Решение задачи дифракции на диэлектрическом клине, расположенном между металлическими плоскостями, методом частичных областей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Електродинаміка

ЕЛЕКТРОДИНАМІКА

УДК 621.372.413

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КЛИНЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ МЕЖДУ МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ ПЛОСКОСТЯМИ, МЕТОДОМ ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Руда Н.А.; Прокопенко Ю.В., к.т.н. доцент;

Поплавко Ю.М., д.ф.-м.н. професор

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», г. Киев, Украина

Успехи в развитии пьезоэлектрических актюаторов и микроэлектромеханических систем (МЭМС) вызвали интерес к разработке электромеханически перестраиваемых СВЧ устройств [1, 2]. Основное достоинство таких устройств состоит в низком уровне вносимых потерь и высокой добротности перестраиваемых устройств [3].

Электромеханически перестраиваемые устройства обычно создаются за счет перемещения диэлектрических или металлических частей относительно диэлектриков. Для того чтобы можно было использовать пьезоэлектрические актюаторы или МЭМС, необходимо, чтобы требуемые перемещения составляли не более десятков, сотен микрометров. Такой высокой чувствительности электродинамических характеристик к перемещению составных частей можно достичь только за счет правильной конфигурации диэлектрической неоднородности в виде воздушного зазора между частями устройства относительно электромагнитного поля. Изменение размеров диэлектрической неоднородности должно создавать сильные возмущения электромагнитного поля, что, в итоге, приводит к перестройке характеристик устройства. В данной работе демонстрируется применение такого принципа к простейшей перестраиваемой структуре в виде одномерной диэлектрической неоднородности и решение задачи дифракции на такой структуре.

Дисперсионные характеристики металлодиэлектрической неоднородности

Рассмотрим одномерную структуру с диэлектрической неоднородностью, состоящую из двух диэлектриков с относительными диэлектрическими проницаемостями в1 и в2, расположенными между двумя параллельными идеальными металлическими плоскостями (рис.1). В ней диэлектрические свойства среды изменяются только в направлении 0y.

Электромагнитное поле в рассматриваемой структуре может быть описано при помощи y-компонент электрического и магнитного векторов *

13

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

Герца. Такое описание электромагнитного поля допускает независимые решения уравнений Максвелла отдельно для электрического и магнитного векторов Г ерца, и решения распадаются на LM- и LE-волны, описываемые

Рис.1. Металлодиэлектрическая неоднородность

Требование непрерывности тангенциальных составляющих электромагнитного поля LM-волны в плоскости y=h приводит к дисперсионным уравнениям [4]:

^ tg (Р* , h ) + ^i tg (P* 2d ) = 0,

(1)

2

)y2 2

(є, -є2) k2=py.,2 -p;

где P^ - поперечное волновое число в области 1 (0<y<h), pe, - поперечное волновое

число в области 2 (h<y<h+d), h - толщина диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью єІ5 d - толщина диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью є2, к=&/е - постоянная распространения в вакууме, ю - круговая частота, c - скорость света в вакууме.

Как видно из уравнений (1), поперечные волновые числа зависят только от частоты, диэлектрической проницаемости и размеров областей 1 и 2. Нормированные первые корни уравнений (1) для случая воздушной области 2 (є2=1) при различных относительных диэлектрических проницаемостях области 1 показаны на рис.2,а.

1 1 1 1

1 '

Є —80 ^

/ .*■

/ / Єі=40

/ — Є, =20

/ І г, - ІО

—

\ / є,-->

'/ .„..-1 ' -1 і

°0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

d'h, КГ3

(а)

Рис.2. Зависимости нормированных поперечных волновых чисел низших LM- (а) и LE- (б) типов колебаний от нормированной толщины области 2 при различных значениях диэлектрической проницаемости области 1. є2=1, kh=2.

Как видно из рис. 2,а, в случае, когда область 2 является воздушной, поперечное волновое число LM-типа колебаний сильно зависит от расстояния от диэлектрика с проницаемостью є1 до металлической плоскости. 14

14 Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

Изменение этого расстояния от нуля до всего нескольких сотых долей процентов от толщины диэлектрика приводит к существенному изменению поперечного волнового числа. Количественно эти изменения увеличиваются с ростом диэлектрической проницаемости области 1. Столь малые перемещения могут быть реализованы при помощи пьезоэлектрических актюаторов и МЭМС.

