Восстановление характеристик теплового режима почв в одномерных и двумерных задачах с границей раздела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.021:51-37

А. В. БОЯРСКАЯ Л. А. ХВОРОВА

Алтайский государственный университет, г. Барнаул

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ПОЧВ В ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ С ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА

Рассматриваются задачи: распределение температуры в почве, имеющей неоднородную структуру почвенных слоев; определение теплофизических характеристик почвы — теплоемкости, теплопроводности и температуропроводности черноземов выщелоченных Алтайского Приобъя; алгоритм и численный метод решения двумерной задачи теплового режима почв с границей раздела между двумя участками с различными теплофизически-ми параметрами. На границе раздела почвенных компартментов задаются условия непрерывности температур и тепловых потоков. Для решения задачи применяется численный метод с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы (метод переменных направлений). Исследуются вопросы определения теплофизических коэффициентов при различных значениях влажности; суточный и сезонный ход теплофизических характеристик, зависящих от влажности и плотности почвы.

Ключевые слова: тепловой режим почвы, теплоемкость, теплопроводность, температуропроводность почвы, модель, разностная схема.

Введение. Теплофизическое состояние почвы характеризуется комплексом теплофизических параметров — теплоемкостью, тепло- и температуропроводностью, соответствующим температурным полем и тепловыми потоками, формирующимися в почвенном профиле. С тепловым режимом почв тесно связаны начало и конец вегетационного периода, пространственное размещение растений, характер распространения корневых систем, скорость поступления к корням питательных элементов. С температурным режимом связаны внутрипоч-венное испарение и транспирация, интенсивность азотных трансформаций [1, 2], а температурный градиент оказывает непосредственное влияние на движение воды в почве. Поэтому разработка математических моделей, корректно учитывающих процессы теплопереноса в почве, является сложной и актуальной задачей.

В подавляющем большинстве в современных моделях, описывающих продукционный процесс сельскохозяйственных растений, расчет производится отдельно для каждой опорной точки поля с параметрами, характерными только для данного типа почвы.

Все точки считаются независимыми друг от друга, и предполагается, что все окружение данной точки обладает теми же свойствами и, соответственно, никаких горизонтальных перетоков вещества и энергии не происходит [3, 4]. Однако для целей точного земледелия горизонтальная неоднородность поля является важнейшим фактором, влияющим на выбор агротехники и определяющим результат хозяйствования [5].

Постановка задачи моделирования теплового режима почв. Теплота, поступающая на поверхность почвы, под действием создаваемого градиента температур перераспределяется в толщине почвенного слоя. Уравнение теплопереноса в почве имеет вид [1, 3, 4, 6]:

рс

дТ д

д(

дТ

дх [X дх

д I дТ +— I X—

ду [ ду

д I дТЛ _

+& 1х&Г1 (хУ'2'х

где Т — температура почвы; р(х, у, 2) — плотность почвы; с(м>(х, у, 2)) — теплоемкость; % — коэффициент теплопроводности, зависящий от влажности почвы w: X = Х(у(х, У, 2) . Теплоперенос осуществляется вдоль координатных осей Ох, Оу, Oz; / (х, у, z, I) — функция источника тепла.

Искомая функция Т удовлетворяет начальным и некоторым граничным условиям. Нижняя граница помещается, как правило, на глубине, на которой температура либо постоянна, либо зависит от времени известным образом. В качестве верхнего граничного условия записывается соотношение, обеспечивающее «сшивание» решений задачи в почве и в приземном воздухе, — условие теплового баланса на поверхности почвы [1, 3, 4, 6].

Рассмотрим двумерную модель теплового режима почвы (рис. 1). Пусть неоднородный почвенный компартмент О состоит из двух участков

Д = и Д2, где = {х; < х < 0;-И <у < 0},

+

□2 = {о < X < а2;-Н < у < 0},

значительно отличающихся по влиянию характеристик поля на предукционный процесс посева и на движение почвенных растворов (в действительности свойства почвы меняются от точки к точке непрерывно). Границы участков Ц и 02 полагаются известными и прямолинейными.

Пусть система координат выбрана таким образом, что ось Оу проходит по границе раздела областей и 02 . Функция Т определяет температуру почвы в области Ц, а Т2 — температуру почвы в области . Тогда в силу почвенной однородности каждой из областей Ц и можно записать условия:

дТ1 „ дТ2 „ —1 = 0 при а = а —2 = о при а = а2. (1) да да

На границе раздела компартментов Ц и (х = 0) должны выполняться условия непрерывности температур и тепловых потоков:

где Ыс+1 н Ы

, ы

н Ы

, Уа

1 а

с+—

Р 2

1 н ас + 0,Я

н к (для области Ц) или кх = к2 (для области П2 ). В результате преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений:

кн— кн— кн—

- а Т 2 + Ь Т 2 - с Т 2 = а

с,а с,а

- а Тк+ + Ь Ты - с Тк+ = а ,

с,а с-1,а с,а с,а с,а с+1,а с,а '

соответствующую (4). Данные системы решаются методом прогонки. При этом в направлении у используется обычный вариант данного метода [6].

Для определения Т1 и Т2 на (к+1) временном слое используем условия непрерывности температур и тепловых потоков на границе раздела (2) и представление решения (т.е. температуры в каждой из областей) в таком виде, когда (Т1 )са и (Т2 )са выражаются через неизвестные значения температуры (Т)^,а = (Т2)1а на границе раздела х=0. Представления вида:

дТ1

дТ,

Т = Т, и Х1—1 = при а=0.

да

да

(2)

(Т1 I.» = Рпа + У1п,аТа , (Т2 I,„ = Р1,т + У1,тТа

Уравнения теплопереноса в двумерном случае будут иметь вид:

дТ, д ( дТ,

(3)

™ ~дГ = да [* йТ 1 +

+дУ [* )+7 (-у'1' -

Введем коэффициенты температуропроводности

Ы' : Ы' =-Х—, которые также будут функциями про-РС'

странственных координат х,у, и перепишем уравнение (3) в следующем дивергентом виде:

Т

~д7

' = — {-{х-■ РС Уда '

д, дТ 1_д_( Т

},с, уда да )) р,с, 1дУ I ' ду ^

+ — / (а, у,'),' = 1,2. РС

(4)

Для решения уравнения (4) применяется численный метод с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы (метод переменных направлений). Согласно [3, 6], схема расчета для областей Ц и ^2 записывается в следующем общем виде:

к+1 , , Т 2 - Тк ь к+1 ,

-= [ЫТа]ка + [ЫТ ]у 2 + ¥к,

0,5А а а у у

, , к+— , Тк+1 _т

0,5 А

- = [ЫТа Г + [ЫТу ]у 2 + ¥к .

„ к д( рс)дТ д( рс)дТ 1 Здесь ¥ =— [ ^ ' — + ^ ' —] + — /(а,у,'),А' — рс да да ду ду рс шаг по времени.

Для реализации представленной схемы для каждой области Ц ¡'=1, 2, вводится равномерная разностная сетка (хп, ут). Значения сеточной функции Т(х, у, I) в узлах сетки обозначим Тка = Т(ас,уа,'к). При этом используется следующая разностная аппроксимация для слагаемых:

[ЫТа]а - Ыс+1

_ Т - Т _Т - Т

ту с+1,а с,а ту с,а с—1.

Ыс

где Та — температура на границе раздела областей и , 02 позволяют организовать своеобразную прогонку с параметрами, коими являются граничные значения температуры Та , и найти сначала сами эти значения, а затем и распределение температуры в областях Ц и 02 .

Общая схема численного решения задачи состоит в осуществлении следующих этапов.

1. Переход на новый временной слой 'к+1 начи-

,1 ,1

нается с расчета температуры Т1 2 и Т 2 на про, 1 2

межуточном временном слое ' 2. Расчет производится в каждой из областей и 02 .

2. Затем, с помощью прогонки с параметрами, вычисляются значения температур Тк+1 , ¡=1,2, на слое (к + 1) одновременно в обеих областях Й1иС1 . Разработка и отладка процедуры восстановления характеристик теплового режима почв осуществлялась на одномерной задаче о распределении температуры в почве, имеющей неоднородную структуру почвенных пластов [7—10].

Результаты численных расчетов.

1. При расчете теплового поля суточные колебания температуры почвы затухают уже на глубине 40 — 60 см; сезонные же изменения распространяются на значительно большую глубину [1, 3]. В модели нижнюю границу поместили на расстоянии 160 см от поверхности почвы. Это объясняется наличием экспериментальных данных и отсутствием суточного хода температуры. Поэтому нижнее граничное условие по температуре на этой глубине внутри каждых суток считается постоянным, а его изменение в сезоне вегетации задается в виде зависимости от температуры воздуха.

2. Анализ многолетних данных показал существование лага, то есть смещения во времени температуры почвы на глубине 160 см по сравнению с изменением температуры воздуха (рис. 2). Минимум температуры почвы на глубине 160 см наблюдается в апреле, максимум — в сентябре. Наличие смещения позволило определить некоторый средний промежуток времени, на который необходимо сдвинуть уровни одного ряда относительно друго-

а

с+—а 2

с+—а 2

2

к

к

ду

0

£2; п2

дТ —= = 0 ... дт\ м а>: ... Щ а>: ш йс = 0

однороднъш участок

-Н

ду

Т = ф, |

Рис. 1. Почвенный компартмент □=□, ийг

Рис. 2. Зависимость температуры воздуха и почвы на глубине 160 см

Рис. 3. Профили температуры почвы в различные периоды вегетации

го, и построить зависимость температуры почвы на глубине 160 см от температуры воздуха. Коэффициент корреляции между рядами динамики при этом хорошо характеризует тесноту связи и равен 0,91.

3. В период вегетации в течение каждых суток температура поверхности почвы достигает минимума, примерно, в момент восхода Солнца, максимума — когда Солнце находится в зените, после чего

вновь уменьшается.

4. Температура почвы на глубине 120—160 см не изменяется в течение суток, но имеет явно выраженный сезонный ход. Характерные профили температуры для мая и августа приведены на рис.3.

5. В математическую постановку задачи входят коэффициенты теплоемкости и теплопроводности, которые зависят от влажности и плотности почвы. Объемная теплоемкость почвы определяется

4 по формуле: , ч ( -ш

с(.Ц0,2+100>.

1Л

° 6. Связь теплопроводности и влажности почвы

3 хорошо аппроксимируется квадратичной зависимостью вида:

I х(™)= с(™\\(у>-Л )2 + Лр + Л).

I (5)

ее

| Неизвестные коэффициенты Я; , входящие в (5),

х определены по литературным источникам и уточне-

52 ны при проведении численных экспериментов: | Д=-0,013;Л = 3,1; Л, = 1,21; Д, = 20.

Численный алгоритм решения задачи реализован для неоднородного почвенного компартмента. Полученные результаты хорошо согласуются с данными по теплофизическим свойствам выщелоченных черноземов Алтайского Приобья. Они близки как по значениям, так и по характеру зависимостей, и отражают объективные почвенно-физические факторы. Результаты моделирования отражают динамику распределения температур по почвенному профилю в течение суток и в течение года. По результатам проведенных расчетов получены следующие выводы: коэффициент объемной теплоемкости линейно растет при увеличении влажности; коэффициент температуропроводности имеет ярко выраженный максимум при определенных влаж-ностях; коэффициент теплопроводности нелинейно возрастает, стремясь к «насыщению». Теплофизи-ческие свойства почвы закономерно изменяются в зависимости от плотности сложения генетических горизонтов.

Работа выполнена при финансовой поддержке благотворительного фонда В. В. Потанина.

Библиографический список

1. Хворова, Л. А. Динамическое моделирование и прогнозирование в агрометеорологии / Л. А. Хворова, А. Г. Топаж. -Барнаул : Изд-во АлтГУ, 2010. - 263 с.

2. Хворова, Л. А. Модель теплового режима почвы в пространственно-дифференцированных технологиях точного земледелия / Л. А. Хворова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2011. - № 4 (128). - С. 101-106.

3. Хворова, Л. А. Численное моделирование составляющих теплового режима почв Алтайского Приобья / Л. А. Хворова, А. В. Жариков // Известия АлтГУ. - 2013. - № 1/2. -С. 126-130.

4. Khvorova, L. A. Using of a dynamic computer model of the agricultural ecosystem for the operational and long-term forecasting of agricultural production / L. A. Khvorova, N. V. Gavrilovskaya // European Researcher. - 2012. - Vol. 20, № 5-1. - P. 499-502.

5. Хворова, Л. А. Математические модели в теории и практике точного земледелия / Л. А. Хворова // Известия АлтГУ. -2011. - № 2. - С. 123-128.

6. Воеводин, А. Ф. Численные методы исследования конвективных течений: реализация метода расщепления по физическим процессам / А. Ф. Воеводин, О. Н. Гончарова, Т. В. Протопопова // Известия АлтГУ. - 2013. - № 1/1. -С. 88-93.

7. Брыксин, В. М. Математическое моделирование и информационные технологии в экологии и природопользовании /

B. М. Брыксин, Н. В. Гавриловская, А. Г. Топаж, Л. А. Хворова. -Барнаул : Изд-во АлтГУ, 2013. - 256 с.

8. Хворова, Л. А. Применение информационных технологий, математических методов и моделей для обработки и анализа многомерных данных / Л. А. Хворова, Н. В. Гаври-ловская, Н. Н. Лопатин // Известия АлтГУ. 2006. - № 1. -

C. 83-88.

9. Гавриловская, Н. В. Информационно-прогностическая система сбора, обработки, анализа и обобщения агрометеорологической информации / Н. В. Гавриловская, Л. А. Хворова // Известия АлтГУ. - 2010. - №1/1. - С. 65-68.

10. Хворова, Л. А. Методы исследования чувствительности моделей продуктивности агроэкосистем / Л. А. Хворова // Известия АлтГУ. - 2013. - №1/1. - С. 128-132.

БОЯРСКАЯ Алина Викторовна, магистрант гр. 447ММИТ факультета математики и информационных технологий.

Адрес для переписки: bosya_241292@mail.ru ХВОРОВА Любовь Анатольевна, кандидат технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры теоретической кибернетики и прикладной математики.

Адрес для переписки: KhvorovaLA@gmail.com

Статья поступила в редакцию 15.06.2015 г. © А. В. Боярская, Л. А. Хворова

Книжная полка

004.7/Г27

Гегечкори, Е. Т. Информационные системы в производстве : учеб. электрон. изд. локального распространения : учеб. пособие / Е. Т. Гегечкори, О. Б. Малков. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2015. - 1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).

Излагаются основные концепции управления, широко использующиеся на промышленных предприятиях различного профиля во всем мире. Рассматриваются эволюция систем управления — от самых простых к более сложным (MRP-системы), новые, только получающие широкое распространение компьютерные системы (APS-системы), теория ограничений и теория «Точно вовремя», некоторые практические аспекты использования корпоративных компьютерных систем (ERP-систем), а также место ERP-систем в информационном пространстве предприятия и возможности интеграции ERP-систем с другими системами. Учебное пособие предназначено для студентов заочной формы обучения специальности 080801 «Прикладная информатика (в экономике)», а также для сотрудников отделов информационных технологий компаний, специалистов по управлению — всех тех, кто будет выбирать, внедрять и использовать эти системы.