Аналитическое и численное исследование нелинейной динамики одной финансовой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.415:004.942

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ОДНОЙ ФИНАНСОВОЙ СИСТЕМЫ

А.Ю. Зинченко

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», аспирант, arrttem@yandex.ru

Введение. Основной задачей исследования нелинейных динамических систем разной природы, которые, как правило, не имеют точных аналитических решений, есть задача выявления областей хаотических, регулярных и установившихся режимов, а также закономерности перехода от одного режима к другому [1]. При этом сложность такого исследования обусловливается экспоненциальной чувствительностью к малым возмущениям, делающим невозможным предсказание состояний на временах, превышающих некоторый временной масштаб, логарифмически зависящий от неточности задания начальных условий. Результатом такого поведения системы есть то, что она, как кажется на первый взгляд, характеризуется нерегулярной хаотической динамикой своих переменных во времени, но при этом сама динамика хаотического режима системы полностью детерминирована, и в ней можно установить ряд закономерностей и свойств, которые отличают ее от классических случайных процессов.

Для численного исследования нелинейных динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями первого порядка, а также реконструкции их математических моделей по временной реализации, автором была предложена информационная технология и разработана многопоточная автоматизированная система, внедренная на кафедре математических методов системного анализа Киевского политехнического института. В общем, было запрограммированно 19 методов. Для исследования динамических систем использованы: метод Бенеттина и др. [2] для вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП), метод Ено [2] для построения сечения и отображения Пуанкаре, метод Филона [2] для построения спектральной плотности аттракторов, а также метод Рунге-Кутты с постоянным и сменным шагом численного интегрирования (с использованием корректирующей процедуры Дорманда—Принса) [2] для построения инвариантной меры и численного решения систем. Отличительными особенностями разработанной системы являются (всего было проанализировано 25 программных решений) наличие интерфейса, математического парсера выражений, валидатора, графического редактора и то, что ни одна из проанализированных программ не может решить поставленную задачу уже на этапе построение фазопараметрических характеристик системы, а привлечение специальных пакетов прикладных программ требует программирования методов решения для каждой системы в отдельности.

В данной работе исследуется финансовая система Чена [3]

х = г + (у — а)х,

У = 1 — Ьу — х2, (1)

г = —х — сг,

© А. Ю. Зинченко, 2013

где параметры a ^ 0 — сохранение суммы процентной ставки, b ^ 0 — стоимость инвестиций, c ^ 0 — эластичность спроса на коммерческих рынках. Первое уравнение этой системы описывает изменение во времени процентной ставки, второе — инвестиционного спроса и третье — индекса цен. Вопрос о топологической «неэквивалентности» данной системы и невозможности сведения заменами к другим известным системам рассмотрен в [3].

1. Существование глобального аттрактора системы и оценка области, которой он ограничен. Пусть X = (x,y,z) и положим X(t,to,X(to)) —решение системы (1).

Определение 1. Будем называть глобальным притягивающим предельным множеством (глобальным аттрактором) системы (1) множество Qx = {X|Vx(X(t)) < Lx}, если существует такая константа Lx > 0, что для любого

Vx(X(t0)) > Lx, Vx(X(t)) > Lx выполняется lim Vx(X(t)) < Lx.

t—

Определение 2. Если для любого начального значения X(to) G и для любого t > to выполняется условие X(t,to,X(to)) G , то Qx = {X | V\(X(t)) ^ L\} будем называть положительным инвариантом.

Определение 3. Если существует такая константа L\ > 0, фиксированное число тх > 0 и некоторое X(to) G К", n G N, n > 3, что для любого V\(X(to)) > L\, V\(X(t)) > L\ выполняется экспоненциальное оценивание разницы V\(X(t)) — L\ ^ (V\(X(to)) — Lx)e-rx(t-to), то множество Qx = {X | V\(X(t)) ^ L\} называется глобальным «экспоненциальным» аттрактором.

Теорема 1. Система (1) имеет глобальный «экспоненциальный» аттрактор и положительный инвариант, причём ограниченный семейством функций Ляпунова (Х> 0) вида Vx = \(х2 + у2 + z2).

