Расчет параметров нагружения полого шара в условиях больших упругоползучих деформаций Текст научной статьи по специальности «Физика»

Е. В. Мурашкин. Расчет параметров нагружения полого шара

References

1. Vlasov V. Z. Obshchaia teoriia obolochek [General theory of shells]. Moscow, Gos. izd. teh. teor. lit., 1949, 784 p. (in Russian).

2. Burmistrov E. F. Simmetrichnaia deformatsiia kon-struktivno-ortotropnykh obolochek vrashcheniia [Symmetric deformation of structurally orthotropic shells of revolution]. Saratov, Saratov. Univ. Press, 1962. 108 p. (in Russian).

УДК 539.274

3. Mochalin A. A. Sustainability semi-momentless cylindrical shell of variable thickness. Izv. vuzov. Mashino-stroenie, 1975, no. 11, pp. 27-31 (in Russian).

4. Shteinberg M. V. Calculation of circular cylindrical shells with variable thickness in the direction of forming. Prikladnaia mekhanika, 1965, vol. 1, iss. 7, pp. 67-72 (in Russian).

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАГРУЖЕНИЯ ПОЛОГО ШАРА В УСЛОВИЯХ БОЛЬШИХ УПРУГОПОЛЗУЧИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Е. В. Мурашкин

Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, murashkin@ipmnet.ru, evmurashkin@gmail.com

Предложена модель больших упругоползучих деформаций. Разделение тензора полных деформаций альманси определяется уравнениями изменения обратимой и необратимой его составляющих. Рассмотрено сферически симметричное деформирование полого шара в процессе установившейся ползучести. Получена разрешающая система уравнений рассматриваемой краевой задачи. Предложен способ определения нагружающего усилия вызывающего заданное деформированное состояние. По заданным законам изменения поля перемещений построены функции внешнего нагружающего усилия.

Ключевые слова: большие деформации, ползучесть, упругость, релаксация. ВВЕДЕНИЕ

Необходимость повышения точности математического описания процессов, происходящих при технологической обработке и эксплуатации металлоизделий, вынуждает учитывать упругие свойства материалов на всех стадиях жизненного цикла изделия. Рассмотрение задач в классических моделях малых деформаций невозможно, когда относительное изменение формы рассматриваемого тела велико. Одной из таких характерных задач, где нельзя обойтись без применения модели больших деформаций, является задача о моделировании процессов в окрестности микропоры в металле, происходящих под действием интенсивного давления. Актуальность данной задачи обусловлена обнаруженным на опыте эффектом существенного повышения эксплуатационных характеристик металла при интенсивном всестороннем сжатии образцов [1] «залечивания» микродефектов сплошности. Попытки смоделировать процесс залечивания микропоры в металле делались неоднократно, в том числе и на основе модели больших упругопластических деформаций [2], обладающей эффектом приспосабливаемости к периодическим нагружениям по циклу «нагрузка - разгрузка» [3].

В настоящей работе решена задача о сферически симметричном сжатии шара с микропорой в центре. Условие несжимаемости среды определяет кинематику среды с точностью до неизвестной функции времени, что позволяет по известному закону деформирования определить процесс нагру-жения, вызывающий заданное деформированное состояние.

1. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

За основу возьмем модель больших упругопластических деформаций [3], основные кинематические соотношения которой в прямоугольной декартовой системе пространственных (эйлеровых)

© Мурашкин Е. В., 2014

99

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 1

координат могут быть записаны в форме

Бвгп Г) -1-

т

= еи - 4] - 1 [(егк - £ргк + Х%к)ек] + егк(£кз - £ркз - Хк]^ ,

Пргз _ р р р Оп] _ ¿П]

~тт = — Р'кек] — е1кРк] , ~тт = Г'''кПк] + Гк] '

1 , , ди

2 (ь1,3 + ]) , V = ~о1

1

2

1

е1] 2 (у1,] + ) , д£ + Ути1,т, (1)

г г] = Ю'] + Х'] (ег], £]), Ю'] = — (уг,] — ),

¿гэ = егэ + ргэ 2 е'кек] е'крк] ргкек] + е'крктет].

В соотношениях (1), иг, уг — компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды; ег] и р] — обратимая и необратимая составляющие тензора полных деформаций Альманси ; т — объективная производная тензоров по времени; источник е] в уравнении изменения тензора р] — тензор скоростей необратимых деформаций, Х] = -Х] — нелинейная часть тензора вращений, полностью выписанная в [3], определяющая его отличие от тензора жесткого вращения тг].

Следуя формализму неравновесной термодинамики, напряжения в среде полностью определяются обратимыми деформациями, и для рассматриваемого случая несжимаемой среды данные зависимости записываются в виде

дШ

аг] = -Р1 к] + (&к] - ек])■ (2)

В соотношениях (1) р1 — добавочное гидростатическое давление, Ш — упругий потенциал, который для изотропной среды принимается в форме

Ш = (а - д)^ + аЗ2 + ЪЗ\ - кЗЗ2 - (3)

З1 е]] 2 ег] е]'г, ег] е]1 е1] е]кекг + 4ее]кеквезг ■

Здесь А, д, а, Ъ, в — упругие модули среды.

