Возможна ли циклическая модель Вселенной в Релятивистской Теории Гравитации? Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Возможна ли циклическая модель Вселенной в Релятивистской Теории

Гравитации?

Ю.В. Чугреев1' *

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких энергий Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 16.04.2024; после доработки 24.04.2024; подписана в печать 27.04.2024)

Новая модель темной энергии предложена в рамках плоской фридмановской модели в РТГ с глобальным скалярным полем Ф с квадратичным потенциалом, которое обеспечивает космологическое ускорение в настоящее время и отскок на поздних временах. На стадии сжатия растущая анизотропия казнеровского типа разрушает механизм отскока вблизи Большого взрыва. Существует и неосциллирующий сценарий при достаточно малых значениях массы гравитона, когда такие члены существенны только на конечной стадии расширения. На этапе сжатия анизотропия будет расти и плотность вещества достигнет планковской величины.

РЛСЯ: 04.50.Kd, 95.30.Sf УДК: 524

Ключевые слова: фридмановская Вселенная, масса гравитона, темная энергия, квинтэссенция. БОТ: 10.55959/МЯи0579-9392.79.2440102

ВВЕДЕНИЕ

Фридмановское космологическое решение является одним из наиболее важных следствий любой теории гравитации. В релятивистской теории гравитации (РТГ) [1], разработанной группой А.А. Логунова, этому было посвящено немало работ [2-13]. Такое решение описывает осциллирующую Вселенную с двумя точками поворота, задаваемыми массой гравитона. В настоящей работе будет расмот-рена устойчивость такой однородной и изотропной (фридмановской) циклической модели.

В РТГ предполагается, что гравитационное поле, как и все остальные поля, развивается в пространстве Минковского, при этом тензор энергии-импульса всех полей материи, включая и гравитационное поле, является источником такого поля. Такой подход находится в полном соответствии с современными теориями калибровочных полей электрослабых и сильных взаимодействий, где сохраняющиеся заряды и их токи являются источниками векторных полей. Если тензор энергии-импульса выбран в качестве источника гравитационного поля, то и само гравитационное поле должно описываться тензором второго ранга . В дальнейшем это привело к «геометризации» теории. Подчеркивалось, что основное требование к фоновому пространству — чтобы оно было максимально симметричным, т.е. допускало существование всех 10 векторов Киллинга, что, в свою очередь, гарантировало наличие всех 10 (максимального для 4-мерного пространства) интегральных законов сохране-

ния вещества и гравитационного поля, вместе взятых. Пространства, которые удовлетворяют этому требованию, называются пространствами постоянной кривизны. Пространство Минковского является одним из таких пространств, причем самым простым, и поэтому оно было выбрано в качестве фонового [1]. Однако, в принципе, возможно использование и других пространств постоянной кривизны.

Уравнения РТГ в этом случае можно записать в виде (О = Н = с =1):

(7авБаБв + ш2) ^ = , (1)

Щ ) = 0. (2)

где — ковариантная производная в пространстве Минковского с метрикой ^^, 7ав— оператор Даламбера и ^ — плотности гравитационного поля и гильбертова полного тензора энергии-импульса соответственно:

^ =

ÖL

öy,

* E-mail: chugreev@

[email protected]

iphysics.msu.ru

E-mail:

(3)

где L — плотность полного лагранжиана гравитационного поля и вещества.

Уравнение (1) гарантирует сохранение полного тензора энергии-импульса, оставляя только состояния гравитонов, отвечающих спинам 2 и 0, и исключая поляризации 1 и 0' (аналогично условию Лоренца, которое исключает фотоны со спином 0).

Уравнения гравитационного (1)-(2) поля также можно записать в другой форме [1], где явно видно их отличие от уравнений ОТО:

ш2 1

—7Г = МТш,-о(4)

d,3 {V=ggal3) = о.

