Полиномиальная аппроксимация неоднородных дифференциальных уравнений для моделирования электронных устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК621.396.6.049.77:681.3.06 ЧьеЕн Ун,

д. т. н., профессор, заведующий кафедрой автоматики и системотехники, Тихоокеанский государственный университет, тел. (4212) 37-51-91, e-mail: [email protected]

Шеин Александр Борисович,

к. т. н., доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет,

тел. (83540) 2-23-44, e-mail [email protected]

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ

E. U. Chye, A. B. Shein

POLYNOMIAL APPROXIMATION OF INHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS

FOR ELECTRONIC DEVICES MODELING

Аннотация. Одной из форм описания переходных процессов в электронных устройствах являются неоднородные дифференциальные уравнения. Такие уравнения также широко используются в теории управления для описания процессов во временной области и определения передаточных функций, что позволяет проводить исследования и в частотной области. Поэтому разработка простых, быстрых, надежных и эффективных методов их решения остается актуальной задачей. Описывается метод решения неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с использованием полиномиальной аппроксимации. Достоинство метода заключается в том, что он аналогичен аналитическим методам решения уравнений, так как аппроксимация может выполняться на достаточно больших временных интервалах и временной шаг может задаваться достаточно большим. Приводится демонстрация метода на примере решения неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка. Предложенный метод отличается простотой, наглядностью и удобством для реализации на ЭВМ.

Ключевые слова: неоднородное дифференциальное уравнение, метод решения, полиномиальная аппроксимация, электронное устройство.

Abstract. One of electronic devices transient processes description forms are inhomogeneous differential equations. Such equations also are widely used in the control theory for description of processes in a temporary realm and determination of transmission functions, that allows to conduct researches in a frequency area. Therefore, development of simple, rapid, reliable and effective methods of their decision remains an actual problem. The method of decision of inhomogeneous differential equations of n-th order is described with the use of polinomial approximation. Dignity of method is that a method is analogical to the analytical methods of decision of equations, because approximation can be executed on great enough temporal intervals and a temporal step can be set great enough. The method is demonstrated on the example of solution of inhomogeneous differential equation of the third order. The offered method is notable for its simplicity, evidentness and PC realization convenience.

Keywords: inhomogeneous differential equation, solution method, polynomial approximation, electronic device.

Введение

Одной из форм описания переходных процессов, связанных с коммутациями цепей нагрузки или совместно работающих блоков электронных устройств, являются неоднородные дифференциальные уравнения. Поэтому разработка простых и эффективных методов их решения остается актуальной задачей. Решение неоднородных дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в электронных устройствах, достаточно просто можно найти, выполнив их полиномиальную аппроксимацию.

Постановка задачи

Для процесса приближения характерно, что приближающая функция совпадает с реальной функцией в опорных точках. Если шаг дискретизации реальной кривой задан так, что совпадает с величиной интервала между опорными точками, тогда аппроксимация кривой в этих точках выполняется точно [1-3].

Решение задачи

Используем принцип приближения для поиска решения неоднородного дифференциального уравнения первого порядка:

A ^JT + A) x(t ) = g (), dt

(1)

где х() - переменная состояния устройства во времени, g ({) - функция, учитывающая входное (внешнее) воздействие на объект (может быть любой), А0 и А1 - коэффициенты, определяемые структурой и параметрами компонентов устройства.

Выполним аппроксимацию траектории движения переменной состояния х((), заданной

уравнением члена [2]

(1), с помощью линейного много-

c(t ) = a0 + a1t,

(2)

где a) =

t1x0

to xi

x Xr,

a =-

^ tn

t1 t0

т. е. рассмотрим

случай, когда две соседние опорные точки х и х1 для моментов времени 10 и ^ соединяются друг с другом прямой линией. При этом величина интервала времени 11 -10 может быть любой, но должна соответствовать шагу дискретизации к аппроксимируемой кривой. Координаты

Информатика, вычислительная техника и управление

A

+ A

t — t '1 'О

t1X0 t0 X1 'l — 'о

+

X1 x0 t1 t0

Л

t

Так как неизвестная переменная состояния х(£) определена для момента времени £0 , то требуется найти ее значение для момента времени £ = . Для этого применительно к уравнению (4) выполним следующую цепь преобразований:

1) a

xq t j xq t0 X|

'i 'о

■+Ao-

11 'о

+A

t1 t0

t =

'1 'o

[4 + A ('1— 'o )]x1— Xo = g ('1);

'1 'o

2)

'1 'o

[A1 + Ao (t1 —'o )]x1 =

Л

'1 'o

-X +

g ('1),

Ш

опорной точки х0 на фазовой плоскости (х0£) должны быть полностью определены, так как они являются начальными условиями для решения дифференциального уравнения (1).