Поперечные волновые числа LE-волн связаны между собой следующими дисперсионными уравнениями [4]:

P",ctg (р;,л )+р; 2ctg (р; 2 d )=о,

(є,-82) і 2=р;,2-ру,

где р^ - поперечное волновое число в области 1, р^ - поперечное волновое число в области 2.

Нормированные первые корни этих уравнений при различных относительных диэлектрических проницаемостях области 1 показаны на рис.2,6. Как видно из этого рисунка, для колебаний LE-типа количественны изменения поперечного волнового числа р; гораздо меньшие, чем р^, и тре-

буемые изменения размеров области 2 для достижения этих изменений соизмеримы с размером диэлектрика в области 1. Следовательно, характеристики LE-типов колебаний не могут электромеханически перестраиваться.

Отличительной особенностью LM-типов колебаний является присутствие электрической компоненты поля Ey, перпендикулярной плоскости диэлектрической неоднородности. Для колебаний же LE-типа компонента электрического поля Ey отсутствует. Следовательно, для эффективной перестройки электродинамических свойств диэлектрических структур необходимо создавать воздушную неоднородность перпендикулярно электрическому полю. Аналогично можно показать, что для магнитных материалов для эффективной перестройки необходимо наличие компоненты магнитного поля перпендикулярно воздушной неоднородности.

Моделирование электромеханически перестраиваемых устройств, например волноводно-диэлектрических фазовращателей [5], требует решение задачи дифракции на диэлектрическом клине. Решение этой задачи методом частичных областей рассматривается ниже.

Решение задачи дифракции Пусть электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью 83, падает на одномерную диэлектрическую неоднородность, расположенную в плоскости z=0 (рис.3).

Представим электромагнитное поле в области 1 Рис.3. в виде суммы падающих парциальных волн и отра-

©

h+d

£2

<2>-

Єі

о

—_____

15

Вісник Національного технічного університету України "КПІ' Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

женных собственных волн LM- и LE- типа, описываемых ^-компонентами электрического и магнитного векторов Г ерца:

п і е w n! е со

г:=£гє,++£гє-=£ (у) (x) e~Jiv+£ ; і ) ; (^)e;, і)

i=0 i=0 i=0

2=0

n 1 rn Ю n 1 rn CO

гг* = £гг* +£г 7 = £(y)X7 (x)e~+ £a; (y)ХГ (x)e; , (4)

2= 2= 2=

2=

где cll7} — амплитуды парциальных волн, ae( г} — амплитуды собственных

1

h + d

i = 0;

2

волн Y* (y)= Yrh_Id , Y™ (y) = ^^-sin(py lty) — г-е со6-

Єcos (p y 4y) •2 *0

ственные функции области 1, p

in

y 1

h + d

поперечное волновое число в

области 1, Xe (x), X7 (x) - решения однородного уравнения Гельмгольца

d2 Xe( г} ( x ) dx2

P2Xe (7 > ( x ) = 0,

удовлетворяющие

условиям:

dXm(x) , 4 dXe(x) , 4

----^c = +px (x), ----— = +p J (x); Pr — постоянная,

dx v 7 dx v 7

pz. =yjs3k2 - p^ - P2 — постоянная распространения i-го типа колебаний,

n — константа, определяющая количество падающих парциальных волн LM-типа, пы — количество падающих парциальных волн LE-типа.

Электромагнитное поле в области 2 представим в виде разложения по собственным функциям этой области:

где

г =£a2iP,-e (y ) Ye (y )Xе (x)e-jP

i=0 с

гг = £агPY. (y )K” (y )X7 (x)e

г,х ».-jPZz

2=0

ae( г} - амплитуды собственных

волн в области

с

(5)

(6)

2,

p?} ^/e,k2 -p' -p2 =je2k2 -pe;;:;' -p

є(г)

e(rn)

мы уравнений (1), p^^. - г-ые

Py2 (у) =

>/b^, 0 < y < h

h < y < h + d

PY7 (У) = 1

собственные функции области 2:

p^)2 i-ые решения систе-

решения системы (2),

весовые функции, Y^^7} (У) -

16 Вісник Національного технічного університету України "КПІ"

Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

П (У)

Y7 ( у ) =

cos (РУь-У ) cos(рeyhh)’

C0s (РУ2i (У - h - d)) Niz2 cos (рy2id)

sin (рту1іУ )

nm sin (p;,h) ’ sin (p;2l (h+d - y))

