CC BY
28
TIME CHARACTERISTICS OF WANDERING THROUGH A SEMI-MARKOV PROCESS
E.V. Larkin
The problem of time characteristics applied calculation when wandering through semi-Markov process is investigated. It is shown, that applied calculation may be reduced to solving of two tasks: evaluation of time interval of wandering from one state to another, and evaluation of time interval of return to the state. Dependencies for solving of tasks, including densities-to-characteristic functions transform, exponentiation of characteristic function, matrix element selection and inverse characteristic function-to-density transform, are obtained It is shown, that dependencies mentioned are to complex for practical application. Formulae for direct calculation of expectations and dispersions with use of formulated operation of numerical characteristics convolution are obtained. It is shown, that in this case numerical characteristics calculation is too complicated. The algorithm and mathematical expressions system for recurrent simplification of semi-Markov process, which permits to reduce computational complexity of analysis, is proposed.
Key words: Semi-Markov process, numerical characteristics, characteristic junction, convolution, recursive procedure.
Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical science, professor, head of chair, elarkin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.396.67
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ, ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАДИОЛИНЗ КАК ЭЛЕМЕНТОВ ДИАГРАММООБРАЗУЮЩИХ СХЕМ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК РЭС
СВЧ- И КВЧ-ДИАПАЗОНОВ
Н.Л. Алымов, А.А. Горшков, В.А. Кочетков, И.В. Солдатиков, И.М. Ханарин, А.Е. Черкасов
Обобщаются методы и анализируются теоретические модели радиолинз при проектировании диаграммообразующих схем антенных решеток радиоэлектронных средств СВЧ- и КВЧ- диапазонов. Представлены процедуры использования метода геометрической оптики, а также альтернативных методов синтеза диэлектрических радиолинз наряду с особенностями их применения в зависимости от целей и исходных данных проектирования. Структурированы процедуры проектирования радиолинзы, включающие перечень характеристик СВЧ-линзы, формулировку параметров геометрической оптики, аналитическое описание портов и линий передачи, оценку характеристик диэлектрического резонатора. Уточнены теоретические модели в проектировании СВЧ-радиолинзы и представлена формализация моделей печатной трифокальной линзы Ротмана.
Ключевые слова: геометрическая оптика, СВЧ-линза, асимптотические методы проектирования диэлектрических линз, модель печатной линзы, трифокальная линза Ротмана.
СВЧ-линзы как диаграммообразующие схемы (ДОС) антенных решеток (АР) РЭС различного назначения появились в 1950-х годах, и впоследствии получили многочисленные приложения. Достижения
13
в материаловедении и технологии изготовления привели к новым направлениям реализаций СВЧ-линз, использующих волноводы, полосковые и микрополосковые линии передач. В последние годы интенсивно развиваются беспроводные коммуникации, поддерживающие многолучевые и адаптивные АР. Многие приложения, включая радары предотвращения столкновений на транспорте, спутниковые сенсоры и комплексы радиомониторинга различного назначения - всем им необходимы компактные, лёгкие антенные системы, способные обеспечивать большой угол сканирования в широком диапазоне частот. Развитие печатных СВЧ-линз предполагает возможные технические, конструктивные решения для таких развивающихся технологий [1-3]. СВЧ-линза является структурой, способной фокусировать электромагнитную энергию в точке. Наибольшее распространение получили многолучевые линзы, обеспечивающие широкий сектор излучения и приёма: сферические и цилиндрические линзы Люнеберга, линзы Ротмана и так называемые линзы R-2R.
Геометрическая оптика в проектировании СВЧ-линз
Теория геометрической оптики (GO) очень удобна при формализованном описании конструкции СВЧ-линзы. Она вытекает из асимптотического решения уравнений Максвелла в высокочастотной области СВЧ-КВЧ-диапазонов [4]. В пределах условия превышения длины волны габаритными размерами линзы и радиусом кривизны поверхности распространения волны внутри однородной линзы могут удобно моделироваться в терминах элементарных лучевых трубок. Излучение исходит из фазового центра источника вдоль прямой линии, с амплитудой, взвешенной диаграммы направленности (ДН) источника и затуханием по длине пути обратно пропорционально квадратному корню поперечного сечения лучевой трубки, и с фазой, заданной длиной электрической цепи (рис. 1) [5, 6]. Отражение и передача на поверхности происходят в соответствии с законами Снеллиуса, вытекающими из принципа Ферма [5], а амплитуда луча зависит от коэффициентов Френеля и коэффициента расхождения пучка.
Если предположить, что границу раздела между двумя диэлектрическими средами можно рассматривать в пределах плоскости, отражение падающей плоской волны происходит в той же среде, с одинаковыми углами падения и отражения - закон Снеллиуса для отражения [1, 5]. Преломление регулируется законом Снеллиуса:
msm(Qinc) = n2Sm(0trans), (1)
где ni и П2 - коэффициенты преломления каждой среды и 6inc и 6trans являются углами падения и прохождения, определяемыми по отношению к нормали к поверхности (рис. 2).
