CC BY
56
УДК 621.391, 681.3
ВОЗМОЖНОСТИ ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ
В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ МОДУЛИРОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
И. Е. Агуреев
Рассмотрены результаты математического моделирования процесса скрытой передачи информации (СПИ), основанного на известной модели Ресслера. В работе исследован метод СПИ, заключающийся в модулировании параметра периодического возмущения, которое искусственно добавлено в генератор передающей стороны. Показано, что передача информации сопровождается более высокими характеристиками конфиденциальности по сравнению с традиционным способом модулирования управляющим параметром.
Ключевые слова: скрытая передача информации, хаотическая синхронизация, нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор.
В настоящее время выделяют следующие виды синхронизации хаотических колебательных систем [1, 2]: полная синхронизация, хаотический синхронный отклик, синхронизация с запаздыванием, обобщенная синхронизация, фазовая синхронизация и др.
Основными методами передачи информации с использованием хаотической синхронизации являются: хаотическая маскировка, переключение хаотических режимов, нелинейное подмешивание информационного сигнала к хаотическому, модулирование управляющих параметров, использование структуры фазовой автоподстройки частоты, использование адаптивных методов приема и др.
В работах [4-11] были рассмотрены различные трехмерные автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые из рассмотренных моделей были исследованы на предмет их использования в системах СПИ [12-14]. Теоретической основой таких исследований является теория Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ), которая устанавливает общие закономерности сценариев перехода к динамическому хаосу в различных типах математических систем [3].
Одной из задач, которая решается при построении реально действующих систем СПИ, традиционно считается повышение конфиденциальности передаваемого сигнала. Существует значительное количество подходов, направленных на повышение степени конфиденциальности. В частности, такими особенностями отличается разработанный авторами [2] способ обобщенной хаотической синхронизации, реализованный в виде соответствующего алгоритма, который достаточно легко воспроизводится в
численных экспериментах. Если говорить о методах передачи информации, то применение многих из них при передаче цифрового сигнала (последовательностей битов «0» и «1») сопровождается достаточно «жестким» переходом от одного хаотического режима к другому, пусть и достаточно близких друг к другу. Именно такая жесткость приводит к снижению степени конфиденциальности. В наиболее выраженных случаях доступность информационного сигнала третьей стороне становится визуально определимой, не говоря о методах специальной обработки перехватываемого сигнала. Визуальная определимость передаваемой информации, конечно, несовместима с самой идеей стенографического подхода в системах СПИ. Таким образом, возникает очевидная дилемма: как передавать битовые последовательности, чтобы участки сигнала, соответствующие «0» или «1», принадлежали хаотическим режимам с очень близкими характеристиками и в то же время обеспечивали надежное распознавание полезной информации.
Одна из идей может заключаться в том, чтобы использовать очень близкие нерегулярные режимы, возникающие в различных хаотических системах. Такая возможность основана на предположении существования топологически эквивалентных аттракторов в несводимых друг к другу динамических системах. При этом передающий генератор мог бы по очереди переходить на топологически эквивалентный режим, но возникающий в совершенно различных системах, реализуемых отдельными схемами генератора. Примеры подобных аттракторов были представлены в работе [9]. Многие модели Спротта также можно отнести к эквивалентным хаотическим режимам.
Другая идея может заключаться в уменьшении указанной выше «жесткости» при переходе к различным хаотическим режимам. Предполагается, что если в передающем генераторе искусственно внести дополнительное периодическое возмущение, а принимающий генератор будет иметь точно такие же параметры, за исключением «механизма» возмущений, то при малых возмущениях генераторы будут стремиться к состоянию синхронизации, которое нарушается при росте возмущений. Наличие «мягкого» ухода от состояния синхронизации в передающем генераторе делает сигнал более «размытым», обеспечивая повышение свойств конфиденциальности. Управление параметрами возмущений (модулирование) позволит передавать битовые последовательности. Целью настоящей работы является проверка работоспособности описанной идеи.