Доказательство. Найдем

Vx = Xx(z + (y — a)x) + Xy(\ — by — x2) + Xz(—x — cz ) = Xxz + Xyx2 — Xax2 + Xy — Xby2 — Xyx2 — Xxz — cXz2 = —Xax2 + Xy — Xby2 — cXz2 + (Xx2)/2+(Xy2)/2+(Xz2)/2 — Vx = —VA + F (x,y,z),

9F(x,y,z) _ dF(x) _ _2\ax \x = 0; тогда либо x = 0, либо a = ■j, x ^ 0. ^ = --А-2Л6У + Л^0; тогда y = ^ = ÈEgL = -2Xcz +

1 д2 F (X ) 1

= 0; тогда либо z = 0, либо с = 2 0. —= —2Àa + A < 0; тогда a > ^.

= -2А6 + А < 0; тогда b > = -2Xc + А < 0; тогда с > =

d2F(X) _ d2F(X) _ q dydz dzdx

Следовательно, точка (0; 2ъ-\ > 0) —точка локального максимума.Функция вогнутая, а значит, это глобальный максимум, поэтому supXeR3 F(X) = 1 =

W^I ~~ (2b—l)2 + 2(25—l)2 = 2{2b-i)2 = Lx; Lx > 0 => Ъ > Учитывая последнее, имеем оценку сверху производной: < —Vx + Lx. При условии —Vx + Lx < 0 (по определению 1), интегрируя неравенство < —Vx + Lx, получаем Vx > Lx =>• —Vx + Lx < 0 =ф > dt.

-Vx + Lx —

Решив неравенство, получаем V\ — L\ < e-tC\, V\(X(to)) — L\ = e-t0C\ ^ Ci = eto (Vx(X(to)) — Lx). Отсюда следует, что VA — Lx < e-tet0 (Vx(X(to)) — Lx) =

(Vx(X(to)) — Lx)e-(t-t°; VA(X(t))—Lx < (Vx(X(to))—Lx)e-(t-to) и lim Vx(X(t)) < Lx.

t—>+^

Таким образом, множество Qx = {X|Vx(X(t)) < Lx} будет глобальным «экспоненциальным» аттрактором и положительным инвариантом системы (1).

Для оценки области, которой ограничен аттрактор, умножив каждое уравнение

/1\ d(x2 + y2+z2) ,2 2 i

системы (1) на x,y,z соответственно и сложив, получим ——— = ZX + VX —ах + y — by2 — x2y — xz — cz2 = -ax2 + y — by2 — cz2. Представим —by2 как -y2 — (6 — 1)y2, тогда y — 6y2 запишется как у — у2 — (6 — 1)у2. у — (Ъ — 1 )у2 = —(6 — 1)[у2 —

(2Ф1)) "(дг^Т)) 1 = -(Ь"1)(у-2(1^1)) - 4(ь^Т) 'Ь >L Таким образом,

d(*x2+2dt+z2) = ~ах2 +У ~ЬУ2 - с-г2 < -аж2 - cz2 - у2 + щЬг) - ПУСТЬ 1 = min{a, с, 1}.

Тогда d(x4¿t+z2) < -Кх2 + у2 + z2) + или ^ < -IR2 + Обозначив

72 - фз, получим + 21R2 = e-^^fl < 72.

Интегрируя это неравенство от 0 до t, получаем

R2 = Ce-m; С'е-Ш-21Се-ш+ 21Се-т = С'= 12ет] С = j^e2lt + Ci;

222 ñ2(í) = (^e2íí + С\)е~Ш] Д2(0) = |e2íi + Ci Ci = Д2(0) -

2 2 2 ñ2(t) = |_e2U + д2(0)е-2it _ 2_е-2» = |_(1 _ e-2it) + д2(0)е-2И

Тогда R2{t) < R2(0)e-m + ¿(1 - e"2"). Обозначив Д2(0)е-2К° + ¿ - ^e"2"» как До, можно сделать заключение: если притягивающим множеством выбрать шар радиуса До > 7 = щ^грр т0 траектория войдет в него за время, не превышающее

2

121

Ro2-^ I " V ^--32КЬ-в*

после чего R(t) < До-

2. Исследование устойчивости положений равновесия. Система (1) имеет три стационарные точки: S\ = (0; ±;0), S2 = {-\J 1 - ba - + A; ^^^ - J^),

S3 = (^/l — ba — a+\] —^J— -¿g) при Ь^Оис^О. Запишем теперь условие дис-

сипативности для динамической системы (1). Получим divX(x, у, z) = §§ + + §§ = y — a — b — c< 0, то есть a + b + c > y.