Если обе среды имеют одинаковую магнитную проницаемость, то
ni = Т^и n2 = -N/er2 , где Sri и Sr2 - относительная диэлектрическая проницаемость каждого материала. Преломленная волна отклоняется в направ-
лении нормали к поверхности, если волна входит в среду с высокой диэлектрической проницаемостью (рис. 2, а), и отклоняется от нормали при выходе из среды с более высокой диэлектрической постоянной (рис. 2, б) [7]. Принимая во внимание что, в общем случае, поверхность линзы имеет произвольную форму, хотя и с большим радиусом кривизны (по сравнению с длиной волны) в любой точке, то удобно представить уравнение (1) в виде:
(щ / - п21) х П = 0 , (2)
где / и 1 - векторы падающего и преломленного направления волновых чисел, соответственно (рис. 1) и П - вектор нормали к поверхности.
№
Рис. 1. Геометрия линзы и лучевой трубки в терминах СО
"2
к 1 ^Стлтиг
/ р•
П2 ^ Т11
' «Х7 Р*
а б
Рис. 2. Плоская волна, падающая на границу раздела между двумя диэлектриками: а - отклонение из среды с низкой проницаемостью; б - отклонение из среды с высокой проницаемостью.
Выражая эти три вектора в сферических координатах, размещённых в точке фазового центра облучателя, уравнение поверхности (2) осесим-метричной линзы принимает вид [6-8]:
^ = П2 Г 8Ш(9-П) (3)
- n2COs(9-n)'
где г(п) представляет собой неизвестный профиль линзы, в то время как функция выходного угла 6(п) является другой неизвестной, устанавливаемой отдельными условиями проектирования, включающими фазу, или амплитуду или, в конечном счёте, поляризацию. Это условие может быть задано алгебраическим или дифференциальным уравнением. Система уравнений должна быть интегрирована в интервале п 6 [0, Птах] с использованием начальных условий г(0) и 6(0) и конечным значением Птах [7].
Если траектория луча включает участие других диэлектрических поверхностей, каждая из них должна соответствовать уравнению Снелли-уса, эквивалентному (3). Вторая поверхность линзы обеспечивает реализацию дополнительных характеристик ДН АР, которые переводят в соответствие уравнения с использованием радиуса Гп(п) поверхности п и угла выхода луча 6п(п). Система всех включённых уравнений решается путём обобщения процедуры, представленной выше для одной поверхности
[7, 8].
Характеристика многократных внутренних отражений становится сложной с увеличением числа линзовых оболочек [2], но в общем случае не существует значительных преимуществ в учете их влияния в процессе синтеза линзы. Вместе с тем, постановка задачи проектирования должна включать коэффициенты пропускания, коэффициент дивергенции и потери на рассеивание в материале, где это происходит. Анализ внутреннего отражения может быть выполнен апостериори при оценке эффективности линзы.
Согласно литературным источникам, синтез линзы на основе ОО используется для различных условий проектирования, начиная от задач простой коррекции фазы [8] или с дополнительными параметрами ослабления поля к краям раскрыва, до многолучевых или проблем сканирования луча [2, 3], или задач корректировки формирования луча заданной формы [6, 7]. Методы ОО были применены для синтеза осесимметричной линзы, а также для произвольной линзы любой формы [3, 6], для линз СВЧ с несколькими оболочками и неравномерным преломлением [9] или, фактически, для любой комбинации предыдущих случаев.
Точное решение для общих 3D структур с использованием ОО включает количественную оценку параметров линзы [9, 10]. Метод возмущений, например, предложенный в [10] может быть реализован для определенных типов несимметричных целевых ДН и позволяет найти соответствующую форму для заданной несимметричной линзы. При необходимости, адаптация одного и того же принципа может быть использована для регулировки формы линзы с целью получения осесимметричного исходящего луча.
Другие методы проектирования СВЧ-линзы
Преимущество метода ОО прямого синтеза, рассматриваемого в статье, заключается в том, что он обеспечивает получение формы линзы, удовлетворяющей требованиям к конструкции после первичной численной оценки аналитических выражений замкнутой формы без необходимости дополнительных итераций проб и ошибок. Требуемые объём памяти и ресурсы процессора ЭВМ, реализующей процедуры автоматизированного проектирования, фактически незначительны в случае осесимметричных линз. Хотя ОО прямого синтеза достаточно для большого количества приложений проектирования узлов линзового типа в составе АР, метод является асимптотическим, действует в оптических границах, пренебрегая дифракционными эффектами, которые становятся важными, при уменьшении размера линзы [11].
