CC BY
30
Смирнов М.Н.1, Смирнова М.А.2
1 Санкт-Петербургский государственный университет, г.Санкт-Петербург, ассистент кафедры
компьютерных технологий и систем, 51глгпоу-тп@таП . ги
2 Санкт-Петербургский государственный университет, г.Санкт-Петербург, ассистент кафедры
компьютерных технологий и систем, 51тлгпоуа-та@Ьк.ги
ВОПРОСЫ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ МОРСКИМИ СУДАМИ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Морское судно, инвариантный эллипсоид, цифровое управление, неопределенности. АННОТАЦИЯ
В статье рассматриваются особенности синтеза цифровых законов управления морскими судами с учетом неопределенностей. Особое внимание уделяется ситуации, когда в рамках формализованного задания внешних возмущений имеются неопределенности, и система управления должна не просто их компенсировать в определенном смысле, но ещё обеспечивать выполнение дополнительных требований к динамическим процессам. Предлагается алгоритм решения указанной задачи для цифрового случая.
Уровень развития современных компьютерных технологий, непрерывный рост вычислительных мощностей, появление новых инструментальных программных средств - все это способствует повсеместной автоматизации функционирования механических объектов различного рода с использованием автономных бортовых систем с цифровой реализацией.
В частности, это позволяет устанавливать на современные морские подвижные объекты высокоэффективные системы автоматического управления движением, тем самым облегчая и делая более безопасным для человека выход в открытое море. Такие системы позволяют снизить возможность возникновения аварий из-за человеческого фактора, более экономно расходовать энергетические ресурсы, точно следовать по заданным маршрутам, огибая различные препятствия, компенсировать влияние действующих на него возмущений с учетом особенностей динамики судна.
В связи с этим возникает ряд содержательных и формализованных задач, связанных с проектированием систем автоматического управления движением, а именно: задачи минимизации времени совершения маневра и расхода топлива, задачи построения оптимальных траекторий движения, проблемы подавления внешних воздействий, порождаемых порывами ветра и волнения моря. Чаще всего, все эти задачи эффективно решаются по отдельности, однако на практике зачастую приходится иметь дело с несколькими задачами одновременно.
Особого внимания заслуживает ситуация, когда в рамках формализованного задания внешних возмущений имеются неопределенности, и система управления должна не просто их компенсировать в определенном смысле, но ещё обеспечивать выполнение дополнительных требований к динамическим процессам. Это обстоятельство существенно затрудняет анализ и проектирование системы управления, одной из центральных функций которой является подавление влияния воздействий на судно.
Задача о подавлении внешних возмущений с известными характеристиками относится к основным проблемам теории управления и рассматривается в различных ее разделах и приложениях. В качестве примера можно привести такие работы, как [1 - 13]. Прикладные задачи управления морскими судами рассматриваются в работах [14-29]. В указанных работах известные методы синтеза адаптируются под специфические особенности, присущие динамике морских судов.
Практическая реализация законов управления морскими судами в настоящее время осуществляется с помощью средств цифровой вычислительной техники, что при определенных условиях требует специального учета при синтезе обратных связей. Вопросы синтеза цифровых законов управления морскими судами с учетом неопределенностей являются основной темой,
которой посвящена статья.
Рассмотрим цифровую линейную модель динамики судна
X [ к + 1 ]=Ax [ к ] + BS [ к ]+Dw [ к ], S [ к + 1 ]=u [ к ] + S [ к ], (1)
^ у [ к ] = Cx [к ],
где X £ E - вектор состояния (здесь он определяет отклонения от положения равновесия), Ö£ Em - вектор состояния исполнительных органов, w £ E - вектор внешних возмущающих
воздействий, u £E - вектор управляющих сигналов (управлений), A, B, D , C и M - матрицы соответствующих размерностей с постоянными компонентами.
Для простоты будем считать, что измеряемый выход у системы одновременно является и контролируемой переменной.
Будем формировать обратную связь для системы (1) в виде
1х[к]\
u[k] = Kxx[k]+KsS[k] = K ...... ,К=(КТ ! Kg), (2)
где матрицы KX и K& соответствующих размерностей имеют постоянные компоненты.
Обозначим через йк множество стабилизирующих регуляторов, для которых корни характеристического полинома
A3(z^) = det(En+mz-A0-B0K),^J^S\Bc^^ (3)
замкнутой системы (1), (2) лежат внутри единичного круга.