Теорема 2. Дслм в системе (1) выполняются следующие условия: 1 — Ъа — Ъ/с > 0,6с^ 1,6^0, b ± 1/с-с,с^0,с^ —Ь/2± у/Ъ2/А + I и с(Ъ + с - \)2 + Ъс2 + 2с-2аЪс-3b = 0,то существуют непрерывные функции a = a(e) и T = T(е), зависящие от параметра е, a(0) = ao, T(0) = —2пв-1 (где в _ собственное значение линеаризованной матрицы векторного поля системы (1) в стационарной точке) и такие, что в системе (1) существуют периодические решения x(t, е) периода T(е), сходящиеся к точке (0, ^,0) при е —> 0. При этом имеет место бифуркация Андронова—Хопфа рождения предельного цикла, которая происходит при бифуркационных значениях параметра а0 = сЧ+с^ч^1:ь2с+ЗЬ ■

Доказательство. Сместим систему (1) линейным преобразованием x(t) = x(t), y(t) = y(t) + £,z(t) = z(t) в начало координат так, чтобы она допускала нулевое состояние равновесия, то есть X(0) = 0- Получим

x = (1/b — a)x + z + xy,

y = —by — x2, (2)

Z = — x — cz.

Состояния равновесия данной динамической системы будут следующие: (0,0, 0),

с = 0. Легко заметить, что при 1 — Ьа — Ь/с > 0 система (2), а также и система (1) (что следует из данного линейного преобразования), имеют 2 особые точки. Линеаризация векторного поля в третьей стационарной точке £3 имеет вид

+ Jl-Ьа-Ь- Л

M =

—2л/1 — Ьа — - -Ъ 0

С

( i ¡i -Ъа-ъ- Л

V -1 0 -c)

СС

—2 л /1 — Ьа — - -Ъ 0

С

-1 0 -c

Характеристический полином этой матрицы имеет вид

Л3 + (b + c - 1 /c)X2 + (bc +2 - 2ab - 3b/c)X + 2(c - abc - b) = 0. (3)

Предположим, что Л, Л, а — корни этого уравнения, где Л = Л1+1Л2 и а —действительный корень. Тогда для произвольного полинома, зависящего от х, можем записать (x - Л)(х - Л)(х - а) = 0. Раскрывая скобки, получаем

x3 - (2Л1 + а)х2 + (|Л|2 + 2Л1а)х - аЩ2 = 0. (4)

Очевидно, что данный полином имеет два чисто мнимых корня тогда и только тогда, когда произведение коэффициентов при х2 и х равно свободному члену. Действительно, пусть ±bi — чисто мнимые корни этого полинома, тогда (х - Ы)(х + Ы)(х - а) = 0. Раскрыв скобки, получим х3 - ах2 + Ь2х - ab2 = 0. Следовательно, уравнение (3) имеет чисто мнимые корни тогда и только тогда, когда 1т(Л) = Л2 = 0 и выполняется соотношение

(b + c - 1/c)(bc + 2 - 2ab - 3b/c) = 2(c - abc - b).

Выбирая произвольные параметры b и c, будем предполагать, что бифуркация рождения предельного цикла происходит при определенном значении параметра a (обозначим его как ao ). Тогда, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим

ао = с ь+с 2с2ь2Ь-2сЬ2с+ЗЬ > ПРИ этом Ьс 1. Таким образом, получили бифуркационное значение. Покажем теперь, что при бифуркационных значениях ao в системе (2) происходит бифуркация рождения предельного цикла. Для этого, используя бифуркационную теорему Хопфа [4], достаточно показать, что R^'(ao) = 0, ¡тЛ^о) = 0, ¡тЛ^о) = 0, а^) < 0.