Альтернативные методы проектирования можно рассматривать, когда требуется более точное решение линзы для заданных характеристик ДН антенной системы. Прецизионность конструкции зависит от точности численного моделирования и количества требуемых итераций, обусловленных имеющимися вычислительными ресурсами. Эффективность процесса проектирования во многом зависит от того, насколько продумана процедура оптимизации из-за проблем конкретных линз, которые предварительно детализируются. Использование ОО прямого синтеза линзы в качестве первого приближения для итерационного процесса может повысить его эффективность.
Перед рассмотрением альтернативного итеративного метода проектирования радиолинз как элементов ДОС АР СВЧ- и КВЧ-диапазона, следует обобщить следующие положения:
1. Метод синтеза линзы в замкнутой форме (например, метод ОО, описанный выше) начинается с перечня входных параметров, конструкторской спецификации и непосредственно обеспечивает соответствующую форму линзы, основанную на замкнутой форме описания, без применения итераций проб и ошибок. В этом значении метод можно дополнительно классифицировать как метод прямого синтеза. В целом, проверка характеристик линз требует последующего одноразового использования метода анализа линзы.
2. В методах итерационного синтеза линзы ее форма описывается некоторым аналитическим или численным представлением с неизвестными коэффициентами, определяемыми внутри итерационного цикла оптимизации, который проверяет каждую сгенерированную линзу с использованием соответствующего метода анализа линзы, пока методом проб и ошибок не будут достигнуты целевые характеристики или ДОС, или АР (антенной системы).
3. Метод анализа линз предназначен для оценки эффективности проектируемого резонатора, либо используя приближенный метод или электродинамический решатель. Его выходом являются характеристики, а не форма линзы.
В отличие от методов прямого синтеза, список доступных методов анализа значительно больше. Наиболее часто используемые методы, сгруппированные в соответствии с типом электромагнитного моделирования, можно представить следующим образом [1, 12]. Асимптотические методы:
геометрическая оптика / физическая оптика (GO/PO), физическая оптика / физическая оптика (PO/PO), метод спектральной области (spectral-density method, SDM). Электродинамическое моделирование:
метод сферической волновой моды (Spherical Wave Modal Method), метод конечных элементов (FEM), метод моментов (MoM),
метод конечных разностей во временной области (FDTD). Особенности применения этих методов проектирования СВЧ линз можно определить следующим образом.
Гибридный метод GO/PO, считается одним из наиболее часто используемых подходов в анализе СВЧ-, КВЧ-линз. В качестве входных данных этот метод предусматривает форму линзы и диэлектрическую проницаемость материала, расположение облучателя, а также ДН дальнего поля облучателя, при погружении в неограниченную среду, имеющую ту же диэлектрическую проницаемостью, как у СВЧ-, КВЧ-линзы. Процедура GO/PO включает два этапа. Вначале постановка в терминах GO, используется для вычисления распределения поля на внутренней поверхности линзы; затем используются коэффициенты Френеля для вычисления поля на внешней поверхности линзы. Когда одна или больше диэлектрических поверхностей пересекаются лучевыми трубками, возникающими в фазовом центре облучателя, должны быть использованы соответствующие коэффициенты Френеля и дивергенции [4, 5, 8].
Гибридный метод (PO/PO) также двухступенчатый, но теперь вычисление полей апертуры на первом этапе основано на постановке PO. Это позволяет обойти два ограничения GO:
- метод GO некорректно использовать на первой стадии для небольших СВЧ-КВЧ линз, где облучатель уже не может быть точно представлен точкой и его ДН дальнего поля;
- GO не может предсказать поля вблизи каустики. Этот аспект становится критическим, когда каустика подходит к краю линзы, затрагивая правильную оценку дифракционных эффектов края, или когда каустика подходит к области облучателя, таким образом, существенно затрагивая импеданс облучателя [4].
Метод спектральной области (SDM) является возможной альтернативой GO/PO при анализе интегрированной линзовой антенны. Он представляет особый интерес для небольших СВЧ- КВЧ-линз, размером только в несколько длин волн, где классический подход GO терпит неудачу. В ме-
тодах SDM дальнее поле линзы определяется из разложения полей облучателя апертуры в основании линзы в заданных базисных функциях. Эти функции могут быть, например, плоскими волнами или гауссовыми пучками [2 - 4]. Основное преимущество гауссовых пучков состоит в том, что они ограничены пространственно и спектрально. Оценка поля в ближней зоне у основания СВЧ-линзы требует использования другого метода, например, метода моментов (MoM) [12]. В работах [6, 11] SDM в сочетании с методом трассировки лучей используется для анализа расширенной полусферической СВЧ-линзы. Результаты сравниваются с электродинамическими коммерческими пакетами ПО и экспериментальными измерениями.