(5)

Здесь и К — соответствующие свертки тензора кривизны в эффективном римановом пространстве, а — тензор энергии импульса (негравитационной) материи:

2

SL

м

Sg^v '

1. ЕЬЯЖ-МОДЕЛЬ В РТГ

Вернемся к космологическим решениям РТГ. Как обычно, в однородной и изотропной Вселенной интервал событий в римановом пространстве представлен метрикой Фридмана-Леметра-Роберт-сона-Уокера (ЕЬИЖ):

ds2

давdxadxe = dr2 — a (т)2 x

dR2

1 - kR2

+ R2 (d£2 +sinв 2dy2)

(6)

где к = 1, —1, 0 — для закрытой (эллиптической), открытой (гиперболической) и плоской (параболической) Вселенных соответственно. В этом случае интервал пространства Минковского зависит от двух переменных:

ва2 = йхайхв = скЬ (т, К)2 — йт (т, К)2 —

— т (т, К)2 (йв2 +8Ш в 2сV2) • (7)

Подставляя (10), (11) в (4), (5), можно строго показать [9], что замкнутого решения (к = 1) не существует. Новый космологический сценарий, основанный на открытом Минковском фоне будет проанализирован отдельно, а теперь рассмотрим более детально традиционное в РТГ плоское решение.

Несложно решить уравнения (5) в этом случае. Используем интервалы

сЪ2=с1т2—в4а2 (т) (йт2 +т2 (йв2+вт в 2йр2)) , (8)

ст 2

= (Лг2+г2 (сю2+8шв 2<кр2)), (9)

где в — постоянная интегрирования [9]. Тогда гравитационные уравнения (4) для однородной и изотропной Вселенных принимают вид:

1 da a dT

8п

= тр

1

з 1

W +

1 d2 a 4п m2

о "dr2 = 3~ 6~

1

, (10)

(11)

Константа в имеет простой физический смысл. Для интервала (8) условия принципа причинности [4] приводят к неравенству

: (т) — в4 < 0.

(12)

Таким образом в определяет максимальное значение масштабного фактора

в.

(13)

Отсюда следует, что, согласно РТГ, неограниченный рост а(т) невозможен и, следовательно, невозможно и бесконечное расширение Вселенной.

Негравитационное вещество Вселенной описывается, как обычно, тензором энергии-импульса идеальной жидкости с плотностью вещества р, давлением р и 4-вектором скорости = (1, 0,0, 0). Из ковариантного закона сохранения тензора энергии-импульса материи

VM {у/чтп = 0,

(14)

где V ^ — ковариантная производная по отношению к римановой метрике , следует, что

р + 3- (р+р) = 0. a

(15)

Следовательно, плотность вещества с уравнением состояния р = шр равна, как и в ОТО,

Л

Р

(16)

где Лш, ш = const.

Уравнения (10) и (11) отличаются от ОТО членами с массой гравитона, которые добавляются к компонентам, содержищими плотность и давление.

Отрицательный Л-член, которому отвечает слагаемое —m2/6, становится заметным в нерелятивист-кую эру. Он хотя и может остановить расширение Вселенной, но не в состоянии обеспечить космологическое ускорение. Поэтому в состав вещества необходимо включить квинтэссенцию с v < 2/3, которая бы его компенсировала [7]. Второй, a^-член, содержащийв, не вносит вклад во вторую производную a и, следовательно, не может играть роль темной энергии, обеспечивающей необходимое ускорение. Как будет ясно из дальнейшего, это слагаемое не играет никакой роли. Наконец, третий член — «антивещество» — проявляет себя в гравитационном отталкивании. На стадии сжатия при высоком давлении (и, соответственно, малых a) он настолько велик, что может остановить формирование сингулярности типа Большого взрыва, приводя к отскоку. Ниже это будет обсуждаться более подробно.

Одно из наиболее значимых открытий в последнее время состоит в том, что Вселенная имеет положительное ускорение [14]:

1 d2 a

a dT2

> 0.

