Математические модели дисперсионных характеристик структур вытекающей волны Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.67

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СТРУКТУР ВЫТЕКАЮЩЕЙ ВОЛНЫ

С.А. Антипов, Д.А. Ерошенко, А.И. Климов

Представлены упрощенные математические модели для приближенного расчета дисперсионных характеристик плоских бесконечно-протяженных структур вытекающей волны с Н- и Е-поляризацией, содержащих двухслойный диэлектрический волновод на металлическом экране и одномерно-периодическую решетку из металлических полос. Модели не предполагают решения интегральных уравнений, но обеспечивают, однако, точный расчет дисперсионных характеристик, в том числе на частотах открытой полосы запирания, и могут быть использованы при проектировании плоских антенных решеток вытекающей волны СВЧ и КВЧ диапазонов

Ключевые слова: математическая модель, дисперсионная характеристика, вытекающие волны, решетка из металлических полосок

Плоские антенные решетки вытекающей волны (АРВВ) [1-3] на основе структур, содержащих экранированный с одной стороны плоский диэлектрический волновод (ПДВ) и периодическую решетку из металлических полосок, обладают высокой эффективностью излучения и обеспечивают при размерах излучающего раскрыва порядка 10-15 длин волн коэффициент усиления до 30-32 дБ на частотах вплоть до десятков ГГц. Благодаря этому такие антенны могут быть использованы, например, в аппаратуре систем радиосвязи и радиолокационных устройствах различного назначения вместо традиционных апертурных антенн, полосковых и волноводно-щелевых антенных решеток. Один из возможных вариантов АРВВ линейной поляризации с центральным питанием, рассчитанной для режима нормального излучения [1, 2], показан на рис. 1.

Антенна содержит экранированный однослойный ПДВ 1, две одномерно-периодических подрешетки 2 из параллельных металлических полосок, и устройство 3 на основе гребенчатой по-лосковой линии, обеспечивающее возбуждение в ПДВ поверхностных волн. Питание антенны осуществляется через прямоугольную щель 4 в центре экрана ПДВ. Направление максимального излучения антенны показано стрелкой 5.

Антенна построена на основе структуры с Н-поляризацией, соответственно, обеспечивает в направлении нормали излучение электромагнитных волн с вектором напряженности электрического поля Е, параллельным оси ОХ (перпендикулярным кромкам металлических полосок). Для излучения по нормали к плоскости раскрыва на заданной рабочей частоте период чередования полосок dx вы-

Антипов Сергей Анатольевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 8 (473) 246-27-00, e-mail: ofrep@vorstu.ru

Ерошенко Денис Александрович — ВИ МВД России, адъюнкт, e-mail: den1is_90@mail.ru Климов Александр Иванович - ВИ МВД России, д-р техн. наук, доцент, тел. 8(473) 200-52-65, e-mail: alexserkos@inbox.ru

бирается равным одной длине поверхностной волны, распространяющейся вдоль ПДВ в направлениях ±ОХ.

Вместе с тем, известны варианты высокоэффективных АРВВ, в которых для минимизации тепловых потерь использованы структуры [3], использующие изолированные ПДВ - установленные над экраном с небольшим воздушным зазором, а также экранированные двухслойные ПДВ, в которых материал примыкающего к экрану слоя имеет относительную диэлектрическую проницаемость, близкую к единице.

Одной из первостепенных задач, решаемых при проектировании антенны типа [1], является определение конструктивных параметров ее излучающего раскрыва - полной толщины ПДВ, количества слоев и их относительной диэлектрической проницаемости, периода решетки и ширины полосок, при которых обеспечивается заданный режим излучения на -1й пространственной гармонике (ПГ), - например, по нормали на центральной рабочей частоте.

Для решения этой задачи предлагается упрощенная математическая модель, позволяющая выполнить приближенный расчет дисперсионных характеристик структуры вытекающей волны в виде

зависимостей коэффициента фазы в0 основной ПГ и коэффициента ослабления (вытекания - в отсутствие тепловых потерь) а от частоты. Модель сформулирована для бесконечно-протяженной в направлениях ±ОХ и ±07 структуры, содержащей экранированную диэлектрическую пластину с одномерно-периодической в направлениях ±0Х решеткой из идеально электропроводящих бесконечно тонких полосок. Для придания модели большей универсальности в плане анализа новых конструкций, рассмотрен общий случай двухслойного ПДВ.

