CC BY
18
The generalised model of TCS condition control by results of the some set parametres measurements is considered, based on the Bayesian approach to designing of measuring system and allowing to estimate influence of completeness and accuracy of measurements on reliability of this condition estimation in stochastic operating conditions.
Key words: condition control, accuracy and completeness of measurements, a reliability estimation, a likelihood-statistical approach.
Larkin Evgeni Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Lisichkin Vladimir Georgievich, doctor of technical sciences, docent, researcher, lisichkin-vg@,rambler. ru, Russia, Orel, Russian Academy of FSO (Federal Protect (Guard) Service)
УДК 621.396.67
ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНЗ КАК ЭЛЕМЕНТОВ ДИАГРАММООБРАЗУЮЩИХ СХЕМ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК РЭС СВЧ И КВЧ ДИАПАЗОНОВ
Н.Л. Алымов, А. А. Горшков, В. А. Кочетков, И.В.Солдатиков, И.М. Ханарин, А.Е. Черкасов
В статье рассматривается возможность применения метода конечных элементов для электродинамического анализа диэлектрической линзы как элемента диа-граммообразующей схемы антенных решеток РЭС СВЧ и КВЧ диапазонов длин волн. Представлены условия, которым должны удовлетворять искомое поле E и H, граничные условия между внешними и внутренними элементами анализируемой электродинамической области, а также аналитические выражения для составляющих поля в конечной (внутренней) и бесконечной (внешней) анализируемых областях.
Ключевые слова: диаграммообразующая схема, диэлектрическая линза, методы электродинамического анализа, граничные условия, конечная и бесконечная область анализа поля.
Количественный анализ характеристик антенны имеет решающее значение для проектирования и оптимизации структуры антенных систем, особенно сложных антенн, которые не могут быть спроектированы на основе интуитивных подходов. В типичном электродинамическом (ЭД) анализе антенны, целью является определение поля излучения и входного сопротивления. В случае апертурных антенн с большим числом излучателей, таких как антенные решётки (АР), важно также установление количественной оценки взаимного влияния между антеннами, которые могут быть охарактеризованы либо матрицей взаимного сопротивления или
172
матрицей рассеяния. Расчёт излучаемых полей, входного сопротивления и матрицы рассеяния требуют решения уравнений Максвелла с учётом определённых граничных условий, зависящих от конфигурации антенн. Известно, что уравнения Максвелла могут быть решены аналитически только для очень немногих идеализированных антенных геометрий [1]. Например, когда линейная антенна может быть аппроксимирована в виде элемента тока пренебрежимо малой длины или конечного проводника с известным распределением тока, поле излучения которого может быть вычислено аналитически. Антенны не могут быть аналитически проанализированы, не прибегая к приближённым выражениям, в основном вследствие их структурной конфигурации. Принимая во внимание, что были разработаны различные приближенные аналитические методы для относительно простых антенн, точный и полный анализ сложных антенн, особенно АР, может быть достигнут только на основе численных методов, которые решают уравнения Максвелла численно с помощью высокоскоростных компьютеров.
Среди разнообразия численного моделирования в вычислительной электродинамике, которое обеспечивает строгое решение уравнений Максвелла, многие основаны на методе моментов (method of moments, MoM), методе временной области с конечной разностью (finite-difference timedomain, FTTD) и методе конечных элементов (finite element method, FEM). Другие методы, такие как метод передающей линии (transmission-line method) и метод конечных интегралов (finite integral technique, FIT), могут быть идентифицированы как вариации или эквиваленты одного из первых трёх численных методов [2, 3].
Метод конечных элементов по сравнению с методами MoM и FDTD не такой совершенный и популярный при анализе антенн, потому его постановка, анализ и применение являются более сложными, чем FDTD [4] и использование FEM требует генерации усложнённой объёмной сетки. Тем не менее, FEM обладает высокими вычислительными возможностями моделирования и расчёта сложных конструкций и материалов. При использовании неструктурированных сеток с криволинейными треугольными и тет-раэдрическими элементами, FEM может точно моделировать криволинейные поверхности, тонкие структуры и искусственные конструкционные материалы. Поскольку методом конечных элементов во временной области возможны разработки, обеспечивающие безусловную устойчивость, не требуется снижения размера временного шага, даже для задач, содержащих очень мелкие конечные элементы. Эта безусловная устойчивость имеет решающее значение для анализа такой сложной антенны как АР с диа-граммообразующей схемой (ДОС) линзового типа.
