Эволюция однородной и изотропной Вселенной в релятивистской теории гравитации Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 2305-5502. Stroitelstvo: nauka i obrazovanie. 2015. № 1. http://www.nso-iournal.ru

Публикуется в порядке дискуссии

УДК 524.834+530.122

К.А. Модестов, Д.А. Ковачевич ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ЭВОЛЮЦИЯ ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Проанализировано приложение релятивистской теории гравитации с ненулевой массой покоя гравитона к эволюции Вселенной. Сделана попытка объяснить ее наблюдаемое ускорение расширения наличием массы покоя гравитона. Вычислен полупериод эволюции и современный возраст Вселенной.

Ключевые слова: релятивистская теория гравитации, масса покоя, гравитон, гравитационное поле, эволюция Вселенной, ускорение расширения, тензор пространства.

Уравнения гравитационного поля в релятивистской теории гравитации (РТГ) с ненулевой массой покоя гравитона. Для гравитационного поля в РТГ уравнения удобно представить в форме [1]

т

Published by way of discussion

K.A. Modestov, D.A. Kovachevich

MGSU

THE EVOLUTION OF HOMOGENEOUS AND ISOTROPIC UNIVERSE IN THE RELATIVISTIC THEORY OF GRAVITATION

The application of the relativistic theory of gravitation with nonzero graviton rest mass to the Universe evolution is being considered in the paper. The authors made an attempt to explain its observed acceleration of expansion due to the presence of graviton rest mass. The evolution half-cycle and the Universe present age is being calculated.

Key words: relativistic theory of gravitation, rest mass, graviton, gravitational field, Universe evolution, expansion acceleration, space tensor.

Gravity field equations in the relativistic theory of gravitation (RTG) with nonzeri graviton rest mass. For a gravity field in RTG it os convenient to present the equations in the form [1]

= 0,

(1)

(2)

где (1) y^v — метрический тензор пространства in (1) y^v — is a metric space tensor, and g^v

Минковского; g^v — метрический тензор — is a matric tensor of an effective

эффективного риманова пространства, Riemannian space appearing because of the

возникающего из-за наличия гравитационного gravity field in Minkowsky space. The

поля в пространстве Минковского. Связь connection between and g^v in RTG is

между и g^v в РТГ устанавливается set by the formula [1]

соотношением [1]

-fgg^ - = + ^ - + (3)

где g^v — обратный к g^v тензор; g = det g ; where g^v — is an inverse tensor to g^v. In

у = det у Постоянные к и т в (1) равны

(3) g = detgyLV, and y = dety|av. The constant к and m in (1) are equal to

^ = (4)

mc

m =

ti

(5)

где mg — масса покоя гравитона; R^v — тензор where mg — is graviton rest mass. R^v —

Риччи, построенный с помощью тензоров g^v и

g

Ricci tensor, created with the help of the tensors g^v and g^v and takes the form

g и имеющий вид

с

Здесь, как обычно,

Т? = Я Г' — Я Г' -I- Гст Г' — Гст Т'

^V ^Я.1 |JV ^Ц1 v' + 1 i^v1 ст' 1 Ц.'1 (

Here as always,

Г',, =

1 g'p(3 g + 3 g -5 g ).

2 О \ ^pv VOpja po^v /

(6)

(7)

Наконец, в (1) TVLV — тензор энергии-импульса вещества. Нетрудно показать, что из (1) и (2) следует

W1 = 0

Finally, in (1) T^v — is a tensor of a matter momentum energy. It os easy to show, that out of (1) and (2) follows

(8)

где У^ — ковариантная производная эффективном римановом пространстве.

В (2) через DVL обозначена ковариантная производная в пространстве Минковского.

Заметим, что согласно РТГ в качестве ху могут быть выбраны любые допустимые в пространстве Минковского координаты, в т.ч. и галилеевы (т.е. инерциальные).