Неизвестными в уравнении (1) являются переменная состояния х(£) и скорость изменения переменной состояния ёх( )/ й£. Полагая, что изменение переменной состояния х(£) линейно зависит от времени и описывается уравнением (2), можно найти скорость изменения переменной состояния х(£). Дифференцируя уравнение (2), находим

йх(£ )/ й£ = а1. (3)

Подставляя равенства (2) и (3) в неоднородное дифференциальное уравнение (1), получаем уравнение А1а1 + А0 (а0 + а1£) = g(), в котором коэффициенты а0 и а выражены через координаты опорных точек согласно равенствам (2). Следовательно, можно записать следующее уравнение:

= g ('). (4)

х1 = А + ^ _х )[А1хо+(£1 -£0к(£1)]. (5)

Организуем вычислительный алгоритм, положив в уравнении (5) £0 = кк, = (к + 1)к ; х0 = кк и х1 = х((к + 1)к), где к = 0,1,2,..., т. е. выполним жесткое объединение решений в узлах образованной временной сетки, что позволяет записать формулу решения неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

х((к + 1)к) = —[Ахх(кк) + кg((k + 1)к)], (6)

А1 + .^А)к

где к - шаг сетки решения (временной шаг), который может быть переменным.

Распространим изложенный выше метод на случаи полиномиальной аппроксимации траекторий движения переменных состояния электронных устройств, описываемых неоднородными дифференциальными уравнениями второго, третьего и, в общем случае, «-го порядков, так как аппроксимация функций [2, 3], позволяет делать это без ограничения на порядок неоднородных дифференциальных уравнений.

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

A^ + лМ + Ao x(t ) = g(t).

(7)

йг2 йг

Требуется выполнить аппроксимацию траектории движения переменной состояния х(г), описываемую этим неоднородным уравнением, с помощью квадратичного многочлена [2]

х(г) = а0 + ахг + а2г2, (8)

где

£1£2 (£2 — £1 )х0 + £0£2 (£0 — £2 )х1 + г0£1 (£1 — £0 )х2 .

a = -

a =

t22 (t1 —to )+ t2 (to —12 )+ to2 (t2 — t1 )

(t1 — '2 )xo + (t2 — 'o )X1 + (to — '1 )x:

t2 (t1 —to )+ t2 (to — t2 ) + to2 (t2 — t1)

(t2 — '1 )x0 + (t0 — '2 )x1 + (t1 — 'o )x2

(9)

£22(£1 —£0)+г2(£0 —£2) + £02(£2 — ^) '

Возьмем первую производную от полиномиальной функции (8)

йх(£) _ й£

Вторая производная от временной функции х(), определяемой выражением (8), или производная от производной этой функции (10) имеет вид

■ = a1 + 2a2t.

(10)

^ = 2а2. dt2 2

(11)

Подставляя выражение функции (8,9) и ее производных (10,11) в неоднородное дифференциальное уравнение (7), получим

[2(A + Axt) + A'2 ]fh +(A + A')a1 + Aao = g(t) (12)

Преобразуем коэффициенты a0, a1 и a2, входящие в уравнение (12) и имеющие развернутую форму записи в виде равенств (8), с помощью следующих подстановок:

t0 = kh , t1 = (k + 1)h, t2 = (k + 2)h ;

x0 = x(kh), x = x((k + 1)h) и x2 = x((k + 2)h), k = 0,1, 2, .... В результате получим a0 = [(k + 1)(k + 2)x(kh) — 2k (k + 2)x((k + 1)h) + + k (k + 1)x((k + 2)h)]/2,

x1 xo

1

1

а1 = [-(2к + Ъ)х(кк) + 4(к + 1)х((к + 1)к) --(2к + 1)х((к + 2)к)]/2к,

х(кк) - 2х((к + 1)к)+х((к + 2)к)

(13)

а =

2к

(14)

Подставляя выражения коэффициентов (13) в уравнение (12), записанное относительно момента времени £ = £2 = (к + 2)к , находим х((к + 2)к):

х((к + 2)к) = [4(А2 + А1к)х((к + 1)к)-(2 А2 + А1к)х(кк)+ 2к2 g ((к + 2)к)] / 2(а2 + 2 А1 к+А0 к2)

В результате получена двухшаговая формула решения уравнения (7), которая для своего разгона требует информацию о переменной состояния х(') на первом шаге решения, т. е. значение х(к) должно быть заранее определено. Для этой цели пригоден любой точный метод решения уравнения (7).

