A., Hoekstra A.G. The discrete-dipole-approximation code ADDA: Capabilities and known limitations. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2011, vol. 112, iss. 13, pp. 2234-2247. DOI: 10.1016/j.jqsrt.2011.01.031