Эволюция однородной и изотропной Вселенной в РТГ с ненулевой массой покоя гравитона. В настоящее время принято считать, что в ранней Вселенной вещество было распределено однородно и изотропно, и что она и в дальнейшем сохранила эти свойства, но только уже в относительно больших масштабах. Поэтому можно ожидать, что модель однородной и изотропной Вселенной будет достаточно хорошим приближением для описания реального мира.

Следуя [1], приведем основные факты, установленные в РТГ, для однородной и изотропной Вселенной. Интервал такой Вселенной имеет вид

в where Vu. — is a covariant derivative in the

effective Riemannian space.

In (2) with D^ a covatiant derivetive in Minkowsky space is denoted.

We should note that according to RTG any tolerable coordinates in Minkowsky space may be chosen as xv including Galilean (i.e. inertial).

Evolution of homogeneous isotropic Universe in RTG with non-zero graviton rest mass. Today it is believed that in early Universe the matter was uniformly and isotropous distributed and that the Universe then maintained these features, but in larfer scale. That's why it should be expected, that the model of uniform isotropic Universe will be a good approximation for real world description.

In the given paragraph following [1] we offer the main facts stated in RTG for a homogenous and isotropic Universe. The interval of such a Universe takes the form

ds2 = a6(t)dt2 -a^xa2(t) (dx2 + dy2 + dz2),

где t, x, y, z — галилеевы координаты where t, x, y, z — are Galilean coordinates of

пространства Минковского; a(t) — масштабный Minkowsky space. In (9) a(t) — is a scale

фактор, и, согласно РТГ, его область изменения factor and, according to RTG, its variation

заключена между числами amin и amax где из-за range is between the numbers amin and amax,

наличия у гравитона массы покоя amin > 0, а where, because of rest mass of graviton,

amax < Переходя в (9) к собственному amm > 0, and amax < Passing to (9) to

времени proper time

dx = a3 (t)dt, (10)

интервал (9) примет вид the interval (9) takes the form

ds2 = dx2 - a2 (x) (dx2 + dy2 + dz2),

(11)

а интервал пространства Минковского — вид and Minkowsky space interval takes the form

a

dст2 = sf^ dx2 - dx2 - dy2 - dz2.

a

4

Мы здесь для удобства ввели обозначение For convenience we introduced the

following notation

a = Onax0,

a = a .

nax nax

Очевидно, область изменения a(x) будет

The veriation range a(x) will be

a a =°a ^a^a

max min min^ ^ max

(13)

(14)

На основе (11) и (12) нетрудно Bssing on (11) and (12) it is easy to

установить, что отличные от нуля establish, that the nonzero connection

коэффициенты связности, соответственно, coeffixients correspondendly take the form имеют вид

1 a"tS :

У 00

г* -ак •

Го,—s„

a

a

(15)

(16)

Здесь и далее точки над буквами будут обозначать производные по т, латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, а греческие — 0, 1, 2, 3.

В качестве тензора Гцу, как правило, выбирается тензор энергии-импульса идеальной жидкости

T =

|iv

где р — плотность массы вещества; p

dx х

изотропное давление; н =

ds

From now on the points over the letters will denote the derivatives along t, Latin subscripts have the range 1, 2, 3, and the Greek ones — 0, 1, 2, 3.

Usually a tensor of energy-impulse of an ideal liquid is chosen as tensor r ,

U|Uv g|v 2 '

— where p — is a matter mass density, p — is

dxx

— an isotropic pressure, and u = g.- —

ds

4 скорость элемента объема. Всюду в дальнейшем будем использовать систему единиц, в которой скорость света равна единице. Невозмущенные р ир зависят только от т. Подставляя (15) в (6), получим

4-a speed of volume element. Further we will always use a system of units, in which the light velocity is equal to 1. Nonperturbed p and p only depend on t.

Substituting (15) in (6), we obtain

a . 2

Rq0 = -3—; Rn = R22 = R33 = 2a + aa; = 0. a

(18)

Так как go* = 0 и R0i, из уравнений (1) и As far as g0i = 0 and R0i, out of the

(17) следует, что щ = 0. Это означает, что в equations (1) and (17) it follows, that u* = 0.