Постановка задачи. Рассмотрим постановку задачи численного исследования системы СПИ с возникновением режима полной синхронизации [2]. Пусть передающий генератор описывается системой
х(0 = С(х(0, gd) , (1)
где х)- вектор состояния ведущей системы, С - ее векторное поле, gd -
вектор управляющих параметров. В частном случае размерность фазового пространства может быть m = 3, и тогда в системе могут наблюдаться в том числе и нерегулярные автоколебания. Предположим, что ведомая система (принимающий генератор) описывается уравнениями
и ^) = Н(и^), gr) + еА(х(0 - и^) + DX(t)), (2)
где )- вектор ее состояния, Н- соответствующее (2) векторное поле, gr - вектор управляющих параметров, А - матрица связи, е - параметр связи, Х) - шумовой сигнал, D - интенсивность шума.
Относительно матрицы А обычно допускаются предположения: А = {ду}, где ди е{0;1}, ду = 0(1 ф у).
Для системы (1), (2) возможна численная реализация любым из подходящих методов, обеспечивающих требуемую точность при выбранных начальных условиях и параметрах.
Если в системе (1) и (2) возникает режим полной синхронизации, то это означает совпадение векторов состояния взаимодействующих систем:
х(*) ° и(*).
Этот режим возможен лишь в случае их идентичности по управляющим параметрам. При этом диагностика режима полной синхронизации в численной схеме проводится путём сравнения векторов состояния взаимодействующих систем:
¥
< е >= Л|х(?) - и(?)||Ж, о
где < е >- ошибка синхронизации.
Рассмотрим систему Ресслера, которая традиционно служит для тестирования различных методов СПИ с помощью вычислительных экспериментов:
•Х&1 - ^2 Х3 ;
< х2 = х + ах2; (3)
х3 = Ь + х3(х1 - с).
При этом значения коэффициентов принимались следующие: а = 0,15; Ь = 0,2; с = 10. Выбор коэффициентов достаточно произволен, но такой, что в системе (3) существует хаотический режим.
Для решения поставленной задачи была разработана модель и программа для системы двух генераторов (принимающий и передающий), объединенных в схему СПИ, где передающий генератор описывается уравнениями (3), в которых первое уравнение реализуется в виде х^) = -х2 - х3 + сох ■ со$,(ту1); сх = 9,0 если передается «1» и 0 если передается «0».
Генератор принимающей стороны также построен на основе модели
Щ = -u2 - u3 + e(s(t) - ux); < ui2 = u1 + au2; (4)
U3 = b + u3(u1 - c).
Таким образом, при wx = 0 в системе ожидается режим полной синхронизации. Значение параметра e принималось равным 0,3, а wy = 0,5.
Результаты математического моделирования. На рис.1 и 2 представлен результат численного моделирования процесса передачи простой последовательности десяти бит 1, 0, ... при сформулированных выше условиях.
На рис. 1, а представлен передаваемый сигнал (координата x1(t)) и
выделенное красным периодическое возмущение v(t) = wx ■ cos(wyt). На
рис.1,б для визуальной оценки конфиденциальности передаваемого сигнала последний представлен отдельно.
Очевидно, что передаваемый сигнал отличается высоким качеством конфиденциальности, так как визуально невозможно отличить участки, соответствующие «0» или «1». С другой стороны, восстановленный сигнал позволяет однозначно детектировать информационную последовательность битов (см. рис.2, в).
б
Рис. 1. Передаваемый сигнал в модели СПИ
а
400 410 430 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600
б
рЛ^.........ф|11
Ю 1100 1200
в
Рис. 2. Анализ режима полной хаотической синхронизации
в модели СПИ
На рис.2, б представлен участок от 400 до 600 единиц времени. На передачу битов «1» или «0» предусмотрено 100 единиц времени. Красным выделена координата и1 (?) принимающего генератора, синим - координата х^) передающего генератора, а пунктиром - восстановленный сигнал х^) - и1(?). Заметен достаточно короткий переходный процесс от 400 до 420 единиц времени, после которого устанавливается режим синхронизации. При этом степень синхронизации близка к 100% (красная и синяя траектории сливаются).
