CC BY
83
О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ПРЕДСТАВИТЕЛЬНОГО ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА В ТЕОРИЮ СТРУКТУРИРОВАННОГО КОНТИНУУМА
Борис Иванович Прилоус
Учреждение Российской академии наук Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 3, научный сотрудник лаборатории многоволновой сейсморазведки, тел. (383)3309002, e-mail [email protected]
Теория структурированного континуума, возникшая в рамках динамики микронеодно-родных геологических тел, при вполне адекватном уровне математического формализма обладает недостаточной обоснованностью некоторых фундаментальных положений, затрудняющей однозначную интерпретацию теоретических результатов. Вводится понятие представительного объемного элемента (RVE), который определяется в каждой макромасштабной материальной точке гетерогенной среды и имеет в каждой из них одинаковые репрезентативные физические свойства.
Ключевые слова: репрезентативный объемный элемент, контрастные геологические среды, структурированный континуум, характерный размер.
ABOUT INTRODUCTION OF CONCEPT OF THE REPRESENTATIVE VOLUME ELEMENT IN THE THEORY OF THE STRUCTURED CONTINUUM
Boris Iv. Prilous
A.A. Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 3, Akademika Koptyuga Prosp., researcher of laboratory of multiwave seismic survey, tel. (383)3309002, e-mail: [email protected]
The theory of the structured continuum which has arisen within the limits of dynamics of microinhomogeneous geological bodies at adequate enough level of a mathematical formalism, possesses the insufficient validity of some fundamental positions complicating unambiguous interpretation of the theoretical results. The concept of a representative volume element (RVE) that is determined in every macroscale material point of heterogeneous medium and has representative physical properties in each of them is entered.
Key words: representative volume element, contrast geological media, structured continuum, characteristic size.
Недостатки использования микромасштаба как единственного масштабного представления в теории структурированного континуума
Единственным масштабом, с которым оперирует нынешняя теория структурированного континуума, является микромасштаб, который для микронеод-нородных сред можно назвать масштабом гетерогенности или поровым масштабом. Для размера микроструктуры в теории приводятся следующие определения: “характерный размер структуры”, “средний размер структуры”, “линейный размер структуры” и даже “представительный размер структуры [1 -6]. Обозначается этот размер переменной I0 , определяемой как “среднее расстояние от поры до поры или от трещины до её ближайшей соседки” [4] со-
гласно интегрально-геометрической формуле, в которой <г0 - удельная поверхность изучаемой области тела, а / - ее пористость [1].
ст010 = 4(1 -/). (1)
В настоящей статье дается определение новому для теории структурированного континуума понятию, называемому представительным объемным элементом (RVE - representative volume element). Лейтмотивом для введения этого понятия в теорию послужил детальный критический анализ ряда работ [1 -6] с целью проверки фундаментальных положений теории на непротиворечивость доказательств и выводов.
В результате было обнаружено досадное искажение масштабного представления изучаемой среды как при выводе уравнений, так и при их решении и интерпретации полученных результатов.
Приведем принципиальный конкретный пример. Согласно теории, размер сферы, по которой должно проводиться осреднение поверхностных сил, определяется выражениями типа: “не всякий микрообъем микроструктуры является представительным” [3], или “для представительности любого объема структурированного тела необходимо, чтобы этот объем содержал некоторое минимальное количество микроструктур” [1].
Эти дефиниции, как и само понятие представительность объема при дальнейшем изложении просто забываются, а линейный размер сферы, которой, по только что процитированным соображениям, следовало бы быть представительной (т.е. окружать объем в несколько микроструктур), приобретает размер, равный размеру одной - единственной! микроструктуры. Это следует из формул для оператора переноса поля в центр сферы и уравнений движения [1-6], в которые явно входит переменная I0 из уравнения (1). О представительности этой сферы, как поверхности представительного объема, не может быть и речи.
Рассмотрим еще один показательный пример из работы [6], в которой для одномерного случая с применением оператора переноса поля из уравнения движения блочной среды выводится дисперсионное уравнение относительно неизвестного волнового числа и волнового числа для продольных (или поперечных) волн
sin (kL) к?
-ТГ1-ф=°- (2)
/V lg /V
Приведем комментарий к уравнению (2): “При заданной частоте неизвестное волновое число означает неизвестную скорость волн. Она, очевидно, зависит от размера структуры I0 или от удельной поверхности а0 образца, в соответствии с формулой (1)”. Однозначным выводом из процитированного является то, что осреднение ранее уже было проведено по сфере радиусом, равным именно размеру структуры , в результате чего и оказалось в дисперсионном уравнении (2 ). Однако сфера с таким радиусом включает в себя всего од-
ну микроструктуру, и следовательно, не имеет права позиционировать себя как поверхность представительного объема!
