CC BY
20
Информатика, вычислительная техника и управление
ш
автоматических регуляторов возбуждения // Системы. Методы. Технологии. 2010. № 4 (8). С. 106-113.
30. Булатов Ю.Н., Игнатьев И.В. Моделирование гидротурбин и автоматических регуляторов частоты и активной мощности в среде MATLAB // Системы. Методы. Технологии. 2009. № 4. С. 67-70.
31. World Wind Resource Assessment Report 2014 [Electronic resource] // World Wind Energy Association : [site]. URL: http: // www.wwindea.org/wwea-publishes-world-wind-resource-assessment-report/. (Access date: 12.02.2015).
32. Piao Haiguo Simulation Research of Fuzzy-PID Synthesis Yaw Vector Control System of Wind Turbine / Piao Haiguo, Wang Zhixin // Manuscript received June 27, 2007. Р. 469-476.
33. Jahmeerbacus I. Fuzzy Control of a Variable-speed wind Power Generating System / Jahmeerbacus I., Bhurtun C.: Energize. August 2008. P. 41-45.
34. Jianzhong Z. Pitch Angle Control for Variable Speed Wind Turbines / Jianzhong Zhang, Ming Cheng, Zhe Chen, Xiaofan Fu: DRPT2008, 6-9 April, 2008.
35. Evgenije Adzic et al. Maximum Power Search in Wind Turbine Based on Fuzzy Logic Control / Evgenije
Adzic, Zoran Ivanovic, Milan Adzic, Vladimir Katic //Acta Polytechnica Hungarica. 2009. Vol. 6. No. 1. Р. 131-149.
36. Kung Chris Wu et al. Evaluation of classical and fuzzy logic controllers for wind turbine yaw control / Kung Chris Wu, Rony K. Joseph, Nagendra K. Thupili // Mechanical and Industrial Engineering Department The University of Texas at El Paso, El Paso, TX 799680521, IEEE, March 11, 2009. Р. 254-258.
37. Булатов Ю.Н., Крюков A.B., Чан Зюй Хынг Нечеткие регуляторы для ветрогенерирующих установок // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2014. № 7-8. С. 60-69.
38. Леоненков A.B. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб. БХВ Петербург, 2003. 736 с.
УДК 517.949.8 Чье Ен Ун,
д. т. н., профессор, заведующий кафедрой автоматики и системотехники, Тихоокеанский государственный университет, тел. (4212) 37-51-91, e-mail: chye@ais.khstu.ru
Шеин Александр Борисович,
к. т. н., доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет,
тел. (83540) 2-23-44, e-mail: shabishzl@yandex.ru
МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ
E. U. Chye, A. B. Shein
METHOD OF SOLVING INHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATION FOR ELECTRONIC DEVICES MODELING
Аннотация. При решении задач анализа динамических процессов в электронных и электротехнических устройствах используют как нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка, так и неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Поэтому разработка простых, быстрых, надежных и эффективных методов их решения остается актуальной задачей. В данной статье описывается метод решения неоднородных дифференциальных уравнений и-го порядка, который отличается общностью подхода и может быть применен при любых значениях показателей степеней левой и правой частей. При использовании метода не нужно специально брать производные от функции входного воздействия, что значительно упрощает решение задачи, так как эта операция часто бывает затруднительной из-за сложной функциональной зависимости входного воздействия на объект от времени. Предложенный метод отличается простотой, наглядностью и удобством для реализации на ЭВМ.
Ключевые слова: неоднородное дифференциальное уравнение, метод решения, моделирование, электронное устройство.
Abstract. Solving dynamic processes in electronic and electrical engineering devices analysis problems both normal systems of differential equations of first-order and heterogeneous differential equations of nth order are used. Therefore, development of simple, rapid, reliable and effective methods of their decision remains an actual problem. The article describes a method for solving inhomoge-neous differential equations of nth order which is characterized by a community approach and can be applied for any values of the exponents of the left and right sides. The method does not demand to take intentionally derivatives of the input action which greatly simplifies the solution of the problem, because this is often difficult due to the complex functional dependence of the input influence on the object of the time. The proposed method is characterized by simplicity, clarity and easiness of implementation on a computer.