Рассмотрим также сужение множества стабилизирующих регуляторов, определяя его желаемыми модальными требованиями к замкнутой системе:
й5к = { K£йк: ^(K )£Cä, i = M+"m) , (4)
где (K) - корни характеристического полинома (3) замкнутой системы, CH - заданная область на комплексной плоскости. В частности, в качестве такой области можно принять круг C&={ z £ С1: |z |<ad) , где <Х d D (0, l) - заданное вещественное число, определяющее степень устойчивости замкнутой системы. Как и для аналоговых регуляторов [6, 11, 18], возможны и другие способы введения допустимой области [30].
Будем считать, что внешнее возмущающее воздействие ограничено по величине, т.е. справедливо соотношение
||w[к]||да<1, к=0,1,2,... . (5)
Определим функционал Jd= Jd (K) , характеризующий размер минимального инвариантного эллипсоида, включающего множество Iea реакций на внешние воздействия для замкнутой системы (1), (2):
Jd= Jd (K )= f (P (а о ))=tr (С з P (ao) C3) , (6)
где а0= arg min f (P(а)) , f (P(а )) = tr (С3P (а )C3) , P(а) - положительно определенное
0<а<1 1 '
решение линейного матричного уравнения
а 1— а
A3 P А3 — а P + -—- D3 D3=0 , (7)
A=A0 + B0K ,C3 = (C ! 0) , Dj =
Определение. Эллипсоид с центром в начале координат
£х= { хеЕп: хР-1х<11 , Р>0, будем называть инвариантным по переменной х с (по состоянию) для динамической системы
х = А х + D w,
с с с с '
е = С х .
с с
^ (t )||<1 при 0 < Г <с, если из условия х (0 следует х ^ )е £х для всех моментов времени 0 < ( <с .
Симметрическую матрицу Р при этом будем называть матрицей эллипсоида £ х .
В определении и далее по тексту факт положительной определенности матрицы отражается обозначением Р> 0 .
Иначе говоря, любая траектория системы х ^) , начинающаяся внутри эллипсоида £х , в каждый последующий момент времени будет оставаться внутри него, что качественно показано на рис. 1.
Рис. 1. Инвариантный эллипсоид
Рассмотрим задачу о выборе стабилизирующего регулятора (2), который минимизирует размер Jd инвариантного эллипсоида с учетом желаемых модальных свойств замкнутой системы
Jd=Jd(Kmin , (8)
K ^ k
где допустимое множество Qsk определяется формулой (4).
Если не принимать во внимание дополнительные модальные свойства, то мы приходим к постановке известной задачи
Jd= Jd(K И min , (9)
K
которая рассмотрена в работе [31 - 33], где приводится следующее ее решение:
Jd= Jd(K)= min Jd(K)=F(P(a,ß))=tr(C3P(a,ß)C3) , (10)
K £Qk
где (a,ß)= arg min F(P(a,ß)) , F(P(a ,ß)) = tr(C3P(a,ß)C3) ,P(a ,ß) -
a>0, ß>0
положительно определенное решение линейного матричного уравнения
A0 PAo-2 ß B0 Bo+ß2 B0 Bo( A0)"1 P-1 A-1 B0 Bo-a P + ^ D3 D=0 (11) K = argmin Jd (K )=-ß B0 (A0 )-1 P"1 (a,ß) . (12)
K £ö.
Введем обозначение для шуровского характеристического полинома замкнутой системы (1), (2), (12)
Лз(г,а,р (Еп+тх- А0-В0К(а,в)). (13)
Заметим, что решение задачи (8) удобно связать с параметризацией вещественными
_ г-,п+т
векторами у характеристических полиномов системы, замкнутой регуляторами из
допустимого множества Qsk , введенного соотношением (4).
Указанная параметризация множества характеристических полиномов определяет соответствующую параметризацию множества ^& регуляторов (2), которыми замыкается объект (1). Действительно, зададим произвольный вектор у е Еп6т и по указанным формулам построим полином А* (г, у). Для того, чтобы он был характеристическим полиномом для замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы матрица К коэффициентов регулятора (2) удовлетворяла тождеству
Л з( 2, К ^ (Еп+т* - Ао-Во К ) = л (г,у) .