рассматриваемой модели вещество находится в This denotes, that in the observed model the

покое относительно инерциальной системы matter rests in relation to inertial system.

отсчета. Согласно (17), для компонент с According to (17), for the components

учетом ui = 0 имеем with account for ui = 0 we have

T00 = P; TM = T22 = T33 = a P;

T«, = 0 пРи ц * v.

(19)

Подставляя (18)—(19) в (1), получим Substituting (18)—(19) in (1), we

уравнения obtain the equations

f ■ л2 ' a \

a

Su m

= — кол--

3 12

1

Л

a2ß а

—Г-2

(20)

ä 4tz , „ ч m a 3 6

,2 i

- 1

a

(21)

Эволюция без учета материи. Согласно Evolution without account for the mat-

современным наблюдательным данным [2—4] ter. According to the modern observational

Вселенная расширяется ускоренно. Обычно в data [2—4] the Universe extends at a grow-

РТГ для объяснения ускоренного расширения ing rate. Usually in RTG in order to explain используют квинтэссенцию [5—8]. Из (21) видно, что материальный член приводит к отрица-

ä/a q= '

тельному параметру ускорения

the accelerated expansion the quintessence of [5—8] is used. Out of (21) we can see, that the mass element leads to the negative accel-

. ata

eration parameter q = '

(ä/af

and out of

(a/a)2

а из (20) — что именно член с массой гравитона отвечает за точки поворота а = 0. Поэто- (20) — that the element with graviton mass му проанализируем сценарий эволюции Все- is responsible for transition points a = 0. So ленной с доминированием массивного члена, let's analyze the Universe evolution scenario Для начала найдем точки поворота, т.е. корни with large element domination. At first let us многочлена find transition points, i.e. roots of a polynomial:

a

a2 ß

■2 = 0.

(22)

Произведем замену t = -1:

a

Используем формулу Кардано:

Q =

Let us substitute t = \:

a

t3 - 31 + 2 = 0. ß

(23)

fq f f * I3 f 2 Y +

1 + _ 1 +

j I 3 J 12 J V

We use Cardano formula:

= 1 -ß-

«1,2 = 3 - q ±4Q=fi^F;

t = a + a2 = Ц-1 -y 1 -

^ -i-VTF+¡I -1

12,3

a +a

1 ' «2 ± iy[3a1 a2

^-1 -^1 -ß-3 + ^-1 -ß 3 + -У1 -ß"7 - ^-1 +Л/гр

3-3 -3 -1 + л/1 -ß-3

Уравнение (23) имеет:

The equation (23) has:

0 < Р < 1 — 3 действительных корня (-да < ^ < -2, 0 < ^ < 1, + да > ^ > 1); Р = 1 — 2 действительных корня кратностей 1 и 2 (^ = -2, t2 3 = 1);

1 < Р < +да — 1 действительный корень ^-2 < ^ < - 32 ^.

Уравнение (22) имеет: The equation (22) has:

0 < Р < 1 — 2 положительных действительных корня (+да > а2 > 1,0 < а3 < 1); Р = 1 — 1 положительный действительный корень кратности 2 (а2 3 = 1);

1 < Р < -да — действительных корней нет.

3

Как следует из (21), в пренебрежении As it follows from (21), ignoring the matter

вкладом материи параметр ускорения q по- influence the acceleration parameter q is positive

ложителен при a < 1. at a < 1.

Случай P << 1: The variant P << 1:

Правая часть (20) положительна при The right part of (20) is positive at

a ■ < a < a , где a =

min max' M mm

PI4 ....... _ „ rp

и a ■ < a < a , где a =

-j i min max' M min

14

and

3 )

ГзЪ

a =

max

f 3^2

. The value a = 1 is included into

. Значение a = 1 входит в этот a =

V 2p) max 12p)

интервал. this interval.