Keywords: inhomogeneous differential equation, solution method, modeling, electronic device.
Введение
При схемотехническом моделировании электронных устройств (ЭУ) наилучшим образом зарекомендовали себя математические модели
в виде нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и неоднородных дифференциальных уравнений п-го порядка для переменных состояния ЭУ. Для полу-
чения математической модели ЭУ в виде нормальной системы ОДУ в теории схемотехнического проектирования был разработан специальный метод переменных состояния, который в настоящее время получил широкое распространение как в России, так и за рубежом. При решении уравнений состояния могут быть использованы различные методы [1-7]. Но не меньший интерес представляет и вторая классическая форма описания динамических процессов, протекающих при работе ЭУ, записанная в виде неоднородного уравнения п-го порядка. Модель позволяет использовать для решения задач проектирования ЭУ самые различные эквивалентные формы описания динамических свойств устройства, например передаточную функцию или импульсную переходную (весовую) функцию, являющуюся обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции. При приведении неоднородного дифференциального уравнения к любой из этих эквивалентных форм описания можно использовать все методы исследования динамики ЭУ, составляющие теорию автоматического управления и регулирования, что существенно расширит спектр задач моделирования ЭУ, так как методы этой теории пока еще не нашли должного применения при проектировании ЭУ. Поэтому разработка простых, наглядных, эффективных с точки зрения использования ЭВМ методов решения неоднородных дифференциальных уравнений является актуальной задачей. Для приведения систем дифференциальных уравнений первого порядка к неоднородным дифференциальным уравнениям п-го порядка могут быть использованы методы, рассмотренные в работах [2, 8].
Постановка задачи
Как отмечено выше, одной из форм описания переходных процессов, возникающих в электронных устройствах при изменении режимов их работы или изменении состояния, в котором находится устройство, на другое под действием каких-либо внешних факторов, включая изменение входного воздействия на устройство, является неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка [9]
(
d
а__--h a
dt
d
n -1
d
A
i a л +... + a--h an
n ^n n -1 ^n -1 1 dt 0
dtn
(
b
m
m -1
- + b
d
:{t ) =
Л
-i ь ,-r +... + b, — + bn
m мш m -1 Mm -1 1 dt 0
<t), (1)
dtm i dtm
\ /
где x(t) - переменная состояния устройства во времени, v(t) - входное воздействие на объект, заданное в виде какой-либо функции времени,
ап, а, , ■■■, а 1, а и Ьп, К, Ь~,..., Ь 1, Ь -О 1 2 п — 1 п О 1 2 т — 1 т
коэффициенты, определяемые структурой и параметрами компонентов устройства (обычно это комбинация постоянных времени или коэффициентов демпфирования отдельных цепей в схемах замещения реального устройства) и видом входного воздействия на объект.
Требуется найти решение этого неоднородного уравнения наиболее простым методом.
Решение задачи
Решение неоднородного дифференциального уравнения (1) наиболее просто находится из его линейной формы представления, которую можно получить заменой производных, содержащихся в уравнении, их конечно-разностными отношениями [1, 2]:
dx(t ) xiik + 1)h) - xiik + 0)h)
dt
(2)
d_Ml я £ i-1)
n!
xiik + n - r)h).
dtn r = 0 in - r)r!h Для входного воздействия vit ) имеем: dv(t) _ viik + 1)h) - viik + 0)h)
dt h dmvit) s m i-
dtm r = 0 im - r).r\hm
viik + m - r)h), (3)
где h - шаг дискретности переходного процесса,
равный интервалу между моментами времени
t. , =(k + 1)h и t. = kh : t. ,-1. = h , i и i +1 v ' i i +1 i
k = 0,1, 2,....