(17)

В нашем случае ускорение задается формулой

1 d?a 4п

22 m2 m2

a

max

X

2

2

m

6

1

6

a

a

Для обычной барионной материи ш(> 0) означает квадрат скорости звука, следовательно, единственный положительный член здесь только т2/6а-6. Он останавливает сжатие Вселенной и имеет тот же порядок величины, что и р в окрестности атгП, но быстро спадает, когда масштабный фактор после отскока начинает расти. В настоящее время т2/а6 меньше, чем р, более чем на 31 порядок [13]. Следовательно, есть необходимость добавить новый тип вещества — квинтэссенцию (по аналогии с ОТО). Это вещество не взаимодействует с обычной материей и имеет уравнение состояния с отрицательной ш < 0, что и обеспечивает ускорение. В ОТО существует и другой рецепт: добавить к лагранжиану гравитационного поля космологическую постоянную, что соответствует ш = — 1. Однако это невозможно сделать в РТГ для плоского фридмановско-го решения, так как, во-первых, вакуумное решение будет отлично от нуля и, во-вторых, принцип причинности будет нарушен [8].

Следовательно, в РТГ на базе пространства Мин-ковского есть только одна возможность — вещество квинтэссенции [7, 8, 10] с ш 1. Обычно для этого используется модель космологического скалярного поля Ф(т) с плотностью лагранжиана

1

Ьф = -у/=дК (Ф, X), X = -да13даФд13Ф, К(Ф,Х) = Х^тт.

(18)

Но в [10] было показано, что она описывает нестабильный относительно возмущений тип вещества. Кроме этого, этап сжатия оказывается неприемлемо коротким.

2. НОВАЯ МОДЕЛЬ ТЕМНОЙ ЭНЕРГИИ

Вместо модели квинтэссенции (18) можно пред-

ложить самосогласованную модель темной энер-

гии, представленную простейшим массивным ска-

лярным полем

Позднее, когда скорость расширения бу-

дет постепенно уменьшаться, а скалярное поле скатится на дно своей потенциальной ямы Ф = 0, мы получим [15]

1 ¿а\ 2 2 а ат

а3

Аф . --о-соэ (2/хт + а).

Аф, а = сопэ!.

На этой стадии эволюция управляется плотностью Рф, при условии, что рф ^ ¡л2. Следовательно, ¡л2 ^ т2. При достаточно больших а на более поздних временах —т2/6 член в (10) неизбежно остановит расширение:

1 аа а ат

6

Таким образом, фридмановская модель в РТГ описывает бесконечную Вселенную, осциллирующую между аШ1П и атах. Это помогает без инфляционной стадии решить проблемы сингулярности, однородности и изотропности, горизонта и концентрации реликтовых монополей [3]. Вместе с тем инфляционная теория успешно объясняет наблюдаемую структуру спектра анизотропии микроволнового излучения как результат усиления на этой стадии квантовых флуктуаций инфлатонов, а также форму спектра возмущений вещества, необходимую для формирования крупномасштабной структуры во Вселенной [16]. В рамках осциллирующего сценария РТГ (без инфляции) надежда на решение этих проблем возлагается на добавление скалярных полей со сверхжестким уравнением состояния ш = 1+ £, £ > 0 [10], как в экпироти-ческих осциллирующих моделях П. Стейнхардта и Н.Турока [17, 18]. Целью же настоящей работы является показать, что даже в своем традиционном виде однородная и изотропная осциллирующая модель в РТГ не может существовать из-за влияния анизотропии на стадии сжатия.

1 ц2ф2

К{Ф,Х) = -да'3даФд,3Ф -

В режиме медленного скатывания [15]

1 ¿а,у 2 /сМ>

а с1т I ^ ' I д,т

< ¡2Ф2,

ж ж ¡2Ф2

Ф « Фп = сопв^ /Эф « —-—,рф « —/Эф

это поле имитирует Л2-член: Л2 = ^¿гФ2 и обеспечивает положительное ускорение в современную эпоху:

1 <12а 4п а ¿т2 3

= -

4п А

овм

2

> 0.

