CC BY
56
Р. Т. Файзуллин, Р. Р. Файзуллин. Восстановление линейных функциональных зависимостей
что является существенным преимуществом примененного подхода. Решенные задачи о ползучести, релаксации напряжений и разгрузке в шаре с одиночным сферическим дефектом сплошности имеют своей целью описание экспериментально известного процесса залечивания микропор.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-33064 мол_а_вед).
Библиографический список
1. Горелов В. И. Исследование влияний высоких давлений на механические характеристики алюминиевых сплавов // Прикладная механика и техническая физика. 1984. № 5. С. 157-158.
2. Буренин А. А., Быковцев Г. И., Ковтанюк Л. В. Об одной простой модели для упругопластической среды
при конечных деформациях // Докл. АН. 1996. Т. 347, № 2. С. 199-201.
3. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В., Полоник М. В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды // Докл. АН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767-769.
The Loading Parameters Calculation of a Hollow Sphere at the Large Elastocreep Deformations
E. V. Murashkin
Institute for Problems in Mechanics of RAS, 101-1, Vernadskogo ave., 119526, Moscow, Russia, [email protected], [email protected]
We presented a model of large elastocreep deformations. Separation of Almansi strain tensor is determined by the quadratic form of reversible and irreversible components. We consider spherically symmetric deformation of a hollow sphere in the steady creep process. Numerical solution of boundary-value problem was obtained. A method for determining loading force on the deformed state was proposed. Functions of the external loading force according to the laws of a given change in the displacement field were constructed.
Key words: large deformation, creep, relaxation, elasticity.
References
1. Gorelov V. I. Effect of high pressure on mechanical characteristics of aluminum alloys. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1984, vol. 25, iss. 5, pp. 813-814.
2. Burenin A. A., Bykovtsev G. I., Kovtanyuk L. V. A simplemodel of finite strain in an elastoplastic medium.
Doklady physics, 1996, vol. 41, no. 3, pp. 127-129.
3. Burenin A. A., Kovtanyuk L. V., Polonik M. V. The possibility of reiterated plastic flow at the overall unloading of an elastoplastic medium. Doklady physics, 2000, vol.45, no. 12, pp. 694-696.
УДК 519.654
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
С ЗАДАННОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
Р. Т. Файзуллин1, Р. Р. Файзуллин2
1 Доктор технических наук, профессор кафедры комплексной защиты информации, Омский государственный технический университет, [email protected]
2Кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры комплексной защиты информации, Омский государственный технический университет, strannik11 @ list.ru
Предложены способы восстановления функциональной зависимости с заданным разрывом. Приведены примеры применения алгоритма построения функций с особенностью. Первый способ основан на формальной минимизации функции методом случайного поиска. Второй использует информативность данных.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, разрыв, особенность.
Метод наименьших квадратов (МНК) широко используется для решения различных задач прикладной математики и техники: многомерных задач аппроксимации зависимостей массивов [2], обобщений МНК для нелинейных задач[1], задачи уравнивания [6], разнообразных аппроксимаций [3-5]. Также метод лежит в основе построения фильтра Калмана-Бюсси [7].
Особый интерес представляет случай, когда функциональная зависимость, которая связывает условия эксперимента и проведенные измерения, предполагает наличие особенностей с известными характеристиками. Задачи, возникающие в этом случае, разнообразны и их следует рассматривать по мере усложнения. Очевидный первый шаг — это задача нахождения точки разрыва первого рода для функции с ограниченной вариацией, заданной с ошибками. Эта проблема полностью решена в работах Агеева и его учеников. Она имеет отношение к проблеме восстановления контуров на изображениях, например, [8]. Следующим шагом является решение задач с дополнительными условиями на разрывах, например, задача с заданным разрывом функции.
В качестве первого примера рассмотрим следующую простую задачу (см. [9]). Пусть известно, что на некотором интервале функциональная зависимость между условиями эксперимента и результатом измерений имеет вид: /(х) = А1х + В1, а на другом интервале /(х) = А2х + В2. Необходимо найти точку, в которой происходит излом или, иначе говоря, известен разрыв первого рода производной при наличии ошибок измерения. Эта задача имеет непосредственное отношение к практике: в проблеме определения смены тренда в техническом анализе или в задаче определения аварийного участка на трассе магистрального продуктопровода. Функции /(х) = Aiх + В, определяют так называемые линии гидравлического уклона, где 8 определяют ошибки датчиков, ^ = / + 8 — показания датчиков. Точка излома характеризует место аварии или истечения транспортируемого носителя (горячей воды, нефти и т. п.), а значение разрыва производной — расход истекаемого продукта. Заметим, что разрыва самой функции не предполагается, кроме особо оговоренных случаев. Следует подчеркнуть важность проблемы для практики, определение места прорыва в итоге определяется визуально, при облете на вертолете.