Метод сферической волновой моды основан на дискретности электромагнитного поля в группе базовых функций, являющихся решениями волнового уравнения в сферических координатах. Примеры такого подхода можно найти, например, в [2, 11, 13], для анализа сферической однородной или стратифицированной линзы Люнеберга. Для каждого слоя линз, внутренние и внешние поля дискретизируются в сферических модах. Методика согласования мод (типов волн) используется для получения коэффициентов разложения. Априори известны коэффициенты только для падающей волны на наружный слой линзы. Все остальные коэффициенты должны быть определены из наложения граничных условий на границах раздела слоёв. Применение граничных условий формирует ряд линейных уравнений, которые будучи однажды решенными, обеспечивают коэффициенты всех полей в каждой области линзы.
Метод моментов (MоM) в анализе СВЧ-, КВЧ-линз относительно редко встречается в литературе. Причина, в какой-то мере, заключается в том, что связанная с MоM матрица линейных уравнений может иметь слишком громоздкий размер для больших электромагнитных объектов, в то время как СВЧ линзы, обычно являются большими в терминах длины волны [12].
В методе конечных разностей во временной области (FDTD), как и в МоМ, использование традиционных 3D FDTD как алгоритма итеративного анализа ограничивается СВЧ-, КВЧ-линзами с размерами, близкими к длине волны. Действительно, число переменных алгоритма возрастает в кубе с увеличением радиуса линзы, что приводит к слишком большим вычислительным затратам для наиболее распространенных задач оптимизации. Тем не менее, для структур с осевой симметрией, можно свести 3D к более простой 2D задаче и реализовать более быстрый алгоритм, называемый телом вращения (Body of Revolution, BOR) FDTD. BOR-FDTD можно использовать, даже если симметричная линза запитана асимметричным источником [14]. В этом случае ток облучателя (излучаемое им поле) может дискретизироваться в разложении Фурье. Каждый элемент разложения отдельно анализируется с помощью алгоритма BOR-FDTD, и конечный результат получается по векторной сумме всех частей BOR-FDTD анализа.
Следует отметить, что возможно рассмотрение двух альтернативных подходов в параметрическом моделировании СВЧ-линзы. Полиномиальный тип представления может быть принят, когда коэффициенты являются неизвестными для оптимизации в цикле вместо большой совокупности координат поверхности СВЧ-линзы. Это решение является достаточно гибким, допуская представление произвольных форм. Недостаток заключается в том, что алгоритм оптимизации может генерировать ненужное количество бесполезных форм линз не потому, что та или иная геометрия является невозможной, но потому, что случайно сгенерированные линзы могут легко создавать полное внутреннее отражение, поверхностные волновые моды и каустику, особенно для интегрированных многооболочных линз, которые обнаруживаются только после процесса анализа [2, 9].
При втором подходе [11], пространство поиска может быть сужено к конкретным классам линз с помощью аналитических профилей линз, полученных методом синтеза GO, но позволяя управлять рассматриваемыми параметрами с помощью алгоритма оптимизации. Аналитические решения с целью обеспечения электромагнитной жизнеспособности всех решений тестируются в итерационном процессе. Между этими двумя подходами существует компромисс времени сходимости решения и гибкости проектирования.
На рис. 3 представлены описанные процедуры и рабочий процесс -инструмент анализа и оптимизации при проектировании СВЧ-, КВЧ-линз. Этот инструмент был реализован в пакете ПО (ILASH software tool), разработанном в Instituto de Telecomunicagoes Португалии, для круговой формы интегрированных линзовых антенн с одинарным или двойным слоем, и может обрабатывать несколько определений целевых характеристик [15].
Вход
Характеристики облучателя Материалы ' Проектная спецификация
Выражение в замкнутой форме Итеративный проце
iecc
Оценка характеристик линзы Средства диагностики
Анализ антенны
Алгоритм оптимизации Функция затрат
Оптимизация
Выход
С
Профиль линзы
Рис. 3. Блок-схема этапов проектирования СВЧ-, КВЧ-линз
20
Метод анализа СВЧ линзы проводится на основе GO/PO, а оптимизация основана на метаэвристических, в частности, генетических алгоритмах.
Теоретические модели в проектировании СВЧ-линзы
СВЧ-линзы в качестве ДОС АР предназначены для возбуждения или линейной решётки, которая производит сканирование по азимуту луча или плоской решётки, которая генерирует трёхмерные сканирующие "карандашные лучи". Поскольку 3D решётка ДОС формируется с помощью 2D СВЧ-линзы, формализацию СВЧ-линзы обычно осуществляют в двумерных координатах. Линейной АР для получения сканирующих лучей требуется линейный фазовый сдвиг и надлежащее амплитудное распределение по апертуре, как показано на рис. 4 [11].
Порт луча Порт приёмника Амплитудное распределение
Сдвиг фазы
Рис. 4. ДОС АР на основе СВЧ-линзы
Проектирование СВЧ-линзы начинается с определения параметров GO. Учитывая однородные и низкие потери среды заполнения СВЧ-линзы в пределах ограниченной длины пути, фаза электромагнитной волны изменяется более резко, чем амплитуда. Поэтому амплитуда через апертуру оказывает влияние преимущественно на уровень боковых лепестков (БЬЬ) ДН и не сильно влияет на направление лучей сканирования. Следовательно, механизм СВЧ-линзы может быть описан с использованием понятия задержки распространения сигнала.