Аналогично может быть получена формула решения неоднородного дифференциального уравнения

где

ао =

— £ £ £ '0'2'3

+ ' 0 £1' 3

£0 £1' 2

- £

+ £ - £

+

{'1'2 '3 ['32 ('2 - '1 ) + '22 £ - '3 ) + '1 ('3 - '2 -'з (' 2 - ' 0 ) + ' 2 (' 0 - £3 ) + £0 ('3 - ' 2 )]х1 +

' 3 ('1 - ' 0 ) + '1 (' 0 - '3 ) + £02 (' 3 - '1 )к -'2 ('1 - '0) + '1 ('0 - £2) + '02 ('2 - '1 )]х} /¿е1 Т; Т = [^('2 -'1)+ ('1 -'3)+ '1('3 -)]-

'3 ('2 - '1 )+ '3 ('1 - '3 )+ '3 ('3 - )] +

£3 (Ч - '1)+ '3 ('1 - '3 )+ '1 ('3 - )]-

'2 (г2 - '1 )+ ^ £ - '3 )+ £ -

1 _ = {-['33 ('2 - '1 ) + '3 ('12 - '3 ) + '1 ('3 - '22 Ж +

£3 ('2 - '0| ) + '2 о - '3 )+ '0 3 - '2 )'

£3 ('12 - '02) + '1 (' 02 - £32) + ' 03 ('3 - ' 12)} ' 2 (' 12 - £ 02) + '3 ('02 - £ 22) + £3 (' 2 - £ 12)}

+

+

х2 +

x3}/det Т;

_ = {['3 ('2 - '1 ) + £2 ('1 - £3) + '3 ('3 - £2 )к -

'3 (£ 2 - £ 0) + £3 (£ 0 - £3) + £0 (£ 3 - £ 2 )]х +

'3 ('1 - £ 0) + £3 (£ 0 - £3) + £03 (£3 - £1 )к -

£ 2 (£1 - £0) + '3 (£ 0 - £ 2) + '0 (£ 2 - £1 )]*3}/ det Т;

_ = {-['3 (£2 - £1) + £2 (£1 - £3) + £ 1 (£3 - £2 )К +

£3 (' 2 - £ 0) + £ 3 (' 0 - £3) + £ 0 ('3 - £ 2 )]ха -'3 ('1 - '0 ) + '1 ('0 - £3 ) + '02 ('3 - '1 )К +

+ ['2 ('1 - £0) + '3 ('0 - £ 2) + £ 0 (' 2 - £1 )Ь } det Т.

+

Дифференцируя уравнение (16) трижды, находим

dx(£)

Л'

„ 2 d2 х(') „ ■ = а; + 2а2£ + 3а2£ , —ту^ = 2а2 + 6а3£,

d£2

d3 х(£) ,

-1 = 6а3.

Л'3 3

(17)

(18)

А3 ^ + А2 ^ + А! ^ + А0 х(' ) = g ('), (15)

Л' Л'2 а£

если в качестве приближающей функции взять кубический многочлен [3]

х(') = а0 + ах£ + а2£2 + а3£3, (16)

Подставляя равенства (16) и (17) в неоднородное дифференциальное уравнение (15), получим

6А3^ + А2 (2а2 + 6^£)+А (а + 2^' + 3а3£2 )-+ А0 (а0 + а1£ + а 2 £2 + а3£3 )= g (').

Преобразуем коэффициенты а0, а1, а2 и а, входящие в уравнение (18), используя их

развернутую форму записи (16) и следующие подстановки:

£0 = кк , £1 = (к + 1)к, £2 = (к + 2)к , £3 = (к + 3)к;

х0 = х(кк), х = х((к + 1)к), х2 = х((к + 2)к),

х3 = х((к + 3)к), к = 0,1,2,.... В результате получим а = [2(к + 1)(к + 2)(к + 3)к6 • х(кк) -

- 6к(к + 2)(к + 3)к6 • х((к + 1)к) + + 6к(к + 1)(к + 3)к6 • х((к + 2)к) -

- 2к(к + 1)(к + 2)к6 • х((к + 3)к)] / 12к6

+

+

■ —

+

а = [-(6к2 + 24к + и)к5 • х(кк) (18к2 + 60к + 36)к5 • х((к + 1)к) (18к 2 + 48к + 18)к5 • х((к + 2)к) + (6к2 + 12к + 4)к5 • х((к + 3)к)]/12кб, а, = [(6к + И)к 4 • х (кк)--(18к + 30)к4 • х((к + 1)к) + + (18к + 24)к 4 • х((к + 2)к)-- (6к + 6)к4 • х((к + 3)к) ] / 12к6, а = [-2к3 х(кк) + 6к3 х((к + 1)к)-- 6к3 х((к + 2)к) + 2к3 х((к + 3)к)] / 12к6.

