CC BY
5
ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Абидов К.Г.1, Рахматуллаев А.И.2
1Абидов Кудрат Гайратович - доктор технических наук, профессор; 2Рахматуллаев Анвар Исматович - старший преподаватель, кафедра электротехники, Ташкентский государственный технический университет им. Ислама Каримова, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье анализируются электрическая цепь подключенная к несинусоидальному источнику энергии. В реальных потребителях электрической энергии из-за наличия параметрических элементов искажается форма кривых напряжения и тока Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Для расчета таких схем применяются графические, графо-аналитические и аналитические методы. В качестве аналитического решения применен метод полиномиальной аппроксимации для численного интегрирования функции, так как любая непрерывная функция может быть аппроксимирована с любой точностью внутри любого закрытого интервала с помощью полинома достаточно высокой степени. Описывается классическая теорема Веерштрасса об аппроксимации. Показаны графические изображения геометрической интерпретации многошагового метода и общий вид многошаговой формулы численного интегрирования порядка «к». Введения термина численного интегрирования связано с тем, что методы этого типа аналогичны методам, используемым для численного интегрирования функций. Порядок метода численного интегрирования относится к максимальной степени полиномиального решения, в котором формула дает точное значение для x(tn+i) при отсутствии ошибки округления. Представлена электрическая схема и формулы численного интегрирования второго порядка, который является двухшаговой формулой.
Ключевые слова: несинусоидальная функция, аналитический расчет, непрерывная функция, аппроксимация функции, полином второй степени, метод Тейлора, метод неопределенных коэффициентов
THE POSSIBILITY OF APPLYING THE POLYNOMIAL APPROXIMATION METHOD TO THE SOLUTION OF PROBLEMS IN THE RESEARCH OF PERIODIC NON-SINUSOIDAL FUNCTIONS Abidov K.G.1, Rakhmatullaev A.I.2
1Abidov Kudrat Gairatovich - Doctor of Technical Sciences, Professor; 2Rakhmatullaev Anvar Ismatovich - Senior Lecturer, DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING, TASHKENT STATE TECHNICAL UNIVERSITY NAMED AFTER ISLAM KARIMOV, TASHKENT, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this paper presents an electrical circuit connected to a non-sinusoidal power source. In real consumers of electrical energy, due to the presence ofparametric elements, the shape of the voltage and current curves distort the shapes of these function curves at the receivers, resulting in additional energy losses and a reduction in their efficiency. Graphical, graph-analytical and analytical methods are used to calculate such schemes. A polynomial approximation method for numerical integration of the function is applied as an analytical solution, since any continuous function can be approximated with any precision within any closed interval by a polynomial of sufficiently high degree. We describe the classical Weerstrass theorem for approximation. Graphical representations of the geometrical interpretation of the multistep method and a general view of the multistep formula for numerical integration of order "k" are shown. The term numerical integration is introduced because methods of this type are similar to those used for numerical integration of functions. The order of a numerical integration method refers to the maximum degree of polynomial solution in which the formula gives the exact value for x(tn+i) in the absence of rounding error.
Keywords: non-sinusoidal function, analytical calculation, continuous function, function approximation, second-degree polynomial, Taylor method, uncertain coefficient method.
УДК 621.3.018
Наличие нелинейных элементов, содержащихся в источниках питания и потребителях электрической энергии, является причиной появления периодических несинусоидальных Э.Д.С, напряжений и токов в электрических цепях. Периодические несинусоидальные токи способны оказывать неблагоприятное воздействия на работу измерительной аппаратуры, создавать добавочные потери в электрических машинах и аппаратах, в следствии чего возникает дополнительный нагрев и соответствующие снижение их КПД, появляется мешающие воздействия на линии связи.
При аналитическом расчете несинусоидальных функций существует несколько методов. К ним можно отнести такие методы как, метод Тейлора, который является одношаговым; метод численного интегрирования получившего названия многошагового; метод Адамса -Башфорта третьего порядка т.е. метод неопределенных коэффициентов. В данной работе рассмотрен метод трапеций который является двух шаговой формулой. Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Причиной искажения формы кривых токов и напряжений в сложной электрической цепи может быть наличие в электрической цепи параметрических элементов, параметры которых изменяются во времени
[ДД,С = АО]
г
Рис.1. Сложная электрическая цепь подключенной к несинусоидальному источнику напряжения
Рис.2. Форма кривой несинусоидального источника напряжения.