Формализация модели печатной трифокальной линзы Ротмана
Схема на рис. 5 представляет собой общую структуру, соответствующую традиционной трифокальной линзе Ротмана [16]. Входы ДОС, показанные на рис. 4, подключены к дуге лучей на рис. 5, где расположены фазовые центры портов луча. Аналогично, дуга внутренних приёмников расположена на траектории фазовых центров внутренних портов приёма. Между портами внутренних приёмников и элементами АР находятся свя-
занные линии передачи с геометрическими длинами Ж. Работа СВЧ-линзы предполагает, что каждая точка на дуге лучей формирует цилиндрическую волну по направлению к внутреннему приёмнику. Спадающие фазовые и амплитудные распределения генерируются в точках внутреннего приёмника, который затем направляет энергию к линии передачи, и генерирует возбуждение излучающих элементов АР.
В модели печатной трифокальной линзы Ротмана, в качестве неизвестных будут рассматриваться дуга внутреннего приёмника Р(Х,У) и длина линии передачи Ж. Другими словами, расположения порта лучей и элемента АР являются заданными параметрами. Учитывая систему координат, показанную на рис. 5, определим, что каждый фазовый центр порта луча относится к одному стягиваемому углу в, и каждый луч относится к одному углу излучения у. Следует отметить, что среды распространения лучей, линий передачи и условий излучения могут быть различны, так как на практике линза может быть заполнена диэлектриком, а линии передачи могут быть реализованы с использованием коаксиальных кабелей. Следовательно, три области в пространстве линзы отмечены как имеющие различные значения относительной диэлектрической проницаемости ег, ее и еь Параметры для вывода общего уравнения проектирования, включают: а - смещённый от центра фокальный угол; в - фокальное отношение, в = Ор2 / для краткости в = / //1; ¥ - угол сканирования решётки; в - стягиваемый угол для фазовых центров порта лучей; у - отношение угла раствора луча к углу ориентации луча, у= эт(^а) / sin(a); £ - промежу-
Линия передачи
У к Элемент АР
Дуга внутренних приёмников
Рис. 5. Параметры трифокальной линзы
точный параметр, £ = Yзy/ /1, Yз - расстояние любой точки решётки от оси х; Ор2 - боковое фокальное расстояние, /2 для краткости; Ор1 - центральное фокальное расстояние, для краткости /1; Ж - длина линии передачи; е - эксцентриситет дуги лучей; w - нормированная относительная длина линии передачи, w = ^ - Wo) / й; ег, ее, Si - диэлектрические константы области полости, линии передачи и окружающей среды; X, Y - неопределённые координаты фазовых центров внутренних принимающих портов, нормируются как х, у.
Перейдем к модели проектирования решения Р(Х,У) и Ж Наличие трёх параметров для получения их явного решения, требует трёх уравнений. Это достигается путём постулирования того, что существует три идеальные фокальные точки ^1, F2, Fз) вдоль дуги лучей, и каждая из них производит точный линейный фазовый сдвиг для сканирования лучом ДН в определённом направлении. Если предположить, что идеальные фокальные точки находятся в в = ±а и 0, и их соответствующие углы излучения являются ¥ = ± ¥а и ¥ = 0, учитывая, что ¥а известный угол, формируется система уравнений (4) - (6) [17, 18]:
>2Р^ + Ж^е + в1п (Щ )- /^ + Ж,^, (4)
Рз Р^ + Ж^ - ^ 81П (щ )- /^ + ЖТ^, (5)
+ Ж^е - /^ +Жо4^, (6)
где Yз представляет у координату элемента АР, РР является физическим расстоянием от фокальной точка Р до Р, и /1 представляет фокальное расстояние между Р и О.
При проектировании полосковой и микрополосковой линзы используются различные диэлектрические постоянные линий передачи, соединяющих линзу с излучающими элементами, следовательно, необходимо найти решения обобщённых уравнений (4) - (6).