3. РОСТ АНИЗОТРОПИИ ВБЛИЗИ БОЛЬШОГО ВЗРЫВА

После стадии расширения в эволюции Вселенной наступает стадия сжатия, когда масштабный фактор а начинает уменьшаться, а плотность вещества растет. Как будет показано, несмотря на симметрию этих стадий во фридмановской Вселенной, стадия сжатия все же значительно отличается от фазы расширения прежде всего своей растущей нестабильностью. В работах [11, 12] были найдены линейные возмущения римановой метрики на таком фоне, которые зависят только от времени:

¿в2 = (1 + Ноо) ат2 + 2Нматахг—

— /34а2 (т)((% + а^) дх}ах, (19)

2

2

т

2

3

3

6

а

Р

1

Р0 + po 1 + ш

+ S, uj = uj + uj,

hoo, hoi^&ij,S, uq < 1.

(20)

(21)

Было показано, что такие линеаризованные уравнения поля дают следующий результат:

h00 = — 4G, S = 3G,

3(i-^o (22)

au (no sum) = F + Kua 2 + Lu,

где G,F,Ka,Ln ^ 1 — постоянные, при условии, что

K11 + K22 + K33 = 0,

Lii + L22 + L33 = 0. (23)

Отсюда следует, что на стадии расширения растущие моды отсутствуют, а на стадии сжатия, когда

масштабный фактор уменьшается, З^компоненты

з(1 — ^0 _ з

метрики растут как а 2 , т.е. как а 2 на стадиях поздней квинтэссенции и на барионной и как а-1 на горячей СМВ-стадии. Этот процесс означает рост анизотропии во фридмановской Вселенной. Основной вклад в этот процесс происходит на релятивистской стадии, когда а ^ 1. Несмотря на малость возмущений (19)-(23), это позволяет экстраполировать данное решение на метрику с сильной анизотропией и искать его в форме упрощенной модели Казнера [19], зависящей только от сопутствующего времени, т.е. однородной, но анизотропной. В галилеевых координатах пространства Минков-ского ее можно записать в виде:

йв2 = а2 (г) ь2 (г) с2 (г) йг2 —

— [в2аа2 (г) йх2 + вьь2 (г) йу2 + в1с2 (г) йг2} , (24)

(bo, с) abc

ab с

— (i--L

2 V

abc (acb) abc

m 2

1

m ~2

1

в2 b2 1

W

(29)

Будем искать решение уравнений (28)—(29) при т ^ 0 в казнеровской форме:

(т ) =

Р1 Р2

' ь(т)=Ы ' c(r) =

Р3

(30)

где pi, p2, рз = const — степени, которые нужно найти, т0 — некоторый характерный момент на ультрарелятивистской стадии сжатия, когда анизотропия становится существенной и имеет вид (30). Тогда из (28)-(29) получим:

1

— [Р1 +Р2+Р3 ~ (Р1+Р2+Рз)]

1

2(Р 1+Р2+Р3) \

1°_

т 2(Р1+Р2+Р'3) 1

Pi г , . -.1 т-т+Рз+Рз, - !J = т

1

(31)

(32)

i = 1,2,3, в2 = в2а,в1 ,в2.

Отсюда следует, что в конце коллапса (в пределе т ^ 0), уравнения (31)-(32) принимают вид

Pi+P2+P3 = 1 + O (т2та) ,

(33)

da2 = dt2 — (dx2 + dy2 + dz2)

(25)

где вг — постоянные интегрирования, а уравнения поля (5) удовлетворяются тождественно. Вводя сопутствующее время т, получаем

йв2 = йт2—[в1а2 (т) йх2 + в2Ь2 (т) йу2 + в1с2 (т) йг2} ,

da2 =

(1т 2

a2 (т) b2 (т) с2 (т)

(26)

— (dx2 + dy2 + dz2) . (27)

Функции а (т), Ь (т), с (т) и параметры вг являются безразмерными.

Пренебрегая членами с плотностью вещества (справедливость этого приближения будет ниже обоснована), полевые уравнения (4)

Rq

Г, \9tiv Itiv)

дают (точка обозначает производную по т)

1

abc m2 .

а + b + с = ~~ { ~ а2 (г) Ъ2 (г) с2 (г)

(28)

p2 + P2+P3 = 1 +

(тт0у 2

+ O (ш2т2) ,

(34)

min(2, 2(1— pi), 2(1— p2), 2(1— p3)) > 0.