Расчета параметров таких несинусоидальных величин можно условно разделить на три этапа.
1) Гармонический анализ т.е. разложения несинусоидальной функции в ряд Фурье.
2) Аналитический расчет
3) Синтез решения
При аналитическом расчете можно воспользоваться численным решением полиномиальной аппроксимации, который позволяет вычислит значения основных параметров данной электрической цепи. Любая непрерывная функция может быть аппроксимирована с любой точностью внутри любого закрытого интервала с помощью полинома достаточно высокой степени. Полином степени к:
х(ь) = а0 + а1Ь + а2Ь2+... +акЬк
а0,а1,а2,. ,ак — константы
Полином второй степени:
х(Ь) = а0 + а1Ь + а2Ь2
Предположим, что точное решение задачи Коши или х=/{х, I), х(10)—х0дается полиномом степени к:
х(^=а0 + а1Ь + а2 + Ь2... +акЬк, (1)
где а0, а1, а2,..., ак являются константами.
Предположим также, что дано точное значение хШ его первой производной х'(()при (= = ЬП,
^п-1,^п-2, . . . рп-р, т. ЪХ^п), Х^п-О,..., %(Рп-р) и х1(рп),х ,(Рп-1),- ■ ■
. . X (рп-1р).
Основной задачой представленныйперед нами является получение таких численных методов, которые позволяют точно вычислить значение :х(1п+1) == х(Ьп+К). Например, если к= 1в уравнении (1), то явный метод Эйлера, позволяет это сделать. В общем, любой метод, дающий возможность вычислить точное значение х@„+1), в задаче Коши, имеющей точное решение в форме полинома &-й степени, называют формулой численного интегрирования порядка к.
Термин «численное интегрирование» введен потому, что методы этого типа аналогичны методам, используемым для численного интегрирования функций. Порядок метода численного интегрирования относится к максимальной степени полиномиального решения, в котором формула дает точное значение для х((„+,) при отсутствии ошибки округления.
Конечно, в том случае, когда точное решение не является полиномиальным, формула численного интегрирования дает только приближенное значение хп+1и не дает точного значения х^+^.Однако с учетом классической теоремы Веерштрасса об аппроксимации , которая утверждает, что любая непрерывная функция может быть аппроксимирована с любой точностью внутри любого закрытого интервала с помощью полинома достаточно высокой степени, ясно, что даже если решение не является полиномом, формула численного интегрирования достаточно высокого порядка может быть использована для вычисления :х(1п+1)с любой желаемой точностью. На практике, однако, число вычислений и ошибка округления увеличивается с ростом порядка формулы интегрирования и практически приемлемыми являются значения к<10.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация многошагового метода.
В отличие от метода Тейлора, в большинстве формул численного интегрирования для вычисления хп+1 используется информация от пре дыдущих шагов. Это иллюстрируется заштрихованной областью под кривой х(£)на рис. для случая р=9. Поэтому-метод численного интегрирования при р> 1 называют многошаговым в отличие от метода Тейлора, который является одношаговым. Общий вид многошаговой формулы численного интегрирования имеет следующую форму:
хп+1 = а0хп + а1хп-1 + ■+архп-р + К[Ъ-^(хп+1, £п+1) +
+Ы(хп, О + ■+Ьр/(хп-р,£п-р')\ = Т,=оа1хп-1 + Ъ?=-1Ь1Кхп-1.*п-1). (2)
где а0,а1,...,ар,Ъ-1иЪ0,Ъ1,...,Ърявляются 2р + 3 коэффициентами, которые должны быть определены так, что если точное решение является полиномом и если предварительно вычисленные значения хп,хп-1, ...,хп-рихп,хп-1, ...,хп-рпредполагаются точными, то уравнение (2) дает точное значение хп+1. Чтобы показать, как найти эти коэффициенты, получим формулу численного интегрирования порядка к=2. Следовательно, уравнение (1) упрощается до полинома второй степени:
