CC BY
15
УДК 519.63
А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов, А.И. Косьянова
Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного HAH Украины, Харьков,
Украина
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Выполнено обобщение неявной разностной схемы расщепления для численного интегрирования уравнений Эйлера на неструктурированных сетках при моделировании невязких течений сжимаемого газа. Высокий порядок точности по пространству и отсутствие существенных осцилляций решений на разрывах обеспечивается с помощью специального способа построения кусочно-полиномиальной реконструкции. Апробация разностной схемы выполнена при решении задачи численного моделирования трансзвукового течения идеального сжимаемого газа в решетке профилей Хобсона. Показано улучшение согласования численных результатов и точного решения при увеличении степени полинома реконструкции.
Ключевые слова: неструктурированная сетка, метод контрольного объема, неявная схема расщепления, первая решетка Хобсона, реконструкция высокого порядка точности.
Введение
Интенсивное развитие энергомашиностроения, авиационной и других отраслей техники неразрывно связано с решением задач аэрогидромеханики и тепломассообмена для широкого диапазона режимных параметров и конфигураций обтекаемых тел [1 ].
При моделировании различных физических процессов течения жидкости и газа используются методы вычислительной гидрогазодинамики. Постановка большого числа задач выполняется для областей сложной геометрической формы, дискретизацию которых удобно выполнять с помощью неструктурированных сеток с произвольной формой ячеек. Такие сетки допускают автоматизацию процесса построения и адаптации к решению, например, в областях больших градиентов и разрывных решений [2].
Опыт применения численных методов для структурированных и неструктурированных сеток показывает актуальность построения схем высокого порядка точности, использование которых может увеличить общую эффективность вычислительного процесса [3]. Ускорение сходимости к стационарному решению и повышение устойчивости может быть обеспечено с помощью неявных схем [2, 4]. В общем случае их применение требует решения системы линейных алгебраических уравнений с большой несимметрической матрицей на каждом временном слое. Наиболее эффективными при решении широкого круга сложных задач являются методы расщепления, успешно применяемые для структуриро-
ванных сеток [1, 5], однако, использование этих методов для неструктурированных сеток, из-за ряда возникающих сложностей, не получило развития.
В статье [6] авторами предложен способ построения кусочно-полиномиальной реконструкции переменных, на базе которого с применением метода контрольного объема разработана явная схема высокого порядка точности для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках. Для ускорения сходимости в работе [7] выполнено обобщение неявной схемы [5] для случая неструктурированных сеток с произвольной формой ячеек, основанное на оригинальном способе расщепления по пространственным координатам и собственным значениям.
В статье представлено обобщение разработанных подходов для численного интегрирования уравнений Эйлера на неструктурированных сетках при моделировании невязких течений сжимаемого газа. Апробацию разностной схемы выполнено при решении задачи численного моделирования трансзвукового течения идеального сжимаемого газа в решетке профилей Хобсона [8].
1. Численный метод интегрирования уравнений Эйлера
Рассматривается численное решение системы двухмерных уравнений Эйлера, описывающих невязкое течение сжимаемого газа, представленных в консервативной (дивергентной) форме:
© А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов, А.И. Косьянова, 2011
до зб (д) дБ (д) . . м
———^ = о, (х, у > о, (1) 3
дх
5у
где х, у, 1 — декартовы координаты на плоскости и время; □ — расчетная область с кусочно-гладкой границей;
г ри Г РV )
д= Ри ,б(о)= ри2+р ,р(д)= рvu 2 ,
Рv рuv Рv + Р
1 н 0 ч и(Р + Н ^ 1 v(p + Н))
вектор-столбец консервативных переменных и потоковые функции; н =
Р + 0.5 -р(и2 + V2) -
,д 1
ад=ябн(О)=-—X |(Б • Пх + Б • Иу)аь,
(2)
Зр т— р 1=1 Ьр
д=б"- Я д(х,у,1 ^,
где д — среднее значение вектора консервативных переменных; — площадь ячейки; Ьрд — линейный элемент (ребро) границы ячейки; ^
— число ребер ячейки; П = (пх,пу) — вектор
внешней нормали к границе ячейки. На временной оси задается сетка узлов вида
1П = т • п, т > 0, пе N и 0 . Значение шага по времени определяется как
а
тах |л/и2+V2 +
Ьр/р )'
(з)
где V — число Куранта, а — линейный размер сетки.
Аппроксимация уравнения (2) выполняется с помощью неявной трехслойной схемы вида
_ Nр
§др + т р Х(а • пх + в • п 1=1
)п|Ч1| •§оп
= яр
р , (4)
яр =-
у здр-1 ябн(дп),
у +1
тр =
у+1
Р
Бр у +1'
у-1
полная энергия; у — показатель адиабаты (в работе у = 1.4 ); р, и, V, р — плотность, компоненты вектора скорости и статическое давление газа.
