Возбуждение решетки с диэлектрической пластиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

1. Пермутационные критерии представляют общую методологию синтеза непараметрических критериев, а не узкоспециальные статистические методы.

2. Данная методология позволяет легко синтезировать новые непараметрические критерии без привлечения каких-либо аналитических методов теории вероятностей и математической статистики. Это, в свою очередь, позволяет строить новые критерии непосредственно в процессе решения конкретной задачи и максимально полно адаптировать критерий к специфике этой задачи.

3. Синтез нового критерия сводится к выбору первичной статистики, чувствительной к отклонению от нулевой гипотезы. При этом методология синтеза пермутационных критериев автоматически обеспечивает формирование результирующей инвариантной статистики на основе выбранной первичной статистики.

4. Методология пермутационных критериев идеально подходит к задачам сравнения двух или нескольких распределений и к задачам обнаружения статистической связи произвольного вида.

УДК 517.9+538 "

ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕШЕТКИ С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНОЙ

ЧУМАЧЕНКО С.В.__________________________

Предлагается точное аналитическое решение задачи об электромагнитном поле в решетке из плоских волноводов с диэлектрической пластиной. Для определения амплитудных коэффициентов применяется метод суммирования рядов по выборочным значениям.

1. Введение

Аналитические методы решения граничных задач занимают особое место в электродинамике. Полученные с их помощью результаты представляют интерес, поскольку являются основой для последующих численных расчетов. В связи с этим изучение и развитие методов решения граничных задач, допускающих построение строгого аналитического решения, остается актуальным во всех научных направлениях.

Большинство методов, используемых при расчете фазированных антенных решеток, основывается на классической теории [ 1,2], аналитических выводах [3-5], численных и экспериментальных результатах. Аналитические методы часто являются приближенными, а построенные на их основе численные — предполагают наличие временных затрат, связанных с вычислительной сложностью и повышением точности расчетов.

Таким образом, существует необходимость в разработке и развитии эффективных аналитических методов решения граничных задач, позволяющих строить точное решение, удобное для численного анализа.

Литература: 1. Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. М.: Финансы и статистика, 1983. 518 с. 2. Тюрин Ю.Н. Непараметрические методы статистики. М.: Знание, 1978. 64с. 3. Siegel S, Castellan N.J. Nonparametric statistics for the behavioral sciences. New York: McGraw-Hill. 1988. 399 p. 4. Кокс Д, Хинкли Д Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. 560с. 5. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. 408 с. 6. Good P.I. Resampling methods: a practical guide to data analysis. Boston: Birkhauser, 1999. 269 p. 7. Davison A. C, Hinkley D. V. Bootstrap methods and their application. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 582 p. 8. Рунион P. Справочник по непараметрической статистике. Современный подход. М.: Финансы и статистика, 1982. 198 с. 9. Елисеева И.И., Рукавишников В.О. Группировка, корреляция, распознавание образов (Статистические методы классификации и измерения связей). М.: Статистика, 1977. 144 с.

Поступила в редколлегию 18.02.2002

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Костенко П.Ю.

Колядин Владимир Леонидович, канд. техн. наук, докторант кафедры авиационно-космических радиотехнических систем Национального аэрокосмического университета “ХАИ”. Научные интересы: неклассические методы анализа данных, включая обработку сигналов и изображений. Увлечения и хобби: история и методология науки, теннис. Адрес: Украина, 61129, Харьков, пр. Тракторостроителей, 162-Г, кв. 128, тел.14-81-44.

Цель работы — получить аналитически выражения для амплитудных коэффициентов электромагнитного поля с использованием метода суммирования рядов по выборочным значениям.

2. Постановка и геометрия задачи

Рассматривается бесконечная периодическая система плоских волноводов, стенки которых считаются бесконечно тонкими, идеально проводящими, с расположенной над ней диэлектрической пластиной (рисунок) [1].

m= -1 0 1

Все волноводы синфазно возбуждаются волной TEi,o. Падающее поле в m -м волноводе имеет вид:

Еу(пад)(x,z) = Фпад (x,z) =

14

РИ, 2002, № 3

= sin

—(x - ma) a

e-®izeimu

ma < x < (m + 1)a, z < 0 ,

(1)

2 2 1/2

где ran = [(тат/a) -k ] , u = kasin 0о, 0o —

направление излучения главной пространственной гармоники в области z > c + т, а — расстояние между плоскостями.

Требуется найти рассеянное поле внутри волноводов и в свободном пространстве.

3. Решение задачи

Для получения решения структура условно разбивается на четыре части: 1 — области между плоскими волноводами; 2 — область между волноводами и диэлектрической пластиной; 3 — область диэлектрической пластины; 4 — область вне пластины. В каждой из них поля представляются определенным образом. Затем применяется метод сшивания (метод частичных областей). Известным способом задача сводится к определению амплитуд электромагнитного поля, которые находятся в результате решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

3.1. Представление неизвестных полей

В m -м волноводе отраженное поле ищем в виде Фотр(x,z) =

= Z An sin п=1

лп

a

(x - ma)

e+ff>nzeimu

(2)

z < 0 , ma < x < (m + 1)a .