Случай P << 1: The variant P << 1:

Правая часть (20) положительна при The right part of (20) is positive at

amin < a < amax. где O^ = 1 - и ^ < a < aBm, where O.^ = 1 - ^^/T^F and

amax = 1 + 1 Vr-P . amax = 1 + ^.

Значение a = 1 входит в этот интер- The value a = 1 is included into this inter-

вал. val.

Случай P = 1: The variant P = 1:

Здесь имеем только статическую Все- Here we have only statistical Universe

ленную a = 1. a = 1.

Случай P > 1: The variant P > 1:

Правая часть (20) всегда отрицатель- The right part (20) is always negative.

на. Решений нет. There are no solutions.

Уравнение (20) позволяет выразить The equation (20) allows expressing the so-

решение в неявном виде в квадратурах lution implicitly in quadratures

da

t =

a

m

2i 3 _ О

(24)

12

- 2 —

a2P a6 j

В пренебрежении вкладом материи: Neglecting matter influence:

2yf3 г da 46 r a da

t =

г aa v° f

^ Г3 ~ m ^

V- (a2 - am^n ) (a2 - amax ) (a2 + of )

a --2- — *a' - a~~ )(a2 - a2 Va 2P a6

Приближенные аналитические выра- The approximate analytical expressions

жения в окрестности точек поворота. about transition points:

Случай a >> a^n : The variant a >> a^n :

V3^ f do

i

amax - amin)(aiL + a2) J V0"7"0 2yf3a,

■ = +

3 »2

min О - Omin.

m (a2 - a2 )(a2 + a,2)

V \ max шюД mm 1 /

VO

Случай a « an

The variant a « a„

л/ЗС

a.

m4<

2 2 a - a

max mm

)(

2 . 2 amax + ai

2yf3c

a2

m>K

22 a - a

max mm

)( am,x + a2 )

~)S4

4

da

a - a

max

= t -

max

a - a.

max

Однако для вычисления времени при Though for calculating the time at signifi-

значительных изменениях масштабного cant changes of scale factor а it is necessary to

фактора a необходимо численно вычислить calculate the integral in (24). интеграл в (24). The diagram presents the dependence of the

На графике представлены зависимость cyclic evolution half-cycle and maximum possi-

от параметра Р полупериода циклической ble recent Universe age (the time of accelerated

эволюции и максимально возможного совре- expansion end) from the parameter Р менного возраста Вселенной (времени окончания этапа ускоренного расширения).

Рассмотрим аналитически предельные Let us analytically consider the limit

случаи. В пренебрежении материальным членом cases. Upon neglecting the material compo-(21) принимает вид nent (21) takes the form

a _m2 f 1 a 6 I a6

-1

При P « 1 отклонение a от 1 мало, поэто- At P « 1 the deflection a from 1 is

му в линейном приближении small, that's why in linear approximation:

à&т2(\-а).

Это уравнение представляет собой уравне- This equation represents the equation

ние гармонических колебаний с периодом of harmonic oscillations with the period

T =

2л

m

T = — m

При Р<<1 amin <<1, зато amax >>1, поэто- At Р << 1 а^ << 1, but amax >> 1, му доминируют значения а >> 1, следовательно: that's why the values a >> 1, dominate,

thus:

m2

a «--a.

6

3

Это уравнение представляет собой уравне- This equation represents the equation

ние гармонических колебаний с периодом of harmonic oscillations with the period

T = 2K^. Однако в силу a > 0, период цикли- T = 2П^. Though by reason of a > 0, the

m m

ческого развития Вселенной равен половине Universe cyclic development is equal to the

этой величины. half of this value

Как видно, эти приближенные аналитиче- As we can see, these approximate ana-

ские результаты полностью совпадают с чис- lytical results fully coincide with the calcu-

ленными на приведенном графике. lated on the offered diagram.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК / REFERENCES

1. Logunov A.A. The Theory of Gravity. Moscow, Nauka Publ., 2001, 255 p.

2. Riess A.G., Filippenko A.V., Challis P., Clocchiatti A., Diercks A., Garnavich P.M., Gilliland R.L., Hogan C.J., Jha S., Kirshner R.P., Leibundgut B., Phillips M.M., Reiss D., Schmidt B.P., Schommer R.A., Smith R.C., Spyro-milio J., Stubbs C., Suntzeff N.B., Tonry J. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and A Cosmological Constant. The Astronomical Journal. Sept. 1998, vol. 116, pp. 1009—1038. DOI: http://dx.doi.org/10.1086/300499.