х(Ь) = а0 + а^ + а2Ь2 (3)
Подставив 1= Ьп+1 = Ьп + Кв уравнение (3), получим:
х^п+г) = ао + а&п + Ю + а2^п + К)2 = (ао + а^п + а212п) + +К(а1 + 2а2Ьп + а2К) = хс(Ьп) + К(а1 + 2а2Ьп + а2К)(4) Предположим, что выбран простейший случай, для которого р—Ь в уравнении (3):
хп+1 = а0хп + К[Ъ-1/(хп+1, £п+1) + Ъof(хп,tп)] (5)
Нашей задачей является нахождение таких коэффициентов ао,Ъ-1, Ъ0 чтобы при х(Ьп) = хпвыполнялось условие х(1п+1) = хп+1. Эти коэффициенты могут быть найдены следующим методом неопределенных коэффициентов. Из уравнения (3) имеем:
/(хп+1, £п+1) — х ^п+1) = а1 + 2а2^п+1' (6)
f(хп, О — хчо = а1 + 2а2Ьп. (7)
Подставив уравнения (6) и (7) в (5), получим хп+1 = а0хп + К{Ъ-1[а1 + 2а2 (^п + + Ъ0(а1 + 2а2^п)} = а0хп + К[а1(Ъ-1 + Ъ0) + 2а2^(Ъ-1 + Ъ0) +
а2К(2Ъ-1)] (8)
Сравнивая уравнения. (4) и (8) и учитывая, что х(Ьп) = хпихс(1п+1) = хп+1получим следующие ограничения:
ао = 1; (9)
Ъ-1 + Ъ0 = 1; (10)
2Ъ-1 = 1; (11)
Заметим, что имеются три независимых уравнения для трех неизвестных, а поэтому коэффициенты могут быть определены единственным образом, т. е.а0 = 1, Ъ-1 = 1/2, иЪ0 = 1/2, Следовательно, уравнение(5) примет вид:
хп+1 = хп + ^[/(хп+1, tп+1)+f(хп, £п)\ (12)
Эта формула численного интегрирования второго порядка обычно называется методом трапеций, поскольку второй член может быть интерпретирован как область, ограниченная трапецией. Метод трапеций является двух шаговой формулой, поскольку необходимы значения х@)в два момента времени Ьпи Ьп+1. Заметим, что уравнение (12) определяет хп+1 только неявно, поскольку неизвестное хп+1
находится в обеих частях уравнения. Такие методы называют неявными в отличие от метода Тейлора, который является явным.
Изложенный метод неопределенных коэффициентов может быть использован для получения формул численного интегрирования порядка k> 2. В этом случае из уравнения (2) необходимо выбрать больше членов, чтобы получить такое же число независимых ограничивающих уравнений, как и неизвестных. Результирующий метод оказывается, таким образом, многошаговой (многоточечной) формулой. Если Ь-1=0; то получаем явную (открытого типа) формулу. ЕслиЬ-х Ф 0, то имеем неявную (закрытого типа) формулу. Неявные методы известны также как методы закрытого типа или итеративные методы; явные методы известны также как методы открытого типа или методы прогноза.
Результирующий метод оказывается, таким образом, многошаговой (многоточечной) формулой. Если Ь-1=0; то получаем явную (открытого типа) формулу. ЕслиЬ-х Ф 0, то имеем неявную (закрытого типа) формулу.
Изложенный метод неопределенных коэффициентов может быть использован для получения формул численного интегрирования. В этом случае из полученного уравнения необходимо выбрать больше членов, чтобы получить такое же число независимых ограничивающих уравнений, как и неизвестных. Применяя численное решение полиномиальной аппроксимации можно вычислить значения основных параметров несинусоидальных функции.
Список литературы/References
1. Л.О. Чуа, Пен-Мин-Лин. Машинный анализ электронных схем. Пер. с англ., М.: Энергия,1980г.
2. Влах И., Сингхал И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: Пер. с англ., М.: Радио и связь,1988г.
3. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Учебник для вузов. Том 1. «Питер» Россия 2003.-463с.
4. John Bird. "Electrical and Electronic Principles and Technology" LONDON AND NEWYORK, 2014.-455с.
5. Abidov K.G.; Rakhmatullaev A.I. Possibility of application of a reciprocity principle atconversions of currents and voltages on the nonlinear four-poles. // TSTU. 2019 №1.80-84 p.