Nm sin(p;2ld)

0 < y < h

, h < y < h + d

0 < y < h

, h < y < h + d

где Ne =

1

h + sin ( 2р Уі ih ) d + sin ( 2р У 2 rd )

2 4ВЄ,,, 2

y1 i

Sj cos

)

S cos

4Be

Fy 2 і \Tm — і

(M ' N 1

h_ sin ( 2Р m ,h ) d_ sin ( 2p y 2

2

4pm i

4pm2i

sin2 (py ,h ) sin2 (p Г2 A )

Для выполнения условия равенства у-компонент поля в плоскости z=0 введем две неизвестные функции:

Е S + Si (У)k 2 Гі

f (У) = ^ЕН = ^ ч--------------,i = 1,2, (7)

Xе (Л ) Xе (Л)

а2 rm

fm (У)

ZH

0 H У _ 7 ау

Z 0

2

+ S,

(У) k2 ГГ

где Si (У ) =

"3’

Xm (Л) i = 1

Xm (л)

J = 1,2.

(8)

V

^0

— собственный импеданс сво-

sp 0 < У < h . , Z0 =

, i = 2

ls2,h < y < h + d бодного пространства.

Тогда, учитывая, что система собственных функций областей является ортонормированной, из условия равенства у-компонент поля в плоскости z=0 получим:

аи = <

-<- +

-* h+d

J Г ( у ) Y1e ( у ) dy, i < «1

S3k Ру 1 i 0

h+d

s3 k - p

Л h + d

J fe ( У ) Y1e ( У ) dy, i > «1e

(9)

y 1i 0

e

17 Вісник Національного технічного університету України "КПІ"

Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

~m . aii = <

h+d

-cm +

cii +

Ї0РЧ5У { ^ 1')l;1 1У ”lm

Л h + d

ZW-Щ Ifm 1 y >Ym ( y > *•i ’ 'і

-| h+d

I pr (y)f‘(y)Yi(y)i,

+d

І f (y К (y ) dy.

(10)

2i Ek2 -P

yli 0

am =

u2 i

(11)

(12)

Z (Elk2 -P1ii2 ) 0

Подставляя (9)-(12) в (3)-(6), из условия равенства х-компонент поля в плоскости z=0 получим систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода:

h+d

I (о. (y, У')f: (У)+G (У,У)fm (y'))fy' = bj (y), j = 1,2 (13)

0

где

у1'(y ')су1 PY■(y)у:(y)^

ґ

о. (y, y )=±p * у

i=0

2 d2

yli

E k2 - P

Eik2 -P

yli

(14)

om (y, y )=k у

i=0

px; (y Km (y) pmy; (yY (y)

li+l

2 d2

yli+l

E k2 - P

2m

Elk -p

yli

Ґ

° (y, y' ) = ®E0 У

i=0

f

e$j: (y)у: (y), E2 (y)p2. (yжу: (yY (y)

D3k Pyli Ek2 - P

GZ(y,y') = T^t

Z0 i=о

2 n: yli

\

dy

dy

E k2 - P

2 o2

yli+l

2 r,m

yli

Elk -p

(15)

nlm nl:

Фі (y) = -2®U„ урсу; (y), Ф2 (y) = 2ше„Ез УРСС (y).

i=l

0°з у у zC іу іі

i=0

Знак ядер (14), (15) выбирается в зависимости от соотношения знаков

dX: (.х) . ч dX: (.х) , ч

функций-----и X (х). Если ----------^- = PXX (х), то в (14) выбирается

dx

dx

18 Вісник Національного технічного університету України "КПІ"

Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

dXe (x) , ,

знак “+”, если же ---^- = -РхXm (x), то выбирается знак “-“. Для ядра

dx

(15) используется противоположное правило.

Для решения системы интегральных уравнений (13) может быть использован метод Галеркина. Для этого разложим искомые функции

fe(m) (У) по полным и ортогональным на отрезке [0, h+d] с весом p^e(m) (у) системам координатных функций (m) (у)}, l = 0, Nc:

N

fe( m ’ ( у ) = X«e( т|РфЄ < m, (у )ФЄ( m) (у),

l=0

(16)

где аЄ( m) - подлежащие определению постоянные, а Nc — количество учитываемых координатных функций. Подставим разложение (16) в (13) и потребуем обращения в нуль проекции невязки на полные системы проекционных функций |^Є(m) (у)}, n = 0, N . В итоге задача сводится к системе

линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов aet (m).