На рис.2, а представлен трехмерный фазовый портрет координат передающего генератора, а в плоскости - проекция принимающего генератора в координатах и2 (и1). Рисунок дает представление о степени отличия получаемых аттракторов от классического вида аттрактора Ресслера. Таким образом, вносимое периодическое возмущение ) = сх ■ соъ(а^) достаточно велико, тем не менее, представляется затруднительным про цесс несанкционированного выделения информации из передаваемого сигнала.
Заключение и выводы. Полученные в работе результаты свидетельствуют о возможности применения метода модулирования параметром
периодического возмущения при скрытой передаче информации в системе СПИ, построенной на основе модели Ресслера. Исследования, проведенные при различных параметрах сх и су выявили достаточную устойчивость модели Ресслера к вносимому периодическому возмущению в широких пределах изменения указанных величин. При этом в тех же пределах передаваемый сигнал сохранял свойства визуальной неразличимости полезной информации, а также наблюдалось достаточное качество восстановленного сигнала. Основным допущением являлось отсутствие внешнего шума. Дальнейшие исследования могут быть направлены на изучение применимости разработанного метода в других моделях, а также на получение количественных характеристик конфиденциальности и устойчивости к шуму.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-08-01359).
Список литературы
1. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос: Новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит. 2002. 252 с.
2. Короновский А. А., Москаленко О. И., Храмов А. Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // Успехи физических наук. 2009. Т. 179. № 12. С.1281-1310.
3. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: ЛЕНАНД, 2011. 320 с.
4. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / Под ред. С. В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. С. 159-175.
5. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Известия ТулГУ. Автомобильный транспорт. Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-13.
6. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Известия ТулГУ. Автомобильный транспорт. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-11.
7. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.1. Тула: Изд-во ТулГУ. 2007. С.105-110.
8. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.4. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С.158-167.
9. Агуреев И. Е., Атлас Е. Е., Пастухова Н. С. Хаотическая динами-
ка в математических моделях транспортных систем // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 372-390.
10. Агуреев И. Е. Богма А. Е., Пышный В. А. Динамическая модель транспортной макросистемы // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 6, Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С.139-145.
11. Агуреев И. Е., Гладышев А. В. Динамика производства и спроса в диссипативной модели логистической системы // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 6, Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С.152-160.
12. Агуреев И. Е., Борзенкова С. Ю., Чечуга О. В., Яковлев Б. С. Использование мультиаттракторных систем для скрытой передачи и хранения информации // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.6. Ч.2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С.337-345.
13. Агуреев И. Е., Агуреев К. И. Численный анализ процессов скрытой передачи информации на основе мультиаттракторной системы // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. № 10. С. 169-177.
14. Агуреев И. Е., Агуреев К. И., Пастухова Н. С. Закономерности каскадов бифуркаций сингулярных аттракторов в некоторых системах скрытой передачи информации // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. № 11. С.153-160.
15. Агуреев И. Е., Агуреев К. И., Гладышев А. В. Последовательности сингулярных аттракторов в некоторых автономных диссипативных мультиаттракторных системах // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. № 11. С.160-171.
Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, заведующий кафедрой, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE POSSIBILITY OF CHAOTIC SYNCHRONIZATION IN THE DISSIPATIVE SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS BY METHOD OF MODULATION OF THE
PERIODIC PERTURBATION
I. E. Agureev
The results of mathematical modeling of secure communication process based on the Ressler 's system are considered. The method of secure communication process by modulation of periodic perturbation is investigated. It is shown that passing of information obtains by higher characteristics of security compared the traditional mean of control parameter modulation.
Keywords: secure communications, chaotic synchronization, nonlinear dissipative system, non-regular attractor.
Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