Это означает, что все \pa\ < у 1 +

(ттр )2

. Можно

параметризовать эти показатели степени одним параметром и аналогично случаю т = 0 в ОТО [20]:

Р 1 = ~Ъ,

p2 2

U + 1

p3

D

sj 1 + (mro)2 (и2 + и + 1) - 1

(тто)2/2

D - 1 D '

0 u .

Параметр тто должен быть очень мал. Действительно, в современную эпоху реализуется режим медленного скатывания [15], для которого (а/а)2 ^ /л2. Отсюда / ^ 1/г0 ~ Н0, где г0 ~ 1010-1 — возраст Вселенной, Н0 — постоянная Хаббла. Но /л2 ^ т2, и поэтому

тто ~ 777 < А41~п < 7- < 1Т г0

1

2

m

2

Q

2

u

т0 — время, когда начинается фаза сильной каз-неровской анизотропии. Тогда можно получить интервалы изменения параметров pa, разложив их по малому параметру тт0:

1 11, s2 . „ тто

— з — le ^Pi<-—>

Это решение казнеровского типа описывает Вселенную, заканчивающую свою эвлюцию в сингулярности без отскока. Анизотропия растет при т ^ 0, причем объем стремится к нулю, так как abc ~ т ^ 0, как и в ОТО.

Введем теперь в рассмотрение вещество и сделаем замену переменных для того, чтобы записать уравнения поля в форме, напоминающей фридма-новскую (10)-(11) [19]:

^3

bi (т)

1п-

a (т) = abc,

Ъ2(т)

1/3'

ln

(abc) Ьз (т) = ln

(abc)1/3 ' (35)

( abc)

1/3'

Тогда

ds2 = dr2 - a2 (r) Y^

3 2bi(j )

(dx

в2

(36)

Здесь, в соответствии с (24) и (35), функция a (т) выбрана так, что

Ё> = о,

(37)

Закон сохранения (14) в этом случае имеет ту же форму (15) и то же решение:

Р = —< 1-

Полевые уравнения (5) в этом случае для а = 0 дают метрику Минковского:

da2 = —--(¿т2 + ей/2 + dz2) . (38)

Остальные уравнения (4), (5) можно записать в форме

8п 1 ■ 2 а,

_ JL V е~2Ьг(т) JL

2a2 ^ Д2 + 2а,6

(39)

•• m2 e-2bk (т)

bk + 3 —6г.--- 3-к-

а 6a2 I /З2

-Е-

-2bi (т )

fc = x,y, z,

(40)

а 4п , 1 v-^ • 2 m

Вводя новые переменные di, di

1 " "R

a6

• (41)

= =0, (42)

можно получить уравнения поля (39) в этом приближении:

8тт 1

T"^4" + Î2^

2^di - m2

+

+

12a2

-2Ьъ(т )

(43)

Функции a (т), b (т) ,c (т) (37) с помощью (42), (43), (47) дают окончательно

i

2^ di2 = 2a6^ b ;

(wr0) 2t2 4

2

(44)

3то

+m

Самый важный результат состоит в том, что т2/а6-член в (43), который останавливал сжатие и обеспечивал отскок на горячей стадии фридма-новского изотропного сценария, точно сокращается анизотропным слагаемым в (44). Следовательно, уравнение (43) содержит только положительные члены:

8п Л

+

11

+

е

-2bi(T )

3 a4 9т02 a6 12a2 ^ в2

(45)

и описывает неизбежное движение к сингулярности при т ^ 0. Ведущая степень здесь а-6, обосновывая предположение о доминировании анизотропных членов над плотностью вещества. Уравнение (41) в этом случае имеет строго отрицательную правую часть:

8п Ar 2 1

3 a4 9т02 a6

(46)

Как видно из (45), (46), эти уравнения совпадают с аналогичными уравнениями ОТО. Единственный т2-член в (45) является самым слабым для малых т и в этом пределе может быть отброшен.

Таким образом, масса гравитона не способна обеспечить отскок на горячей стадии.