Другим содержательным примером может служить задача представления целочисленных данных конечным рядом Фурье. Данные можно представить как набор целочисленных точек на плоскости и построить кусочно-линейную, выпуклую функцию /, которой они будут принадлежать.
Поясним это подробнее. Пусть нам заданы 2N целых чисел г,. Образуем набор N точек на плоскости, координаты которых задаются по правилу: х^ = , у^ = г2,+1. Далее, упорядочим их по величине тангенса угла наклона к оси Ох у^/х^. Перейдем к координатам (и, у) по правилам: и1 = х3, у1 = удля всех ] таких, что у3/х3 > yj/xj, Uj+1 = Uj + хт, Vj+1 = Vj + ут, где т — номер точки, следующей по убыванию тангенса угла наклона к оси х. Очевидно, что по полученным точкам можно построить выпуклую, монотонно возрастающую, кусочно-линейную функцию.
Функция эта приближается частичной суммой тригонометрического ряда Фурье. Зная Uj, можно попытаться восстановить у, с помощью МНК и учетом того, что полученная функция монотонно возрастающая и выпуклая и ее значения целочисленны. Отметим, что недостающий «хвост» ряда Фурье — это аналог ошибки измерений в классическом МНК.
Предположим, что известны: точка а на интервале [0,Ь], значение разрыва функции Б в точке а и вид функциональной зависимости. В этом случае можно применить МНК к обоим интервалам, разделенным точкой разрыва. Тогда, например, в случае линейных зависимостей знание значения разрыва очевидным образом позволяет получить систему из пяти уравнений для четырех неизвестных:
,=1
,=1
,=1 N
А^ х, + В1 N1 у,,
,=1
,=1
Р. Т. Файзуллин, Р. Р. Файзуллин. Восстановление линейных функциональных зависимостей
N N N
а ^2 х2 + в ^2 Хг = Хгуг,
i=N1+l г=^+1 г=^+1
N N
¿2 Хг + В2 - N1)= ^ Уг,
г=^ +1 г=N1+l
| А х + В - А х - В1 =
Стандартный способ решения такой системы — это минимизация функции:
2
N i N i
F (Ai ,A2 ,B2,x) = | A^ + хг - ^ x^] + ... + (|A x + Bi - A2X - B2I - D)2
i=i i=i
f у
i=1 )
Данный подход возможно обобщить для случая разрыва производной. Добавляется 6-е уравнение |А1 — А21 = С и слагаемое в функцию (С — |А1 — А2|)2.
Обратим внимание на трудности в решении задачи: нормы, присутствующие в выражении для функции, различны, функция не дифференцируема.
Первым шагом алгоритма будет являться нахождение точки с разрывом функции первого рода. Отрезок [0, Ь] разбивается на два интервала: [0, а], (а, Ь], где а достаточно мало, и на каждом интервале находится решение МНК как функции /1, /2. Считаем расстояние между ними в норме 12. Затем пошагово увеличиваем а и для каждого значения а вычисляем сумму квадратов отклонений:
N1 N
Я =5^(Уг - А1 Хг - В )2 + ^ (Уг - ^Хг - В2)2.
г=1 г=^+1
Минимальное значение Я будет соответствовать наиболее подходящему значению а.
Для поиска нескольких особенностей методику можно модифицировать, выбирается маска Ь = а + КАз, т. е. отрезок длины а, достаточно малый по сравнению с X, и последовательно смещая его с шагом Аз, получаем предположительные точки особенностей ат, т = 1,...,К, с величинами разрывов производной , т = 1,...,К. Далее, упорядочение по величине разрыва позволяет выявить скачок при некотором тр. Это позволяет отделить изломы от артефактов.
Рассмотрим работу алгоритма на конкретном примере. Пусть задан фиксированный набор точек, координаты которых принимают значения, приведенные в следующей таблице.