Нормирование (4) с помощью электрической длины центрального фокального расстояния /1У1е~г, приводит к (7) - (9):
р2Р = А _ Ж - ж0^е _ УзВ1ПУа ^ = w ^ _ У^УПЩ ^ (у)
/1 /1 / & /1 /1
РР = /_ Ж _жо4ёе + Гз81пщ ^ =в__ ГзВтЩд (8)
р1Р -1 _ ж_ж±К=1 _ Ж, (9)
/1 /1
где в представляет собой соотношение между боковыми и центральными фокальными расстояниями, и строчная буква w обозначает нормированные линии передачи, объясняющие длину центральной линии. Из рис. 5 справедливы следующие уравнения:
2Э
F3P2 = (-f2 cosa-X )2 + (-f2 sin a+Y )2 = f22 + X2 + Y2 + 2 f2 X cosa-2 f2Y sin a, F3P2 = (-f2 cos a-X)2 + (-f2 sin a-Y)2 = f22 + X2 + Y2 + 2f2X cos a+2f2Y sin a, Ff2 = (f + X)2 + Y2,
Нормируя (10) - (12) по fi, получаем:
2 = ¡32 + x2 + y2 + 2fíx cosa-2fty sina,
F2P2 = f22 + X2 + Y2 + 2 f2Xcosa-2f2Ysina
,2 + + ^ +
fi2 fi2 fi2 fi2
fi2
fi2
F3 P2 f22 X2 Y2 f2 X cos a f2Y sina
,2 + + +
fi2 fi2 fi2 fi2
fi2
fi2
= в2 + x2 + y2 + 2fíx cosa+2fiy sina,
(i0) (ii) (i2)
(13)
(14)
F3P2 = (f+X )2+ YL=(i+x )2+y2.
_ f fi fi
Возводя в квадрат (7) - (9) и приравнивая к (i3) - (i5), получается:
(i5)
в-w
_ ^srny, yfc
^r fi ^r.
в-wÉ. + Y3sinУ ^
e f
Y
в + x + y + 2 ex cosa- 2fíy sina,
= в + x + y + 2вx cosa+2вy sina,
r J
, e"
i - w^=
= (i + x )2 + y2.
(i6)
(17)
(18)
Суммируя и вычитая уравнение (17) из (16), получаем упрощенную систему уравнений:
Г Л 2
ee Y3 sin ya e
w'-2- +
V
fi
— = x + y + 2вx cosa,
J er
вYз sin y/a y¡£~ - WY3 sin y
fi yf^r fi yf^r
2 x + x2 + y2 = w2 e -
er Je
в y sina,
(19)
(20) (2i)
Отметим, что здесь рассматривается геометрическое место точки Р(Х,У), которая определяет дуги портов приёмных элементов, как показано на рис. 5. В (19) - (21) х, у и w являются переменными. Из (20) получаем координаты точек дуги портов приёмных элементов линзы:
y = Y3 sin У a JeL - WY3 sin У a л1еее = Y3 sin У a JfL Í, - wÉ l =£?К Í, - ^É
fisina yfe fisina je f,sina yfet J veet в4е
\
(22)
Значение х может быть вычислено из (19) + (21), как показано в (23):
(1 -в)w le
x = ey sin2 ya +
2er (вcosa-1) вcosa-1 \er
(23)
Переменная w формируется из (19) - (21) в стандартное уравнение:
24
E£jLw2 + b p-w + c = 0. £„ V P
(24)
Подводя итог, неизвестные X, Y и W-Wo решаются из приведенных уравнений:
yp -b ±Уb2 - 4ac
w,.
2a
(1 -0)w 2er (cosa-1) fícosa-1
x = pylsin" ¥
- +
У
P Y3sin ¥a
er f1 sin a
1-
w в
(25)
(26) (27)
"r y
где a =1 -
с
1 -ec
-fe b =-2.
2Z2 p + 2(1 -в) ZS2 (1 -в)р .
z s 2 z2s4
-Z +
1 -вС 4 (1 -вС)
в
в P
= /2.
- +
1 -вС
Z
(1 -вс )2
_ y3 sin ¥ a
f1 f sin a
Здесь x, у являются нормированными значениями Х, Y по /1, а w представляет разницу длины пути W - Wo, нормированными по /1, и S = sina; C = cosa.
Теперь уравнения (25) - (27) определяют внутренний приёмный контур и линии передачи (рис. 5). Необходимо отметить, что здесь вдоль дуги лучей рассматриваются только три фокальных порта, тогда как в реальном проектировании, как правило, применяется более трёх портов. Чтобы определить их расположение, мы предполагаем, что дуга луча имеет форму эллипса, на котором учтены все три фокальные точки и эксцентриситет может быть параметром проектирования, регулирующим форму дуги луча. Как показано на рис. 6, эксцентриситет определяется с помощью (28):
e =
a2 - b2
a
(28)
■as
' i 1 ь -Vi i Г х а 1 \ Г"Ч 1
-0.5
0.5
Рис. 6. Формирование дуги лучей линзы
25
c
Функция эллипса (рис. 6) может быть определена как
(x +1 - b)2 e2 ,
V = (29)
Параметры a могут быть определены подстановкой известных внеосевых фокусов, которые проходят через эллипс. Уравнение (30) представляет результат в виде:
1 -B2cos2 а+ 2fîcosa+ В2 sin2 а(е2 -1)-1
a = -—-y—---^-—. (30)
2 V1 - e2 (cosa-1)
Таким образом, дуга портов лучей является функцией а, в и е. Для определения позиции порта луча, линейная функция, проходящая порт луча и начальную точку, определяется как
Уь =-tg°-xb, (31)
где в- это угол, образованный лучом, и хь и уь являются неопределёнными координатами порта луча. Координаты могут быть определены приравниванием (31) с (29).
