CC BY
54
УДК 576.54, 532.135, 576.526
О ДВУХ МОДИФИКАЦИЯХ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УТЕРЯННОЙ ИНФОРМАЦИИ СИСТЕМЫ ВИДЕОАНАЛИЗА ПО ПОКАЗАНИЯМ АКСЕЛЕРОМЕТРА
А.Н. Бобылев1, Ю.В. Болотин1, А.В. Воронов2, П.А. Кручинин1
1 Механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова, Россия, 119992, Москва, Ленинские горы, 1, e-mail: pkruch@mech.math.msu.su
2 Государственный научный центр РФ «Институт медико-биологических проблем Российской академии наук», Россия, 123007, Москва, Хорошевское шоссе, 76 А
Аннотация. Обсуждается задача восстановления утраченных показаний системы видеоанализа движений человека по измерениям двухкомпонентного акселерометра. Алгоритм использует математическую модель движения и состоит из двух этапов: идентификации неизвестных параметров и собственно этапа восстановления утраченной информации. Обе задачи сводятся к решению переопределенных систем линейных уравнений. Сравниваются два подхода к решению задачи восстановления. Первый использует традиционную нерекуррентную процедуру метода наименьших квадратов, а второй - процедуру субоптимального алгоритма сглаживания, основанного на фильтре Калмана. Алгоритмы применены для задачи восстановления утерянных значений угла, образованного голенью человека и вертикалью.
Ключевые слова: математическая модель, система видеоанализа, акселерометр, восстановление информации, метод наименьших квадратов, сглаживание Калмана.
Введение
Клинический анализ движений человека в последние годы получил признание как один из наиболее эффективных методов диагностики различных видов патологии опорно-двигательного аппарата [3, 15]. Это обусловлено относительной доступностью аппаратуры и возможностью изучать достаточно «чистое» движение (в отличие от контактных датчиков, которые могут оказывать существенное влияние на ход обследования). Однако при использовании систем этого типа может возникать ряд технических трудностей. Например, в процессе движения в течение некоторого промежутка времени один из светоотражателей может быть закрыт от объектива камеры. Соответственно, на этом промежутке невозможно получить значение одного или нескольких углов. Ранее для решения этой задачи обычно применялись методы сплайновой аппроксимации либо коррекция показаний по информации о длине звена антропоморфного многозвенника [13]. Однако первый способ использует только информацию о гладкости траекторий, а второй имеет большую погрешность из-за изменения расстояния между маркерами. Для устранения данного недостатка системы видеоанализа предполагается использовать показания различных датчиков, измерения
© Бобылев А.Н., Болотин Ю.В., Воронов А.В., Кручинин П.А., 2012
Бобылев Алексей Николаевич, аспирант каф. прикладной механики и управления МГУ, Москва Болотин Юрий Владимирович, д.ф.-м.н., проф. каф. прикладной механики и управления МГУ, Москва Воронов Андрей Владимирович, д.б.н., в.н.с., Институт медико-биологических проблем РАН, Москва Кручинин Павел Анатольевич, к.ф.-м.н., доцент каф. прикладной механики и управления МГУ, Москва
09806267
которых основаны на других принципах работы [5]. В исследованиях [5-7] рассматривалась задача о восстановлении пропавших показаний при видеоанализе с использованием измерений стабилографической платформы. Для решения авторам потребовалось записывать сложные динамические уравнения, учитывая значительное количество неизвестных параметров, и существенно ограничить класс допустимых движений. В настоящий момент доступность для применения различных измерительных приборов сделала возможным поставить ту же задачу с использованием других датчиков.
В работе [2] описан способ восстановления показаний системы видеоанализа по дополнительным измерениям двухкомпонентного датчика линейных ускорений -акселерометра. Настоящая работа посвящена подробной разработке алгоритмов решения этой задачи для случая плоского движения. Исследуется движение одного из звеньев человека, например, бедра или голени. В качестве измерений системы видеоанализа рассматривается угол, образованный звеном с горизонталью, вычисленный по показаниям системы видеоанализа. Моделируется ситуация, когда на некотором интервале времени значения угла считаются утерянными.