Геометрия и граничные условия для ЭД анализа диэлектрических линз ДОС АР. В течение последних 5 - 7 лет метод конечных элементов все чаще используется для анализа различных диэлектрических структур в случаях, когда решение в замкнутой форме не может быть получено аналитически. Однако в случае диэлектрических линзовых структур как гомогенных, так и неоднородных при использовании МКЭ прихо-
173
дится каким-то образом ограничивать анализируемую электродинамическую область. Это можно сделать, окружив, например, линзу идеальным проводником (плоские линзы типа линз Ротмана) или потребовав уменьшения до нуля поля на определенном удалении от диэлектрического резонатора [5]. Однако, заранее неизвестно, на каком расстоянии разместить эту искусственную границу, а от выбора ее положения зависит точность решения для составляющих электромагнитного поля.
Возможность применения стандартного МКЭ состоит в наложении определенных ограничений на поведение функции во внешней по отношению к рассматриваемому объекту области. Так, в [6-8] используется радиальная базисная функция е~аг, где 1 /а представляет собой расстояние затухания (РЗ), при прохождении которого амплитуда волны уменьшается в е раз. Оптимальное значение а на заданной частоте определяется итерационным методом.
Поскольку для внутренней и внешней областей анализируемой диэлектрической линзы вводятся разные системы координат, граничные условия на границах между стандартными и специальными элементами не могут быть выполнены точно. Точное выполнение граничных условий возможно при использовании единой прямоугольной системы координат [7, 8]. В [8] предложена итерационная процедура, позволяющая определить оптимальное значение РЗ на основе использования либо предыдущего собственного значения, либо предыдущего собственного вектора.
Использование МКЭ основывается на полной векторной (Е-Н) формулировке [9, 10], которая получается из уравнений Максвелла и требует задания граничных условий не только для касательных составляющих [п X Е] и [п X Я], но и для нормальных составляющих п-В и п-В.
Анализируемая диэлектрическая область показана на рис. 1, а) и состоит из внутренней области Г^, внешней С1е с границей между ними Г и, возможно, электрической Ге или магнитной Гт стенками соответственно.
Рис. 1. Анализируемая МКЭ диэлектрическая область: а - геометрия диэлектрической линзы с границами анализа; б - топология и структура элементов МКЭ
Предполагается, что потери в линзе отсутствуют, диэлектрическая среда линейная и характеризуется относительными тензорными диэлектрической [е] и магнитной проницаемостями [ц]. Временная зависимость предполагается в виде ешгде ш - круговая часть. При этом уравнения Максвелла принимают вид
V X Е = -ja)В = -jü)ß0[ß]R, (1)
V X Н = jü)D = jü)€0[£]E, (2)
где Е, Н, D, В, £0, До - электрическое и магнитное поля, электрическая и магнитная индукции, диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума соответственно.
Искомое поле Е и Н должно удовлетворять уравнению [11]
JJfeLr -(/^хЯ+йВДЯН/С ■(-jVxE + aj!u0[Ju]Hj)dS = 0 (3)
oj+oe
при приемлемых весовых функциях Etest и Htest. На границе между двумя соседними элементами МКЭ, должны выполняться условия
пх{Ег-Е])= О, пх[н{ -Hj)= О,
п ■ [В, - В]) = п ■ А, ([А ]Я,. - ]Н} )= 0, (4)
где п - единичный вектор нормали к границе между двумя соседними элементами i и j. На границе I или Гт граничные условия задаются в виде
пхЕг =0, пхнг =0,
и-Д.=и-А>[/да=0, (5)
п ■ l)l =n-£0[£I]HI =0.
Численно-аналитические процедуры метода FEM, применяемые в ходе ЭД анализа диэлектрических линз
Для внутренней области Qj могут использоваться стандартные треугольные конечные элементы (КЭ) TV-го порядка. На рис. 1, б) показан прилегающий к границе Г КЭ первой области Qj и бесконечный элемент (БКЭ) - 2-й области Qe. Составляющие электрического и магнитного поля в пределах элемента выражаются через свои значения в узловых точках.