-2a + 2ab + 2<Jb2a2 - b2tgв + 2bitg2в
1 a
x,
6 2 а2 + Ъ21%2 в
Таким образом, рассмотренные этапы формализации трифокальной печатной линзы Ротмана в процессе проектирования диаграммообразую-щих схем антенных решеток в сочетании с аппаратом геометрической оптики позволяют провести моделирование распределение лучей внутри и на поверхности тела СВЧ-линзы. Затем по известным формулам Френеля возможно вычисление составляющих электромагнитного поля на внешней поверхности линзы и расчет параметров ДН антенной решетки, использующей ДОС линзового типа.
Заключение. Важным элементом в процессе проектирования антенных систем, в том числе и антенных решеток РЭС СВЧ- и КВЧ-диапазонов, реализующих режимы сканирования и формирования многолучевых диаграмм направленности, является математическое моделирование, позволяющее определить рабочие характеристики проекта без создания опытного образца, и по результатам внести необходимые коррективы в конструкцию. В статье показано, что приближенные методы проектирования радиолинз СВЧ-, КВЧ-диапазона связаны с задачами излучения и рассеяния электромагнитных волн. Их отличие от задач печатных или волно-водных схем состоят в необходимости определения поля в области больших электрических размеров. Дискретизация больших областей порождает задачи большой размерности. Поэтому использование таких методов как метод моментов и ¥ВТВ заведомо неэффективно. В таких случаях строгие методы вычислительной электродинамики необходимо дополнить, так называемыми, асимптотическими (гибридными) методами моделирования и проектирования радиолинз СВЧ-, КВЧ-диапазона.
26
Структурированные в работе процедуры проектирования СВЧ линз, включают характеристики диэлектрического резонатора, формулировку параметров геометрической оптики, реализацию портов и линий передачи, оценку характеристик полной радиолинзы.
Уточнены теоретические модели в проектировании СВЧ линз и получена формализация модели трифокальной линзы Ротмана. Рассмотренные методы и модели должны обеспечить методологическую основу и стратегию оптимального проектирования диэлектрических линз как системообразующих элементов диаграммообразующих схем антенных решеток РЭС СВЧ и КВЧ диапазонов длин волн.
Список литературы
1. Современное состояние и возможные направления совершенствования элементов методологии проектирования линзовых антенных решеток РЭС СВЧ диапазона [Текст] / В.А. Кочетков, А.Ю. Сивов, И.В. Солдатиков, А.В. Тихонов, Н.В. Шишкин / Научно-технический журнал Информационные системы и технологии. Орел: ОГУ им. И.С. Тургенева,
2016. № 5 (97). С. 73 - 82.
2. Fuchs B., Palud S., Coq L. Le, Lafond O., Himdi M., Rondinean S. Scattering of spherically and hemispherically stratified lenses fed by any real source. // «IEEE trans. Antennas and Propag», 2008. Vol. 56. No. 2. P. 450 - 460.
3. Zhang Y., Christie S., Fusco V. Reconfigurable beamformimg using phase-aligned Rotman lens // IET Microwaves, Antennas and Propagation, 2012. Vol. 6. No. 3. P. 326 - 330.
4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах [Текст]. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1957. 502 с.
5. Сивухин Д. В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов в 5 т. Т. IV. Оптика [Текст]. 6-е изд. М.: Физматлит, 2015. 656 с.
6. Dong J., Zaghloul A.I. Extremely high-frequency beam steerable lens-fed antenna for vehicular sensor applications // IET Microw. Antennas Propag, 2010. Vol. 4. P. 1549 - 1558.
7. Применение методов геометрической оптики при проектировании линзовых антенных решеток (2-я часть цикла статей) [Текст, рисунок] / Кочетков В.А., Сивов А.Ю., Солдатиков И.В., Тихонов А.В., Шишкин Н.В., Лысанов И.Ю. // Научно-технический сборник "Техника радиосвязи",
2017. Вып. 1 (32). Омск: ОНИИП, 2017. С. 46 - 64.
8. Зелкин Е.Г., Петрова Р.А. Линзовые антенны [Текст]. М.: Сов. Радио, 1974. 280 с.
9. Belov P.A., Silveirinha M.G. Resolution of sub-wavelength lenses formed by a wire medium. Phys. Rev. E, 73, 056607, 2006.
27
10. Егоров А.А., Ловецкий К.П., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Моделирование направляемых (собственных) мод и синтез тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга в нулевом векторном приближении // Квантовая электроника, 2010. Т. 40. № 9. С. 830-836.