1. Найдем ReЛ'(ao), то есть ЛК^о). Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Л и х в уравнениях (3) и (4) соотвественно. Получим

'-(b + c - 1/c) = 2Л1 + а, bc + 2 - 2ab - 3b/c =

= | Л |2 +2Лга, 2abc +2b - 2c = Л2а

а = -(b + c - 1/c +2Л1), | Л |2 а = 2abc + 2b - 2c,

2 1 ол или ^ а(|Л|2 +2Л1а) = -(b + c - 1/c + 2Лг )(bc + 2- (5)

-2ab - 3b/c) = 2abc + 2b - 2c+ +2Л1(Ь + c - 1/c + 2Л1)2.

Дифференцируя последнее уравнение по а, полагая а = ао и вспоминая, что А1(ао) = 0, получаем, что —2А1(а0) • (Ьс + 2 — 2а0Ь — 3Ь/с) + (Ь + с — 1/с)2Ь = 2Ьс + 2А[(а0) •

(Ь + с - 1 /с)2. Тогда Л'^ао) = е(ь+е_1/е)ЧЬЬеС2+Ь2е_2аоЬе_зь• Следовательно, ReA'(a0) ^ О при bc = 1.

2. Найдем ImA(ao) = (ао) и 1шЛ(ао) = —Л2(ао) из систем (5). Для этого перепишем 2-е уравнение: 2abc + 2b — 2c = |Л|2а = (Л2 + Л2)(—b — c + 1/c). Отсюда Ai(«o) = Значит Л2(а0) = ¿^ЩНЩН),-Л2(а0) = Найдем значения, при которых 1шЛ(ао) = 0 и 1шЛ(ао) = 0. Запишем

{aobc + b — c = 0, I aobc + b — c = 0,

или

1 — ba0 — b/c > 0 I a0bc + b — c < 0.

Следовательно, ImA(ao) ^Ои ImA(ao) 0 при всех a, b, с таких, что 1/c — b — с ^ 0, то есть, когда b^ 1/с-сис / —6/2 ± ■sfb2/4 + 1.

3. Найдем теперь a(ao) (a —действительный корень уравнения (3)). Из систем (5) имеем |Л|2et = 2abc + 2b — 2с, то есть а(ао) = ^. Поскольку система (2) имеет комплексные стационарные точки при 1 — ba — b/c > 0, то есть при abc+ b — c < 0, для всех значений параметров, удовлетворяющих выше наложенным условиям, будет справедливо а(ао) = 2<-аЬ^ь ^ < 0.

Таким образом, собственные числа линеаризованной матрицы M пересекают мнимую ось с ненулевой скоростью, поэтому при бифуркационном значении ао происходит бифуркация рождения предельного цикла — бифуркация Андронова—Хопфа, а значит, воспользовавшись теоремой Хопфа [4], в системе (2), а следовательно и в системе (1), что следует из данного линейного преобразования, можно показать, что существуют непрерывные функции а = а(е) и T = T(е), зависящие от параметра е, а(0) = ао (для системы (2) а(0) = 0,), T(0) = —2пв-2 (где ß — мнимое собственное значение линеаризованной матрицы в стационарной точке) и такие, что в системе (1) существуют периодические решения x(t,e) периода Т(е), сходящиеся к точке (0, -¿,0) при е ^ 0, а для системы (2) —к началу координат при е ^ 0.

3. Адаптивный контроль и глобальная экспоненциальная синхронизация. В данном разделе рассматривается управление детерминированным хаосом нелинейной финансовой хаотичной системы Чена с параметрами a = 3,b = 0.1, c =1 посредством адаптивного управления и хаотической синхронизации.