Согласно теореме Флоке [2] поля в свободном пространстве можно представить в виде суперпозиции пространственных гармоник:

где

Ф2 (x, z), 0 < z < c,

Фсвоб(x,z) _ " 93(x,z), c < z < c + t, (3)

Ф4 (x, z), z > c + t,

Ф2 ГО = I[Bpe" -Qnz Qnzn iapx p + Cpe p ]e p , (4)

p=-го

Ф3 го = I[Dpe -Q'..z t. Qpz_ iapx p + Epe p ]e p (5)

p=-a>

Ф4 = -Qpz iapx L, Fpe p e p , (6)

p=-ю

ap = (2prc + u)/a , Qp = (ap -k2)1/2,

Qp = (a2 - k'2)1/2 , k' = Ws= 2л /X',

s — диэлектрическая проницаемость пластины; X' — длина волны в диэлектрике.

3.2. Выполнение граничных условий

Неизвестные коэффициенты {An } , {Bp}, {Cp}, {Dp}, {Ep} и {Fp} определяются из условия сшивания касательных составляющих полей Ey и Hx на граничных поверхностях z = 0 , z = c и z = c + т.

Используя условие непрерывности касательных составляющих поля, получаем следующую бесконечную систему линейных уравнений [1]:

ж (

I

n=1

vQq

1___

_®n

-!S-k =—!—

Oq +Шп Oq +^1

Pq

Qq-ю1 ,(7)

q = 0,±1,±2,... ,

где

Pq

= e

An = nAn[(-1) c - 1]/(1 + e“lu): -2Qqc Ц-^q2)(eQqT- e_QqT)

(8)

(Qq +Qq)2eQqT-(fiq-oq)2e QqT .(9)

Величина pqe2^qc определяет коэффициент отражения пространственных гармоник TEq,0 от поверхности диэлектрической пластины. Коэффициент прохождения для тонких пленок приведен в [8].

3.3. Выбор метода решения системы

Рассматриваемая решетка относится к структурам со специфической геометрией Винера-Хопфа [1, 5,

6]. Они представляют собой сочленение нескольких полубесконечных подобластей, которые принадлежат к области, служащей координатной поверхностью в системе координат с разделяющимися переменными. Применение метода сшивания решений к таким структурам приводит к бесконечной системе уравнений вида (7) относительно неизвестных коэффициентов {An}, которая в общем случае не может быть решена точно. Известные методы (разложения определителя и вычетов) позволяют получить либо решение системы в виде ряда, либо асимптотическое выражение [1]. Для многих практически важных задач главные члены найденного решения дают достаточно точный результат и могут считаться хорошими приближениями.

Метод разложения определителя [1] состоит в обобщении метода прямого обращения [1]. Определение коэффициентов основано на применении правила Крамера. Каждый столбец определителя матрицы системы образован суммой двух слагаемых, что позволяет представить детерминант в виде разложения в ряд. Матрица системы может быть выражена в виде суммы двух матриц. Одна из них совпадает с матрицей системы, полученной для структуры в отсутствие диэлектрической пластины, т.е. при s =1 и Pq = 0. Ее определитель представляется в виде бесконечных произведений.

РИ, 2002, № 3

15

По индукции можно получить разложение для основного определителя, включающее ряды с суммированием от - да до да . В общем случае в рядах необходимо учитывать 22N+1 слагаемых, где N определяется из условия, что р N и р_ N будут меньше некоторой наперед заданной величины. Пренебрежение величинами (Pq } при | q |> N объясняется тем, что взаимодействие с диэлектрической пластиной всех, кроме первых (2N + 1) пространственных гармоник, исчезающе мало из-за скользящего падения их на экран. Коэффициенты {An} находятся с помощью правила Крамера, где определители считаются уже известными.

Вычисление сумм рядов достаточно трудоемко и эффективным является модифицированный метод вычетов (ММВ), в котором снимаются указанные ограничения [1]. Основным этапом в нем, как и в обычном методе вычетов, для получения решения является построение аналитической функции f (w), удовлетворяющей определенным условиям. В результате задача снова сводится к бесконечной системе уравнений, решение которой сходится быстрее решения исходной системы. ММВ учитывает условие на ребре, из которого находится асимптотика (Qm} . Далее применяется метод последовательных приближений (МПП). Обычно ограничиваются получением приближенного решения с помощью МПП [1], либо на его основе проводят численные расчеты.

Кроме МПП, используются также матричные методы [4], основанные на линейных алгебраических операциях.

Существует, однако, определенный класс граничных задач, для которых бесконечные системы допускают точное решение. Расширить его позволяет метод разложения функций в ряды по выборочным значениям, который основывается на следующей теореме и следствиях из нее [7].