Фрагмент исследуемой структуры изображен на рис. 2, на котором обозначено: 1-3 — частичные области, &п — угол, определяющий направление излучения вытекающей ЭМВ (п-й ПГ поля дифракции поверхностных волн ПДВ на решетке) в плоскости Х02; d=dх — период, W=2w — ширина полосок решетки; h, t - толщины диэлектрических слоев, е1 0=1; 2; 3) - относительные диэлектрические проницаемости.

Рис. 2. Фрагмент структуры вытекающей волны с двухслойным ПДВ

В рамках данной модели сформулировано дисперсионное уравнение для вычисления комплексной постоянной распространения основной

ПГ) типа ТМ в структуре р = р0 - ¡а (во - коэффициент фазы, а - постоянная ослабления) и -1-й ПГ р-1 = р - 2ж/d , а также других характеристик,

включая частотную зависимость направления максимального излучения.

Для получения дисперсионного уравнения использован метод частичных областей, предусматривающий разложение по методу Галеркина плотности поперечного поверхностного электрического тока в граничном условии для тангенциальных компонент вектора напряженности магнитного поля на бесконечно тонких металлических полосках по заранее выбранным базисным функциям, корректно описывающим поведение тока в окрестности острых металлических ребер, а также использование теоремы Парсеваля [4].

Применительно к анализу структуры с Н-поляризацией, соответственно, случаю распространения в структуре электромагнитной волны (ЭМВ) типа ТМ, Ну-компоненты поля в областях 13 с учетом теоремы Флоке представлены в виде бесконечных сумм ПГ:

Н

у1~

Апе

- Лп(г - - ¡Рпх

Ну2 = 2 IV

п=-2

¡Лп(х-Ю _ ¡пп(х-Ю | -¡Рпг

-¡Р^ .¡Р^ V¡рпх

Яу3 = 2 I +

где An-Fn— комплексные амплитуды ПГ; рп = ро + 2жп ' ё, п = 0,±1,±2,... - продольная постоянная распространения п-й ПГ; уп=(¿0-р'2/ 2 , Лп=(ко£2-рп2)1'2 и Рп=(¿0^3-рЪ1П - поперечные

постоянные распространения п-й ПГ, ¿о =

- волновое число свободного пространства.

¿^-компонента ТМ волны в областях 1-3 с учетом уравнений Максвелла определяется выражениями

я =-8яу- ,

Х 0)£(*£: 8z '

"0" I -1

лх1"

к 2/ л Ех2 Ех3 X

\ 2 ь ^ 0

1 з \ о

юе^е -1

0Ь1 п=-2

2 у А е пп

-Лп(г^-1) -$пх

(1)

ЫЕ^Е.

- ¡л (г-К) ¡л (г-И) ¡6 х

2 Л I В е п -С е 'п 1 ^п

0 2 п=-2 -1 2

п=-2

е-¡рпг -F ¿рпг) V¡рпх •п ^ пе гпе е

Далее для областей 1 и 2 использованы граничные условия, определяющие поведение тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей на идеально электропроводящих полосках и границах раздела диэлектриков.

Так, при 2 = 0 Ех3 = 0 ; при г = h Ех2 = Ех3 ,

Ну2 = Ну3; при г = + * Ех1 = Еx2, 1х (х), на полоске

Ну2 - Ну1 = Jх (х)=

0, между полосками

(2)

Представление плотности поперечного электрического тока на полосках в виде суммы

2 - ¡в х

ПГ Jx(x)= 2 Jne и последовательное исклю-

п=—2

чение неизвестных амплитуд Ап-Еп из уравнений, полученных из граничных условий для Е и Н приводит к выражению

-1впх_

- ¡впх

(3)

где Qn

Е2

Е3 Лп Рп

-1

5п =(е

-¡Лп1!