Подставляя коэффициенты (19) в уравнение (18), находим х((к + 3)к):

(19)

Результат решения неоднородного дифференциального уравнения по формуле (20) совпадает с результатом решения этого уравнения по аналитическому методу, рассмотренному в работе [4]. Следовательно, метод работает верно.

Заключение

Реализация метода применительно к неоднородным дифференциальным уравнениям порядка выше первого всегда приводит к многошаговым формулам решения уравнений, и это является недостатком метода. Достоинство метода заключается в том, что он аналогичен аналитическим методам решения уравнений, так как аппроксимация может выполняться на достаточно больших временных интервалах и временной шаг может задаваться достаточно большим. В целом метод нагляден, прост и удобен в реализации на ЭВМ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шеин А.Б. Методы проектирования электронных устройств. М. : Инфра-инженерия. 2011. 456 с.

2. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Интерполирование функций для задач моделирования электронных устройств. Ч. I // Информатика и системы управления. 2014. № 2(40). С. 33-38.

3. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Интерполирование функций для задач моделирования электронных устройств. Ч. II // Информатика и системы управления. 2014. № 3(41). С. 39-46.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М. : Машиностроение, 1978. 736 с.

УДК 621.314 Мельник Альбина Аполлинарьевна,

аспирант кафедры автоматизации производственных процессов, Иркутский национальный исследовательский технический университет, e-mail: [email protected]

Медунова Екатерина Алексеевна, кафедра автоматизации производственных процессов, Иркутский национальный исследовательский технический университет, e-mail: [email protected]

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПАКЕТА SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX МАТРИЧНОЙ ЛАБОРАТОРИИ MATLAB+SIMULINK

A. A. Melnik, A. E. Medunova

MODEL BUILDING USING THE SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX PACKAGE OF THE MATLAB+SIMULINK MATRIX LABORATORY

Аннотация. В статье рассматривается описание матричной лаборатории MATLAB + Simulink, включая описание пакетов прикладных программ и набора инструментов. Предложена и разработана методика моделирования линейных динамических объектов, содержащих случайную составляющую. Для обработки данных, к исходным рядам по расходу топлива и давлению пара на выходе котла применяется пакет System Identification Toolbox. Параметрическое оценивание экспериментальных данных проводится с целью определения параметров модели заданной структуры путем минимизации выбранного критерия качества модели. Вне зависимости от статических и динамических свойств объекта построение модели проводится в стационарном режиме работы.

В результате применения пакета System Identification Toolbox к исходным рядам данных определена математическая модель в дискретной форме по каналу «расход топлива - давление пара», которая в дальнейшем может быть использована для исследования и моделирования объекта.

х((к + 3)к) = [(18А + 30А2к +18Ахк2 )х ■ ■((к + 2)к)—

— (18 А + 24 Ак + 9 Ак2 )х((к + 1)к) +

; 3 2 !\ ; ч (20)

+ (6А + 6Ак + 2Ак )х(кк) + + 6к3 g ((к + 3)к)] /(6 А +12 Ак + + 11 Ак2 + 6 Ак3).

Пример

Пусть требуется решить неоднородное дифференциальное уравнение

А3 ^ + А2 ^ +... + М (£) = g (£)=^), й£3 й£2

где А3 = 1; А2 = 20; А1 = 1,01 -108; А0 = 1,01 -109;

В0 = 1010, у(£)= 102 с шагом к = 10—5с .

Для решения уравнения используем формулу (20) при следующих начальных значениях переменной состояния ц (£): 11 (0) = 0 А, А (к) = 10 А, 11 (2к) = 19,999 А.

Согласно формуле (20) при к = 0 имеем 11 (3к) = 29,898851.

Для дальнейших расчетов, начиная с к = 1, используем формулу

А ((к + 3)к) = [18,1878ц ((к + 2)к) —

—18,0957ц ((к +1) к) + +6,0214ц (кк) + 6 ■ 10—3] / 6,113506. и при к = 1 имеем ц (4к ) = 39,603857 и т. д.