4. НЕЦИКЛИЧЕСКИЙ СЦЕНАРИЙ

Тем не менее, можно ли предложить жизнеспособный сценарий для плоской фридмановской Вселенной в РТГ? Ответ будет утвердительным, если отказаться от парадигмы цикличности. Уравнение

2

2

m

e

b

c

2

2

2

m

a

a

2

m

6

e

2

в

эволюции при высоких температурах можно записать в виде (10):

1 da a с!т

8тг ~3

■рсмв

12a6:

где рсмв = Аг/а4 — плотность вещества реликтового излучения. У него есть естественный квантовый предел — планковская плотность Большого взрыва (восстанавливая размерность):

Рсмв < PPl

с

,5

5.1 • 10

99

г

,3 '

О2К см°

И если в начальный момент тр1, когда рСМВ = рР1, масса гравитона достаточно мала:

2

m

12api

8п

< уРи,

(47)

где аР1 = а (тР1), то последующая эволюция будет такой же, как в ОТО, поскольку член т2/12а6 будет спадать быстрее остальных. В этом случае наличие т2 -членов в (10) не будет оказывать никакого влияния на инфляционную стадию, постинфляционный разогрев и горячий гамовский период. Дальнейшая эволюция во время этапа квинтэссенции будет проходить по описанному выше образцу. Точка разворота будет определяться отрицательным т2/6 константным членом в (10), когда убывающая как а-3-плотность вещества квинтэссенции подойдет к этому вехнему пределу. В последствии фридмановская изотропия будет разрушена

во время стадии сжатия, и эволюция закончится в сингулярности Большого взрыва. Таким образом, история Вселенной будет состоять только из одного единственного периода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе анализируется устойчивость хорошо известной циклической модели развития Вселенной в РТГ. Показано, что на стадии сжатия нестабильность казнерового типа растет и механизм отскока, существовавший для однородной и изотропной фридмановской Вселенной в пределе стремящегося к нулю масштабного фактора, больше не работает.

Тем не менее существует и непротиворечивый плоский фридмановский сценарий. В этом случае т2-члены слишком малы и проявляют себя только на последнем этапе стадии расширения, опять таки приводя к отскоку. В этом случае эволюция совпадает с другими стадиями инфляционной модели ОТО, а именно: Большой взрыв, инфляция, разогрев, нерелятивистская стадия, квинтэссенция. На этапе сжатия анизотропия растет и плотность вещества достигает планковского значения без отскока.

Благодарности

Автор благодарит В.И. Денисова за ценные обсуждения.

2

2

m

[1] Логунов А.А. Релятивистская теория гравитации. M: Наука, 2012. (Logunov А.А. Relativistic Theory of Gravity, Horizons in World Physics. Moscow: Nauka. 2012; New York: Nova Science, 1999).

[2] Логунов A.A., Мествиришвили M. A., Чугреев Ю.В. // Теор. Mat Физ. 74, № 1. 3 (1988). (Logunov A.A., Mestvirishvili M.A., Chugreev Yu.V. // Theor. Math. Phys. 74. N 1. 1 (1988)).

[3] Чугреев Ю.В. // Теор. Mat Физ. 79, № 2. 307 (1989). (Chugreev Yu.V. // Theor. Math. Phys. 79. 554 (1989)).

[4] Мествиришвили M. A., Чугреев Ю.В. // Теор. Mat Физ. 80, № 2. 305 (1989). (MestvirishviliM. A., ChugreevYu. V. // Theor. Math. Phys. 80. 886 (1989)).

[5] Герштейн С.С., Логунов A.A., Мествиришвили M.A. // ЯФ. 61, № 8. 1526 (1998). (Gershtein S.S., Logunov A.A., Mestvirishvili M.A. // Phys. Part. Nucl. 61. 1420 (1998)).

[6] Байдерин А.А., Денисова И.П., Ростовский В.С. // Изв. Вузов. Физика. 64, № 1. 10 (2021). (Baiderin A.F., Denisova I.P., Rostovskiy V.S. // Rus. Phys. Journ. 64. N 1. 9(2021)).