Пример экспериментальной зависимости, маскирующей линию гидравлического уклона под влиянием нестационарных процессов
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
У 13 10 11 9 7 10 8 6 7 8 4 3
№ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
x 12 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25
У 5 2 1 3 16 2 1 -1 2 0 1 -1
Проведем поиск точки разрыва функции первого рода из условия D- > min, иначе говоря, отрезок [0, L] разбивается на два интервала: [0,a], (a, L], где a достаточно мало, и на каждом интервале находится решение МНК как линейной функции f1, f2. Считаем расстояние между ними в норме, согласованной с 12. Затем пошагово увеличиваем a и для каждого значения a вычисляем соответствующее D. В результате получаем набор чисел D, выбираем минимальное и находим xm — координату этого «минимального разрыва», которая равна 16.67. Другими словами, это место, где нами ставится граница между приближающими точки отрезками, из условия, что их концы в точке с абсциссой xm находятся на минимальном расстоянии. Мы можем видеть на рис. 1, что концы этих отрезков довольно близки друг к другу, расчет дает величину 0.13 для расстояния между ними.
16.6
Рис. 1. График приближенной функции с разрывом
Отметим, что справа от перпендикуляра, восстановленного к Ох в точке 16.6, расположено существенно меньше половины точек из таблицы.
Допустим в реальной задаче, к примеру в расчете напоров, нам надо получить неразрывный график функции, т. е. разрыв функции мы желаем установить в Б = 0. Если рассмотреть подход, связанный с минимизацией функции Б(А, Л2,В1 , В2, х) методом случайного поиска, то уже при двух-трех итерациях получаются неулучшаемые результаты. Будем искать коэффициенты двух приближающих прямых Лг и Вг относительно него. Рассматриваем вначале точку пространства переменных, получаемую из соображений минимума разрыва по вертикали: Л\ = -0.646, В1 = 11.613, Л2 =0, В2 = 0.714, х = 16.66. Среднеквадратичное отклонение для таких параметров равно 2.938. Проводим итерационный процесс случайного поиска на каждой итерации, создавая около текущей точки I 10 новых пробных точек А1 + 61, В| + 62, Л2 + 53, В2 + 64, хг + 65. Все равномерно распределены в промежутке [—сг,сг], с1 = 0.1, сг+1 = сг/2. В 10 полученных точках рассчитывается значение функции Б, из них (включая стартовую) выбирается точка с минимальным значением этой функции, она берётся за стартовую для новой итерации. В примере, когда были проведены 3 итерации, среднеквадратичное отклонение в сумме по обеим сторонам для итоговой точки разрыва составило 0.25. Отдельный вопрос составляет допустимость получаемых при случайном поиске решений, т. е. точное значение Б = 0 получить не удается. Но для второй рассмотренной задачи определения целочисленной точки это не существенно.
Другой способ основан на том соображении, что информативность различных частей данных различна. Обратимся к рассмотренному численному примеру. Очевидно, что полученная линейная зависимость слева заслуживает большего доверия, чем линейная зависимость справа. Дисперсия параметров прямой меньше в силу большего числа данных слева и оправданных гипотез о нормальности и отсутствии систематической ошибки.
Это позволяет решить проблему за счет небольшого изменения правой части графика. Мы будем рассчитывать минимум суммы квадратов расстояний точек до правого отрезка прямой
N
£2 = (уг — Л3хг — В3)2 с условием, что ему принадлежит точка (хт, ут), правая граница левого
г=N1+1
отрезка. Фактически, мы «поднимаем» левый край второго отрезка до совмещения с правым краем первого через равенство Л1хт + В1 = ут = Л3хт + В3, а затем вычислим из соображений минимизации суммы квадратов отклонений £2 угловой коэффициент второго отрезка Л3. Результат изображен на рис. 2. Отличие между первоначальным и повернутым правыми отрезками равняется 3.5. Это существенно больше, чем в первом подходе, но здесь неявно учитывается информативность данных.
0
х
Рис. 2. График приближенной функции с условием точной склейки
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложены два способа восстановления функциональной зависимости с заданным разрывом. Первый опирается на формальную минимизацию методом случайного поиска недифференцируемой функции, зависящей от параметров состыкованных функциональных зависимостей и места разрыва. Второй — на различную информативность данных по обеим частям разрыва.
Библиографический список
1. Мусатов М. В., Львов А. А. Анализ моделей метода наименьших квадратов и методов получения оценок // Вестн. Сарат.гос. тех. ун-та. 2009. Т. 4, № 2с. С. 137140.