Уравнение (1) решается с применением метода контрольного объема для неструктурированной сетки, состоящей из элементов (ячеек) Р произвольной формы. Значения переменных привязаны к центрам элементов сетки. После интегрирования по ячейке и применения теоремы о среднем и теоремы Грина уравнение (1) примет вид
где Р, у — коэффициенты схемы (в работе используется трехслойная по времени схема с
Р = 1 и у = 0.5); |ьрд| — длина ребра границы;
8дп = дп+1 - дп — приращение по времени; А, В — матрицы Якоби для потоков Е и Б соответственно. Правая часть яр уравнения (4) определяет явный оператор, а левая — неявный. После расщепления и факторизации по пространственным направлениям и собственным значениям неявный оператор преобразуется к виду
П П (1 + трКV + трк; )здп = яр , (5) ¥=[х,у]1=[+-]
где I — единичный оператор; К у, К у — операторы главной и побочных диагоналей; ьинди-катор направления прогонки. Процесс обращения (5) сводится к 4-м шагам прогонки, для выполнения которых ячейки сетки предварительно сортируются по каждому координатному направлению с помощью критерия:
р < р. ~
Vр < Vр.
(;р = ;р. (пу,. >
V
= [х, у],
где п у,. — проекция вектора нормали на у -е координатное направление. На каждом шаге по явным формулам выполняется обращение треугольной матрицы. Подробное описание разработанной неявной схемы расщепления представлено в [7].
После параметризации линейных элементов границы и приближенного интегрирования по трехточечной квадратурной формуле Гаусса, явный оператор (4) примет вид
яр
у здр-1 -
у+1
т XX^и
8р(у + 1)2 ^ ,
(6)
где
ап ° (б • пх + б • пу > -
значение потока в
] -м узле квадратурной формулы на границе ячей-
т
р
ЮБЫ1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2011
- 21 -
ки с координатами -у,Уу; юj — весовые коэффициенты квадратурной формулы. При вычислении Gn используется расщепление Р.Ь.Яое [9],
обеспечивающее линейную устойчивость схемы (разности против потока). Для получения значений консервативных переменных в узлах интегрирования с необходимой точностью в каждой ячейке строится полиномиальная реконструкция степени к вида
= ^ + Xp ) + Уp(Qy)p +
а5^2 -Ixx](Qxx)p + •••> ^ = z-^ = [-,У]
У У
=-1
-п + 1ут xP yP
п + 1
¿У,
выполнен при условиях а = 43.544° М2дз = 0.476 .
периодичность периодичность
Рис. 1. Вид расчетной области
Дискретизация расчетной области □ выполнялась с помощью структурированной (рис. 2, а)
и неструктурированной (рис. 2, б) сеток, при построении которых каждая кривая границы покрывается набором равномерно распределенных по длине отрезков. В численном исследовании использовались два уровня сеток, для которых при увеличении номера уровня линейные размеры сетки уменьшаются в 2 раза, а число ячеек увеличивается в 4 раза. Для сеток первого уровня
кривые А1А2 , А3А4 , В1В2 , В3В4 разбивались
на 20, А2А3, В2В3 - на 40 и А1В1, А4В4 - на 26 интервалов, а число ячеек составило 2080 для структурированной и 4180 элементов для неструктурированной сеток соответственно.
где хР, уР — координаты центра ячейки; (Р^)р - значения минимизированных коэффициентов. Подробное описание способа определения коэффициентов и минимизации их значений с целью уменьшения нефизических осцилляций численного решения на разрывах представлено в [6].
2. Численные результаты
При апробации и исследовании свойств различных методов, используемых для численного моделирования течений идеального сжимаемого газа в каскадах профилей, широкое применение получила первая (НоЪ8ои I) активная рабочая решетка Хобсона [8, 10, 11]. На рис.1 представлен вид межлопаточного канала, для которого: хорда с = 1, шаг решетки з = 1.0121с (длина участков А1В1 и А4В4) и
|А,А7| = |А3А4| = |В,В7| = |В3В4| = 0.75с . Расчет
б
Рис. 2. Дискретизация расчетной области: а — структурированная сетка (БО); б — неструктурированная сетка (ИО)
Все расчеты выполнены с число Куранта V = 5. Точное решение получено Хобсоном [8] с помощью метода годографа скорости. Исследуемое течение очень чувствительно к малым изменениям входных параметров, что проявляется в появлении скачка на задней части сверхзвуковой области потока [10]. На рис. 3—6 представлены изолинии чисел Маха для расчетов с применением реконструкций 1-й и 3-й степени, а на рис. 7 —
распределения числа Маха вдоль А2А3 (верхняя
линия) и В2В3 (нижняя линия) для реконструкций 1—4 степени. На рис. 7 результаты для сеток 2-го уровня отмечены закрашенными маркерами, а для сеток 1-го уровня — прозрачными. Для обоих типов сетки наблюдается улучшение согласования численных результатов с точным решением, а также повышение симметрии течения в канале, как при возрастании числа ячеек, так и при увеличении степени полинома реконструкции. В распределениях, полученных при к = 2 и к = 3, на втором уровне сетки отсутствует скачок на задней части сверхзвуковой области потока, что больше соответствует моделируемому течению.
