CC BY
79
ТРАНСПОРТ
УДК 621.391, 681.3
ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ
В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ВЕКТОРНОГО СИГНАЛА
И. Е. Агуреев
Рассмотрены результаты математического моделирования процесса скрытой передачи информации, основанного на разработанной автором трехмерной автономной нелинейной диссипативной системы. Используется метод модулирования управляющего параметра. При этом передаваемый сигнал формируется как модуль вектора, построенного на текущих значениях фазовых координат.
Ключевые слова: скрытая передача информации, хаотическая синхронизация, нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор.
Хаотическая синхронизация является условием для построения систем скрытой передачи информации (СПИ), которые рассматриваются как с теоретических позиций, так и в области экспериментальных исследований СПИ [1]. Объем публикаций по этой тематике постоянно возрастает [2], что обусловлено, с одной стороны, потребностями практики использования защищенных каналов передачи информации, а с другой - новыми возможностями, которые предоставляет теория динамического хаоса [3].
В настоящее время выделяют следующие виды синхронизации хаотических колебательных систем: полная синхронизация, хаотический синхронный отклик, синхронизация с запаздыванием, обобщенная синхронизация, фазовая синхронизация и др.
Основными методами передачи информации с использованием хаотической синхронизации являются: хаотическая маскировка, переключение хаотических режимов, нелинейное подмешивание информационного сигнала к хаотическому, модулирование управляющих параметров, использование структуры фазовой автоподстройки частоты, использование адаптивных методов приема и др.
Развитие теории динамического хаоса демонстрирует незавершенность исследований, направленных на поиск сценариев перехода к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений различного типа. Используемые до сих пор представления сводятся к формулировке трех основных сценариев: 1) через каскад бифуркаций удвоения периода; 2) через перемежаемость; 3) через бифуркации торов. В то же время в теории динамического хаоса (ФШМ-вариант теории [3]) доказывается существование единственного универсального сценария через каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад Шарковского, го-моклинический каскад Магницкого рождения регулярных аттракторов (циклов, торов). Этот сценарий справедлив как для диссипативных, так и консервативных, автономных и неавтономных, обыкновенных, с частными производными и систем уравнений с запаздывающим аргументом [3].
В теории ФШМ доказано, что существует один единственный вид динамического хаоса, который успешно описывается в рамках траекторно-го подхода методами качественной теории дифференциальных уравнений и в теории бифуркаций в нелинейных системах дифференциальных уравнений. Таким образом, в работах Н.А. Магницкого существенно корректируются не только представления о сценариях возникновения динамического хаоса, но и ставится под сомнение существование различных определений нерегулярных аттракторов: странный, хаотический, квазиаттрактор и т.д. Эти противоречия разрешаются введением понятия «сингулярного аттрактора», которое последовательно используется в теории ФШМ как единственный тип нерегулярных аттракторов нелинейных диссипативных систем. Любой из рождающихся аттракторов, например, трехмерной автономной диссипативной системы лежит на некотором двумерном бесконеч-нолистном складчатом гетероклиническом сепаратрисном многообразии, являющимся замыканием, двумерного инвариантного неустойчивого многообразия (сепаратрисной поверхности) исходного сингулярного седлово-го цикла [3, с.137].
В работах [4-11] были рассмотрены различные модели транспортных процессов и систем, сформулированные как трехмерные автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование их, выполненное на основе теории ФШМ, привело к установлению исключительного разнообразия типов решений (паттернов поведения) в некоторых из систем, которые были определены как мультиат-тракторные. При этом использовалось специальное допущение о степени нелинейности правых частей этих систем, которая не превышала двух. Несмотря на это, было выявлено существование так называемых контрастных аттракторов в мультиаттракторных системах, которые имеют вид всплесков и скачков, т.е. участков быстрых и медленных изменений фазовых координат. Контрастные аттракторы возникают как правило в виде гомок-линических или гетероклинических траекторий при изменении бифурка-
ционного параметра за пределами каскадов теории ФШМ. В то же время бифуркации исходных сингулярных циклов, соответствующих контрастным аттракторам, свидетельствуют о справедливости положений теории ФШМ при эволюции бифуркационных параметров. Многие контрастные аттракторы имеют продолжение в область динамического хаоса, который рождается в соответствии с теорией ФШМ. Отдельной задачей исследования таких решений является определение их топологической структуры, для чего необходимо использовать представление о трансверсальной плоскости, на которой удобно наблюдать следы фазовой траектории. Многие топологически эквивалентные контрастные аттракторы возникают в различных системах, несводимых друг к другу с помощью линейных преобразований. Таким образом, возникает актуальная задача - исследовать возможности применения разработанных нелинейных диссипативных систем в качестве моделей СПИ с учетом результатов теории ФШМ.