+ Тпе

Рп = (е

Тпе

е~ ¡Рпh - е}р^

Т = Лп-(Е2/Е3)РпКп К п Лп + (Е2/Е3)РпКп' " '

На втором этапе решения задачи применено разложение плотности тока Зх(х) в граничном условии для тангенциальных компонент Ну вектора напряженности магнитного поля на металлических

п^п

п

п = —СО

п = —2

п

2

полосках на границе областей 1 и 2 при 2=У и X < ^ по базисным функциям:

м

Jx(х) = 2 ат-1хт (х)

т=1

где ат — неизвестные амплитудные коэффициенты, Jxm(x) — базисные функции, в качестве которых могут быть выбраны, например, косинусои-дальные функции или полиномы Чебышева второго рода ит-1(хМ) порядка с весовыми коэффициентами (1-(х/ »)2 . Из (3) затем выражено Ап:

Далее по рассчитанным значениям коэффициента фазы в можно определить направление максимального излучения антенны с торцевым возбуждением и его частотную зависимость; для антенн с центральным возбуждением это дает возможность правильно выбрать параметры структуры с тем, чтобы получить наиболее широкую полосу частот в режиме нормального излучения без заметного расширения и расщепления главного лепестка

ДН.

Так, направление максимального излучения в пл. ХО2 в режиме излучения на п-й ПГ определяется выражением [5]

1 м 1 » ¡р х

Ап = ^ 2 ат'^ хтп , Jxmn I Jxm(х)е " 7х . епт=1 а - м>

(4)

Далее тангенциальная компонента напряженности электрического поля Ех1 (1) при 2 = h +1 представлена с учетом (4) в виде

Exl(h +1, х) = 2 - 7пАпе

-¡впх .

=2 п=-х

'п 2 а 1-п ^ т хтп ^п т=1

-¡впх

-¡впх

п = 2 Епе п п=-х

вп=агачп(И.е {вг/к0}),

где рп=р+2тМ=р0-]а+2тМ — продольная постоянная распространения п-й ПГ, в — коэффициент фазы, а — коэффициент ослабления за счет излучения; d — период решетки; ^=2л/Х — волновое число свободного пространства; X — рабочая длина волны. Поскольку в^0=с/Уф(Х)=р(Х) — замедление фазовой скорости поверхностной волны ДВ, в режиме излучения на рабочей минус первой ПГ (п=-1) направление максимального излучения определяется выражением

Поскольку на полоске с бесконечной электрической проводимостью должно выполняться условие Ех=0, а между кромками полосок на границе раздела областей 1 и 2 плотность тока Jx=0, можно записать, что

2 Еп-^хрп = 2 п=-Х1 п=-Х1

м

= 2 ат т=1

-7„ М

п ^ т хтп п т =1

хрп ■

2 " J J ^п хтп хрп п=-х м п

=71 Exl(h+^ х)J хрп (х¥х= 0

где J

хрп

комплексно-сопряженная величина п-й

гармоники р-й базисной функции плотности поверхностного тока, р = 1; м , следовательно,

м 2

т=1

2 J J

^ п хтп хрп >=-<Ю ^ п

= 0

(5)

Дисперсионное уравнение, решение которого дает искомое значение р = Ро - ¡а, имеет вид

1 [а]

det О = 0 .

(6)

в-1 = агачп(р(Х)-Х/7.

Для практического использования структуры в составе АРВВ конечных размеров по найденному значению постоянной вытекания а можно рассчитать КПД АРВВ с торцевым возбуждением [6]:

р,

-1 - е

-2аЬ

0

где Ри - мощность излучения антенны, Р0 - мощность колебаний на входе антенны, L - длина антенны.

Применительно к анализу структуры с Е-поляризацией, соответственно, случаю распространения в структуре ЭМВ типа ТЕ, Еу-компоненты поля в областях 1-3 с учетом теоремы Флоке представлены в виде бесконечных сумм ПГ:

Еу1 = 2 апе п=-х

- ¡Уп(г - У-)х„ - ¡впх

-]Лп(2-У + с еПп(2-V¡впх

Еу2 = 2 \ьпе п=-<х>

Еу3 = 2 ( V"]Рп2 + гУРп2 V¡Рпх

п=-х\

где [а ] — квадратная матрица размером М*М (М -число базисных функций), элементы которой

^; N ; i, ] = 1; м .

(7)

где ап-/п - комплексные амплитуды ПГ; Рп = Р0 + 2лп ' 7, п = 0,±1,±2,... - продольная постоянная распространения п-й ПГ; уп=(^2-р% / 2 , Чп = (^£2 -Рп?)1/2 и Рп =№0Е3-Р2)1'2 - поперечные

постоянные распространения п-й ПГ, ^ = ^^0^0 - волновое число свободного пространства.