3. Perlmutter S., Aldering G., Della Valle M., Deustua S., Ellis R.S., Fabbro S., Fruchter A., Goldhaber G., Goo-bar A., Groom D.E., Hook I.M., Kim A.G., Kim M.Y., Knop R.A., Lidman C., McMahon R.G., Nugent P., Pain R., Panagia N., Pennypacker C.R., Ruiz-Lapuente P., Schaefer B., Walton N. Discovery of a Supernova Explosion at Half the Age of the Universe and Its Cosmological Implications. Nature. 1998, vol. 391, pp. 51—54. DOI: http://dx.doi.org/10.1038/34124.

4. Perlmutter S., Aldering G., Goldhaber G., Knop R.A., Nugent P., Castro P.G., Deustua S., Fabbro S., Goo-bar A., Groom D.E., Hook I.M., Kim A.G., Kim M.Y., Lee J.C., Nunes N.J., Pain R., Pennypacker C.R., Quimby R. Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae. Astrophys. J. 1999, vol. 517, pp. 565—586. DOI: http://dx.doi.org/10.1086/307221.

5. Mestvirishvili M.A., Modestov K.A., ChugreevYu.V. Quintessence Scalar Field in the Relativistic Theory of Gravity. Theoretical and Mathematical Physics. 2007, vol. 152, no. 3, pp. 1342—1350. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s11232-007-0118-9.

6. Modestov K.A., Chugreev Yu.V. The Problem of Stability of the Homogeneous and Isotropic Universe in the Relativistic Theory of Gravitation. Physics of Particles and Nuclei Letters. 2009, vol. 6, no. 4, pp. 275—288. DOI: http://dx.doi.org/10.1134/S1547477109040013.

7. Modestov K.A., Chugreev Y.V. Linear Perturbations on the Cosmological Background in the Relativistic Theory of Gravitation: I. Theory. Physics of Particles and Nuclei Letters. 2013, vol. 10, no. 4, pp. 295—299. DOI: http://dx.doi.org/ 10.1134/S1547477113040109.

8. Modestov K.A., Chugreev Y.V. Linear Perturbations on the Cosmological Background in the Relativistic Theory of Gravitation: II. Appendix. Physics of Particles and Nuclei Letters. 2013, vol. 10, no. 4, pp. 300—308. DOI: http://dx.doi.org/10.1134/S1547477113040110.

Поступила в редакцию в декабре 2014 г. Received in December 2014.

Об авторе: Модестов Константин Анатольевич — старший преподаватель кафедры физики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-28-91, [email protected];

Ковачевич Дмитрий Алексеевич — студент Института фундаментального образования, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

About the author: Modestov Konstantin Ana-

tol'evich — senior lecturer, Department of Physics, Institute of Fundamental Education, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-28-91; [email protected];

Kovachevich Dmitriy Alekseevich — student, Institute of Fundamental Education, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

Для цитирования:

Модестов К.А., Ковачевич Д.А. Эволюция однородной и изотропной вселенной в релятивистской теории гравитации [Электронный ресурс] // Строительство: наука и образование. 2015. № 1. Ст. 4. Режим доступа: http://www.nso-journal.ru.

For citation:

Modestov K.A., Kovachevich D.A. Evolyutsiya odnorodnoy i izotropnoy vselennoy v relyativistskoy teorii gravitatsii [The Evolution of Homogeneous and Isotropic Universe in the Relativistic Theory of Gravitation]. Stroitel'stvo: nauka i obrazovanie [Construction: Science and Education]. 2015, no. 1, paper 4. Available at: http://www.nso-journal.ru.