+
ь
п
Р
т
а
Рис. 5. Изолинии чисел Маха. Неструктурированная сетка. Линейная реконструкция
Рис. 6. Изолинии чисел Маха. Неструктурированная сетка. Кубическая реконструкция
Рис. 7. Распределение числа Маха по поверхности профиля (сплошная линия — точное решение [11])
ШЪЖ1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2011
23
Заключение
Выполнено обобщение неявной разностной схемы расщепления для численного интегрирования уравнений Эйлера на неструктурированных сетках при моделировании невязких течений сжимаемого газа. Апробация разностной схемы проведена при решении задачи численного моделирования трансзвукового течения идеального сжимаемого газа в решетке профилей Хобсона. Показано улучшение согласования численных результатов и точного решения, а также повышения симметрии течения в канале, как при увеличении степени полинома реконструкции, так и при увеличении числа ячеек сетки.
Перечень ссылок
1. Приходько А.А. Компьютерные технологии в аэрогидродинамике и тепломассообмене. — Киев, Наукова думка, 2003. — 379 с.
2. VenkatakrishnanV. A perspective on unstructured grid flow solvers / V. // AIAA, Aerospace Sci. Meeting № 33 - 1996. - v. 34. - P. 533-547.
3. HuC. Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes on Triangular meshes / C. Hu, C.-W. Shu // J. of Comp. Phys. - 1999. - v. 150. - P. 97-127.
4. Venkatakrishnan V. Implicit schemes and parallel computing in unstructured grid CFD. - ICASE Report - 1995. -№28. - P. 1 - 63.
5. Русанов А.В. Математическое моделирование нестационарных газодинамических процессов в проточных частях турбомашин / А.В. Русанов, С.В.Ершов [Монография]. - Харьков: Ин-т пробл. машиностроен. НАН Украины, 2008. -275 с.
6. Русанов А.В. Явная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках / А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов // Вестник ХНУ им. В.Н. Каразина. Серия МИА, Харьков. - 2010.
- №926. - С. 123-138.
7. Русанов А.В. Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках / А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов // Пробл. машиностроения.
- 2010. - № 3. - С. 30 - 37.
8. Hobson D.E. Shock-free transonic flow in turbomachinery cascades // Cambridge University Engineering Department. - 1974. - № 65. - 46 p.
9. Roe P.L. Approximate Riemann schemes / P.L. Roe // J. of Comp. Physics. - 1981. - v. 43. -P. 357-372.
10. Гастелоу Дж. Аэродинамика решеток турбомашин - М.:Мир, 1987. - 392 с.
11. Yang S. Aerodynamic design of cascades by using an Adjoint Equation Method / S. Yang, H.-Y. Wu, F. Liu, H.-M. Tsai // AIAA Paper 2003-1068.
- 2003. - 12 p.
Поступила в редакцию 24.06.2011
A.B. Русанов, Д.Ю. Косьянов, A.I. Косьянова. Застосування неявно! схеми розщеп-лення для чисельного моделювання трансзвуково! течи Идеального газу
Виконано узагальнення неявног р^зницево! схеми розщеплення для чисельного ттегру-вання р^внянь Ейлера на неструктурованих стках при моделювання нев 'язког течи стис-ливого газу. Високий порядок точност1 за простором та в^дсутшсть суттевих осциляцш розв 'язк^в на розривах забезпечуються за допомогою специального способу побудови куско-во-полтом1ально1 реконструкцИ. Апробацию р^зницевог схеми виконано при чисельному мо-делюванш трансзвуковог течи идеального стисливого газу в рештщ профшв Хобсона. Показано покращення узгодження чисельнихрезультатов та точного розв 'язку при збтьшенш степеня полному реконструкцИ.
Ключов1 слова: неструктурована стка, метод контрольного об'ему, неявна схема розщеплення, перша рештка Хобсона, реконструкцш високого порядку точности.
A.V. Rusanov, D. Yu. Kosyanov, A.I. Kosyanova. Application of the implicit splitting scheme for transonic ideal gas flow simulation
The implicit difference splitting scheme is generalized for the numerical integration of the Euler equations on unstructured meshes for simulation of inviscid compressible gas. High-order accuracy in space and essentially non-oscillatory nature of the solution at discontinuities is achieved by using previously developed high-order polynomial reconstruction method. The approbation of difference scheme is demonstrated in the numerical simulation of transonic flow over First Hobson shock-free impulse cascade. Improving coordination of the numerical results and the exact solution with increasing degree of the polynomial reconstruction is shown.
Key words: unstructured grid, finite volume method, implicit splitting scheme, Hobson I cascade, high-order reconstruction.
