CC BY
31
УДК 550-8 Б.И. Прилоус
ИНГГ СО РАН, Новосибирск
ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВОЛН С АНОМАЛЬНО НИЗКИМИ СКОРОСТЯМИ В БЛОЧНЫХ СРЕДАХ
Отказ от гипотезы непрерывности среды приводит к новым уравнениям движения бесконечного порядка, причиной чему является неэквивалентность разностных и дифференциальных операторов. Построение сред со структурой приводит к появлению большого числа степеней свободы в описании репрезентативного элементарного объема среды с геометрическими характеристиками, очень важную роль среди которых, наряду с привычной пористостью, играют удельная поверхность среды и характерный размер микроструктуры. Следствием новых уравнений движения является возможность существования волн с предельно малыми скоростями, ничем не ограниченными снизу.
B.I. Prilous
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS (IPGG)
Acad. Koptyug av. 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
POSSIBILITY OF EXISTENCE OF WAVES WITH ANOMALOUSLY LOW SPEEDS IN BLOCK MEDIA
Rejection of the media continuum hypothesis brings to the new equations of infinite order, reason to what is the nonequivalence of the classical passage to the limit of differential operators into the difference operators at the examination of the block-structured medium. The construction of media with the structure order of its characteristic size leads to the appearance of new degrees of freedom in the description of the representative volume element of medium with the geometric descriptors, very important role among which, together with the porosity conventional in the customary description of porous bodies, plays specific surface area and its characteristic size.
Модель реальной геологической среды можно представить в виде множества некоторых структурных особенностей (гранул, трещин), находящихся на некотором среднем, характерном для рассматриваемой среды расстоянии друг от друга. Среда считается состоящей из матрицы (скелета), т.е. совокупности твердых частиц, связанных между собой, поры которого заполнены флюидом. Расстояние между характерными особенностями рассматриваемой среды с позиций интегральной геометрии тесно связано не только с пористостью, но и с очень важным для горных пород показателем -ее удельной поверхностью:
^010 = 4(1 - f) (1)
где f - пористость, а0 - удельная поверхность, l0 - характерный размер структуры.
Вывод формулы подробно изложен в [1]. Из нее следует, что, поскольку пористость - это безразмерный параметр, то для определенной удельной поверхности а0 рассматриваемого тела существует вполне определенный
средний (характерный) размер его структуры 10. Строгий континуальный классический подход деформирования среды предполагает с физической точки зрения существование некоторого репрезентативного элементарного объема, который принимается за математическую точку в уравнениях среды, т.е. любые физические свойства в некоторой точке принимаются за средние по объему некоторой сферы достаточно малого радиуса.
При этом математический формализм предельного перехода при осреднении поверхностных сил (среднее по объему = значению в точке) считается оправданным. Для сил инерции континуальный подход применим и к гетерогенным средам, поскольку они действуют на центр тяжести рассматриваемого объема. Однако внутренние напряжения в этом объеме создаются поверхностными силами, воздействующими на его поверхность. В классической механике сплошной среды учет внутренних напряжений в объеме осуществляется стягиванием элементарного объема в точку.
Рис. 1. Представительные объемы пористой гетерогенной среды
В блочной структурированной среде с ее характерным размером между ее структурными особенностями проведение подобной операции невозможно. Это иллюстрируется на рис. 1, где белые контуры (на рисунке -окружности) представительного объема пористой гетерогенной среды опираются на гомогенные элементы матрицы пористой породы, и физически ощутим характерный размер среды. Черный контур заштрихованного сеткой объема проходит по гетерогенным элементам, матрице и поровому
пространству, занятому флюидом (белый цвет в объеме рисунка). При этом, естественно, возникают тем более контрастные разрывы сплошности, чем контрастнее упругие свойства матрицы и флюида в пористом теле. Поэтому объемы справа являются физически представительными объектами, объем слева - нет.
Оператор переноса поля в центр выделенной сферы (структуры) радиуса 10 можно обобщить, согласно оригинальной идее академика В.П. Маслова [4] следующим образом:
.. 2л л
Р(О ,О ,О , /„) = Г Ге '»<Осоау+°уМпГ + О (2)
' ' ' 4лГ0 Г
В (2) ,Dy ,DZy - символические переменные, 10 - средний линейный размер структуры, определяемый удельной поверхностью пор и трещин, в соответствии с выражением (1). С помощью такого оператора мы ставим в соответствие реальному полю напряжений и деформаций некоторый
непрерывный образ последних, по отношению к которому
дифференциальные операции имеют обычный смысл. Его можно назвать оператором структурированной сплошности, благодаря действию которого можно применять основные законы сохранения к напряжениям, им сглаженным.