Описание измерительных систем
Рассмотрим процедуру анализа видеоизображений движения человека. Движения человека регистрируются при помощи видеокамер. На характерные точки тела человека наносятся маркеры, по изображению которых определяются координаты точек тела. Все измерения координат записываются компьютером, после чего исследователь проводит анализ полученных траекторий или характерных углов, вычисленных по этим координатам. Движение человека не затруднено какими-либо массивными датчиками или проводами, которые часто мешают проводить полноценные исследования, например, с пациентами, у которых нарушен опорнодвигательный аппарат или имеются какие-либо неврологические заболевания.
В настоящей работе рассматривается система видеоанализа, использующая видеопоток с одной видеокамеры.
Для решения проблем сбоев видеосистемы предлагается применять дополнительные измерения акселерометра. Выбор данного прибора обусловлен несколькими факторами. Во-первых, на сегодняшний день акселерометр доступен для проведения лабораторных испытаний. Во-вторых, этот датчик, выполненный с использованием технологий MEMS и Bluetooth, почти не ограничивает движение. В-третьих, использование показаний акселерометра не требует введения в модель динамических уравнений движения тела человека в целом и позволяет ограничиться кинематическими соотношениями для одного сегмента.
Измерениями двухкомпонентного акселерометра являются проекции на две ортогональные оси удельной силы, действующей на чувствительную массу. Измерительный прибор представляет собой легкий малогабаритный датчик в жестком корпусе. Крепление акселерометра производится непосредственно на поверхность тела в зоне наименьшей подвижности кожного покрова (рис. 1).
Уравнения движения звена
Решаем задачу о движении звена в плоскости. Будем рассматривать модель одного из звеньев конечности человеческого тела (предплечья, плеча, голени или бедра).
Считаем рассматриваемый объект твердым телом, совершающим непрерывное плоскопараллельное движение. Будем исследовать плоские движения отрезка, соединяющего две фиксированные точки Oi и O2 на теле. Положение отрезка однозначно задает положение звена (рис. 2).
Маркеры
системы
видеоанали
Акселерометр
а
X
Рис. 1. Крепление акселерометра
Рис. 2. Модель звена конечности
В качестве точек O\ и O2 выберем точки крепления маркеров на концах звена. Место крепления и ориентация датчика ускорений в общем случае неизвестны.
Обозначим через A центр чувствительной массы акселерометра. Зададим положение точки A расстоянием l от O\ и углом в между отрезками O\O2 и O\A.
Рассмотрим одну из двух осей чувствительности акселерометра. Ориентацию оси зададим углом а её отклонения от перпендикуляра к O\O2. Длина l и углы а и в -неизвестные параметры системы. Выражение для проекции ускорения точки A на ось чувствительности акселерометра запишем из теоремы о сложении ускорений при плоскопараллельном движении [\0]
aa = lsm(a-P)(p2 +1cos(a-P)cp + sina(-Xjcosф- >\smф) + cosa(-Xjsinф+j^cosф). (\)
Показания акселерометра по выбранной оси в силу конструкции не совпадают с величинами ускорений aa . Хотя схема работы современных акселерометров и сложна с технической точки зрения, принципиально механизм их функционирования описывается как движение «грузика на пружине» [4] (рис. 3).
Запишем уравнение движения чувствительной массы акселерометра в проекции на ось чувствительности:
aa = g cos(a + ф) + f', где f' - удельная сила упругости, которая измеряется прибором.
Учтем несовершенство прибора, добавив мультипликативную (\ + д) и аддитивную Aa ошибки. Показания акселерометра имеют вид
f = (\ + V)f' +Aa = (\ + [ aa + g cos(a + ф)] +Aa.
/ mg
Рис. 3. Принципиальная схема функционирования акселерометра
Ошибка масштаба (1 + д) содержит также компоненты, связанные с тем, что ось датчика не лежит в плоскости движения вследствие неточности крепежа. Величины, вообще говоря, не постоянны, они меняются, например, в зависимости от температуры. Эти изменения происходят достаточно медленно, и на промежутках времени
эксперимента в дальнейшем мы будем ими пренебрегать.