Так как все производные от xit ) и v(t ) выражены через конечно-разностные отношения (2) и (3), то подстановка их в неоднородное дифференциальное уравнение (1) позволяет представить его в следующем виде:
n\
n (- r
r = 0 (n - r)r\hf
-x((k + n - r )h)
+
+ a л £ n -1 n r = 0
-1 (- if_
(n -1 - r).r\k x x((k + n -1 - r)h) +
n-1
- 2 i- 1Г
(n - 2)
+ an - 2 £ (п - 2 - r)r\hn - 2
r = 0x x((k + n - 2 - r)h) +
h
a
n
X
j
x
Информатика, вычислительная техника и управление
1
+а I (-1) V = о
1!
т
— Ь I (-1) т
(1 - г)!г\к ((к + 0) Л ) —
т!
х ((к +1 - г) к )-
+Ь
г — 0 (т -т -1
1 I- (-1)
т - г)! г
т
у((к + т - г)к)
+
(т -1)
т -.
+Ь
г — 0 (т -1 - г)!г !к ху ((к + т -1 - г) к) +
г
т -1
т - 2
I (-1)
(т - 2)!
т - 2
г — 0
(т - 2 - г)!г!к
т - 2
XV
((к + т - 2 - г )к)
+
2
+ ь2 I (- 1)г
г — 0
+Ь I (-1)г
2!
(2 - г)!г!к2 1!
у((к + 2 - г )к)+
г — 0
V((к +1 - г)к) +
(4)
(1 - г)!г!к +Ь^ ((к + 0) к).
Раскрывая уравнение (4) и группируя получившиеся слагаемые, содержащие х((к + п - г)к) и у((к + т - г)к) при г — 0,1, 2, 3,..., п -1, п, получаем равенство, из которого можно выразить искомую переменную состояния х((к + п)к) посредством ее значений и значений функции входного воздействия на всех шагах к сетки решения. Опуская достаточно громоздкие математические выкладки, сразу запишем формулу для нахождения значений переменной состояния х((к + п)к): х((к + п)к) —
п г
— - I I (-1)
г — 1V — 0
г -V
(п-V)!
п -V
(п - г)!(гап хкхх((к + п - г) к) +
+ Ь-Жк(п - т) т г -V (т
т г
I I (-1)
г — 0v — 0
(т - г) (г - V)
Ь
т -V V
Ь
кvv((k + т - г )к)
(5)
т
ш
х(0) — х00), ^ — х01), й 2х(0) _ ,.(2) йп - 2х(0) — х(п - 2)
Л
2 — х0
йг
п-2
- 1х(0) х(п -1)
йг
п -1
0
При решении уравнения (1) по формуле (5) необходимо выполнить перерасчет этих начальных условий. Например, в соответствии с первым из конечно-разностных отношений (2), записанным для к — 0 , имеем равенство
йх(0) (1)= х((0+1)к)-х00) йг х° к '
из которого находим
х((0 + 1)к) — х(0) + х(1)к.
Продолжив процесс определения начальных условий, необходимых для реализации формулы (5), получим:
* *
(6)
х((0+*)к)—х0 * — 1, 2,..., п-1.
Формула (6) используется также и для нахождения значений функции входного воздействия у((0 + ))к) в формуле (5):
)
у((0 + ))к) — I
Как правило, для решения неоднородного дифференциального уравнения (1) задаются начальные значения как самой переменной состояния, так и ее производных до (п -1) -го порядка включительно:
г10()-г)!г! 0
) — 1,2,..., т. (7)
При этом не нужно специально брать производные от функции входного воздействия, что значительно упрощает решение задачи, так как эта операция часто бывает затруднительной из-за сложной функциональной зависимости входного воздействия на объект от времени.
Решение уравнения (1) по формуле (5) дает жесткое объединение частей траектории движения переменной состояния х(г) — х ((к + п)к) в дискретные моменты времени г. — (к + п - г)к на сетке решения этого уравнения и позволяет получать устойчивые и точные схемы расчета переходных процессов в электротехнических и электронных устройствах при правильно выбранном временном шаге к .