2. Кветной Р. Н., Бойко А. Р., Степова Т. А. Многомерная полиномиальная аппроксимация зависимостей заданных массивами интервальных данных по методу наименьших квадратов // В1сник Вшницького пол1тех-шчного шституту. 2011. № 3. С. 103-106.
3.Джагаров Ю. А. Программный модуль для расчета аппроксимирующих полиномов по методу наименьших квадратов // Программные продукты и системы. 2005. № 3. С. 14.
4.Суханов Д. Я., Суханов А. Я. Метод итерационной настройки многослойной нейронной сети на основе метода наименьших квадратов // Докл. Томск. гос. унта систем управления и радиоэлектроники. 2004. № 2. С. 111-115.
5. Милов В. Р. Адаптивная обработка сигналов на основе рекуррентного алгоритма с регуляризацией по методу наименьших квадратов // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т. 46, № 10. С. 11-17.
6. Тао Хуасюе, Юй Шенвень, Ли Пин Новая модель решения задачи уравнивания по методу нелинейных динамических наименьших квадратов // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2001. № 7. С. 157-160.
7. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. 1982.
8. Агеев А. Л., Антонова Т. В. О локализации разрывов первого рода для функций ограниченной вариации // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 56-68.
9. Логинов К. В., Мызников А. М. , Файзуллин Р. Т. Расчет, оптимизация и управление режимами работы больших гидравлических сетей // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 9. С. 92-106.
The Restoration of Functional Relationships with a Given Singularity R. T. Faizullin, R. R Faizullin
Omsk State Technical University, 11, Mira ave., 644050, Omsk, Russia, [email protected], strannikl 1 @list.ru
Provided methods recovery of functional dependence with a specified discontinuity.Application of the algorithm of building function with given discontinuity is shown.The first method is based on a formal function minimization by random search. The second uses the information content of the data. Key words: least squares method, discontinuity, singularity.
References
1. Musatov M. V., L'vov A. A. Model Analysis of the Least Squares Method and Methods to Obtain Estimates. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Bulletin of the Saratov State Technical University], 2009, vol. 4, no. 2c, pp. 137-140 (in Russian).
2. Kvetnoj R. N., Bojko A. R., Stepova T. A. A Multivariate Polynomial Approximation of the Dependencies of the Specified Array of Interval Data on Method Least Squares. Visnik Vinnic'kogo politehnichnogo institutu [Bulletin of Vinnica Polytechnical Institute], 2011, no. 3, pp.103-106 (in Russian).
3. Dzhagarov Ju. A. Programmnyj modul' dlja rascheta approksimirujushhih polinomov po metodu naimen'shih kvadratov [The Software Module for the Calculation of Approximating Polynomials by the Method of Least Squares]. Programmnye produkty i sistemy [Program products and systems], 2005, no. 3, pp. 14 (in Russian).
4. Suhanov D. Ja., Suhanov A. Ja. The Method of Iterative Tuning Multilayer Neural Network Based on the Method of Least Squares. Doklady Tomskogo gosudarstvennogo universiteta sistem upravlenija i radiojelektroniki [Reports of Tomsk State University of
Control Systems and Radio Electronics], 2004, no. 2, pp. 111-115 (in Russian).
5. Milov V. R. Adaptive Signal Processing Based on Recursive Algorithm with Regularization of the Least Squares. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Priboro-stroenie, 2003, vol. 46, no. 10, pp. 11-17 (in Russian).
6. Tao Huasjue, Juj Shenven', Li Pin. A New Model for the Solution of the Equalization Method of Nonlinear Dynamic Least Squares. Gornyj informacionno-analiticheskij bjulleten' (nauchno-tehnicheskij zhurnal) [Mining informational and analytical bulletin (scientific and technical journal)], 2001, no. 7, pp. 157-160 (in Russian).
7. Brammer K., Ziffling G. Fil'tr Kalmana-B'jusi [Kalman-Bucy filter]. Moscow, Nauka, 1982 (in Russian).
8. Ageev A. L., Antonova T. V. Localization of Discontinuities of the First Kind for the Functions with Bounded Variation. Tr. IMM UrO RAN [Proc. of the IMM of Ural department of RAS], 2012, vol. 18, no. 1, pp. 5668 (in Russian).
9. Loginov K. V., Myznikov A. M., Fajzullin R. T. Calculation, optimization and control modes of the large hydraulic networks. Matem. modelirovanie [Math. modeling], 2006, vol. 18, iss. 9, pp. 92-106 (in Russian).