Рассмотрим постановку задачи численного исследования системы СПИ с возникновением режима полной синхронизации [2]. Пусть передающий генератор описывается системой
х(0 = С(х(г), gd) , (1)
где х(г)- вектор состояния ведущей системы, С - ее векторное поле, gd -вектор управляющих параметров. В частном случае размерность фазового пространства может быть т = 3, и тогда в системе могут наблюдаться в том числе и нерегулярные автоколебания. Предположим, что ведомая система (принимающий генератор) описывается уравнениями
и (г) = Н(и(г), gr)+еА(х® - и(г)+В£(г)), (2)
где и(г)- вектор ее состояния, Н - соответствующее (2) векторное поле, gr - вектор управляющих параметров, А - матрица связи, е - параметр связи, Х(г) - шумовой сигнал, В - интенсивность шума.
Относительно матрицы А обычно допускаются предположения: А = {ду}, где ди е{0;1}, ду = 0(/ * у).
Для системы (1), (2) возможна численная реализация любым из подходящих методов, обеспечивающих требуемую точность при выбранных начальных условиях и параметрах.
Если в системе (1) и (2) возникает режим полной синхронизации, то это означает совпадение векторов состояния взаимодействующих систем:
х(г) ° и(г).
Этот режим возможен лишь в случае их идентичности по управляющим параметрам. При этом диагностика режима полной синхронизации в численной схеме проводится путём сравнения векторов состояния взаимодействующих систем:
¥
< е >= Л|х(г) - и (г)||Жг, 0
где < е >- ошибка синхронизации.
В большинстве методов передачи информации в качестве информационного сигнала используется одна из фазовых координат (обеспечивается передача по одному физическому каналу связи). При этом хаотический сигнал подмешивается в элемент принимающего генератора, соответствующий сходной координате. В настоящей работе исследуется вариант формирования сигнала, который использует в общем случае все три фазовые переменные.
Таким образом, если в матрице А равен 1 только один из диагональных членов, то взаимодействие систем осуществляется непосредственно по одному каналу связи. Если требуется обеспечить взаимодействие путем добавления сигнала в уравнения для двух или трех фазовых переменных, то, соответственно, потребуется два или три канала связи. С практической точки зрения это приводит к очевидным усложнениям и делает систему СПИ потенциально более уязвимой к проникновению третьей стороны и менее надежной.
Предположим, что нас интересует вариант, когда вектор х(г) = [хь х2, х3} целиком используется для формирования сигнала, например
з(г) °|х(г )|= (х2 + Х22 + х2)0,5. (3)
Тогда, если опустить слагаемые, соответствующие шуму, можем записать вариант формулы (2):
и (г) = И(и(г), gr) + гЛ(^ • у - и(г)), (2а)
где вектор у(г) = [оо8ам1;совам2;совам3}, еоваш- = ы1 (г)/|и|, I = 1,2,3, а матрица А - единичная диагональная. При этом векторный ^(г) сигнал передается по единственному каналу связи.
Основное предположение заключается в том, что в случае возникновения режима полной синхронизации формулы для расчета вектора у(г) приобретают очевидный смысл.
В частном случае, можем использовать проекцию х(г) на какую-
либо координатную плоскость или ось фазового пространства.
Постановка задачи. Рассмотрим систему (4), которая была получена в работах [18, 19, 22] и использовалась для математического моделирования некоторых транспортных процессов:
2
Х = к1Х + &2 У + £3 ^ + &4 хг + £5 уг + г + £7,
2
у = к8 хг + £9 уг + кю г + £1 (4)
2 = £12 х + £13 у + £14.
Заметим, что в системе (4) имеется преобразование симметрии вида:
х ® А - ~ + с~ , у ® х + //, г ® В - ~ .
Уравнения (4) исследовались численно методом Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 1 • 10-6. В системе существуют все основные виды решений, характерные для трехмерных автономных нелинейных дис-сипативных систем: стационарное состояние, предельный цикл, странный (хаотический) аттрактор и другие типы циклов различной периодичности.
Изначально система (4) формулировалась в виде, который был обусловлен логикой получения уравнений модели:
Хх = а[(Х - хх) + кх2 - тх3 ](2 - х3) - Ь(У - х2 )(2 - х3);
Хх2 = с[(У - х2) + х + пх3 ]х3 - Ж(X - хх )х3; (5)
х3 = ех1 - х + g.
Для сохранения возможности использования предшествующих результатов будем применять в настоящей работе систему в виде (5). При этом значения коэффициентов принимались следующие: а = 1,1; Ь = 0,386; с = 2,1; Ж = 6,0; е = 2,0; f = 4,0; g = 1,0; к = 0,1; I = 0,4; т = 0,7; п = 0,3; X = 0,4 ; У = 5,0 ; 2 = 2,0. Выбор коэффициентов достаточно произволен, но такой, чтобы в системе (5) при этом существовал некоторый хаотический режим.
Сформулируем постановку задачи о математическом моделировании процесса скрытой передачи информации на основе мультиаттакторной системы (5) на основе метода модулирования управляющим параметром с учетом векторного характера передаваемого сигнала.
Для решения поставленной задачи была разработана модель и программа для системы двух генераторов (принимающий и передающий), объединенных в схему СПИ, где передаваемый сигнал описывается уравнением (3), а последнее уравнение (5) реализуется в виде х3 (г) = сг (ех: - /х2 + g); съ = 1 если передается «1» и съ = 0,95 если передается «0».
Генератор принимающей стороны так же построен на основе модели (5):
Ъ11 = а[(Х - их) + ки2 - ти3 ](2 - и3)- Ь(У - и2 )(2 - и3) + е(^(г)соБаи1 - и); й2 = с[(У - и2) + \их + пи3 ]и3 - Ж(X - и )и3 +е(^(г)соб аи2 - и2); и = С (еих - и + g) + е^(г)соБ Си3 - ^).
Таким образом, при съ = си = 0,95 в системе ожидается режим полной синхронизации. Значение параметра е принималось равным 2,5.
Результаты математического моделирования. На рис.1 и 2 представлен результат численного моделирования процесса передачи простой последовательности десяти бит 1, 0, ... при сформулированных выше условиях. На рис.2, а представлена разность s(г)соБСи1 -иь на б и в соответ-
ственно )со$>аи2 - и2 и )соб аи3 - и3.
Очевидно, что передаваемый сигнал отличается высоким качеством конфиденциальности, так как визуально невозможно отличить участки, соответствующие «0» или «1». С другой стороны, восстановленный сигнал позволяет однозначно детектировать информационную последовательность битов. При этом такая возможность появляется одновременно сразу по всем фазовым координатам принимающей стороны.
Рис. 1. Передаваемый сигнал в модели СПИ
1-г
-1--
2400
а
0 2200 2400
б
0 22С0 2+00
-2-
в
Рис. 2. Наличие режима полной хаотической синхронизации
в модели СПИ
209
Очевидно, что с практической точки зрения, в случае аппаратной реализации системы (5), такая ситуация значительно повышает надежность распознавания сигнала.
Заключение и выводы. Полученные в работе результаты свидетельствуют о возможности применения в качестве передаваемого сигнала модуля вектора, построенного на фазовых координатах (параметрах состояния) модели. При этом используется единственный канал связи. Данный подход был проверен в системе СПИ, построенной на модели Рессле-ра, и показал аналогичные результаты. Наличие в мультиаттракторной системе (5) неограниченного количества нерегулярных аттракторов различной топологии делает ее привлекательной для практической реализации системы СПИ на ее основе. Некоторые результаты использования мультиаттракторных систем в качестве прототипов для СПИ были получены в работах [12-15].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-08-01359).
Список литературы
1. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит. 2002. 252 с.
2. Короновский А. А., Москаленко О. И., Храмов А. Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // Успехи физических наук. 2009. Т. 179. № 12. С.1281-1310.
3. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: ЛЕНАНД, 2011. 320 с.
4. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С. В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. С. 159-175.
5. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Известия ТулГУ. Автомобильный транспорт. Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-13.
6. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Известия ТулГУ. Автомобильный транспорт. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-11.
7. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.1. Тула: Изд-во ТулГУ. 2007. С.105-110.
8. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.4. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С.158-167.
9. Агуреев И. Е., Атлас Е. Е., Пастухова Н. С. Хаотическая динамика в математических моделях транспортных систем // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 372-390.
10. Агуреев И.Е. Богма А.Е., Пышный В.А. Динамическая модель транспортной макросистемы // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 6. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С.139-145.
11. Агуреев И. Е., Гладышев А. В. Динамика производства и спроса в диссипативной модели логистической системы // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 6, Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С.152-160.
12. Использование мультиаттракторных систем для скрытой передачи и хранения информации / И.Е. Агуреев [и др] // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.6. Ч.2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С.337-345.
13. Агуреев И. Е., Агуреев К. И. Численный анализ процессов скрытой передачи информации на основе мультиаттракторной системы // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. № 10. С. 169-177.
14. Агуреев И. Е., Агуреев К. И., Пастухова Н. С. Закономерности каскадов бифуркаций сингулярных аттракторов в некоторых системах скрытой передачи информации // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. № 11. С.153-160.
15. Агуреев И. Е., Агуреев К. И., Гладышев А. В. Последовательности сингулярных аттракторов в некоторых автономных диссипативных мультиаттракторных системах // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. № 11. С.160-171.
Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой, agu-reev-igor@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE CHAOTIC SYNCHRONIZATION REGIMES IN THE DISSIPATIVE SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS DURING THE VECTOR SIGNAL PASSING
I. E. Agureev
The results of mathematical modeling of secure communication process based on autonomous nonlinear dissipative system of the author are considered. The method of control parameter modulation is used. The passed signal is forming as the module of vector built on the current values of the phase coordinates.
Key words: chaotic synchronization, secure communications, nonlinear dissipative system, non-regular attractor
Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, professor, manager of department, aguree v-igor'a, yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