Принимаем, что компоненты тензора скоростей необратимых деформаций связаны с компонентами напряжений законом ползучести Нортона [4]:

е1'] = 1], У В ^)"'

Ъ = ((а1 - а)2 + (02 - а)2 + (аз - а)2)1 , а = °1±°2.±аз. (4)

Здесь В и п — заданные постоянные, а1, а2, а3 — главные значения тензора напряжений.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим шар начального радиуса Я0 с одиночным сферическим дефектом сплошности (микропора) начального радиуса г0 в центре шара. Процесс деформирования задается краевыми условиями:

агг\т=к(г) = -Р агг |г=з(г) = 0, (5)

в которых агг — радиальная компонента тензора напряжений в сферической системе координат (г,р,в). Я(Ь) >> г0 — радиус сферической поверхности, на которой задается внешнее давление, в(Ь) — текущий радиус границы микропоры.

Кинематика среды согласно принятому условию несжимаемости определяется с точностью до неизвестной функции ф(Ь):

= г - (г3 + ф))1/3, ч>(ь) = 80 - 83(ь) = я30 - я3(г), (6)

и

г

Е. В. Мурашкин. Расчет параметров нагружения полого шара

где u = ur — единственная не равная нулю компонента вектора перемещении.

Согласно формулам (2) и (3) компоненты напряжении с точностью до неизвестной функции добавочного гидростатического давления вычисляются зависимостями

^rr = —Pi + gi err + g2 err 2 — g3 err eee + g4 err 3 + g5 err eee2 + geerr 2 eee — gr err4+

(4 3 23 1 2 4 \ 22 / 5 1 6i

erreee — 4erreee + 2err eee — ^err eee I — g9err eee + gio ( 3err — ^err I +

( 4 3 2 л 3 1 42i

err eee + 2err eee — 4err eee — ^ err eee I ,

2 1 e 3 I 5 1 e 6\

^ee = —Pi + gieee + gi2eee — ^g3erreee + gi3eee + gis I eee — ^eee I +

(1 42 3 1 4 3 2 \ 2 4

4err eee — 2err eee + ^err eee — err eee I + gi5erreee — gieeee +

I 2 2 2 i /q 2 3 i 4 1 2 4 л 3\

+gi4err eee — gi7err eee + gs I 2err eee + err eee — ^ err eee — 4err eee I , gi = 2д, g2 = д + 4a + 4b + 2k, g3 =4 (2b + k), g4 = 4^ a + b +2k + 3 z), g5 = 2(2b + 3k + 12Z), ge = g5 +4k,

19 3

gr = a + b +y k + 9Z, gs = k + 6Z, g9 = 2b +7k + 24Z, gio = ^(k + Z),

gii = k + 3Z, gi2 = Д + 4a + 8b + 4k, gis = 9(k + 2Z),

gi3 = 4(a + 2b + 4k + 6Z), gi4 = 1 g5 — 6Z, gi5 = 1 ge + 12Z,

7 dW

gie = a + 2b + 19k + 36Z, gir = b +- + 15Z, Pi = P — .

2 dJi

Компоненты полных деформаций по известному полю перемещений (6) находятся соотношениями

drr = T(l — H-4/3) , dm = = i(l — H2/3) , H = 1 + ^, (7)

= i 1

2 V V1 - 2dr

Согласно кинематическим зависимостям (1) имеем:

£Pr = dpf(1 - 2prr)-1, ^ = ^(1 - 2m)-1, (8)

err = 1 - x-2/3, ** = 1 - x1/3, x = 3 = H4(1 - 2Prr )3.

Подстановка (7) и (8) в определяющие соотношения (4) приводит к уравнению dpr

dt

(1 - 2prr)-1 = Bn£n-1 (1 - H- 3 (1 - 2prr)-2, 1 - H3 (1 - 2prr)) ,

£(a, b) = g1 (a - b) - g.«2 + £12b2 + £4a3 - £13b3 + 2£3 ^^ab2 - ab^ +

+g19 ^a2b - 1 a2b2) + (3b5 - 2 a6) + 3018 ( 1 a6 - 3b^ - g7a4+

+ 3£11 (a4b + 2a3b2 - 1 a4b2 - 4a3b^ + £16b4, (9)

£19 = 2b +7k + 18Z.

Уравнение (9) в каждой точке среды s(t) < r < R(t) является обыкновенным дифференциальным уравнением для вычисления компоненты необратимых деформаций prr (или ). С другой стороны,

Механика 101

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 1

компоненты напряжении находятся интегрированием уравнения движения:

Orr - <ее _ ( ф^) . 2 ф2(t) Jrr,r + 2- — — ро | ^ 0—+

Г

3r2 9 r5

используя второе граничное условие (5). Вычислив напряжения на внешней границе согласно первому граничному условию (5), получаем интегродифференциальную связь между нагружающим давлением Р(£) и функцией ^(£):

R(t)

P(t) — 2 j E(er-eee) dr — ро

s(t)

1

1

rn(

3 VR(t) s(t)

+

1

1

ф2 (t) 18 VR(t)4 s(t)4

(10)

Численные расчеты удобнее провести в безразмерных переменных:

P (t)

т —

ß t Ро Ro

f (т) — R-

R

П(т) —

ß

y —

Ro

Ниже будут приведены результаты расчетов, когда постоянным материала были предписаны следующие значения:

ад-1 = 0.9, вм"1 = 4, = 20, ХМ"1 = 80, п = 3,

В0 = пВро^о Мп-2 = 3.5, кд-1 = 0.003, з0 Л-1 = 0.03.

Функция /(£), определяющая кинематику среды, выбиралась следующим образом:

Л(т) = 269 ■ 10-7(1 - е-т2/250), /2(т) = г03(1 - е-т2/250),

/з(т) = 269 ■ 10-7 (1 - е-рз(т/22)) ,

-1

-1

-1

„3 „,4

Q^v>2 гу3 ГУ*4 ГУ*5

/ Ч «А/ tXj tXj

Р3 (x) —~ — У — Т + У •

На рис. 1 и 2 проиллюстрированы изменения границы микропоры и нагружающего усилия соответственно при функциях, определяющих поле перемещений (/1 — сплошная линия, /2 — штриховая линия, /0 — пунктирная линия).

Ф)

R о

0.02

0.01

0

-V чЧ \\ \ \ Ч N \ \

N 1 V \ \ ч Ч л

% 's \ч ч ^ \

П(т)

0.3

0.2

0.1

0

■ **

у S S \ /

/ /'-- / / V. \ \ ---

0 20 40 60

Рис. 1. Динамика границы микропоры

0 20 40 60 т

Рис. 2. Изменения нагружающего усилия

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная модель процесса нелинейной ползучести при больших деформациях основана на модели больших упругопластических деформаций, в которой разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие является следствием понятных термодинамических принципов,

r

Р. Т. Файзуллин, Р. Р. Файзуллин. Восстановление линейных функциональных зависимостей

что является существенным преимуществом примененного подхода. Решенные задачи о ползучести, релаксации напряжений и разгрузке в шаре с одиночным сферическим дефектом сплошности имеют своей целью описание экспериментально известного процесса залечивания микропор.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-33064 мол_а_вед).

Библиографический список

1. Горелов В. И. Исследование влияний высоких давлений на механические характеристики алюминиевых сплавов // Прикладная механика и техническая физика. 1984. № 5. С. 157-158.

2. Буренин А. А., Быковцев Г. И., Ковтанюк Л. В. Об одной простой модели для упругопластической среды

при конечных деформациях // Докл. АН. 1996. Т. 347, № 2. С. 199-201.

3. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В., Полоник М. В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды // Докл. АН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767-769.

The Loading Parameters Calculation of a Hollow Sphere at the Large Elastocreep Deformations

E. V. Murashkin

Institute for Problems in Mechanics of RAS, 101-1, Vernadskogo ave., 119526, Moscow, Russia, murashkin@ipmnet.ru, evmurashkin@gmail.com

We presented a model of large elastocreep deformations. Separation of Almansi strain tensor is determined by the quadratic form of reversible and irreversible components. We consider spherically symmetric deformation of a hollow sphere in the steady creep process. Numerical solution of boundary-value problem was obtained. A method for determining loading force on the deformed state was proposed. Functions of the external loading force according to the laws of a given change in the displacement field were constructed.

Key words: large deformation, creep, relaxation, elasticity.

References

1. Gorelov V. I. Effect of high pressure on mechanical characteristics of aluminum alloys. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1984, vol. 25, iss. 5, pp. 813-814.

2. Burenin A. A., Bykovtsev G. I., Kovtanyuk L. V. A simplemodel of finite strain in an elastoplastic medium.

Doklady physics, 1996, vol. 41, no. 3, pp. 127-129.

3. Burenin A. A., Kovtanyuk L. V., Polonik M. V. The possibility of reiterated plastic flow at the overall unloading of an elastoplastic medium. Doklady physics, 2000, vol.45, no. 12, pp. 694-696.

УДК 519.654

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

С ЗАДАННОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ

Р. Т. Файзуллин1, Р. Р. Файзуллин2

1 Доктор технических наук, профессор кафедры комплексной защиты информации, Омский государственный технический университет, r.t.faizullin@mail.ru

2Кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры комплексной защиты информации, Омский государственный технический университет, strannik11 @ list.ru

Предложены способы восстановления функциональной зависимости с заданным разрывом. Приведены примеры применения алгоритма построения функций с особенностью. Первый способ основан на формальной минимизации функции методом случайного поиска. Второй использует информативность данных.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, разрыв, особенность.

© Файзуллин Р. Т., Файзуллин Р. Р., 2014

103