Модель теплового режима почвы в пространственно-дифференцированных технологиях точного земледелия Текст научной статьи по специальности «Математика»

список литературы

1. Мастерство анализа волн Эллиотта [Текст]. -М.: ИК Аналитика, 2002. -348с.

2. Справочник по высшей математике [Текст]. -М.: АСТ, 2006. -992 с.

3. Чех, К.Ю. Волны Эллиотта в моделировании

валютных рынков [Текст] / К.Ю. Чех, Л.П. Никитина // II Междунар. науч.-техн. конф. Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем. Сб. статей. Секция 3: Математическое моделирование экономики. -Пенза. -2007 -С. 108-116.

УДК 004.021; 51.37

Л.А. Хворова

модель теплового режима почвы в пространственно-дифференцированных технологиях точного земледелия

Разработка математических моделей, корректно учитывающих процессы теплопереноса в почве, - сложная и актуальная задача. Соседствующие почвенные массивы (выделенные единицы управления в рамках одного поля) характеризуются различными теплофизическими величинами (параметрами), которые, в свою очередь, зависят от соотношения твердой, жидкой и газообразной составляющих, текстурных и структурных особенностей грунтов, состояния влаги и температуры.

Введение в технологию точного земледелия.

Основные понятия

Точное (ориентированное) земледелие или локально специфическое - это эффективное, рациональное управление процессами роста растений в соответствии с их потребностями в питательных веществах и условиях произрастания с различной степенью дифференциации. Точное земледелие -это система хозяйствования на земле с использованием пространственно-дифференцированных технологий, опирающихся на применение новейших достижений в области информатики, моделирования и техники: компьютерных систем генерации агротехнологических решений, глобальных систем позиционирования (GPS), геоинформационных технологий (ГИС), новейших информационных технологий, современной сельскохозяйственной техники, управляемой бортовой ЭВМ, а также многофункционального программного обеспечения, позволяющего принимать оптимальные решения при управлении сельскохозяйственным предприятием [1, 2].

Урожайность сельскохозяйственной культуры на различных участках одного и того же поля, как правило, различна. На величину урожайности влияют: агрохимическое состояние почвы (обеспеченность растений элементами минерального питания в доступных формах, емкость почвенно-поглощающего комплекса, кислотно-щелочной баланс почвы и содержание в ней гумуса); гранулометрический состав и гидрофизические характеристики почвы; дозы и виды вносимых удобрений; рельеф местности; полезащитные лесополосы; качество семян (посадочного материала); технологии и сроки посева (посадки) и уборки урожая; защита растений от болезней и вредителей; погодные условия и многое др.

Сравнивая определенные характеристики полей с картами урожайности, можно выявить причины неравномерной урожайности сельскохозяйственной культуры на поле. Это связано в первую очередь с тем, что процесс получения продукции растениеводства реализуется в пространстве и во времени на конкретной территории, которая не является однородной даже в пределах одного поля. Ранее в практике отечественного земледелия сельскохозяйственное поле, как правило, принималось пространственно-однородным по большинству его характеристик. Передовые технологии точного земледелия предполагают динамическую оптимизацию при выполнении агротехнических операций для каждого однородного участка поля в зависимости от складывающихся агрохимических, агрофизических, фитосанитар-ных факторов. Другими словами, все технологи-

ческие операции, проводимые на поле, дифференцируются по участкам во времени с учетом погодных условий.

В этой связи одним из факторов, способствующих развитию производства продукции растениеводства, является использование информационных технологий, интеллектуальное ядро которых составляют динамические модели продукционного процесса сельскохозяйственных культур, позволяющие учитывать пространственную неоднородность поля.

Модели в технологиях точного земледелия

В подавляющем большинстве современные модели, описывающие продукционный процесс сельскохозяйственных растений, рассматривают однородный фиктивный посев, а стратификация его характеристик производится в единственном вертикальном направлении. В подобных моделях расчет производится отдельно для каждой опорной точки поля с параметрами, характерными только для данного типа почвы. Все точки считаются независимыми друг от друга, но предполагается, что все окружение данной точки обладает теми же свойствами и, соответственно, никаких горизонтальных перетоков вещества и энергии не происходит [3].

Для целей точного земледелия горизонтальная неоднородность поля является важнейшим фактором, влияющим на выбор агротехники и определяющим результат хозяйствования. Учет взаимодействия динамики продукционного процесса на соседних участках неоднородного поля требует построения принципиально иной, более сложной многомерной модели агроландшаф-та. «Подобные разработки, несомненно, имеют огромную важность, однако вряд ли стоит ожидать в ближайшее время радикального прорыва в

этом направлении, связанного с появлением конечных пользовательских программных продуктов широкого применения» [4].

Один из упрощенных вариантов решения данной проблемы предложен в [4]. Влияние разных участков посева друг на друга предполагается осуществлять в рамках системы поливариантных расчетов при условии поддержки ею механизма параллельных вычислений нескольких сценариев для одномерного случая. Общий принцип осуществления расчетов представлен на рис. 1 (заимствован из [4]).

Проблема состоит в том, что в плане расчета должны быть заранее определены точки схода, т. е. те значения общей для всех потоков динамической переменной - времени, в которые осуществляется информационный обмен между параллельными сценариями вычислений. В [4] рассмотрен простейший вариант определения точек схода - суточный шаг модели (обмен данными в модели между единицами управления также осуществляется раз в сутки). В момент достижения всеми потоками точки схода осуществляется обмен информацией между ними через сегмент общих данных.

Многомерная модель теплового режима почвы

Основная роль информационных технологий в системах точного (так же, как и традиционного) земледелия заключается в обосновании вида, параметров и сроков проведения технологических мероприятий по обработке почвы и уходу за посевами. Ясно, что решение о проведении очередного мероприятия должно приниматься на основе текущей информации о состоянии почвы и растительного покрова, а также учитывать его последствия на рост и развитие растений и, в ко-

Рис. 1. Эмуляция многомерной модели агроландшафта в системе поливариантного анализа

нечном счете, на урожай. Существуют два принципиально различных способа получения такой информации: измерения и наблюдения, проводимые непосредственно на поле, и расчет с использованием той или иной модели. Очевидно, что измерение может быть источником данных только о текущем и прошлом состояниях управляемой системы, а для прогнозирования ее будущего поведения необходимо использовать те или иные математические модели.

Колебания температуры - важный компонент почвенного микроклимата. Температура почвы существенно влияет на многие протекающие в ней процессы [5]. С тепловым режимом почв тесно связаны начало и конец вегетационного периода, пространственное размещение растений, характер распространения корневых систем, скорость поступления к корням питательных веществ.

В рамках концепции пространственно-дифференцированных технологий точного земледелия рассмотрим трехмерную модель теплового режима почвы.

Математические модели, связанные с описанием явления теплопереноса в пределах почвенного компартмента, основаны на нестационарных трехмерных уравнениях параболического типа. Теплота, поступающая на поверхность почвы, под действием создаваемого градиента температур перераспределяется в объеме почвенного компартмента О.

Пусть Р = Р(х, у, г) - точка почвенного компартмента О, РеО<Р3, И(Р, t) - температура в точке Р почвенного компартмента в момент времени 1, t е [0, И]. Тогда уравнение теплопереноса в почвенном компартменте О можно записать в виде:

ИИ _ И ( ИИ \ и ( иИ И1 Их ^ Их) Иу I Иу

И Г ИИ ,

г1к ' + ^ У, z,

(1)

где р(х, у, г) - плотность почвы; с(м(х, у, г)) -теплоемкость; х - коэффициент теплопроводности, зависящий от влажности почвы м : х _ х(х, у, г)). Теплоперенос осуществляется вдоль координатных осей Ох, Оу, Ог; а / (х, у, г, 1) - функция источника тепла. Заметим, что влажность почвы м считается здесь заданной функцией.

Экспериментальные исследования показывают, что теплопроводность почвы возрастает с ростом влажности, достигая максимума при больших значениях влажности. В частности, связь теплопроводности и влажности почвы хорошо аппроксимируется квадратичной зависимостью вида [3]:

х(м) _с(м)• (ХДм-X4)2 + X2р + Хз) .

Коэффициенты (/ _ 1,4) в квадратичной зависимости для некоторых почв приведены, например, в [3].

Рис. 2. Почвенный компартмент О

Искомая функция T (P, t) должна удовлетворять начальным условиям

T(ЛtН=0 = T(P,0) для P еП (2)

и некоторым граничным условиям.

Нижняя граница помещается, как правило, на глубине, на которой температура полагается либо постоянной, либо зависящей от времени и точек границы известным образом. Следовательно, при у = —H (на нижней плоскости почвенного ком-партмента О (рис. 2)) выполняется

T (—H, t) = фя (t). (3)

В качестве верхнего граничного условия следует записать соотношение, обеспечивающее «сшивание» решений задачи в почве и в приземном воздухе. Наиболее корректным представляется условие теплового баланса на поверхности почвы вида (условие третьего рода):

+ Р(Т — Ta ) = q( х, t).

дп

(4)

Здесь Т - температура поверхности почвы; Ta -температура воздуха; п = (п1, П2, Пз) - вектор внешней нормали к верхней границе деятельной

дT дT дT дT

поверхности почвы; — = — П1 +--П2 +--Пз ;

дn дx ду дz функция q задает тепловой поток в почву, затраты тепла на турбулентный перенос в атмосферу и на испарение и т. д.; в - коэффициент теплообмена с внешней средой.

Общее условие теплового баланса (4) на границе двух сред, в частности, на поверхности почвы, записанное в виде [3]:

(1 — As) • Q(0) + ДГ (0) = = PaCpDsT01l(To — Ta (N1)) +

+ Pa 0 • — qa (N1)) +

-Хо,1(70 — T\),

(4*)

0 +о

представляет собой разностный аналог соотношения (4). В его левую часть входят приходные статьи теплового баланса: баланс коротковолновой ((1 — А.,) • Q(0)) и длинноволновой (ДF(0)) радиации; Л, - альбедо почвы. Слагаемые в правой части (4*) характеризуют затраты тепла на турбулентный перенос в атмосферу и на испарение (первое и второе слагаемые), а также поток тепла в почву (третье слагаемое). Здесь pa - плотность воздуха; Ср - удельная теплоемкость воздуха при

постоянном давлении; D;T0ll, Dqoil - коэффициенты проводимости тепла и паров воды; 00, Т -температура верхних слоев почвы; Т^КЬ) - температура нижнего яруса посева, номер которого равен КЬ; 0 - скрытая теплота парообразования; qo - концентрация паров воды в поровом пространстве почвы у поверхности; qa(NL) - удельная влажность воздуха; 0), \ - высоты верхних слоев почвы; х01 - теплопроводность верхнего слоя почвы. Заметим, что последнее слагаемое в (4*) представляет собой разностный аналог величины потока тепла на границе.

Численное решение задачи (1)-(4) можно найти при помощи метода стабилизирующей поправки [6, 7]. Разностная схема второго порядка аппроксимации для решения уравнения (1) может быть представлена в следующем общем виде:

Тк+1/3 — тк

0 0 . = Л1тк+1/3 + Л2Тк + Л3Тк + гк,

Д/

тк+2/3 — тк+1/3

Д/

Тк+1 тк

= Л 2(Тк+2/3 — тк),

■ = Л3(Тк+1 — тк)

где Л^, (/ = 1, 2, 3) есть разностные аналоги соответствующих дифференциальных операторов

д д

(Л^--(К-), х{ = х, у, z для I = 1, 2, 3 , соот-

дх1 дх1

ветственно). Правая часть F сформирована здесь после введения коэффициента температуропроводности К и последующего приведения (1) к дивергентному виду (см. следующую главу). Не останавливаясь подробно на реализации метода стабилизирующей поправки для решения трехмерной задачи, перейдем к изучению двумерной аппроксимации задачи о распределении температуры в массивах почвы, имеющих вертикальную (относительно направления силы тяжести) границу раздела, связанную с неоднородностью структурных пластов почвы.

Двумерная задача

Рассмотрим следующий вариант задачи (1)-(4). Пусть неоднородный почвенный ком-партмент П состоит из двух участков (рис. 3), значительно отличающихся по влиянию характеристик поля на продукционный процесс посева и на движение почвенных растворов (в действительности свойства почвы меняются от точки к точке непрерывно и случайным об-

Рис. 3. Почвенный компартмент О _ О, ^ О2

разом). Цель «размежевания» поля на единицы управления - уменьшение теоретически бесконечной вариабельности условий произрастания к ограниченному набору вариантов. Тогда О_О1 иО2, где О1 _ {-х1 < х < 0;- Н < у < 0}, О2 _ {0 < х < х2; - Н < у < 0}. Здесь полагается, что границы участков и О2 являются известными и прямолинейными. В случае криволинейных границ областей и О2 задача также может быть сформулирована и успешно решена.

Пусть система координат выбрана таким образом, что ось 0у проходит по границе раздела иб-ластей и О2. Функция И оИределяет тИмперИ'^з^-ру почвы в области О а И2 - температуру почвы в области О2. Тогда в силу почвенной однородности областей и О2 можно записать условия:

ИИ

Их

ИИ2

Их

1 _ 0 при х _ - х1;

_ 0 при х _ х2 .

(5)

(6)

На границе раздела компартментов О1 и О2 (х _ 0) должны выполняться условия непрерывности температур и тепловых потоков:

т Т ИИ1 ИИ2

И1 _ И2 и х1 —

Их Их

при х _ 0 . (7)

Уравнение (1) в двумерном случае будет иметь вид:

ИИ И р с— _ — И1 Их

ИИ

х—

V Их у

+ -

д_

Иу

х

ИИ Иу

+ /(х,у, 1). (8)

Численное исследование задачи о распределении температуры в областях О1 и О2 будет производиться с использованием конечно-разностных методов.

Введем коэффициент температуропроводно-

х

сти К: К _ —, который также будет функцией рс

пространственных координат х, у, и перепишем уравнение (8) в следующем дивергентном виде:

ии "ИТ

.иц к аи е+а

Их V Их) Иу

К

К рс

И(р с) ИИ + И(р с) ИИ

Их Их

аи

Иу ^

+ — I ( х, у, 1). р с

(9)

Иу Иу.

Для численного решения уравнения (9), описывающего процесс теплопереноса, применяется численный метод, разработанный в [8, 9], с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы (метод переменных направлений), формально имеющей второй порядок аппроксимации. Схема расчета записывается в следующем общем виде:

к+- , И 2 _ ик

0,5 •М

к+1/2

_ [ КИх Тх + [ КИу ] у™ + ^

1

(10)

и

1 ,1 к+-к+1 - и 2

-И-_ [ К Их ]кх+1 + [ К иу ]у+1/2 + ¥к

0,5 •М уу

Здесь

^ _

К рс

И(р с) ИИ + И(р с) ИИ

Их Их Иу Иу

+ — I (х, у, 1), р с

Д/ - шаг по времени, Т = Т(/к), /к = к •Д/,

к = 1, 2, ... .

Для реализации представленной схемы вводится равномерная разностная сетка (хп, ут) для каждой области Пг, г = 1, 2, следующим образом: для области П1: (хп, ут), где

х

хп =—х1 + (п — Щ, п = 1, 2, ..., N1, 0 =-1

К1

1. Н

Ут =—Н + (т — 1)Ъу, т = 1, 2, ...,М, Ъу = —;

для области П2 : (хп, ут), где

М

хп = (п — 1)К2, п = 1 2, N2, К2 = т2;

"2

н

Ут =—Н + (т — 1)Ъу, т = 1, 2, ...,М, Ку = —.

М

Значение сеточной функции Т(х, у, /) в узлах сетки обозначим Ткт = Т(хп, ут, /к). При этом используется следующая разностная аппроксимация для входящих в (10) слагаемых:

[КТх ]х ~ Кп+1 ■

Т — Т Т — Т

~ п+1, т 1п, т —

ы

--К„

п, т п—1, т

К

Здесь

Кп+1 = Кп+1/2,т , Кп+1/2,т = К(хп+1/2, ут ) , хп+1/2 = хп + 0,5К , К = К1 И™ К = 02 .

В результате требуется решить системы линейных алгебраических уравнений

—а Тк+1/2 + Ъ Тк+1/2 — Тк+1/2 = ,

п,тп,т—1 п,т п,т п,т п,т+1 п,т?

—a Тк+1 + Ъ Тк+1 — С Тк+1 = л

п, т п—1, т п,т п,т п, т п+1,т п, т'

соответствующие (10). Данные системы решаются методом прогонки. При этом в направлении у используется обычный вариант данного метода [10].

Граничные значения температуры Т и Т2 следуют из (3), (4).

Для определения Т и Т2 на слое (к +1) мы используем условия непрерывности температур и тепловых потоков на границе раздела (7) и представление решения (т. е. температуры в каждой из областей) в таком виде, когда (Т1)пт и (Т2)п,т выражаются через неизвестные значения температуры (Т[)^+1;т = (Т2)1;т на границе раздела х = 0. Представления вида

Т1п,т = вп,т + Уп,т • Тт , Т2п,т = вп,т + Уп,т • Тт ,

где Тт - температура на границе раздела областей П и П2, позволяют организовать своеобразную

прогонку с параметрами, которыми являются граничные значения температуры Тт , и найти сначала сами эти значения, а затем и распределение температуры в областях П и П .

Первые производные, входящие в (7), внутри расчетной области аппроксимируются традиционно симметричными конечно-разностными аналогами со вторым порядком. Первые производные на границах расчетной области аппроксимируются несимметричными конечно-разностными аналогами также второго порядка.

Общая схема численного решения задачи состоит в осуществлении следующих этапов.

1. Переход на новый временной слой /к+1 на-

к+-

к+-

чинается с расчета температуры Т 2 и Т 2 на

к+1

промежуточном временном слое / 2. Расчет производится в каждой из областей П и П .

2. Затем, с помощью прогонки с параметрами вычисляются значения температур Тк+1 ,г = 1, 2, на слое (к+1) одновременно в обеих областях П и П2.

Отметим, что с использованием схемы (10) и введения итерационного параметра, может быть осуществлено вычисление распределения температуры в стационарном случае.

Создатели идеологии и техники «точного земледелия» исходили из широко известного постулата: на любом поле нет абсолютно похожих друг на друга квадратных метров. Они отличаются по твердости, влажности, содержанию микроэлементов и микроорганизмов. И в принципе, если мы хотим получить от поля максимальную отдачу и при этом сохранить уровень его плодородия и экологические показатели на многие годы, то и каждый квадратный метр нужно обрабатывать по особой технологии, с применением своего, сугубо индивидуального количества удобрений и индивидуальных агротехнических приемов. Большая роль в создании пространственно-дифференцированных технологий точного земледелия отводится информационным технологиям и точным динамическим имитационным моделям [1, 2]. Дальнейшее математическое и численное моделирование двумерных задач следует проводить с учетом криволинейности границ раздела, а также подвижных границ раздела двух фаз и постановки на этих границах условий сопряжения и обобщенных условий Стефана.

Работа выполнена в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (НИР 2.2.2.4/4278).

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору математического фа-

культета Алтайского государственного университета Ольге Николаевне Гончаровой за плодотворные дискуссии по вопросам математического моделирования и численного исследования.

список литературы

1. Якушев, В.П. На пути к точному земледелию [Текст] / В.П. Якушев. -СПб.: Изд-во ПИЯФ РАН, 2002. -458 с.

2. Якушев, В.П. Оценка технологий точного земледелия: аналитический обзор [Текст] / В.П. Якушев, Р.А. Полуэктов, Э.И. Смоляр [и др.] // Агрохим. вестник. -2002. -№ 3. -С. 36-40.

3. Полуэктов, Р.А. Динамические модели агроэко-системы [Текст] / Р.А. Полуэктов. - Л.: Гидрометеоиз-дат, 1991. -312 с.

4. Полуэктов, Р.А. Модели продукционного процесса сельскохозяйственных культур [Текст] / Р.А. Полуэктов, Э.И. Смоляр, В.В. Терлеев [и др.]. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. -396 с.

5. Шеин, Е.В. Курс физики почв [Текст] / Е.В. Шеин. -М.: Изд-во МГУ, 2005. -432 с.

6. Марчук, Г.И. Методы расщепления [Текст] / Г.И. Марчук. -М.: Наука, 1988. -264 с.

7. Гончарова, О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета трехмерных задач конвекции [Текст] / О.Н. Гончарова // Изв. АлтГУ -2007. -№ 1(53). -С. 39-44.

8. Самарский, А.А. Разностные схемы с операторными множителями [Текст] / А.А. Самарский, П.Н. Ва-бищевич, П.П. Матус. -Минск: Изд-во ЗАО «ЦОТЖ», 1998. -442 с.

9. Яненко, Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики [Текст] / Н.Н. Яненко. -Новосибирск: Наука, 1967. -196 с.

10. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений [Текст] / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. -М.: Наука, 1978. -590 с.

УДК 004.942

С.В. Поршнев, М.К. Гребенкин

исследование сетевого трафика магистрального интернет-канала

Большинство исследовательских групп в области телекоммуникаций сходятся во мнении о самоподобии сетевого трафика. Эти свойства достаточно подробно изучены в ряде работ, выполненных в 90-х гг. XX в., например, в [1]. Однако с тех пор произошло радикальное изменение технических характеристик оборудования сети Интернет и предоставляемых сетевых сервисов. Во-первых, на несколько порядков увеличилась скорость передачи данных в магистральных каналах (от единиц Мбит/с до сотен Гбит/с). Во-вторых, качественно изменилась структура трафика: если раньше поток формировался за счет листания веб-страниц (неравномерная загрузка каналов), то сейчас основной вклад в объем трафика дают почти непрерывные потоки, такие, как Р2Р и просмотр видеконтента [2]. Оба указанных фактора приводят к уменьшению бурстности трафика. Отметим также, что сегодня необходимо учитывать устанавливаемые провайдерами режи-

мы ограничения скорости (теперь нет необходимости платить за скаченные объемы, и каждый пользователь имеет строго определенную верхнюю границу скорости), которые также приводят к сглаживанию суммарного потока [3]. Известен ряд современных работ, посвященных исследованию особенностей магистральных Интернет-каналов, авторам которых не удалось обнаружить самоподобные свойства сетевого трафика. Например, в работе [2] показано, что на больших отсчетах порядка нескольких секунд самоподобные свойства проявляются, а на более малых окнах агрегации данные свойства не наблюдаются и распределение сетевого трафика близко к распределению Пуассона.

Цель данного исследования - изучить актуальные (датированные текущим годом) образцы трафика, действующего магистрального Интернет-канала, а также изучить самоподобные свойства данного трафика, в т. ч. их зависимость