п

е

р

и

Нх-компонента ТЕ волны в областях 1-3 с учетом уравнений Максвелла определяется выражениями

Нх =

ащ° дz

Н

х1= — 2 Упапе п=-2

Н

х2~

-1 2

- 2 г,

п=-2

-1

- }Лп (z - Ь) }Лп (z-Ь) 1 - ]рпх

Н 3 2 Р \<1 е~ ]Рп' - / е]РпZ) V ¡Рпх

х3 п=-2РП П 1п

Далее для областей 1 и 2 использованы граничные условия, определяющие поведение тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей на идеально электропроводящих полосках и границах раздела диэлектриков:

при 2 = 0 Еу3 = при z = Ь Еу2 = Еу3 , НХ2 =Н х3 ; пРи Z = Ь + t Еу1 = Eу2,

{I у (х), на полоске

/ .

0, между полосками

(8)

Представление плотности поперечного электрического тока (7) на полосках в виде суммы

2 - ¡в х

ПГ Jy(x)= 2 Jne и последовательное исклю-

п = -2

чение неизвестных амплитуд ап-/п из уравнений, полученных из граничных условий для векторов Е и Н, а также выполнение остальных процедур аналогично случаю Н-поляризации приводит к уравнению

м

2 ап т=1

ут^ урп

=0 .

(9)

где Цп =(ЛпРп-Гп У

-}РпЬ „ ¡РпЬ

е п ^пе п

р =---

п е - }РпЬ +{пе}Рпк

_Лпгп-Рп Лпгп + Рп

~}РпЬ-е1Рпк *

Гп =—:—=-:—- , Jvpn - комплекс-

п г'1 РпЬ + г} РпЬ урп

но-сопряженная величина п-й гармоники р-й базисной функции плотности поверхностного тока,

р = 1; м . Соответственно, дисперсионное уравнение, решение которого дает искомое значение Р = Р° - ]а , имеет вид det [о] = о , где [с] — квадратная матрица размером М*М (М - число базисных функций), элементы которой

о,.

2 У^у^ут

^; N ; i,j = 1; М .

(1°)

В качестве базисных функций разложения тока J у (х) могут быть выбраны, например, полиномы

Чебышева первого рода Тт-1(х./щ) порядка с весовыми коэффициентами ([-(х/м)2)~12.

Расчеты дисперсионных характеристик структур с различными значениями параметров С, щ Ь, (, е, показали, что для получения значений в0 и а достаточно учитывать 3-5 базисных функций разложения поверхностных токов на полосках и 61-81 ПГ. Точность рассчитанных значений в0 и а проверена путем их сравнения с известными результатами других авторов [5, 7, 8], полученными при использовании для моделирования строгих методов электродинамики, предполагающих решение интегральных уравнений для электрического (EFIE) и магнитного (МБГЕ) полей. В частности, примеры характеристик, рассчитанных в результате решения приведенных выше дисперсионных уравнений, и характеристик, приведенных в [5, 8], иллюстрируются рис. 3 и 4, на которых значения р-г/^ , р0/^ и а/^ , вычисленные с использованием в предложенных математических моделях 5 базисных функций тока и 61 ПГ, показаны маркерами в виде черных квадратов. На рис. 3, а приведены дисперсионные характеристики структуры с однослойным ПДВ с ТЕ] волной (С=3,38 мм, щ=0,676 мм, Ь=0 мм, 1=1,4 мм, е2=20, е3=1), работающей на частотах наклонного и нормального излучения на -1й ПГ [5], на рис. 3, б - той же структуры в режиме отсутствия излучения на частотах закрытой полосы запирания [5].

Р-1'ко

ао/ко

0,5

-0,5

* ГЧ,

• ..... Ь

1

27 28 ПСНг)

а

29

30

«о/к.

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

19 20 21 22 23 24 25

б

Рис. 3. Примеры дисперсионных характеристик структур с ТЕ волной

На рис. 4, а приведены дисперсионные характеристики структуры с однослойным ПДВ с ТМ° волной (С=8 мм, м>=1 мм, Ь=0 мм, (=1,27 мм, е2=10,2, е3=1), работающей на частотах наклонного и нормального излучения на -1й ПГ [8]; на рис.