Решение этой системы позволяет найти из (16) функции fe( m) (у) и из (9)-

(12) амплитуды собственных волн, определяющих рассеянное поле.

В суммах, входящих в ядра интегральных уравнений, удерживалось конечное Ng число слагаемых. Величины Nc и Ng выбирались из условия сходимости метода.

Сходимость метода зависит от правильного выбора систем координатных и проекционных функций. При малых значениях d/h или при условии s1«s2 хорошая сходимость наблюдается если ф e( m) (у ) = 7J( m) ( у ),

Ve(m) (у) = Y2e/m) (у). В противном случае, необходимо учитывать особенность электромагнитного поля на ребре диэлектрического клина [6]:

_i _____

E ~ r 2, где r — расстояние до ребра, v = 0.5 - arctgyjr\ -1 / n,

Л = s / ^ -yj t2 + 2 5 (s2 (Sj + s3)2 + s (s2 + s3) ) j, t = Вз( Bi -B2)2 ,

s = 2(s(s2 + s32) + s2(s2 +s32) + s3(S + S>)2). Как показано в [7], этому требованию наилучшим образом удовлетворяют ультрасферические полиномы Ге-генбауэра С2/ (£,), С2/+1 (£,), системы которых ортогональны с весом

і

(і-?2 Г и полны на отрезке [0,1].

Элементы многоволновой (многомодовой) матрицы рассеяния в плоскости раздела областей 1 и 2 (z=0) рассчитываются на основе найденного рассеянного поля:

19

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

Sj

Je ( m )ke( m )

1

h+d

j E ^Ike ( m )

x H'

11k,

e(m)

h+d

• оі (m )ke (m )

; S21

j E

и, xH!., • edy

1

h+d

j e;

0

h+d

j E

0

12 k

x H'

e(m)

12 k

e(m)

и , x H j, • edy

j m )ke( m), Sj(m )ke(m) — коэффициенты отражения и прохождения соответ-

где Sj

ственно для LM- волн с индексом ke и LE- волн с индексом km при падающей LM- волне с индексом je и LE- волне с индексом jm,

^2-ре+(-) (^2реД-) У ЯТ"™+(_)

E'

+(-) _ 5 2 С

1li„

dxdy

А +

H

F?Y m+(-) +(-) _ d 1 К

1li„

H+(-) H1i

dxdy

ЄХ +

f 52Г»+(-)

____1hn___

c>V2

+ s

{y)k2 Г

еЦ~)

К

E+(-)

^-L lim

dim

dz

+ s

{у)ЄТ

»? + (—)

h„.

J

зг®+(_)

-70os/(^)s0—j—ex, 1= 1,2, ex, ev, ez — орты прямоугольной си-

dz

стемы координат.

Следует отметить, что для вычисления Sj

’+(-) TJ+( - )

Je( m )ke( m ) y,je( m )ke ( m )

21

при расчете

полей E+((;), H+() для падающей волны LM-типа задача дифракции реша-

ете при cj ф 0; < = 0,i ф je; = 0,i =i пхm; c2e(m) = 0,i = j n2e{m). При юз-

буждении волной LE-типа амплитуды падающих волн выбираются исходя из требований: cj ф 0; c” = 0, i ф jm; c* = 0, i = 1, nlе cjm) = 0, i = 1, nle{m).

Сравнение расчетов элементов матрицы рассеяния для низшего LM-типа колебаний методами частичных областей, конечных элементов и конечных разностей во временной области продемонстрировано на рис. 4.

0

0

Сравнение результатов расчета коэффициента отражения Уц и коэффициента прохождения У21 методами частичных областей (BEM), методом конечных разностей (FEM) и методом конечных разностей во временной области (FDTD) для структуры, характеризуемой параметрами: s1=10, є2=1, pxh=^/2, d/h=0,001

Как видно, наблюдается хорошее соответствие между предлагаемым методом и методами конечных элементов и конечных разностей во вре-

20 Вісник Національного технічного університету України "КПІ"

Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

менной области. Вместе с тем, метод частичных областей приводит к системам линейных алгебраических уравнений гораздо низшего порядка, чем выше упомянутые методы. Поэтому вычислительная процедура оказывается более эффективной и требует существенно меньших затрат времени для проведения расчетов.