Учтем также эффект рассинхронизации по времени снятия показаний акселерометра и системы видеоанализа. Введем параметр запаздывания регистрации показаний акселерометра :
f (t ) = (1 + д)[ аа (t) + g cos(a + ф(^))] +Aa.
В итоге выражение, связывающее показания акселерометра и системы
видеоанализа, имеет вид
f (t - ts ) = (1 + д)/ sin(a - Р)ф2 (t) + (1 + д)/ cos(a - P)q)(t) +
+ (1 + д) sin a [-Xj (t) cos ф - (y (t) + g) sin ф] + (2)
+ (1 + д) cos a [ -x1 (t) sin ф - (y1 (t) + g) cos ф] +Aa.
Задача идентификации
Соотношение (2) содержит постоянные величины Аа, д, I, а, Р, т,,, значения которых неизвестны, и их определение с использованием стандартных способов антропометрических измерений затруднено. В связи с этим, как и ранее в работе [6], необходимо использовать методы идентификации неизвестных параметров.
Будем считать т5 малым по сравнению с характерным временем совершаемого
движения и представим /(^ - т5) в левой части (2) в виде двух первых членов разложения в ряд Тейлора /(^ - т5 ) « /(^) - т5/(^). Получим
f (t) = Хф2 (t) + X 2ф(t) + Хз [-X(t) cos ф - (y1(t) + g) sin ф] + + X4 [-X (t) sin ф - (y (t) + g) cos ф] + X5 + X6f (t).
(3)
В уравнении (3) введены обозначения для комбинаций неизвестных параметров Аа, д, l, a, Р, :
X1 = (1 + д)1 sin(a - Р),
Х2 = (1 + д)1 cos(a - Р),
Xз = (1 + д^т a,
X4 = (1 + д) cos a,
X5 = Аа,
X6 =т,.
Соотношение (3) можно представить уравнением относительно неизвестных компонент вектора X = (X1,X2,X3,X4,X5,Xб) . Производные от измеренных величин в этом случае вычисляются по конечноразностным соотношениям. Соотношения вида (3), записанные для всех моментов времени tj (j = 1,...,N0), при которых измеряемые величины не содержат сбоев, образуют переопределенную систему уравнений
AX = B, (4)
где B = (f (tj),...,f (tNo))T, а компоненты Ay матрицы A задаются соотношениями
A1 j =92(t; X A2 j = ^(t; ),
A3 j = - X (tj) cos 9(t;) - (y 1 (tj) + g) sin 9(t;),
A4 j = - X (tj) sin 9(t;) - (У (tj) + g)cos 9(t;-),
A5 j = 1
A6 j = f (tj ).
Здесь 9(tj), f (tj) - измерения, приписанные программным обеспечением
системы съема информации к моменту времени tj.
Задача получения из (4) значения X решается модифицированным методом наименьших квадратов [8, 14] и подробно рассмотрена для аналогичной задачи в [6].
Задача восстановления утерянных значений углов
Для решения задачи восстановления утерянных значений угла ф также используем уравнение (3), которое в данном случае применяем для участков
с неполной информацией, где неизвестны координаты маркера в точке O2,
а следовательно, и угол ф. Значения комбинаций параметров Xi получены на
предшествующем этапе идентификации.
Рассмотрим два варианта процедуры восстановления утерянной информации системы видеоанализа. Первый из них использует традиционный подход нерекуррентного метода наименьших квадратов, аналогично работам [6, 7]; второй -процедуру калмановского сглаживания [14].
Использование неитерационного метода наименьших квадратов
Сведение задачи восстановления утерянных значений углов к решению системы линейных уравнений вида Ax = B ранее было подробно описано в работах [6, 7]. Повторим здесь вкратце основные этапы этой процедуры.
