CC BY
8
ш
I
11| ll IIII ■■ ■■
%
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 п
Рис. 9. Гармонический состав токов нагрузки и источника Ь$ (п - порядок гармоники)
Из его анализа следует, что при одинаковой величине основных гармоник тока (п = 1) 20 А
гармонический состав тока ц резко отличается от
тока ^. По сравнению с ^ в спектре тока практически отсутствуют высшие гармонические составляющие тока, связанные с мощностью искажения.
Таким образом, благодаря предложенному алгоритму активной фильтрации достигается практически полная компенсация реактивной мощности тока нагрузки. За счет синфазности напряжения источника щ и тока происходит компенсация реактивной мощности на основной
частоте 50 Гц, компенсация мощности искажения достигается путем компенсации высших гармонических составляющих тока нагрузки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Akagi H., Kanazawa Y. Nabae A. Instantaneous Reactive Power Compensators Comprising Switching Devices Without Energy Storage Components. IKKK Transaction on Industry Applications, vol. IA-20, 1984. № 3. РР. 625-630.
2. Salmeron P., Litran Salvador P. A Control Strategy for Hybrid Power Filter to Compensate Four-Wires Three-Phase Sustems/ I KKK Transaction on Power Electronics, Vol. 25, No. 7, pp.1923-1931, July 2010.
3. Milanes-Montero M.I. , Romero-Cadaval E , Rico de Marcos A. Novel Method for Synchronization to Disturbed Three-Phase and Single-Phase Systems. Industrial Klectronics, 2007. ISffi 2007. IKKK International Symposium on Date 4-7 June 2007. РР.860-865.
4. Усольцев А.А. Частотное управление асинхронным двигателем. СПб. : Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та информ. технологий, механики и оптики, 2006. 94 с.
5. Кулинич Ю.М. Адаптивная система автоматического управления гибридного компенсатора реактивной мощности электровоза с плавным регулированием напряжения. Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2001. 153 с.
УДК 621.396.6.049.77: 681.3.06 Чье Ен Ун,
д. т. н., профессор, заведующий кафедрой автоматики и системотехники, Тихоокеанский государственный университет, тел. (4212) 37-51-91, e-mail: chye@ais.khstu.ru
ШеинАлександр Борисович, к. т. н., доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет, тел. (83540) 2-23-44
АЛГОРИТМЫ УСКОРЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ
ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ
E. U. Chye, A. B. Shein
ALGORITHMS OF THE ACCELERATED MODELLING OF THE STATIC MODES
OF ELECTRONIC DEVICES
Аннотация. При моделировании статических режимов сложных электронных устройств на основе решения дифференциальных уравнений производится длительное их интегрирование известными численными методами до установления в модели периодически повторяющихся решений. При медленно затухающих переходных процессах это приводит к увеличению времени моделирования. В статье рассматриваются алгоритмы ускоренного расчета установившихся режимов электротехнических устройств, описываемых дифференциальными уравнениями с периодически изменяющимися коэффициентами. Первый алгоритм базируется на решении уравнения состояния с предварительно определенными значениями вектора начального состояния, переводящего решение в область установившихся значений. Второй алгоритм базируется на определении вектора начальных условий для формул точного решения уравнений состояния, переводящего решение в область установившихся значений, путем использования для этого самих формул точного решения.
Ключевые слова: электронное устройство, статический режим, уравнение состояния, алгоритмы ускоренного расчета.
Abstract. When modeling the static modes of difficult electronic devices on the basis of the solution of the differential equations their long integration by known numerical methods before establishment in model of periodically repeating decisions is made. At slowly fading transition processes it leads to increase in time of modeling. In the article algorithms of the accelerated calculation of the set modes of the electrotechnical devices described by the differential equations with periodically changing coefficients are considered. The first algorithm is based on the solution of the equation of a state with previously defined values of a vector of the initial state transferring
the decision to area of the established values. The second algorithm is based on definition of a vector of entry conditions for formulas of the exact solution of the equations of the state transferring the decision to area of the established values by use for this purpose of formulas of the exact decision.
Keywords: electronic device, static mode, state equation, algorithms of the accelerated calculation.
Введение
При расчете энергетических характеристик электротехнических устройств, большинство из которых являются устройствами периодического действия, часто интерес представляет лишь определение статических характеристик устройства.
Использование обычных численных методов требует интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих работу устройства в переходных режимах, на протяжении длительного интервала времени, достаточного для затухания переходных процессов, возникающих при работе устройства. Этот способ используется, если переходные процессы затухают быстро. Однако в незначительно демпфируемых объектах, например в преобразователях частоты, питающих индукционные нагреватели, характеризующихся невысокой добротностью, переходные процессы затухают медленно, и интегрирование систем дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы в устройствах, с помощью ЭВМ требует больших затрат машинного времени. В этом случае необходимо иметь математический аппарат, позволяющий производить исследование установившегося режима работы устройства более эффективно и экономно [1-3].
Постановка задачи
Рассмотрим методы ускоренного расчета установившегося режима работы электротехнических устройств периодического действия, полагая, что решение векторно-матричного уравнения состояния электронного устройства
x(t) = A(t)x(t) + B(t)v(t), x(0) = x0, (1) где A(t )- непрерывная периодическая с периодом T структурно-параметрическая матрица устройства размера n х n : A(t + T) = A(t) ;
B(t ) - матрица связи входных и выходных параметров устройства размера n х m : B(t + T ) = B(t ) ; v(t ) - вектор входных воздействий на устройство размера m х 1, который в общем случае является периодической функцией времени периода T,
может быть выражено через переходную матрицу 0(t, t0 ) в следующей форме записи:
t
x(t) = 0(t, t0 )x(t0 ) + J 0(t,r)b(t)dT .
to
Очевидно, что переходный процесс в устройстве определяется переходной функцией
), осуществляющей преобразование, которое переводит начальное состояние х^0) устройства в некоторое состояние х(?) для момента времени t. При этом если решение уравнений состояния устройства с периодическими коэффициентами известно на каком-либо временном интервале
t + Т], равном периоду, тогда оно может быть найдено для всех других значений t. Если решение известно для некоторого момента времени t, то оно может быть определено и для других моментов времени, разделенных с моментом времени t интервалом, кратным периоду T. Различные методы решения уравнений состояния (1) описаны в работах [1-6].
Решение задачи
Алгоритм 1. Как показано выше, решение матричного уравнения (1) может быть выражено через переходную матрицу Ф^). Очевидно, что решение х() в любой момент времени t однозначно зависит от вектора начального состояния х0. Требуется найти такой вектор х0 = х(о), который при выполнении условия периодичности процессов, протекающих в устройстве, х(о) = х(Т) сразу позволяет найти установившийся режим его работы.
Условие периодичности с периодом T дает равенство
т
x(T ) = Ф(Т )x0 + J Ф(Т - т)в(тУ(т)с1т
= x,
0 :
0
из которого нетрудно получить уравнение для определения значений вектора х
X = |E-<
[E - Ф(Т)]-J Ф(Т - тЩтЦт^т . (2)
Для вычисления определенного интеграла, входящего в уравнение (19), можно воспользоваться формулой парабол (формула Симпсона) [7]. При этом интервал времени [о, Т ] разбивается на 2/ интервалов точками tj (у = 0,1, 2,..., 21):
0 = ^ < ^ < t2 <... < < t2^ = Т .
Подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Ньютона второй степени на каждом временном интервале 2, 1, ], и вычисляется приближенное значение интеграла на каждом участке длины 2к , где к = Т/(2/). Тогда значение интеграла на отрезке
0
ш
времени [о, Т ] определяется как сумма значений к\ = кл(^ + к)ф(^) + к2 Л2 (^ + к)Л(^. + к / 2фг) +
интегралов этих участков:
|ф(Т - т)5(т)у(т)^т =
Т
= Т <Ф(Т ^(о)+ф(о)^(Т )У(Т)+
+ 4[ф(Т - к)в(к)у(к) + Ф(Т - 3к)в(3к)у(к) +..
... + Ф(Т - (2/ - 1)к)Б((2/ - 1)к)у((2/ - 1)к)] + + 2[ф(Т - 2к)й(2к)у(2к) + ф(Т - 4к)й(4к)у(4к) +. .+1
...+ ф(Т - (2/ - 2)к)в((2/ - 2)к)у((2/ - 2)к)]}. (3) ^) = Е +1 |к[л(^)
+ 4 Л(^ + к / 2) + Л(^ + к)] +
+ у Л^ + к)Л2 (^ + к/2ф.) +
7 4
+ ТЛ(^. + к)Л2 (^ + к /2)л(^. )ф(^.).
Формула Рунге - Кутты (4) может быть представлена в более удобном для выполнения расчетов виде
) = ф,), (5)
где
1
6
Погрешность вычисления значения определенного интеграла по формуле (3) мала и оценивается величиной [7]
*(/ ) = -
Т5
I(4 >(0,
18о(2/)4
где е [о, Т], I^) - подынтегральная функция времени. Применительно к данному случаю погрешность вычисления значения определенного интеграла может быть найдена по формуле
)=-£ Гй).
Значения ф(^ ) можно определить численным методом Рунге - Кутты четвертого порядка с точностью до величины о(к4), так как если сопоставить порядки остаточных членов квадратичной формулы Симпсона и формулы Рунге - Кутты четвертого порядка, то можно сделать вывод, что вычислительное правило Рунге - Кутты имеет такую же точность вычислений, что и формула Симпсона, и не снижает точность определения значений вектора хо. Для рассматриваемого случая формула Рунге - Кутты имеет вид
ф(^+1 )-ф(^- ) =1 (К + 2К2 + 2К 3 + К 4), (4) 6
где К = кЛ^ );
к2
К'2 = Л» + к / 2)ф(^) + -у Л(^. + к / 2)Л(^ )ф(^.);
т2
КЗ = кЛ(^ + к/2ф..) + уЛ2 (^ + к/2)ф(^.) + + ^ Л2 (^ + к/2)Л(^. );
+—Л(^ + к)Л2 (^ + к / 2)Л(^.)}.
(6)
+ к2 [ Л(^ + к/2)Л(^) + Л2 (^ + к/2) +
13
+ Л(^ + кЛ, + к/2) + — [ Л2(^ + к/2)Л(^.) +
+ Л(^ + к)Л2 (^ + к /2) ] +
к4 4
Учитывая, что ф^0 ) = ф(о) = Е, по формулам (5) и (6) можно вычислить все матрицы ф(^) и, в частности, ф(Т). После этого по формуле (3) находится значение определенного интеграла, а затем по формуле (2) находятся значения вектора начального состояния х , переводящего решение уравнения состояния устройства (1) в область установившихся значений. Для расчета установившегося режима работы устройства при найденных начальных условиях могут быть использованы формулы решения системы дифференциальных уравнений (1), полученные выше, или интегрирование этой системы каким-либо численным методом.
Предложенный метод позволяет без потери точности рассчитать установившийся режим работы электронного устройства путем решения уравнения состояния (1) с предварительно определенными значениями вектора начального состояния, переводящего решение в область установившихся значений. При этом затраты машинного времени на расчет установившегося режима работы устройства минимальны.
Алгоритм 2. Сущность алгоритма заключается в определении вектора начальных условий для формул точного решения уравнений состояния, переводящего решение в область установившихся значений, путем использования для этого самих формул точного решения [1].
Пусть в качестве исходной задана формула численного решения уравнений состояния для
Т
о
случая замены функции vit) непрерывной кусочно-постоянной функцией:
xiik + \)h) = Fxikh)+F0Bhv(kh),
где F = eAh ; F0 = (eAh - E )(Ah)r1.
Выполним решение уравнения состояния по этой формуле, присваивая k значения 0,1, 2,..., n и выражая каждый раз решение через вектор начальных условий x(o): к = 0, x(h) = Fx(o)+FBhvioO) ; к = 1, x(2h) = F2x(o) + FF0Bhv(o) + F0Bhv(h) ; к = 2, x(3h) = F3x(0) + F2F0Bhv(0) + + FF0Bhv(0) + F0Bhv(2h) ; к = 3, x(4h) = F4x(0) + F3F0Bhv(0)
+
F2 F0Bhv(h) + FF0Bhv(2h) + F0Bhv(3h) ;
+
x((n + l)h ) = F"+1 x(q)+ F"F0Bhv(o)
к = n
+
+ F"-1 F0Bhv(h) + F"'2 F0Bhv(2h) +...
--"—"=0
x(F ) = F"+1x(0)+F"F0Bhv(Q) + F"—1F0BhV(h)
+
+ Fn-2F0Bhv(2h) ■+... + ^ВН^Т - Н). Так как х(Т)= х(о), то имеем векторно-матричное уравнение
х(о) = Fn+1 х(о) + FnF0Bhv (о) + Fn-1 ^ЕНу (н) +
+ Fn-2F0Bhv(2Н) + • • • + ^ВИУ(Т - Н), из которого следует, что
х(о) = Е - Fn+1 )-1 х
х [рп^ВНу(о) + Fn-1 ^ВНУ(Н) +... + ^ВИУ(Т - Н)}
Т
(7)
где
h =
где F = еАН; ^ = [еАН(АИ - Е)+е]аЪ) '2 ; ^ = [еАН -(Е + АН)](АН)-2,
тогда, присваивая k значение 0, 1, 2, ..., п, последовательно находим
к = о, х(Н) = Fx(0) + G0Bhv(о)+GBhv(h) ;
к = 1, х(2Н)= F2х(о)+ FG0Bhv(0)+
(FG1 + ^ )ВНУН) + GBhv(2h);
к = 2 , х(3Н) = F3х(о)+F2G0ВИу(о)+
+ F ^ + G )ВНу(Н) + (FG1 + G )ВНу(2Н) +
+ GBhv(3h);
к = 3, х(4Н) = F4х(о) + F3G0ВНф) +
F 2 (FG1 + G0 ) Bhv(h) + F(FG + G )Bhv(2h) (FG + G )Bhv(3h) + GBhv(4h) ;
x((n + 1)h) = F"+1 x(o) + F"GBhv (o) +
к = n
F"—1 (FG + G )Bhv (h)
+
... + Fn-n=0 ^ВНУупИ). Процесс решения останавливаем при (п + 1)Н = Т, где T - период установившегося режима работы устройства, т. е. при значении
Т 1.
п =--1:
Н
+ F"—2 (FG + G )Bhv (2h)
+
да
n + 1
Количество точек n или временной шаг h задается пользователем.
При постоянном входном воздействии v(t )= const = v(o) формула (7) принимает вид
х(0) = (f - Fn+1 j-1 (Fn + Fn-1 +... + E F0Bhv(o) (8)
Если за исходную принять формулу численного решения уравнений состояния для случая замены v(t) кусочно-линейной функцией, т. е. формулу
x((k + 1)h) = Fx(kh) + GBhv(kh)+GBhv((k + 1)h),
+ Fn-3 (FG + G )Bhv (3h) +... + + (FG + G )Bhv(nh)+GBhV((n + 1)h). Так как (n + 1)h = T, то имеем уравнение ви-
x(T) = Fn+! x(o) + FnG0Bhv (o) + + Fn-1 (FG + G )Bhv (h) +
+ Fn-2 (FG1 + G0 )Bhv (2h) +...
... + (FG + G)Bhv(T - h) + GBhv(T), из которого, используя условие периодичности x(T) = x(o), находим x(o) = (E - F"+l )-1 [ FnGBhv(0) + + Fn-1(FG + G )Bhv(h) + Fn-2 (FG + G )Bhv(2h)+... (9) ... + (FG + G )Bhv(T - h) + GBhv(T)].
Выражение FG + G можно упростить, выполнив следующую цепь преобразований:
FG + Go = F02. Тогда формула (9) может быть записана в следующем виде:
x(o) = (e - Fn+l )-1 [ FnG0Bhv{0)+
+ Fn-1F02 Bhv(h)+Fn-2 F2 Bhv(2h)+... (10)
... + F2 Bhv(T - h )+GBhv(T)] Если входное воздействие
v(t) = const = v(o), то формула (10) принимает вид
ш
х(о) = (е-)-1[ Е"О0 +( И"-1 + И"-2 +... (и) ... + Е + ^ ]Вку(о)
Алгоритм ускоренного расчета установившегося режима работы электронных устройств периодического действия на основе формул точного решения уравнений состояния выгодно отличается от остальных своей наглядностью и простотой реализации.
Заключение
Расчеты установившегося режима работы статического преобразователя частоты, работающего на индукционный нагреватель, показали полную адекватность результатов. При этом погрешность определяется методом решения уравнения (1), используемым для получения информации с (" +1) или одного периода переходного процесса в исследуемых устройствах. Затраты машинного времени на расчет минимальны, так как для выхода на установившийся режим с использованием разработанных программ требуется информация о переходном состоянии устройства не более чем с (" +1) периода.
Таким образом, предложены алгоритмы ускоренного расчета установившихся режимов сложных электронных устройств, описываемых дифференциальными уравнениями с периодически изменяющимися коэффициентами. Предложенные
алгоритмы удобны для численной реализации на ЭВМ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шеин А.Б., Лазарева Н.М. Методы проектирования электронных устройств. М. : Инфра-инженерия,
2011. 456 с.
2. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные. М. : Энергия. 1980. 640 с.
3. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М. : Высшая школа. 1998. 335 с.
4. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Метод решения уравнений состояния электронных устройств // Проектирование и технология электронных средств.
2012. № 1. С. 19-25.
5. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решение уравнений состояния в задачах схемотехнического моделирования при произвольных воздействиях // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре гос. техн. ун-та. 2012. № 4. С. 45-51.
6. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решения уравнений переменных состояния электронных устройств на основе обнуления невязки // Проектирование и технология электронных средств. 2014. № 1. С. 1720.
7. Крылов В.И. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. М. : Наука. 1976. 304 с.
УДК 621.315.612.2; 621.315.624.61 Куценко Сергей Михайлович,
к. т. н., доцент кафедры «Автоматика, телемеханика и связь», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (3952)638-338, e-mail: kucenko_s@irgups.ru
Федоров Марк Эдуардович, аспирант кафедры «Автоматика, телемеханика и связь», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. +79526210109, e-mail: metalgear@inbox.ru
МЕТОДЫ ДИСТАНЦИОННОЙ ДИАГНОСТИКИ ВЫСОКОВОЛЬТНОЙ ИЗОЛЯЦИИ
КОНТАКТНОЙ СЕТИ
S. M. Kutsenko, M. E. Fedorov
METHODS OF REMOTE DIAGNOSIS OF HIGH VOLTAGE INSULATION
OF OVERHEAD SYSTEM
Аннотация. Рассмотрены актуальность, методы и средства диагностики изоляции контактной сети на железной дороге. Выполнен обзор применяемых для этого приборов, принцип их действия и особенности использования. Рассмотрены основные формулы для расчета мощности излучения частичных разрядов. Рассмотрены основные способы диагностики высоковольтной изоляции методом регистрации частичных разрядов. Несовершенство способов диагностики высоковольтной изоляции ведет к увеличению числа отказов, влечет за собой нарушение графика движения поездов и задержку перевозки грузов и пассажиров на железной дороге. Представлены блок-схемы некоторых приборов. Этим обусловлена актуальность данной проблемы. Проанализированы основные способы определения наличия в изоляции частичных разрядов с помощью неразру-шающих бесконтактных методов. Выдвинуты предложения по улучшению качества диагностирования неисправных изоляторов контактной сети.
Ключевые слова: высоковольтная изоляция, железнодорожный транспорт, частичный разряд, диагностика: акустическая, электромагнитная, оптическая; контроль: неразрушающий, дистанционный; диагностические приборы.
Abstract. Relevance, methods and diagnostic devices of isolation of a catenary system on the railroad were considered. The review of devices applied for this purpose, the principle of their action and features of use were executed. The basic formula for the calculation of the radiation power of partial discharges was made. The main ways of diagnostics of partial discharge were considered. Imperfection of ways of diagnostics of high-voltage isolation conducts to increase of number of refusals, involves violation of the train schedule and a delay of transportation of goods and passengers to the railroad. It caused relevance of a problem. The main ways of definition