£,=Z„{iV}r •{£,}«-'*
Ez=jZ„{N}T-{Е^е-'", (б)
Ну={ЩТ-{Ну}е-<"\
H:=j{N}T-{H:}e-»\
где ß - постоянная распространения, z0 = (До/£о)1//2 ~ волновое сопротивление свободного пространства. Действительный вектор-столбец {7V}, структура которого подробно рассмотрена в [11], имеет размерность М, где М = (N + 1)(N + 2)/2 - количество узловых точек на каждом элементе. Индекс Т обозначает транспонирование матрицы. Векторы-столбцы {Ех}, {Еу], {Ez}, {Нх}, {Ну} и {Hz}, представляют собой матрицы размера М X 1, элементами которых являются значения Ex/Zo, Ey/Zo, jEz/Zo, Нх, Ну, jHz соответственно в узловых точках каждого из КЭ.
175
Для бесконечной внешней области С1е может быть использован вид разложения на симметричных бесконечных элементах [12] (рис. 2).
элементов; б -узловые точки БКЭ в азимутальных (ц) и 1 v./вместиых(с) координатах
Для точного выполнения условий (4, 5) на границе Г используется стандартный интерполяционный полином Лагранжа TV-й степени по "азимутальной" координате — 1 < 77 < 1, £, = const (переход от плоскости г| - к плоскости х — у в виде уравнений х = x(j], <f), у = y(j], <f), приведен в
[13]).
Любая из декартовых компонент поля ср представляется в виде
N
<р = ^Е1 (£) • Яг (77) (зависимость от z в виде для краткости опущена).
7=0
N
При этом Я (rj) = -if - относящаяся к г-му узлу ИНТерПОЛЯЦИ-
уЬ 0
онная функция Лагранжа (Нг(77) = 1 в i-м узле и #¿(77) = 0 в узлах j ф i, j = 0 ... N). Коэффициенты Ci k табулированы для N < 4 в [12].
Сомножитель Ег. (£) является неизвестной функцией, определяющий радиальное поведение поля. Для изотропной и однородной области fle в выражении Ег. (£) достаточно оставить одно слагаемое.
В случае анизотропной и/или неоднородной Qe Ег(£) вычисляется в соответствие со следующим выражением [13]:
аЛ£) = Хаи-е ■ (V
¿=1
В последнем выражении Wij = Wi j/k0 - нормированные волновые числа, at - искомые коэффициенты разложения, к0 = — = <D(£0/i0)1,/2 -
со
волновое число свободного пространства, 7П£ - количество членов ряда для каждого из узлов, /? = (3/к0 - нормированная постоянная распространения,
-1+2i/N- Коэффициенты Sj необходимы, поскольку
длины элементов d<f и d(^Jx2 + у2) в общем случае отличаются друг от друга.
При определении Шц необходимо учитывать, что ср в каждой узловой точке I состоит из затухающих волн ехр(//с0/^ ;- ■ г), где
к0
Для вычисления 1/1^ у путем решения уравнений Максвелла для заданного /? используется соотношение ехр(//с0/^ ■ г) с
Как известно [1, 14], для изотропной среды волновые числа И/^д = (/?2 — /сцП2)1/2, где п = (£ГДг)1//2 - коэффициент преломления ег и /¿г - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости. Отсюда Шц — (/?2 — п2)1/2 и, следовательно, т1 = 1.
В [3, 13] показано, что представленное разложение для БКЭ дает хорошие результаты для случаев, когда предложение об экспоненциальном затухании волн в диэлектрической области обеспечивает хорошую аппроксимацию реального поля. Качество аппроксимации ухудшается при к0Ша ->0 (а- характеристический размер области Г^) если поведение поля в ближней зоне плохо описывается экспонентой. В таком случае может быть целесообразно:
а) увеличить а путем перемещения Г дальше от центральной части анализируемой электродинамической области;
б) учесть одно или несколько волновых чисел поля ближней зоны [12], которые больше по величине, чем рассмотренные асимптотические волновые числа.