Будем считать, что утеряна информация, полученная системой в моменты времени tj (i = 1,.,N). Обозначим ф = ш, ф = в и представим в каждый момент времени ф, ш, s в виде суммы априорной оценки, обозначенной индексом а, и малой поправки: ф = фа + фА, ш = фа +шА, s = фа + sA . Проведем линеаризацию уравнения (3) по фА, шА, sA. Получим
С (Офа + С2 (t )ша + С3 (t К = b(t), (5)
где обозначения
С (t) = X3(x1 (t) sin фа - (y1(t) + g)cos фа) - X4(x1(t) cos фа + (У 1 (t) + g)sin фа),
C2(t) = 2Ша^^1,
С3 (t) = X2,
b(t) = f (t) - ш2X1 - ^X2 + X3 (X1 (t) C0S фа + (y1 (t) + g) Sin фа ) +
+ X4 (X1 (t) Sin фа - (y1 (t) + g)C0S фа ) - X5
являются известными функциями измеряемых величин X! (V), У1 (V),
идентифицированных параметров Х1 и задаваемой пользователем априорной оценки
фа(V). Уравнение (5) записывается для моментов времени ti (г = 1,...,N), в которые
производится извлечение информации. Для вычисления производных от значений ошибок будем использовать разностные приближения
®д&) = (Фд(0 “фд&))/ Т,
£д(^) = (фд(^+1) “ 2Фд(^) + Фд(^-1)) / Т2.
Подставляя разностные соотношения в уравнение (5), составим систему уравнений
УиФд (ti-l) + ЧъФд ) + ЧъгФд (ti+l) = Щ ), г = 1, ■, N , (6)
где
Чц = СэОг )/ ^
Чи = С1 Ог ) - С2 (^г ) / 2С3 Ог ) / ^
Чэг = С2<Л )/ Т + СэОг )/ ^
Здесь величины фд(ґ0), фд(їм+1) можно получить, используя полученные из показаний системы видеоанализа значения угла в моменты времени до и после интервала восстановления.
Проведем все описанные выше рассуждения для второй оси чувствительности акселерометра. Получим уравнения, аналогичные (6):
Г1гФд Ог-О + Г2гФд Ог ) + Г3гФд (0 = Л (*г X г = 1, - , ^.
(7)
Таким образом, создана система из 2п линейных уравнений вида (6), (7) с N неизвестными фд (^),..., фд (tN ). В матричном виде она имеет вид
Аех = В,
(8)
где
Ае =
Ч21 Ч31 0 0 0 0 л
Ч12 Ч22 Ч32 0 0 0
0 Ч13 Ч23 Ч33 0 0
0 0 0 -1 Ч2 N-1 q3N-1
0 0 0 0 Ч2 N
Г21 Г31 0 0 0 0
г12 г22 г32 0 0 0
г13 г23 г33 0 0
0 0 0 ГШ-1 -1 *£Т -1
0 0 0 0 гш г2 N ,
^Фд (^)Л
X =
Чфд (^ы )
В =
Щ) “ УпФд (to)
ад
Ь(^Ы “1)
Ь(^ы ) “ узы фд (^Ы+1) Л (tl) “ гпФд (О Л (t2)
Л “1)
Л ) “ гзы фд (^Ы+1) .
Систему (8) решим методом наименьших квадратов [8, 14]:
~ = (л/Ае )“1 АеТВе.
Тем самым вычислим оценку ф в моменты времени ti (г = 1, — , N):
ф) = Фа ) + фд ).
Для повышения точности применяется итерационная процедура. На первом шаге в качестве априорной оценки на интервале восстановления , tN ] используются значения линейной функции времени:
фа ^) = (Ф(^¥+1 ) “ Ф(t0))(t “ t0) / ^N+1 “ О + ф(0.
На каждом следующем интервале в качестве «априорных» значений принимаются значения, полученные на предыдущем шаге.
Отметим, что изложенный алгоритм может быть применен в случае, когда рассматривается только одна из осей чувствительности акселерометра. Для этого в матрицах А и В нужно оставить только первые либо последние N строки.
Использование калмановского сглаживания
Другой алгоритм восстановления угла ф по показаниям акселерометра основывается на процедуре сглаживания с помощью фильтрации Р. Калмана [14]. Для использования этой процедуры необходимо свести задачу восстановления к задаче оценивания вида
ХП+1 = Фпхп + В1п,
2п = Нпхп + гп.
Здесь хп - дискретный вектор состояния; ^п и гп - возмущение и погрешность
измерений, моделируемые дискретным белым шумом; 2п - измерения; Фп и Нп -
известные матрицы. В этом случае решение задачи возможно с помощью сглаживающего алгоритма, основанного на методе фильтра Калмана [1, 14].