Верхнюю границу диапазона для выбора шага сетки решения к можно найти, используя следующее равенство:
х
х
а
х
X
а
п
х
n r
Z Z(-1)
r = 1v = 0
Г — ^ (п"V /п — V V = О. (8) (п — г ]!(г — V]! ап кр
Если раскрыть двойной ряд приведенного уравнения, то можно получить формулу для определения критического значения шага н , превы-
кр
шение которого приводит к численной неустойчивости вычислительного процесса по формуле (5):
1
h = кр
X
V a0 у
(9)
Формула (5) пригодна и для решения уравнения (1) в случае устройств с переменными по времени параметрами, так как каждый параметр того или иного компонента схемы принимает присущее ему конкретное значение для рассматриваемого момента времени развития процесса, и для этого момента времени исходное уравнение (1) решается по формуле (5) с постоянными коэффициентами. Иными словами, функция изменения параметров компонентов схемы устройства определяется для рассматриваемого момента времени предварительно, т. е. решение уравнения (1) по формуле (5) выполняется с фиксированными для этого момента времени значениями коэффициентов.
Из формулы (5) видно, что она справедлива для любых значений п и т . Это в корне меняет сложившееся представление о всегда присутствующем ограничении для выполнения равенства (1) в виде условия п > т, т. е. можно рассчитывать переходные процессы даже в гипотетических объектах, когда т > п.
Проверка точности предложенного метода производилась на примере расчета переходных процессов в схеме параллельного инвертора [2, 9, 10], описываемого неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка. Результаты расчета переходного процесса совпадают с высокой точностью с результатами расчета по аналитическому методу решения неоднородных уравнений, изложенному в работе [8]. Расчет велся с шестью знаками после запятой.
Заключение
1. Метод является логически завершенным, так как для него выполнен выбор начальных условий для решения исходного уравнения.
2. Метод является достаточно общим, так как справедлив для любых значений п и т, что в корне меняет сложившееся представление о всегда присутствующем ограничении п > т для из-
вестных методов решения неоднородного дифференциального уравнения.
3. При использовании предложенного метода отпадает необходимость специально брать производные от функции входного воздействия, что значительно упрощает решение задачи, так как эта операция часто бывает затруднительной из-за сложной функциональной зависимости входного воздействия на объект от времени.
4. Предложенный метод прост, нагляден и удобен для реализации на ЭВМ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шеин А.Б. Решение уравнений состояний электрических и электронных цепей по ряду Тейлора // Изв. вузов. Электромеханика. 1998. № 2-3. С.79-80.
2. Шеин А.Б., Лазарева Н.М. Методы проектирования электронных устройств. М. : Инфра-Инженерия, 2011. 456 с.
3. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Метод решения уравнений состояния электронных устройств // Проектирование и технология электронных средств. 2012. №1. С.19-25.
4. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решение уравнений состояния в задачах схемотехнического моделирования при произвольных воздействиях // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре гос. техн. ун-та. 2012. № 4. С.45-51.
5. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решение уравнений переменных состояния электронных устройств на основе обнуления невязки // Проектирование и технология электронных средств. 2014. № 1. C. 17-20.
6. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решение уравнений переменных состояния электрических цепей на основе свойства ортогональности базисных функций // Информатика и системы управления. 2014. № 4 (42). C. 112-117.
7. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решение уравнений переменных состояния электронных устройств на основе интегрального метода наименьших квадратов // Проектирование и технология электронных средств. 2014. № 3. C. 14-17.
8. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Приведение систем дифференциальных уравнений первого порядка к неоднородным дифференциальным уравнениям в задачах проектирования электронных устройств // Проектирование и технология электронных средств. 2014. № 4. C.12-16.
9. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М. : Машиностроение, 1978. 736 с.
10. Чиженко И.М., Руденко В.С., Сенько В.И. Основы преобразовательной техники. М. : Высшая школа, 1974. 430 с.
a
n
n