О том, насколько серьезен вопрос о правильном выборе размера представительного элемента среды и, соответственно, о радиусе осреднения, можно судить по рис. 1, на котором отображены резкие флуктуации большого размаха значений важного репрезентативного свойства микронеоднородной среды - ее пористости на интервалах порядка нескольких единиц объема микроструктуры
4* о
I о - то есть в именно в том диапазоне, где “характерный размер структуры”
Iо проявляет себя весьма значительно. Для объема с радиусом порядка размера именно одной микроструктуры амплитуда флуктуации физического свойства максимальна!
Пористость /
Л
Объем осреднения V (в ед.-л1%)
Рис. 1. Изменение репрезентативного физического свойства среды -пористости f в зависимости от объема осреднения V, адаптировано из [8]
Причиной изложенных выше логически противоречивых положений и выводов является использование в теории единственного масштаба - микромасштаба, а достойным выходом из сложившейся ситуации может стать введение более крупного масштаба, в котором можно определить объем, по настоящему представительный для изучаемой среды.
Таким масштабом станет мезомасштаб, органичным понятием которого является RVE - представительный объемный элемент. Внутри RVE распределение пор и трещин статистически значимо, а репрезентативное физическое свойство среды (в нашем примере - пористость) не испытывает больших флуктуаций при включении в этот RVE дополнительных пор или трещин (стабильно по величине).
Представительный объемный элемент (RVE) и оценки его размера 1Г для различных геологических сред
Возможно, первым в точные науки понятие представительного объема ввел знаменитый нидерландский физик Хендрик Антон Лоренц в своем классическом труде по теории электронов в 1909 г. [7]. Для микроскопически флуктуирующей скалярной (векторной) величины р он определяет ее среднее значение ф в какой-либо точке Р внутри тела посредством ф = 1 jpdS т.е. интегрированием по объему шара S и делает важный вывод о том, что для получения разумной макроскопической характеристики для р, радиус шара S должен быть не слишком мал, чтобы избавиться от неравномерностей в распределении , но и не слишком велик, чтобы состояние тела можно было считать одинаковым по всему шару (конкретно, радиус должен быть мал по сравнению с длиной волны). Правильно выбранный размер шара даст почти однозначное значение величины ф. Это иллюстрирует график рис. 1, отображающий поведение пористости /, (т.е. величины р по Лоренцу), которая вначале резко и с большим размахом осциллирует, а затем асимптотически приближается к почти постоянному своему значению, т.е. величине, характерной для RVE. При этом зависит от объема шара осреднения по Лоренцу, а у нас этот объем из-
^ о
меряется в единицах характерного объема одной микроструктуры -лIQ (объема шара радиусом ). Причиной таких резких флуктуаций вначале оси абсцисс графика является осреднение значений пористости именно в первых единицах радиуса микромасштаба .
Приведем информацию о минимальных размерах RVE. Согласно авторам монографии [9], по самым грубым оценкам, типичный размер для RVE лежит в интервале от 100 до 1000 диаметров зерна. В [10] утверждается, что в рамках континуальной механики деформируемого твердого тела могут быть даны другие величины, размером от 10 до 100 размеров неоднородности. В задачах моделирования потока грунтовых вод в песчаниках для RVE будет вполне достаточным размер от 10 до 20 диаметра зерна [11]. Интересные оценки для глинистых образований на севере Бельгии (the Boom Clay). приведены в [12]. В этих глинах микроскопические потоки воды и транспортные явления происходят в масштабе нескольких десятков микрометров, типичный размер зерен их глинистых частиц 30 мкм, и сама глина является однородным материалом. Диаметр RVE оценивается в диапазоне от 100 до 1000 диаметров зерна, что в геометрических размерах дает значения от 3 до 30 мм.
Понятие RVE подробно представлено визуально на рис. 2, где слева приведена иерархия масштабов гетерогенной среды, а справа отмечено характерное поведение значения конкретного репрезентативного физического свойства среды - пористости в двух диапазонах изменения радиуса г объема осреднения: в интервале Iо < г < Iг, в котором резкие вначале флуктуации на единицах микромасштабных расстояний спадают по мере приближения радиуса объема осреднения к радиусу представительного объемного элемента , и в интервале , где значение свойства постоянно и равно уже достигнутому при
г = / г значению.