п

4, б - характеристики структуры с другими параметрами (d=10 мм, ^=3 мм, h=0 мм, t=2,85 мм, е2=4, е3=1), на частотах наклонного излучения на -1й ПГ [5].

о>з 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

IP-i/kol\

\

r* V

\ \

r' / Si

17

18 19 20 f (GHz)

а

21

P-i/ko 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

1111 11 11111 111111 1111 _ Attenuation

constant x :

JC

f A

■ 1/ 1 , , ■ Phase constant j _

oo/ko

0,075 0,06 0,045 0,03 0,015 0

12 13 14 15 16 17 18 19

ис.п/) б

Рис. 4. Примеры дисперсионных характеристик структур с ТМ0 волной

Полученные результаты свидетельствуют о достаточной для практики точности приближенных расчетов дисперсионных характеристик с помощью предложенных моделей и подтверждают возможность использования данных моделей при проектировании плоских антенных решеток СВЧ и КВЧ, построенных на основе структур с периодическими решетками из металлических полосок.

Литература

1. Пат. 2517724 C1 Российская Федерация, МПК7 H01Q13/28, H01P3/16. Плоская антенна вытекающей волны [Текст] / Борисов Д. Н., Золотухин А. В., Климов А. И., Нечаев Ю. Б., Юдин В. И.; заявитель и патентообладатель Воронежский государственный университет. -№ 2012144897/08; заявл. 22.10.2012; опубл. 27.05.04, Бюл. № 15. - 7 с.

2. Исследование характеристик плоских антенных решеток СВЧ и КВЧ диапазонов на основе ленточных структур вытекающей волны [Текст] / С. А. Антипов, Д. Н. Борисов, Д. А. Ерошенко, А.И. Климов, Ю. Б. Нечаев // Радиотехника, 2014. - № 6. - С. 78-81.

3. Teshirogi, T. A Millimeter-Wave Dielectric Leaky-Wave Antenna with Low-Profile and High Efficiency [Текст] / T. Teshirogi [et al.] // Proceedings of ISAP 2000, Fukuoka, Japan. - 4 Р.

4. Ogusu, K. Propagation Properties of a Planar Dielectric Waveguide with Periodic Metallic Strips [Текст] // IEEE Trans. MTT, 1981. - V. 29. - №. 1. P. 16-21.

5. Baccarelli, P. 1-D Periodic Leaky-Wave Antennas: Radiation Properties and Design Aspects [Текст] / ESoA Course on Leaky Waves and Periodic Structures for Antenna Applications. La Sapienza University of Rome, Italy, April 26-29, 2011. - 65 P.

6. Уолтер, К. Антенны бегущей волны: Пер. с англ. [Текст] / Под ред. А.Ф. Чаплина. - М.: Энергия, 1970. - 448 с.

7. Baccarelli, P. Full-wave Analysis of Printed Leaky Wave Phased Arrays [Текст] / P. Baccarelli [et al] // Int. J. RF Microwave Computer Aided Engineering, 2002. - V. 12. - PP. 272-287.

8. A Printed "Bull-Eye" Leaky-Wave Antenna Fed by a Non-Directive Surface Wave Launcher [Текст] / Simon K. Podilchak [et al] // Proceedings of the 2nd European Wireless Technology Conference, Rome, Italy, 28-29 September, 2009. - PP. 81-83.

Воронежский государственный технический университет

Воронежский институт МВД России

MATHEMATICAL MODELS OF DISPERSION CHARACTERISTICS OF LEAKY

WAVE STRUCTURES

S.A. Antipov, D.A. Eroshenko, A.I. Klimov

A simplified mathematical models for an approximate calculation of the dispersion characteristics of planar infinitely extended leaky wave structures with H- and E-polarization, containing a two-layer dielectric waveguide on a metal screen and one-dimensionally periodic array of metal strips. The models do not involve solving integral equations, but provide, however, an accurate calculation of the dispersion characteristics, including frequencies of the open stop-band, and can be used in the design of planar leaky wave antenna arrays of UHF and EHF bands

Key words: mathematical model, dispersion characteristic, leaky wave, metal strip grating