Сделаем предположение о гладкости решения, аналогичное тем, которые принимаются при сглаживании сигналов для поиска случайного поля [9, 12],
еп+1 = еп + , где £,п - дискретный белый шум. Интенсивность шума является
параметром задачи. Используя конечноразностные соотношения, получим уравнения, связывающие значения углов, угловых скоростей и ускорений в п-й и (п + 1)-й моменты времени:
Ф^п+О = Ф(^п ) + ® (^п )т + <*п )т' / 2 ®(^п+1) = ®0п ) + 8(^п К
<1п+1) = <1п ) + £ п,
где т - шаг дискретизации системы.
Введем обозначение х(^) = (ф(^), ), е(^))т . Здесь хп - значение вектора х
в моменты времени ^; хп = (ф(Гп),ш(Гп),е(Гп))т . Тогда хп+1 = Фпхп + В£п, где
н н ' 0 Л
ф = ^п 0 1 т , в = 0
0 0 V 1,
Для получения формализованного измерения 1п = Нпхп + гп представим правую часть уравнения (3), записанного для первой оси чувствительности акселерометра, в виде функции У1 = Л (х). В качестве приближенного значения функции Л в точке
х = хп используем разложение в априорной точке х = х^ :
Л(хп) * Жхп ) + Нп1(хп - хп ),
гДе нп\ =
ІЇІ
дх а х=*п _
т
1 2 3 4
= \ап1, ап1, ап1, ап1,
а\і = Х3 [ X Оп ^ЧфОп )) - (У (К ) + g) СШ(ф(Ґ„ )))] -
- Х4 [ X (іп )с0^фО„ )) - (У1 (іп ) + g) ^п(Ф<Х )))] ,
ап21 = 2 Х^(іп ),
п1
а31 = X2, а„41 = 1.
«Измерениями» следует считать гп1 = Нпіх<а - ^(х<а) = Нп1Хп + гп1 и аналогично
для второй оси чувствительности акселерометра гп2 = Нп2х<а - У2(х<а ) = Нп2хп + гп2. Ковариации случайных процессов гп1, гп2 типа белого шума, моделирующих случайную ошибку измерений акселерометра, задаются величиной ог. Априорная точка х<а является результатом этапа прогноза в методе фильтра Калмана [1, 14].
Суммируя все вышесказанное, получаем следующую формальную задачу:
^ =Ф А + B^, М [ит ] = о.28
^п = НпХп + Гп , М[ГпГШ ] =
2
Ё пт ' 0 '
V 0 а г У
Ф =
п
Нп =
т2/2^
т
В =
V У
Г а п1 21 3 а31 ^ 1с
2 1п а22 а12 а42 У
V1 у
гп = (гп1 гп2)Т , Гп = (Гп1 Гп2)Т .
Для построения оценки с минимальной дисперсией ошибки применяется алгоритм фильтра Калмана в прямом и обратном времени. Начальные и конечные значения вектора состояния х и ковариационной матрицы Р задаются исходя из значений ф до и после интервала восстановления, полученных по показаниям измерительных систем
, Є )Т 0
N Є N X
Р1 0 0 л
0 0
0 0 Рз У
Р = Р =
о 1 N
Для получения оценки XN и, соответственно, фІУ применяется алгоритм оптимального сглаживания на фиксированном интервале в соответствии с [1, 14].
Проверка эффективности решения задачи восстановления
Разработанные алгоритмы опробованы на результатах обследования, проведенного в Государственном научном центре «Институте медико-биологических проблем Российской академии наук». На латеральные проекции центров вращения в суставах правой нижней конечности обследуемого были наклеены светоотражающие элементы (катафоты). Испытуемый совершал движения (типа приседания), записываемые видеокамерой системы видеоанализа «Видеоанализ-Ю»
с одновременной регистрацией показаний двухкомпонентного акселерометра из комплекта измерительной биомеханической аппаратуры MuscleLab 4000е фирмы Ergotest (Норвегия), размещенного на голени, как показано на рис. 1.
Частота кадров видеозаписи - 50 Гц. Частота снятия показаний акселерометра -100 Гц. Для удобства дальнейших вычислений частота записи акселерометра снижается путем выбора только четных измерений.