Рис. 2. Слева представлена иерархия масштабов гетерогенной среды:
А - микромасштаб, В - мезомасштаб, С - макромасштаб. Справа отображена зависимость поведения величины пористости от размера радиуса шара осреднения. При увеличении радиуса шара г от I о (т.е. линейного размера микроструктуры) до /г (т.е. линейного размера ЯУБ) флуктуации пористости спадают от максимального (100%) значения к практически постоянному значению при
Выводы
Изложенные в статье результаты анализа переменной Iо показывают, что она должна находиться строго в пределах своей физической “юрисдикции” -микромасштабного представления в контексте интегрально-геометрической формулы (1), связывающей для некоторой области исследуемого микронеодно-родного тела значения его физических свойств - пористости и удельной поверхности с расстоянием между неоднородностями внутри нее, равным . Это расстояние имеет порядок линейного размера микроструктуры и поэтому, не являясь представительной величиной, не должно входить в уравнения движения.
Для полного соответствия концепции структурированного континуума следует в теорию вместо переменной на всех этапах постановок задач, выводе уравнений и анализе их решений вводить переменную мезомасштаба Iг, представляющую собой линейный размер ЯУБ - представительного (репрезентативного) объемного элемента.
Этот объемный элемент ЯУБ концептуально предназначен для объединения такого количества микромасштабных (размера ) неоднородностей горных пород в виде зерен или трещин, при котором репрезентативные физические свойства этого количества, например - пористость, будут вполне однозначно определены и значения этих свойств, измеренные для такого ЯУБ в любой точке исследуемого пространства микронеоднородного тела будут одинаковы.
Введение понятия (RVE) с его адекватной представительной сферой усреднения в ныне действующую теорию, у которой размер такой сферы является по меньшей мере недоопределенным, позволит избежать ошибок в постановках и решениях модельных задач. Следует также отметить, что появление уравнений движения с новой переменной будет означать не просто символьную замену микромасштабного размера на мезомасштабный , но и потребует решение ряда проблем по их взаимозависимостям.
Неизбежные при оснащении теории новым понятием (RVE) анализ, переосмысление и переинтерпретация уже полученных результатов сократят в будущих работах отмеченные в статье ошибки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сибиряков, Б.П. Динамика микронеоднородных геологических сред //Учебное пособие, НГУ, 2004, с. 163.
2. Sibiriakov B.P., Prilous B.I. The unusual Small Wave Velocities in Structural Bodies and Instability of pore or cracked Media by Small Vibration. WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics Issue 7, Volume 2, July 2007, ISSN 1991-8747, pp. 139-144.
3. Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И. Статика, динамика и хаос между ними в структурированных средах // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 1. - c. 102.
4. Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И. Геологический разлом как геодинамическая машина, производящая катастрофы различных масштабов // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № Спец. выпуск. - c. 37.
5. Sibiryakov B.P., Prilous B.I., Kopeykin A.V. The nature of instabilities in blocked media and seismological law of Gutenberg-Richter. WSEAS Transections on Applied and Theoretical Mechanics. Issue 2, Volume 6, April 2011, p. 71.
6. Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И., Копейкин A.B. Природа неустойчивости блочных сред и закон распределения неустойчивых состояний // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 3. -с. 14.
7. H.A. Lorentz, The Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat. Second Edition, Leipzig, B.G. Teubner, 1916. pp.133-134.
8. K. Vafai, Handbook of Porous Media, Taylor and Francis, New York, NY, USA, 2nd edition, 2005, p.89.
9. Advanced Petroleum Reservoir Simulation by M. Rafiqul Islam, S.H. Moussavizadegan,
S. Mustafiz and I.H. Abou-Kassem Copyright © 20I0 Scrivener Publishing LLC, p.42.
10. Du, X. and Ostoja-Starzewski, M. (2006b), On the scaling_from statistical to representative volume element in thermoelasticity of random materials, Networks and heterogeneous media, 1(2) , p. 260.
11. Dissertation: Characterization of Microstructure and Internal Displacement Field of Sand Using X-ray Computed Tomography, 2006, Washington State University, Pullman, WA,
http://www.dissertations.wsu.edu/Dissertations/Fall2006/M_Razavi_121206.pdf
12. Marivoet J. [edit.], Jacques D., Van Geet M., Bastiaens W., Wemaere I. - Considerations on Upscaling of Hydraulic and Transport Parameters for a Plastic Clay Formation.- Mol, Belgium: SCK*CEN, 2009. - (External Report of the Belgian Nuclear Research Centre; ER-102; EC project FP6-516514).- ISSN 1782-2335, p.5.
© Б.И. Прилоус, 2013