Это должно обеспечить моделирование более быстрых изменений поля, особенно в диапазоне СВЧ и КВЧ диапазонов длин волн.
По аналогии с (6) для каждого из БКЭ можно записать значения составляющих электрического и магнитного поля в своих узловых точках:
Ех-- = Z0{N_}T-{Ex}e-«",
Еу" = Z0{Nj-{Ey}e-'*,
Ez =
нх = ШТ-{Нх}е->»,
Н>
нг- -JW-YWe-«".
где элементы вектора связанные с волновым числом Wij, i = 0,..., N,
j = 1, ...,ть имеют вид Hi(r])e
Применяя к (3) один из проекционных методов [3] - метод Галер-кина или метод Ритца, определяют значения использованных для разложения полей Е или Н. В таком случае решение вариационной задачи будет
ill
заключаться в определении коэффициентов разложения неизвестных полей по собственным функциям задачи электродинамического анализа, которая имеет точное решение.
На следующем этапе исследования возможности применения метода конечных элементов для получения значений составляющих электромагнитного поля на выходе СВЧ линзы предполагается проанализировать диэлектрические резонаторы с различными значениями коэффициента преломления, формами, представленными в виде функций, преломляющих поверхностей и рабочих частот в процессе их проектирования и расчета. Кроме того, необходимо определение затрат машинного времени и вычислительной памяти [15], которые пропорциональны количеству неизвестных переменных проектирования
Заключение
Из большого разнообразия методов электродинамического анализа, применяемых в ходе проектирования диэлектрических линз как элементов антенных решеток СВЧ и КВЧ диапазонов длин волн, метод конечных элементов может быть выбран как адекватный геометрии, частотному диапазону и функциональному назначению в составе диаграммообразующей схемы антенной системы. Основные средства автоматизированного проектирования таких сложных устройств в виде программ ЭВМ для расчета функциональных узлов рассматриваемых диапазонов частот являются "черными ящиками", не позволяющими отследить всю последовательность выполняемых расчетов, граничных условий и допущений. В статье представлена последовательность применения этапов МКЭ в частотной области для определения составляющих электромагнитного поля в процессе электродинамического анализа диэлектрических линз как элементов диаграм-мообразующих схем антенных решеток СВЧ и КВЧ диапазонов.
Показано, что использование большого числа базисных функций в пределах элементарной ячейки повышает точность определения поля (потенциала) и позволяет увеличить размер ячейки при сохранении точности. Однако увеличение размера ячейки за счёт увеличения числа базисных функций может ничего не дать, так как общее число неизвестных коэффициентов, равное произведению числа ячеек на число базисных функций может не измениться, или даже увеличится. Поэтому при численной реализации метода конечных элементов предпочтение отдают простым аппроксимациям поля полиномами первого и второго порядка.
Список литературы
1. Constantine A. Balanis. Antenna theory. Analysis and design. Third edition. Wiley, 2005. 1073 p.
2. Кочетков В.А., Сивов А.Ю., Солдатиков И.В. и др. Структура областей применения численных методов моделирования линзовых антенных решеток СВЧ диапазона в процессе их проектирования (1-я часть цик-
178
ла статей) [Текст] / Кочетков В.А., Сивов А.Ю., Солдатиков И.В., Тихонов А.В., Шишкин Н.В., Шеянов Д.Ю. / Научно-технический сборник "Техника радиосвязи". Омск: ОНИИП, 2016. Вып. 3 (30). С. 46-61.
3. Иларионов Ю.А., Раевский А.С., Раевский С.Б., Седаков А.Ю. Устройства СВЧ- и КВЧ- диапазонов. Методы расчета. Алгоритмы. Технологии изготовления. Монография. [Текст] / Ю.А. Иларионов, А.С. Раевский, С.Б. Раевский, А.Ю. Седаков. М.: Радиотехника, 2013. 752 с.
4. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method, 6-th ed., Elsevier Butterworth-Heinemann, Burlington, MA, 2005. 158 p.
5. Mabaya N., Lagasse P.E., Vandenbulcke P. Finite-element analysis of optical waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1981. Vol. MTT-29. P. 600 - 605.