С использованием формулы Пуассона [2] можно показать, что
1 1 1
Р(Ох,Оу,Ог;/0) = - Г ехр(/0л/д • г)йг = | СИ(/0>/а • г)йг =
г- 2 " 0 (3)
= хи(^/1) = £+10а + -;АЛ |
/„>/а 3! 5! ”
Согласно гипотезе классического континуума характерный размер структуры сплошного тела 10 это размер физически малого репрезентативного объема среды (математической точки) и оператор Р превращается в единичный оператор Е. Для структурированного блочного тела 10 > 0 и это необходимо учитывать в уравнениях движения [3] д[ Р (°Л) ]
дхк
= и.
(4)
В одномерном случае они будут выглядеть как
-1 □ /п2 □□ 2
и(Е + -^ + -0----+ ...) + к2и = 0 (5)
3! 5! 5
где к3 = со/у есть волновое число, характерное для обычных продольных или поперечных волн. Решение этого уравнения в виде экспоненты и = Лв1кх дает для неизвестного волнового числа к или для неизвестной скорости распространения волн при заданной частоте дисперсионное уравнение
= 0 (6)
8т к/п к2
0 5
к/0 к
2
Уравнение (6) содержит бесчисленное множество как вещественных, так и комплексных корней. Классическое волновое движение имеет место при /0 ^ 0 , откуда к ^ к,, т. е. этот корень описывает поведение обычных ур или
л /г , sin kln
упругих волн. Малые, но при этом конечные значения l0 приводят к ------------------------0 < 1,
kt
О
что говорит о влиянии конечного представительного объема на уменьшение скорости волн, т.к. при этом ks < к . Еще одним вариантом решения
дисперсионного соотношения являются большие значения sin klQ, близкие к кратным числа п. В случае l0 > 0 из уравнения (6) при kl0=nn (n-целое), т. е. при sin klQ = о получаем очевидное следствие в виде бесконечно большого
волнового числа и соответственно в виде возможности существования волн с предельно малыми скоростями, ничем не ограниченными снизу. Наличие огромного варианта скоростей в гетерогенной среде физически объясняется бесконечным числом степеней свободы характерного объема среды.
При замене переменных z = klQ , s2 = kj0 получаем удобный для анализа вид дисперсионного соотношения
zsin (z) = s2 (7)
Для чисто вещественных корней уравнения, т. е. х sin х = (kj0 )2 решением будет пересечение графика х sin х с горизонтальной осью. При х sin х = о и l0 > о решение дает бесконечно малые волновые числа ks.
Рис. 2. Спектр вещественных корней дисперсионного уравнения
Уравнение (7) может быть удовлетворено также и при комплексных
значениях аргумента. Положив z=x+iy, получим два независимых уравнения
для вещественной и мнимой части уравнения
х sin х cosh y - y cos х sinh y = s2 (
(8)
y sin х cosh у + х cos х sinh у = О
Решение уравнения (8) для комплексных корней представлено на рис. 3.
* 0=0 О 0=0.1
Рис. 3. Комплексные корни и влияние дисперсии характерного размера l0
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сибиряков, Б.П. Динамика микронеоднородных геологических сред [Текст] Б.П. Сибиряков // Учебное пособие, НГУ, 2004.
2. Sibiriakov, B., Prilous B. The Unusual Small Wave Velocities in Structured Bodies and Instability of Pore or Cracked Media by Small Vibration.
3. Sibiriakov B.P., Prilous B.L//WSEAS TRANSACTIONS on APPLIED and
THEORETICAL MECHANICS , ISSN: 1991-8747, Issue 7, Volume 2, July 2007, P.139-144., / [Electronic resource]- Англ. - Режим доступа:
http://www.worldses.org/journals/mechanics/mechanics-july2007.htm
4. Sibiriakov, B. Supersonic and intersonic cracking in rock-like material under remote stresses [Текст] /Sibiriakov, B.P.//Theoretical and Applied Fracture Mechanics - 2002, Vol. 38. -No 3, P. 255-265.
5. Маслов В.П. Операторные методы. [Текст] Маслов В.П.// М.: Наука, 1973. - 544
с.
© Б.И. Прилоус, 2010