Теорема 3. Финансовая система Чена в хаотическом режиме с управлением по второй координате fc<^>(x,y, z),

x = z + (y — a)x, У =1 — by — x2 + fcy(x, y, z), Z = —x — cz,

где y(1 + k^(x, y, z)) ^ 0, y>(x, y, z) £ L2 U и y>(x, y, z) £ L2 U стремится к точке (0, h, 0), где h есть корень уравнения by — fc^(y) — 1=0, a ^ 0, b > 0, c > 0, a + b + c > y. При этом динамический режим становится регулярным.

Доказательство. Рассмотрим семейство функций Ляпунова вида V\ = j(x2 + y2 + z2), Л > 0. Тогда V\ = Ax(z + (y — a)x) + Лу(1 — by — x2 + k^(x, y, z)) + Лz(—x — cz) = —Л(ax2 + by2 + cz2 — y(1 + fcy(x, y, z))) < 0.

Лемма 1. Легко заметить, что если f (t) £ (L2 U LTO) и f (t) £ то

lim f (t) = 0.

t—

Согласно лемме соответствующие функции равняются 0, а х и г стремятся к 0, то есть Ьу — ку(у) — 1=0, поскольку У\ < 0,х,у, г, у(х,у, г) € Ьж, ^ У\ < 0 и х,у, г, у(х,у, г) € Ьэ, х,у, г, у(х,у, г) € Ьто. С учетом условий теоремы, налагаемых на параметры и на саму функцию у, решение системы Чена является единственным. Тогда, на основании теоремы Ляпунова об устойчивости, траектории данной системы асимптотически устойчивы в точке (0; к; 0).

На рис. 1 приведено численное моделирование данной теоремы с выбранным управлением ку(х,у, г) = —9.9у. Параметры системы и начальные условия были выбраны а = 3,Ь = 0.1, с = 1 и х(Ьо) = 2, у(Ьо) = 3, г(Ьо) = 2 соответственно. При этом система сходится к точке (0; 0.1; 0). Шаг дискретизации метода Рунге-Кутты — 0,001.

Определение 4. Две нелинейные динамические системы X = Г(Ь, X) и У = Г(Ь,У) + р(Х,У), где Х,У € К" —векторы состояния соответствующих систем, Г — п-мерная нелинейная функция управления, называются полностью синхрони-

зированными (экспоненциально синхронизированными), если lim \Y(t) — X(t)| = 0.

t—

При этом система X называется ведущей, а Y — ведомой.

Определение 5. Если существует такое а > 0, что для любого t > to выполняется соотношение Vx(X(t)) < Vx(X(to))e-a(t-to), то ведущая система является экспоненциально устойчивой.

Рассмотрим ведомую систему для финансовой системы Чена (1) с выбранным управлением м(X, Y) = м(X(t) — Y(t)). Тогда система запишется как

Х2 = Z2 + (У2 — a)x2 + Vi(x2 — xi ,У2 — yi, Z2 — Zi),

У2 = 1 — by2 — x2 + ^(Х2 — Х1,У2 — yi, Z2 — Zi), (6)

Z2 = —Х2 — CZ2 + мз(х2 — xi,y2 — yi, Z2 — Zi).

Введем ошибки синхронизации ex = x2 — xi, ey = y2 — yi, ez = Z2 — Zi и вычтем из (6) начальную систему (1). Тогда получим систему ошибок вида

Z2 + x,2 y2 — ax2 + Mi(x2 — xi, y2 — yi,Z2 — Zi) — Zi + xi yi — axi, ey = 1 — by2 — x2 + M2(x2 — xi,y2 — yi, Z2 — Zi) — 2 + byi — x1, (7)

ez = —x2 — CZ2 + M3(x2 — xi,y2 — yi, Z2 — Zi) + xi + cZi.

Поскольку динамика хаотической системы ограничена, мы можем предположить, что \у\ < Му, |х| < Шх.

Теорема 4. Если существует такое управление, что = —кех, м2 =0, мз = ех(У2 — а), к ^ Му — а + + ^у^ , то система (7) будет экспоненциально устойчивой, а системы (1) и (6) полностью синхронизированными.