6. Yeh C., Ha K., Dong S.B., Brown W.P. Single-mode optical waveguides. 1979. Vol. 18. No. 10. P. 1490 - 1504.
7. Rahman B.M.A., Davies J.B. Penalty function improvement of waveguide solution by finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1994. Vol. MTT-32. P. 992 - 928.
8. Hayata K., Eguchi M., Koshiba M. Self-consistent finite / infinite element scheme for unbounded guided wave problem // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1988. Vol. 36. P. 614 - 616.
9. Svedin J.A.M. A numerically efficient finite-element formulation for the general waveguide problem without spurious modes // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1989. Vol. 37. P. 1708 -1715.
10. Svedin J.A.M. Propagation analysis of chirowaveguides using the finite-element method // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1990. Vol. 38. P. 1488 - 1496.
11. Wait R., Mitchell A.R. Finite Element Analysis and Applications. Chichester: Wiley, 1985. [Электронный ресурс] URL: https://doi.org/10. 1002/zamm.19870670620 (дата обращения: 04.09.2019).
12. McDougall M.J., Webb J.P. Infinite elements for the analysis of open dielectric waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1989. Vol. 37. P.1724 - 1731.
13. A Modified Finite-Element Method for Dielectric Waveguides Using an Asymptotically Correct Approximation on Infinite Elements. Jan A.M. Svedin // IEEE Trans. On Microwave Theory and Techniq, 1991, 39, № 2. P. 258 -266.
14. Пименов Ю.В. и др. Техническая электродинамика [Текст] / Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 2000. 536 с.
15. Воскресенский Д.И. и др. Автоматизированное проектирование антенн и устройств СВЧ [Текст] / Д.И. Воскресенский Д.И., Кременецкий С.Д., Гринев А.Ю., Котов Ю.В.: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1988. 240 с.
Горшков Алексей Анатольевич, канд. техн. наук, сотрудник, п.alymov@,mail./и, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Алымов Николай Леонидович, сотрудник, n.alymovamail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Кочетков Вячеслав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, сотрудник, n.alymova mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Солдатиков Игорь Викторович, сотрудник, n.alymovamail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Ханарин Игорь Михайлович, канд. военных наук, доцент, сотрудник, n.alymova mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Черкасов Александр Евгеньевич, сотрудник, n. alymovamail. ru, Россия, Орел, Академия ФСО России
POSSIBILITY OF APPLICA TION OF THE METHOD OF FINAL ELEMENTS FOR THE ELECTRODYNAMIC ANALYSIS OF DIELECTRIC LENSES AS IA GRAMMOOBRAZUYUSHCHIKH ELEMENTS OF SCHEMES OF ANTENNA LATTICESRES OF THE MICROWAVE OVEN AND KVCH OF RANGES
A.A. Gorshkov, N.L. Alymov, V.A. Kochetkov, I. V. Soldatikov, I.M. Hanarin, A.E. Cherkasov
In article the possibility of application of a method of final elements for the electro-dynamic analysis of a dielectric lens as element of the diagrammoobrazuyushchy scheme of antenna lattices of RES microwave oven and KVCh of ranges of lengths of waves is considered. Conditions with which have to satisfy the required field E and H, boundary conditions between external and internal elements of the analyzed electrodynamic area, and also analytical expressions for field components in final (internal) and infinite (external) the analyzed areas are presented.
Key words: diagrammoobrazuyushchy scheme, dielectric lens, methods of the electrodynamic analysis, boundary conditions, final and infinite area of the analysis of the field.
Gorshkov Alexey Anatolyevich, Candidate of Technical Sciences, employee, n. alymovamail. ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Alymov Nikolay Leonidovich, employee, n. alymovamail. ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Kochetkov Vyacheslav Anatolyevich, Candidate of technical sciences, associate professor, employee, n.alymovamail. ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Soldatikov Igor Viktorovich, employee, n.alymovamail.ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Hanarin Igor Mihaylovich, Candidate of Military Sciences, Associate Professor, Associate, n. alymovamail. ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Cherkasov Alexsandr Evgenyevich, employee, n.alymovamail.ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia
