Математические модели в теории и практике точного земледелия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 001.891.57

Л.А. Хворова

Математические модели в теории и практике точного земледелия

L.A. Khvorova

Mathematical Models in Theory and Practice of Precision Agriculture

В рамках пространственно-дифференцированных технологий точного земледелия рассматриваются математические модели процесса теплопереноса в почве в двумерном случае.

Ключевые слова точное земледелие, информационные технологии, почвенный компартмент, математическая модель, тепловой режим почвы, численные методы.

Введение. В настоящее время одно из наиболее перспективных направлений агрономической науки и производства растениеводческой продукции -точное земледелие, в основе которого лежит представление о возможности значительного повышения урожаев, существенной экономии ресурсов и снижения антропогенной нагрузки на окружающую среду за счет применения пространственно-дифференцированных агротехнологий, связанных с пространственной изменчивостью почвенных и иных факторов продуктивности в пределах отдельного сельскохозяйственного поля [1].

Наиболее слабым звеном в этих технологиях является отсутствие эффективных методов прогнозирования результатов воздействия на агроэкосистему. В традиционном земледелии все характеристики поля, как правило, считаются одинаковыми для всех его участков. Точное земледелие предполагает динамическую оптимизацию при выполнении агротехнических операций для каждого однородного участка поля в зависимости от складывающихся агрохимических, агрофизических, фитосанитарных факторов.

Располагая информацией о свойствах почвы, потребностях культур и тех условиях, в которых они реально находятся, можно максимально эффективно и оптимально и вместе с тем экологически безопасно распределять агротехнологии, адаптированные к почвенным участкам в рамках одного поля, связанные с внесением удобрений, санитарной обработкой почвы и культурными растениями.

В подавляющем большинстве современные модели, описывающие продукционный процесс сельскохозяйственных растений, рассматривают однородный фиктивный посев, а стратификация его характеристик производится в единственном вертикальном направлении. В подобных моделях расчет

In the framework of the spatially differentiated technologies of a precision agriculture the article considers the mathematical models of heat transfer in the soil in the two-dimensional case.

Key words: precision agriculture, informational

technology, soil compartment, mathematical model, thermal regimes of the soil, numerical methods.

производится отдельно для каждой опорной точки поля с параметрами, характерными только для данного типа почвы. Все точки считаются независимыми друг от друга, но предполагается, что все окружение данной точки обладает теми же свойствами и, соответственно, никаких горизонтальных перетоков вещества и энергии не происходит [1, 2].

Для целей точного земледелия горизонтальная неоднородность поля является важнейшим фактором, влияющим на выбор агротехники и определяющим результат хозяйствования. Учет взаимодействия динамики продукционного процесса на соседних участках неоднородного поля требует построения принципиально иной, более сложной многомерной модели агроландшафта.

Особое место в моделировании отводится гидротермическому режиму почвы, так как именно от него зависят все важные процессы, происходящие в почве и растении: перенос вещества и энергии, физико-химические и биологические трансформации минеральных и органических соединений.

Математическая модель теплового режима почвы в пространственно-дифференцированных технологиях точного земледелия. В рамках концепции пространственно-дифференцированных технологий точного земледелия рассмотрим двумерную модель теплового режима почвы (модель для случая трех пространственных переменных рассмотрена в работе [3]).

Математические модели, связанные с описанием явления теплопереноса в пределах почвенного ком-партмента, основаны на нестационарных уравнениях параболического типа. Теплота, поступающая на поверхность почвы, под действием создаваемого градиента температур перераспределяется в объеме почвенного компартмента.

* Работа выполнена при финансовой поддержке ведомственно-аналитической программы «Развитие научного потенциала высшей школы 2010-2011» (проект №2.2.2.4/4278).

Пусть P - точка почвенного компартмента О. В двумерной постановке (ОсR2) P = P(x, у), T = T(P, Г) - температура в точке P почвенного компартмента в момент времени t, / е [0, Г]. Тогда уравнение теплопереноса в области О можно записать в виде [4]:

дт д ( дт) д( дт) рс~ы )+аУ\х~дУ]+А(х,у,'>, (1)

где р(х, у) - плотность почвы; с - теплоемкость, х -коэффициент теплопроводности, зависящие от влажности почвы м; Ах, у, Г) - функция источника тепла.

Суть рассматриваемого процесса теплопроводности и решаемой задачи позволяет сделать следующие предположения:

1. Функция влияния стоков и источников тепла Ах, У, 0 равна нулю.

2. Влажность почвы м считаем здесь заданной функцией.

Связь теплопроводности и влажности почвы хорошо аппроксимируется квадратичной зависимостью вида [3]:

Х(м) = с(м) •( (м-Д, )2 +А.2р + Аз).

Коэффициенты л. ( = 1,4) в указанной квадратичной зависимости приведены для некоторых почв, например, в [2].

Искомая функция Г(Р, Г) должна удовлетворять начальным условиям:

Г (Р, t) ^=0 = Г (Р, 0) = т (Р) для Р еО (2)

и некоторым граничным условиям.

Нижняя граница помещается, как правило, на глубине, на которой температура либо полагается постоянной, либо зависящей от времени и точек границы известным образом. Следовательно, при у = -Н (на нижней границе почвенного компартмен-та О) выполняется

Т (-Н, г) = рн (г).

(3)

В качестве верхнего граничного условия следует записать соотношение, обеспечивающее «сшивание» решений задачи в почве и приземном воздухе.

Наиболее корректным представляется условие теплового баланса на деятельной поверхности почвы (условие третьего рода [5, 6]) вида:

+ в(Т - Та) = 9( X, г).

дп

(4)

функция q задает тепловой по-

Здесь п = (п1, п2) - вектор внешней нормали

к верхней границе деятельной поверхности почвы;

дТ дТ дТ

— = — п +----;

дп дх ду

ток в почву, затраты тепла на турбулентный пере-

нос в атмосферу и на испарение и т.д.

Двумерная задача с вертикальной границей раздела. Пусть неоднородный почвенный компарт-мент О состоит из двух участков О1 и О2 (рис. 1), значительно отличающихся по влиянию характеристик поля на продукционный процесс посева и движение почвенных растворов (в действительности, свойства почвы меняются от точки к точке непрерывно и случайным образом). Цель «размежевания» поля на единицы управления - уменьшение теоретически бесконечной вариабельности условий произрастания к ограниченному набору вариантов.

Т = д^х, О

Рис. 1. Почвенный компартмент О = О1 и^2

Пусть система координат выбрана таким образом, что ось Оу проходит по границе раздела областей О1 и О2. Тогда О = О1 иО2. Здесь

01 = {(х, у): х1 < х < 0; - Н < у < 0},

02 = {(х, у): 0 < х < х2; - Н < у < 0}.

Полагаем, что границы участков О1 и О2 являются известными и прямолинейными. В случае криволинейных границ областей О1 и О2 задача также может быть сформулирована и успешно решена.

Функция Г1 определяет температуру почвы в области О1, а Г2 - температуру почвы в области О2. Тогда в силу почвенной однородности областей О1 и О2 можно записать условия: дГ.

—- = 0 при х = х, I = 1, 2. (5)

дх

На деятельной поверхности почвы условие теплового баланса имеет вид:

х1-+в(Т -Та) = qi(х,г)

ду

(6)

при у = 0, х еО.,. = 1, 2.

На границе раздела компартментов О1 и О2 (х = 0) должны выполняться условия непрерывности температур и тепловых потоков:

Г1 = Г2 и X, дх = х дх при х = 0. (7)

дх дх

Однородное равнение теплопроводности (1) будет иметь вид:

Рс-

дТ д ( дТ Л д

Х

- +-

дг дх ^ дх) ду ^ ду

Х

дТ

(8)

Введем коэффициент температуропроводности К:

Х

К = ^~, который также будет функцией простран-

рс

ственных координат х, у, и перепишем уравнение (8) в следующем дивергентом виде:

дТ = дг

+ К_ Рс

4 К дТ Ї+4 К д-

дх ^ дх) ду ^ ду

д(р с) дТ_ д(рс) дТ_ дх дх ду ду

(9)

Для численного решения уравнения (9), описывающего процесс теплопереноса в областях О1 и О2, применяется численный метод с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы (метод переменных направлений) [5, 6]. Схема расчета записывается в следующем общем виде:

Тк+1/2 Тк

0.5дг

=[К- £+[ КТу ] у+1/2 + р

Тк+1 Тк+1/2

0.5дг

=[КТх £+1 +[ кту ] Г + рк

(10)

К_

Рс

д(рс) дТ д(рс) дТ_ дх дх ду ду

Дг - шаг

по времени, Гк = Г(гк, •), tk = к • Дt, к = 1, 2, ... .

Для реализации представленной схемы вводится равномерная разностная сетка (хи, ут) для каждой области О , ( = 1, 2).

Значения сеточной функции Г(х, у, Г) в узлах сетки обозначим Г’кт = Г(хп, ут, гк). При этом используется следующая разностная аппроксимация для входящих в (10) слагаемых:

[К- £

Здесь

- т - Т - т - т

-тт п+1, т п, т -тт п,т п-1,т

' Кп+1 7 2 Кп ; 2 '

к

К = К

п+1 _ п+1/2,т -

К„

К

= К (хп+1/2 , ут ),

= х + 0.5К , Кх = К1 или Кх = К2.

В результате требуется решить системы линейных алгебраических уравнений

грк+1/2 . і >-рк+1/2 >-рк+1/2 і

-а 1 , + Ь 1 - с 1 „ = а ,

п,т п,т-1 п,т п,т п,т п,т+1 п,т’

-а Тк+1 + Ь Тк+1 - с Тк+ = а ,

п,т п-1,т п,т п,т п,т п+1,т п,т’

соответствующие (10). Данные системы решаются методом прогонки. При этом в направлении у используется обычный вариант метода [5].

Граничные значения температуры Т1 и Т2 следу -ют из (3), (4).

Для определения Т1 и Т2 на слое (к + 1) используем условия непрерывности температур и тепловых потоков на границе раздела (7) и представление решения (т.е. температуры в каждой из областей) в таком виде, когда (-1) и (Т2 )пт выражаются через неизвестные значения температуры (Т1 )лг, +1,т =(Т2 )1,т на границе раздела х = 0. Представления вида:

Т = в + у1 • Т Т = в2 +г2 • Т

1п,т > п,т 1 п,т т ’ 2п,т > п,т I п,т т ’

где Тт - температура на границе раздела областей О1 и О2, позволяют организовать своеобразную прогонку с параметрами, коими являются граничные значения температуры Тт, и найти сначала сами эти значения, а затем и распределение температуры в областях О1 и О2.

Двумерная задача с криволинейной границей. Рассмотрим случай, когда область О однородна в направлении оси Ох и имеет верхнюю криволинейную границу у = _Дх), тем самым

О = {(х,у): 0 < х < Ь, -Н < у < /(х)}.

Запишем рассматриваемую задачу:

дТ д ( дТ Л д ( дТ \ Р дг ~ дх [Хдх ) + ду [Х ду Ї.

(11)

Условие теплового баланса на поверхности почвы:

х^д-+в(Т - Та) = q (хг).

д

(12)

х

Здесь п = (п1, п2) - вектор внешней нормали к границе у = /х);

( Л

п =

1

Vі+(/)2 ’ Vі+(/)2

(13)

В силу горизонтальной почвенной однородности области О условия (5) можно задать в виде:

дТ

— = 0 при х = 0, х = Ь.

д

(14)

На нижней границе почвенного компартмента О полагается выполненным условие

- (-н, г) = Фн (г). (15)

Для численного исследования задачи (11), (12),

(14), (15) в области с криволинейной границей у = /х), отобразим исходную область О = {(х, у):0 < х < Ь, - Н < у < / (х)} на прямоугольник О = [0, Ь] X [0,1] (рис. 2), подобно тому, как это сделано в [7, с.124] для задач конвекции.

Рис. 2. Отображение области с криволинейной границей О на прямоугольную область О

Это позволит ввести равномерную прямоуголь- тывая преобразование правой части (17) в следую-ную сетку и применить в дальнейшем метод пере- щем общем виде:

менных направлений или метод стабилизирующей поправки. Для этого применим преобразование

у + Н / (х) + н '

—1 =—^~\и(+ к]

рс г / + Н[ * п]

(16)

или

рс

где 0 <*< Ь , 0 <п< 1.

Перепишем уравнение (11) и условие (12) в пе-

(18)

/ + Н

2. Условие (12) на верхней границе области О

ременных *, п , для чего воспользуемся преобразо- в переменных *, п с учетом (13), (16) примет вид:

ванием (16).

1. Преобразуем правую часть уравнения (11):

дх (х-)+| (х1 )=

X

т*

/'

1 і_д_

/+Н |д*

д

[х(( / + Н )Т*-п/’Тп)] +

+Тп

дп

х\1+/ Тп-п/’Т*

/ + Н

(17)

/' 2п( /+Н) + 1 _ 1

л/1+/'2(/+Н)2 л/1 + /'2 /+Н

в(Т - Та ) = q(*, г).

(19)

В22 =

Вводя обозначения

1 +п2 /'2

/ + Н

В11 = / + Н, Вп =-п/',

и = х(ВпТ* + В12-п),

V = х(В12Т* + В22тп), запишем уравнение (11), учи-

Рассмотрим постановку разностной задачи.

Численное решение задачи (18), (19), (14), (15) реализуется методом стабилизирующей поправки. Для этого в расчетной области О = {0 <^< Ь, 0 <п < 1} введем равномерную разностную сетку (£и, Т]т ).

Представим разностную схему второго порядка аппроксимации (метод стабилизирующей поправки) для численного решения уравнения (18) [6, 7] в следующем виде:

— к+1/2 —к

В

— к+1 —к+1/2

/ + Н В

/ + Н

[и* + гпк+1/2 ],

и+ -и к ].

(20)

Здесь ик = (ВПГ/ + ВГ )х , В =рс .

Для ^к+1/2 и ик+1 используются следующие представления:

Ук+1/2 (Г) = ( ВиГк + В22Г+1/2 )х, ик (Г) = ( ВГ + ВпГпк )х, ик+'(Г) = ( ВпГ(к+1 + ВХ2Гкп +1/2 )х,

а для входящих в (20) производных - аппроксимация вида:

' дик

( В11) п

д

Тк+1 —к+1 —к+1 —к+1

п+1, т пт ( -г-) \ пт п-1, т

"- (В11)п,т

к,

к,

(Вп)„

-( В12)п

—к+1/2 —к+1/2

п+1, т+1 п+1, т-1

2К

грк+1/2 _ грк+1/2

п-1,т+1 п-1, т-1

2К,

Следует отметить, что к другим процессам, оказывающим решающее влияние на продукционный процесс, относятся динамика почвенной влаги, трансформация минеральных и органических форм азота, перенос нитратов по почвенному профилю. К сожалению, рамки данной статьи не позволяют рассмотреть решение совместной системы уравнений, описывающих теплообмен в почве, динамику почвенной влаги и содержание азота в корнеобитаемом слое почвы.

Заключение. В России процесс использования информационных технологий в точном земледелии находится на начальной стадии своего развития -теоретического обоснования и возможности практического использования, о чем говорят пока еще немногочисленные данные (Меньковская опытная станция Агрофизического института (Санкт-Петербург), хозяйства Курской области). Но уже они подтверждают рентабельность изысканий.

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору О.Н. Гончаровой за плодотворные дискуссии по вопросам математического моделирования и численного исследования.

1

т

т

Библиографический список

1. Якушев В.П., Полуэктов Р.А., Э.И. Смоляр и др. Оценка технологий точного земледелия: аналитический обзор // Агрохимический вестник. - 2002. - №3.

2. Полуэктов Р.А. Модели продукционного процесса сельскохозяйственных культур. - СПб., 2006.

3. Хворова Л.А. Модель теплового режима почвы в пространственно-дифференцированных технологиях точного земледелия» // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2011. - №3.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М., 2004.

5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М., 1978.

6. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск, 1967.

7. Гончарова О.Н. Расщепление по физическим процессам для расчета задач конвекции в двумерных областях с криволинейной границей // Известия АлтГУ. - 2009. -№1(61).