Выводы

Задача дифракции на диэлектрическом клине, расположенном между идеальными параллельными металлическими плоскостями, методом частичных областей сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Система интегральных уравнений решена методом Г алерки-на. Из найденного рассеянного электромагнитного поля была рассчитана многомодовая матрица рассеяния, которая может быть использована для электромеханически перестраиваемых устройств.

Предлагаемый метод приводит к системам линейных алгебраических уравнений относительно низкого порядка. Поэтому он оказывается более эффективным, чем метод конечных элементов и метод конечных разностей во временной области.

Литература

1. Mansour R. High-Q tunable dielectric resonator filters / R. Mansour // IEEE Microwave Magazine.—2009.—Vol.10.— pp.84— 98.

2. Yun T. Piezoelectric-transducer-controlled tunable microwave circuits / T. Yun, K. Chang // IEEE Trans. Microwave Theory Tech.—2002.—Vol.50.— №5.— pp. 1303— 1310.

3. Перестраиваемые СВЧ устройства с электромеханическим управлением / [Ю.М. Поплавко, В.И. Молчанов, В.М. Пашков и др.] // Техника и приборы СВЧ. — 2009. —№1. — С.49— 59.

4. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы / Ю.В. Егоров.-М.: Сов. радио, 1967. - 216 с.

5. Руда Н.А. Электродинамический анализ волноводно-диэлектрического фазовращателя / Н.А. Руда, Ю.В. Прокопенко, Ю.М. Поплавко // Электроника и связь. —

2011. — №2(61). — С.46-51.

6. Brooky G.N. Field behaviour near anisotropic and multidielectric edges / G.N. Brooky, M.Z. Kharadly // IEEE Trans. —1977. — Vol.AP-25. —№4. — pp.571— 575.

7. Линии передачи сложных сечений / [Г.Ф. Заргано, А.М. Лерер, В.П. Ляпин, Г.П. Синявский]; под ред. В.С. Михалевского. - Ростов: Издательство Ростовского университета, 1983. - 320с.

Руда Н.А., Прокопенко Ю.В., Поплавко Ю.М. Решение задачи дифракции на диэлектрическом клине, расположенном между металлическими плоскостями, методом частичных областей. В работе обсуждается решение задачи дифракции на диэлектрическом клине, расположенном между металлическими плоскостями методом частичных областей. Задача сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода, которая решена методом Галеркина. За счет невысокого порядка решаемой системы линейных алгебраических уравнений вычислительная процедура более эффективна, чем в методе конечных элементов и методе конечных разностей во временной области. Рассчитанная многомодовая матрица рассеяния может быть использована для моделирования микромеханически перестраиваемых устройств. 21

21 Вісник Національного технічного університету України "КПІ"

Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48

Електродинаміка

Ключевые слова: дифракция, метод частичных областей, многомодовая матрица рассеяния, микромеханически-перестраиваемые устройства.

Руда Н.А. Прокопенко Ю.В., Поплавко Ю.М. Розв’язання задачі дифракції на діелектричному клині, розміщеному між металевими плоскостями, методом часткових областей. В роботі обговорюється розв'язання задачі дифракції на діелектричному клині, розміщеному між металевими плоскостями методом часткових областей. Задача зведена до системи інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, котра розв'язана методом Галеркіна. За рахунок невисокого порядку системи лінійних алгебраїчних рівнянь розрахункова процедура більш ефективна, ніж у методі кінцевих елементів та кінцевих різностей у часовій області. Розрахована многомодова матриця розсіювання може бути використана для моделювання пристроїв, що мікромеханічно пере-строюються.

Ключові слова: дифракція, метод часткових областей, многомодова матриця розсіювання, пристрої, що мікромеханічно перестроюються.

Ruda N., Prokopenko Yu., Poplavko Yu. Solution of scattering problem on dielectric wedge placed between metal plates by boundary element method. Solution of scattering problem on dielectric wedge placed between metal plates by boundary element method is discussed. The problem is reduced to set of Fredholm integral equations of the first kind. The set was solved by Galerkin method. Due to low dimension of resulting system of linear algebraic equations the method demonstrates high efficiency and faster computation than finite element and finite difference in time domain methods. Proposed method can be applied for rigorous simulation of micromechanically controlled microwave devices.

Keywords: Scattering, Boundary Element Method, Multimode Scattering Matrix, Micromechanically Controlled Microwave Devices. 22

22 Вісник Національного технічного університету України "КПІ"

Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2012. - №48