Доказательство. Рассмотрим семейство функций Ляпунова вида = ^(х2 + у2 + г2), А > 0. Тогда

с = е2 — аех + хэ(уэ — уг) + уэ(хэ — х!) — (у2 — уг)(х2 — хЛ) + Мг(ех,еу, ех) = ег — —аех + х2еу + у2ех — еуех + Мг(ех, еу, е2) = е2 — аех + х2еу + у2ех — еуех — кех,

I = —Ьу2 — ех (х2 + х!) + М2(ех,еу ,ех) = —Ьу2 — ех(х2 + хЛ), : = —ех — сех + Мз(ех, еу, ег) = —ех — сег + ех(у2 — а);

V = ex (ez — aex + x2ey + y2ex — ey ex — kex) + ey (—by2 — ex(x2 + xi)) + ez (—ex — cez+ +ex(y2 — a)) = exez — e^-a + x2ex ey + y2e\ — e\ey — ke2X — be2y — exey x2 — exey xi — exez — —ce2z + exez (y2 — a) = e2x(y2 — a — k) — be2y — ce2z — x^xey + ex ez (y2 — a) < < e2x(My — a — k) — be"2 — cel — MxMxey| + lexezl(My — a) = — (\ex| ley| e|) .

a + k-My Щь /iej\ /а + к-М,

2

V 2 2 \ / I ж I \ u-r n iv±y 2 2

b 0 \ey\ = —ETAE, где А = ±MX b 0

a-M" 0 с / \\ez\ \ а-м^ 0

Очевидно, что для обеспечения экспоненциальной устойчивости системы ошибок (7) необходимо, чтобы матрица А была положительно определённой. А это возможно

a-My

Рис. 2. Графики полной синхронизации временных реализаций финансовой системы Чена и экспоненциальной устойчивости системы ошибок (7) при к = 20.

лишь тогда и только тогда, когда

а + k — My > 0 ^ k > My — а,

ba - ЪМу + Ък - \Ml > 0 =Ф к > Му - а +

а-Му_ ЩЪ_Ъа + ^ _ ^ + bk _ ^ > Q ^ к > Му _ а + + i^H.

Итак, тогда, когда к > Му — а + + (~а ^у^ , матрица А есть положительно определённая, а значит V - отрицательная, т.е. V ^ —Amin(A)V и V(X(t)) < V(X(to))e-Amin(A)(i-io),t > to.

На рис. 2 приведено численное моделирование данной теоремы с выбранным k = 20. Параметры системы и начальные условия были выбраны а = 3, b = 0.1, с =1 и x(to) = 2, y(to) = 3, z(to) = 2. Шаг дискретизации метода Рунге-Кутты—10-3.

4. Численное исследование регулярной и хаотической динамики. На

рис.3 приведена карта динамических режимов системы (1) относительно бифуркационных параметров а и с. Исследование финансовой системы Чена было проведено в окрестности рассчитанных стационарных точек системы при постоянном значении параметра b = 0.1 и начальных условиях x(to) = 2, y(to) = 3, z(to) = 2 соответственно. При этом шаг дискретизации метода Рунге-Кутты был выбран 0.001 на промежутке безразмерного времени от 0 до 100. Во избежание расчетов в переходном процессе, т. е. когда траектория еще не на аттракторе, вычисления спектра ЛХП происходило в промежутке времени от 40 до 100 с шагом по алгоритму Бенеттини и других 0.04. Параметр а изменялся в пределах от 0 до 9.525 включительно с шагом дискретизации 0.015, а параметр с — в пределах от 0 до 3.28 включительно с шагом дискретизации 0.02.

Вычисления спектра ЛХП данной системы было проведено с использованием разработанной автором распределенной многопоточной автоматизированной системой на трех потоках (используя свойство естественного параллелизма, присущее этой задаче) на процессоре Pentium (R) Dual-Core CPU T4300 с тактовой частотой 2.10 GHz. При этом построение всей карты динамических режимов при изменении двух вышеуказанных бифуркационных параметров заняло 6 дней. Кроме того, построение одного спектра и сечения Пуанкаре при тех же условиях на том же компьютере заняло около 6 часов.