Проведено три записи по шесть-семь приседаний для одного обследуемого. По результатам измерений вычислялись значения координат маркеров. Показания системы видеоанализа и акселерометра для одной из записей представлены на рис. 4.
Анализ структуры сигнала акселерометра позволил выявить значительную колебательную составляющую частоты ~10 Гц, вероятнее всего являющуюся следствием мышечного тремора. Для того чтобы минимизировать погрешность, вызванную влиянием тремора и ошибкой дискретизации данных, было произведено предварительное сглаживание сигнала акселерометра окном Ханна шириной 1 с [11]. Ширина окна обусловлена характерными частотами движения обследуемого 0,2-0,5 Гц.
5
1
0
0
Т
0
0
N
N
Координаты маркеров
АЛЛМЛЛ
10
х2,м
20 30
Время, с
Время, с
0,8 /\ /\ /\ Л А А /\ 0,55 ^ 2 ’ і л А Ал/1 А 1:
0,6 АЛЛАААЛ 0,45 ДАШ/
0,4 1 V V V V у V ; 0,35 V V У V V V V.
0
10
20
ось 1, м/ сг
30
Время, с
0
10
20
-5
-10
-15
.
іллЛлла. / -ю
-15
-20
ось 2, м/ сг
30
Время, с
ю
20
30
о
10
20
Время, с
Показания акселерометра
30
Время, с
Рис. 4. Пример показаний системы видеоанализа и акселерометра
Для каждой из осей чувствительности акселерометра производилась идентификация неизвестных параметров в соответствии с изложенным ранее алгоритмом.
Анализ зависимости результатов идентификации от длительности участка идентификации показал, что участок длительностью 5 с, сравнимый с временем полного приседания, позволяет достаточно хорошо идентифицировать неизвестные компоненты вектора X в том смысле, что увеличение длины этого участка до большей продолжительности приводит к изменению оценок компонент X на 5%. При увеличении длины интервала свыше 15 с число обусловленности для решаемой задачи не изменяется.
Полученные идентифицированные параметры далее использовались в задаче восстановления. На рис. 5 представлены графики результатов постановления и ошибок для характерного интервала. Параметры фильтра Калмана в результате подбора
2 2
принимались равными = 100 рад/с , аг = 10 м/с .
В процедуре восстановления с использованием метода наименьших квадратов производилось две итерации. Начиная со второй итерации, порядок величины среднеквадратичного отклонения остается неизменным и равен 10-6 рад, поэтому достаточно выполнить всего две итерации.
График зависимости среднеквадратичной ошибки восстановления от длины интервала восстановления при фиксированном левом конце представлен на рис. 6.
Рис. 5. Результаты восстановления на интервале (6,5-8,5) и соответствующая ошибка для алгоритмов с использованием метода наименьших квадратов (МНК) и фильтра Калмана
Ошибка, град.
Время, с
Рис. 6. Зависимости среднеквадратичной ошибки восстановления от длины интервала.
Обозначения - см. рис. 5
Как видно, порядок погрешности восстановления сохраняется при увеличении интервала до нескольких секунд.
В среднем среднеквадратичное значение ошибки восстановления для интервала
_з
в 1 с для метода наименьших квадратов составило 1,0610 рад, а для процедуры
_з
сглаживания _ 1,2710 рад. Изменения среднеквадратичного значения ошибки от записи к записи не наблюдалось.
Результат калмановского сглаживания не всегда оказывается точнее алгоритма с использованием метода наименьших квадратов. Тем не менее порядок ошибки для обоих методов совпадает, и точность восстановления оказалась приемлемой, так как для системы видеоанализа приборная погрешность определения угла ~1°.
Заключение
Рассмотрена задача восстановления показаний системы видеоанализа, когда в качестве дополнительной информации используются измерения двухкомпонентного датчика линейных ускорений. Обсуждаются два алгоритма восстановления: первый основан на методе наименьших квадратов, второй - на калмановском сглаживании. Обязательной процедурой является идентификация параметров модели.
В случае применения метода наименьших квадратов использование нескольких итераций позволяет существенно повысить точность восстановления. При этом на экспериментальных данных ошибка восстановления в среднем оказалась в пределах точности измерений системы видеоанализа.
Дискретный фильтр Калмана учитывает условия гладкости, вычислительно упрощает процедуру восстановления и позволит в дальнейшем эффективно использовать метод стохастических мер оцениваемости [1] при решении более сложных практических задач. Однако при этом нетривиальным является подбор ковариаций шумов, участвующих в модели движения, и измерений, что затрудняет решение задачи. Следует отметить, что эти ковариации остаются неизменными для всех тестов, проводимых одновременно, их подбор можно осуществить на тестовом движении, проводимом в начале серии обследований.
Благодарности
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант 09-01-00809).
Список литературы
1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. - М.: Физматлит, 2005. - 367 с.
2. Бобылев А.Н., Воронов А.В., Кручинин П.А. Восстановление утерянных показаний системы видеоанализа движений с использованием измерений акселерометра // Всерос. конф. по биомеханике «Биомеханика 2010»: тез. докл. - Саратов: Изд-во СГУ, 2010. - С. 46-47.
3. Воронов А.В. История биомеханической видеосъемки // http://www.biosoilvideo.ru/history/ - сайт фирмы разработчика-производителя системы видеоанализа.
4. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики.- М.: Наука, 1986. - Т. 2. - 331 с.
5. Кручинин П.А., Мишанов А.Ю. Использование математических моделей движения человека при обработке измерительной информации в биомеханике // Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии. ФРЭМЭ 2008: докл. 8-й междунар. науч.-техн. конф. - Владимир, 2008. - Кн. 1. -C. 259-262.
6. Кручинин П.А., Мишанов А.Ю. Меры оцениваемости в задаче восстановления показаний системы видеоанализа движений человека по измерениям нормальной реакции опоры // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 3. - C. 58-73.
7. Кручинин П.А., Мишанов А.Ю., Саенко Д.Г. О возможностях совместной обработки показаний системы видеоанализа движений и стабилографической платформы // Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии. - М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2005. - C. 28-53.
8. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. - М.: Наука, 1986. -232 с.
9. Степанов О.А., Блажнов Б.А., Кошаев Д.А. Исследование эффективности использования спутниковых измерений при определении ускорения силы тяжести на летательном аппарате // Гироскопия и навигация. - 2002. - № 3. - C. 33-45.
10. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1986. - 416 с.
11. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. - М.: Советское радио, 1987. - 221 с.
12. Bolotin Yu.V., Yurist S.Sh. Suboptimal smoothing filter for the marine gravimeter GT-2M // Gyroscopy and Navigation. - 2011. - Vol. 2, No. 3. - P. 152-155.
13. Kuo A.D. A least-squares estimation approach to improving the precision of inverse dynamics
computations // Journal of Biomechanical Engineering. - 1998. - No. 2. - P. 148-159.
14. Maybeck P.S. Stochastic models. Estimation and control. - New York: Acad Press, 1979. - 291 p.
15. Perry J. Gait analysis: normal and pathological function. - New York: McGraw Hill Inc., 1992. - 432 p.
ABOUT TWO THE LEAST-SQUARES METHOD MODIFICATIONS FOR LOST DATA RECOVERY IN VIDEOANALYSIS SYSTEM BASED ON ACCELEROMETER DATA
A.N. Bobilev, Yu.V. Bolotin, A.V. Voronov, P.A. Kruchinin (Moscow, Russia)
In this study, we discuss the lost data recovery in videoanalysis of human movements based on measures of two-component accelerometer. The algorithm uses mathematical model of movement and consists of two stages: identification of unknown parameters and proper stage of recovery of lost information. Both problems are reduced to solution of overdetermined systems of linear equations. Two approaches to recovery problem solution are compared. The first one uses traditional non-recurrent procedure of the least-squares method. The second one uses the procedure of suboptimal algorithm of smoothing based on Kalman filtering. These algorithms are applied to recovery of lost values of the angle between the shin of a person and the horizontal.
Key words: mathematical model, videoanalysis sistem, accelerometer, information recovery, least-squares method, Kalman smoothing.
Получено 20 февраля 2012