Рассмотрим некоторый класс A функций, определенных на множестве T. Будем считать, что функция f є A может быть разложена в ряд по выборочным значениям в точках t j є T, если существует набор выборочных функций уj (s, t j ), таких, что:

1) Vj (s,tj) є A ,

2) Wi(tj,tj)

1, i = j,

0 1 ^ j;

3) для любой функции f є A ряд

Теорема. Пусть имеется абстрактное гильбертово пространство H с воспроизводящим ядром K(s,t) (ГПВЯ), определенным на множестве T . Пусть {фї (s, ti)}, ti є T — полная ортонормированная система в H. Если существуют ненулевые вещественные постоянные Cj такие, что

Фї(s,tj) = CjK(s,tj), |K(t,t)|< cj <<x>, t є T , то разложение по полной ортонормированной системе для любой f є A , имеющее вид

f(s) = ХajФї(s,tj), s є T, aj = (f,yj),

является рядом по выборочным значениям.

Следствие [7]. В ГПВЯ H любая функция f є H разлагается в ряд по выборкам

да

f(s) = Z f(i)

j=1

2і

s + i

sin rc(s - i) tc(s - i) ,

0 < s < да.

(10)

3.4. Определение неизвестных коэффициентов

Перепишем систему (7) относительно неизвестных коэффициентов {An} при q = 0 :

I

n=1_

1

(Qо -®n)a

Р 0

(Q о +®n)a

A' -An

= 1__________Р 0

(Q0 +®i)a (О0 ~®i)a . (11)

Преобразуем общий член ряда в (11) при помощи представления (8):

1

(Q0 -®n)a

Р0

(Q 0 +®n)a

A' -An

(Q0 +ып)а pq(Qq rnn)a ^

(o 2 rJ2 )a 2

(^q _®n)a

XnAn[(-1)neju - 1]/(1 + e_ju). (12)

Разложим знаменатель в правой части (12) на множители с учетом выражений для Q q и юп :

(^2 -ra^a2 = л2[(и/п-n)(u/п + n)]. (13)

После выполненных преобразований общий член ряда имеет вид

1

(Qо -c>n)a

Р0

(Q о +c>n)a

A' -

f(s) = Z f(tj)V j(s,tj) j

сходится равномерно для s є T .

(Q о +ffln)a P о(^ 0 ®n)a

n

2

u + n n

tn

16

РИ, 2002, № 3

XnAn[(-1)neiu -1]/(1 + e-iu). (14)

Будем искать коэффициенты {An} в форме:

A

n

2rc(1 + e ~iu) (cos rcn)eiu -1

(15)

Подставив (15) в (14), выделим в общем члене ряда (11) воспроизводящее ядро и просуммируем левую часть системы (7) при помощи (10). После указанных преобразований получим выражение для множителя A из (15):

. sinu

A =------- =х

2cosu^/u2 -(ka)2

х

1

(Q о +®i)a

P 0

(Qо -®1)a

(16)

Теперь с учетом (16) и (15) получим прямую формулу для определения искомых коэффициентов {An}:

. д(1 + e iu) sinu

An =-----1----—-----------■ X

[(cos^n)eiu - 1] cos^/u2 - (ka)2

1

P0

a(Qo + ®1) a(Qo _ ®1)

(17)

Имея в явном виде выражение для коэффициентов {A n } в форме (17) и используя граничные условия для касательных составляющих электрического и магнитного полей на границах раздела z = 0, z = c , z = c + t с учетом коэффициента отражения 2Qac _

Pqe 4 , при необходимости можно найти ампли-

тудные множители {Bp}, {Cp}, {Dp}, {Ep} и {Fp} .

4. Сопоставление методов и выводы

Таким образом, получено точное аналитическое решение задачи о рассеянном поле в решетке из плоских волноводов с диэлектрической пластиной.

Сформулированная задача решена методом сшивания с применением гармоник Флоке, как и в [1,2], но в сочетании с методом суммирования рядов по выборочным значениям в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром. Применение последнего при вычислении рядов, встречающихся в процессе решения задачи, позволило получить решение бесконечных систем уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов электромагнитного поля. Для амплитудного множителя {An} удалось получить явное представление в терминах элементарных функций.

Описанный в [1] подход к исследованию системы (7) объединяет метод прямого обращения матрицы и разложения детерминантов определенного типа в ряды. Решение, полученное таким способом, имеет вид бесконечного ряда и удобно для вычисления коэффициентов отражения при условии достаточно быстрого убывания {рq} с ростом |q| . В этом случае бесконечные ряды заменяются конечными суммами, учитывающими малое число членов.

Литература: 1. Миттра Р, Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 328с. 2. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 455с. 3. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. 288с. 4. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. К.: Наук. думка, 1984. 296с. 5. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 280с. 6. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. радио, 1966. 280с. 7. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике: Пер. М.К. Размах-нина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971. 256с. 8. Борн М. Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1979. 856с.

Поступила в редколлегию 12.05.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.

РИ, 2002, № 3

17