[7] Герштейн С.С., Логунов A.A., Мествиришвили M.A., Ткаченко Н. П. // ЭЧАЯ. 36, № 5. 1003 (2004). (Gershtein S.S., Logunov A.A., Mestvirishvili M.A., Tkachenko N.P. // Phys.Part.Nucl. 67. 1596 (2004)). (arXiv:astro-ph/0305125).

[8] Мествиришвили M.A., Модестов K.A., Чугреев Ю.В. // Tеор. Mat Физ. 152, № 3. 551 (2007). (arXiv:gr-qc/0612105).

[9] Чугреев Ю.В. // Письма в ЭЧАЯ. 12, № 2. 281 (2015). (Chugreev Yu.V. // Phys. Part. Nucl. Lett. 12. 281 (2015)).

[10] Чугреев Ю.В. // Tеор. Maт.Физ. 194, № 3. 510 (2018). (Chugreev Yu. V. // Theor. Math. Phys. 194, N 3. 439 (2018)).

[11] Чугреев Ю.В., Модестов K.A. // Письма в ЭЧАЯ. 10, № 4. 478 (2013). (Chugreev Yu.V., Modestov K.A. // Phys. Part. Nucl. Lett. 10, N 4. 295 (2013)).

[12] Чугреев Ю.В., Модестов K.A. // Письма в ЭЧАЯ. 10, № 4. 486 (2013). (Chugreev Yu.V., Modestov K.A.// Phys. Part. Nucl. Lett. 10, N 4. 300 (2013)).

[13] Чугреев Ю.В. // Письма в ЭЧАЯ. 14, № 4. 346 (2017). (Chugreev Yu.V. // Phys. Part. Nucl. Lett. 14, N 4. 346 (2017)).

[14] Riess A.G. et al.(Supernova Search Team Collab.) // Astrophys. Journ. 607. 665 (2004). (arXiv: astro-ph/0402512).

[15] Горбунов Д.С., Рубаков B.A. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого Взрыва. М.: Красанд, 2016. 488. (Gorbunov D.S., Rubakov V.A. Introduction to the Theory of the Early Universe: Hot Big Bang Theory. Hackensack: World Scientific, 2011. 488).

[16] Mukhanov V. Physical Foundations of Cosmology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012. 421.

[17] Turok N.,.Steinhardt P.J. // Phys. Rev. D65. 126003 (2002). (arXiv:hep-th/0111098).

[18] Erickson J.K., Wesley D.H., Steinhardt P.J, Turok N. // Phys. Rev. D69. 063514 (2004).

(arXiv:hep-th/0312009).

[19] Рубаков B.A. // УФН. 184. 137 (2014). (Rubakhov V.A. // Physics-Uspekhi. 57. 128 (2014).).

[20] Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля. Т. 2. М: Наука, 1988. (Landau L.D,Lifshitz E.M. The Classical Theory of Fields. Vol. 2. Oxford: Butterworth-Heinemann, 1975.)

Is the Cyclic Model of the Universe Possible in the Relativistic Theory of Gravitation?

Yu.V. Chugreev"'6

Department of Quantum Theory and High Energy Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Moscow 119991, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

For the flat FLRW model of Universe evolution in RTG a new model of Dark Energy is proposed. It is a global scalar field Ф with the quadratic potential. It ensures cosmological acceleration at the present time and a bounce at the late times. At the contraction stage Kazner-like growing anisotropy of Riemannian metrics will break a mass-of- the-graviton bounce mechanism near the Big Bang in FLRW case. There is also noncyclic option, when small enough graviton-mass-terms are significant only at the end of expansion. After bounce, during next contraction epoch, an anisotropy grows and the matter density finally reaches the Planck one.

PACS: 04.50.Kd, 95.30.Sf

Keywords: Friedmanian Universe, mass of the graviton, dark energy, quintessence. Received 16 April 2024.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2024. 79, No. 4. Pp. 432-438. Сведения об авторе

Чугреев Юрий Викторович — канд. физ-мат. наук, вед. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-16-47, e-mail: [email protected].