а -

а 1 3 з а 5 б г в 9

с

Рис. 3. Карта динамических режимов системы (1) (черный цвет — хаотический режим, серый — положения равновесия, белый — периодический режим, «звездочки» — торы). По оси ординат — параметр а, по абсцисс — параметр с.

Рис.4. Фазопараметрические характеристики системы (1). По оси абсцисс — параметр а по оси ординат — сечение Пуанкаре плоскостью у = 2.6 (слева) и г = 1 (справа).

На рис. 4 представлены зависимости параметра а от сечений Пуанкаре. Начальные условия были выбраны х(£о) = 2, у (¿о) = (¿о) = 2, значения параметров — Ь = 0.1, с = 1. Параметр а менялся от 1 до 1.5 с шагом 0.001 (слева) и от 7 до 7.2 с шагом 0.00001 (справа). При этом переход от регулярных аттракторов к хаотическим осуществлялся через каскад бифуркаций удвоения периода — сценарий Фейгенбаума (рис. 4 слева) и через перемежаемость первого типа по Помо—Манневиллю (рис. 4 справа). При перемежаемости к точке бифуркации движутся навстречу устойчивый предельный цикл и неустойчивый. После их слияния, вследствие того, что система (1) устойчива по Лагранжу (в силу дисипативности) и по Пуассону (поскольку режим установившийся) и неустойчива по Ляпунову (имеется положительный показатель, хаотическое сечение и отображение Пуанкаре, сплошной Фурье-спектр, хаотическая инвариантна мера), происходит процесс реинжекции, то есть возвращения траекторий в область исчезнувшего предельного цикла, затем вновь уход и возвращение и т. д.

На рис. 5 представлены проекции каскада бифуркаций устойчивого цикла при тех же начальных условиях, с шагом численного интегрирования 0.001, при бифир-кационных значениях а = 3, Ь = 0.25, с =1. Изменение параметра Ь до 0.2 порождает хаос — на рис.5, г показан хаотический аттрактор. Из рис.5 можно смело сделать предположения, что для каскада бифуркаций устойчивых циклов имеет место порядок Шарковского (исследования для нелинейных систем см., например, в [1]), так как наличие цикла периода 3 (рис. 5, а) означает существование любого цикла любого периода из последовательности Шарковского, например цикл периода 5 (рис. 5, в). Субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов порождает бесконечное число циклических субгармонических сингулярных аттракторов, которые являются значительно более сложными аттракторами — каждый такой аттрактор порождается каскадом бифуркаций удвоения периода некоторого устойчивого цикла из ряда Шарковского, порожденного соответствующей седло-узловой бифуркацией, и является неполным циклическим субгармоническим аттрактором. Полный циклический

субгармонический сингулярный аттрактор (рис. 5, г) возникает после каскада бифуркаций удвоения периода цикла периода три.

В заключение приведем сценарий Рюеля—Такенса — переход к хаосу через несколько бифуркаций Андронова—Хопфа. Исследования проводились в окрестности полученных по теореме 2 бифуркационных точек ао. Как видно из рис. 6, особая точка-фокус теряет устойчивость. При этом из нее рождается небольшой устойчивый предельный цикл — мягкая потеря устойчивости, — который при уменьшении параметра приводит к хаотическому аттрактору системы.

Заключение. Доказаны теоремы существования аттракторов в системе, существования периодических решений системы (регулярных режимов); найдены управления детерминированным хаосом, переводящие систему из хаотического режима в регулярный; найдены управления для ведомой системы общего вида (2), при которых она полностью синхронизируется с ведущей системой (1). Построена карта динамических режимов системы и найдены основные три сценария перехода к хаосу: сценарий Фейгенбаума, Рюэля—Такенса и Помо—Манневиля.

Литература

1. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: УРСС, 2004. 320 с.

2. Данилов В. Я., Зинченко А. Ю. Синергетические методы анализа. К.: НТУУ «КПИ» ВПИ ВПК «Политехника», 2011. 340 с.

3. Ma J.H., Chen Y. S. Study for the bifurcation topological structure and the global complicated character of a kind of nonlinear finance system. I, Applied Mathematics and Mechanics. 2001. Vol.22, N11. P. 1240-1251.

4. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.