11. John Thornton, Kao-Cheng Huang. Modern lens antennas for communications engineering. IEEE Press. Wiley, 2013. 272 p.
12. Кочетков В.А., Сивов А.Ю., Солдатиков И.В., Тихонов А.В., Шишкин Н.В., Шеянов Д.Ю. Структура областей применения численных методов моделирования линзовых антенных решеток СВЧ диапазона в процессе их проектирования (1-я часть цикла статей) [Текст] // Научно-технический сборник "Техника радиосвязи". Омск, ОНИИП, 2016. Вып. 3 (30). С. 46-61.
13. Комарова Е.В. Антенные и дифракционные характеристики многослойной линзы Люнеберга [Текст] // Автореферат дисс. на соискание ученой степени к.т.н. Екатеринбург: ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина", 2012. 20 с.
14. Jun Shibayama, Bungo Murakami, Junji Yamauchi, Hisamatsu Na-kao. LOD-BOR-FDTD Algorithm for Efficient Analysis of Circularly Simmet-ric. IEEE Microwave and Wireless Components Letters, 2009. Vol. 19. Issue. 2. [Электронный ресурс] URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/4773156 (дата обращения 09.01.2019).
15. Eduardo Lima, Jorge R. Costa, Mario G. Silveirinha, Carlos A. Fer-nandes. ILASH - Software tool for the design of integrated lens antennas. 2008 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (5-11 July 2008). [Электронный ресурс] URL: https://ieeexplore.ieee.org/ document/ 4619133 (дата обращения 09.01.2019).
16. Rotman W., Turner R. Wide-angle microwave lens for line source applications // IEEE Trans. Propag, 1963. Vol. AP-11. No. 6. P. 623-632.
17. Design Trades for Rotman Lenses. Hansen R.C. IEEE Trans. on Antennas and Propagat, 1991. 39. № 4. P. 464-472.
18. Wang Z.X., Fan D.P., You L.Z. A design of microstrip Rotman lens. // State Key Lab of millimeter waves, Southeast University, Nanjing. China, Antennas and Propagation Society International Symposium. IEEE, 2012. Vol. 1. P. 659-662.
Алымов Николай Леонидович, сотрудник Академии ФСО России, n.alymov@mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Горшков Алексей Анатольевич, канд. техн. наук, сотрудник Академии ФСО России, n.alymov@mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Кочетков Вячеслав Анатольевич. канд. техн. наук, доцент, сотрудник Академии ФСО России, buhtins@mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Солдатиков Игорь Викторович, сотрудник Академии ФСО России, putnicorel@mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Ханарин Игорь Михайлович, канд. воен. наук, доцент, сотрудник Академии ФСО России, putnicorel@mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Черкасов Александр Евгеньевич, сотрудник Академии ФСО России, putnicorel@mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России
ASYMPTOTIC, ELECTRODYNAMIC METHODS AND MODELS DESIGN OF RADIO LENSES AS DIAGRAMMATIC ELEMENTS OF SCHEMES OF ANTENNA LATTICES OF ELECTRONIC FACILITIES OF THE SHF AND EHF OF RANGES
N.L. Alymov, A.A. Gorshkov, V.A. Kochetkov, I.V. Soldatikov, I.M. Hanarin, A.E. Cherkasov
In the article the methods are generalized and theoretical models of radio lenses at design of diagrammatic schemes of antenna lattices of radio-electronic means of the SHF and EHF of ranges are analyzed. The procedures of use of a method of geometrical optics and also alternative methods of synthesis of dielectric radio lenses along with the features of their application depending on the purposes and basic data of design are submitted. The radio lens design procedures including the list of characteristics of the SHF of a lens, a formulation of parameters of geometrical optics, the analytical description of ports and transmission lines, assessment of characteristics of the dielectric resonator are structured. Theoretical models in design of the SHF of a radio lens are specified and formalization of models of a printing tri-fokalny lens of Rotman is presented.
Key words: geometric optics, microwave lens, asymptotic design methods of dielectric lenses, model of a printing lens, trifokalny lens of Rotman.
Alymov Nikolay Leonidovich, staffer of Academy of FGS of Russia, n. alymov@mail. ru, Russia, Orel, Academy FSO of Russia,
Gorshkov Alexey Anatolevich, staffer of Academy of FGS of Russia, n. alymov@mail. ru, Russia, Orel, Academy FSO of Russia,
Kochetkov Vyacheslav Anatolevich, staffer of Academy of FGS of Russia, buhtins@mail.ru, Russia, Orel, Academy FSO of Russia,
Soldatikov Igor Viktorovich, staffer of Academy of FGS of Russia, putnicorel@mail. ru, Russia, Orel, Academy FSO of Russia,
Hanarin Igor Mihajlovich, staffer of Academy of FGS of Russia, _ putnicorel@mail. ru, Russia, Orel, Academy FSO of Russia,
Cherkasov Aleksandr Evgenevich, staffer of Academy of FGS of Russia, putnicorel@mail.ru, Russia, Orel, Academy FSO of Russia