_ | т-тХп+тХт
Если собрать все компоненты матрицы К в вектор к £ Е , то этому тождеству
будет соответствовать эквивалентная линейная система
Гк = 1л(у) ,А0
An -
■а ; вл ч«Го,
в
о
О
Е
где компоненты матрицы Г определяются только матрицами А0 и В0 , а вектор m(y) определяется коэффициентами полинома A*(s, у) и характеристического полинома матрицы А0 .
Заметим, что указанная система всегда совместна в силу условия полной управляемости. Она содержит П 6 m уравнений и имеет m X П 6 m X m неизвестных, т.е.
n
nc = mXn+mXm — n— m компонент вектора k , собранные в вектор hcGE c , могут быть
!1 a
Y,hcIGE , A = n + m+nc , и,
дополнительно задавая произвольный вектор hc , найдем соответствующее решение k (£ ) = k ( Y, hc) линейной системы. Таким образом, найдена матрица K = K (£ ) = K (Y, hc) коэффициентов регулятора (2) из множества Jsk , параметризованного векторами £ = { Y, hc| . На базе приведенной параметризации можно сформулировать следующее утверждение: Теорема. Для функционала Jd (K) в задаче (8) существует минимизирующая
последовательность {K(£i)} регуляторов (2), определяемая последовательностью векторов {вг-} такой, что
lim {K (£. )} = Ко = arg min Jä (K) , lim I Jd (K (£ ))|=Jd (K0 ) = J° .
i ^ да К GQsk i ^ да 1 >
Доказательство данного утверждения проводится аналогично доказательству теоремы для непрерывного времени, однако необходимо заметить, что для построения полинома с заданной степенью устойчивости используется следующая схема [29]:
Для любого вектора у d End степень устойчивости вспомогательного полинома, построенного по формулам
, I если nd - четное;
A',r.Vi= (14)
{(z - arf+1 (-у, а.Л)Л если nd - нечетное
не меньше наперед заданной величины а d D (0, l), и обратно, если степень устойчивости некоторого полинома А(s) не меньше величины аd D (0, l), то можно указать такой вектор у d ЕП , что А(z) к А*(z, у) , причем
Д(z,Y)=П(z2+a1(Y^d)Z +a0(уа)) , где (15)
i= 1
a1 (Y^d ) = —а-
exp
1 i-
2 4
Yi Yi 1 2 — 2" + — Y22
/ i-\
exp
Y21 Jy41 2 — 2- — ^ 4~" — Y2 2
. ^ ' ^ . и
0)'
(16)
a0(Yа)=а2ехР( —У^). i = 1,d> ad+1(yа) = adexP(—Yd
У = {Уц, У12 , У21, У 22 , •••, У А1, У А 2, Уа 01 •
Таким образом, приведенная теорема является основой для построения алгоритма решения задачи (8). Схему решения задачи (8) можно сформулировать в виде следующего алгоритма.
Алгоритм.
1. Взять любую точку уеЕп+т и построить вспомогательный полином Л (г,у) по формулам (15) - (16) либо по аналогичным формулам [30] для более сложного варианта модальных условий.
2. Сформировать систему линейных уравнений Гк = т( у) , где к - вектор, собранный из компонент матрицы К , обеспечивающую выполнение тождества
Лз( 2, К )=л (г,у) ,
которая всегда совместна и, если ее решение не является единственным, осуществить произвольный выбор вектора hc£ Е с свободных переменных (компонент матрицы К ) по отношению к этой системе.
3. После подстановки в систему Гк = т( у) принятого вектора £ = {у , ^ }е ЕХ, X = п +т +пс , найти ее решение к =к (£) , а, соответственно, и матрицу К = ~ ( £ ) .
4. Подставить найденную матрицу К = К (£) коэффициентов обратной связи (2) в соотношения (6), (7) и найти для замкнутой системы (1), (2) соответствующее значение J А= J а (К (£ ))= Jd ( £) размера минимального инвариантного эллипсоида.
5. С помощью любого допустимого численного метода решения задачи
Jd=Jd (^ ) = Jd (K (£)) + min
£ £EX
на безусловный экстремум, задать новую точку £ и, повторяя пункты 3,4, минимизировать функцию Jd(£) .
6. Процесс завершить после нахождения точки £o = arg min Jd (£) , определяя при этом К ££Ex
матрицу K0 = К ( £о) , которая принимается в качестве решения задачи
Jd=Jd (K)+ min
K к
обеспечивающего минимальное значение min Jd(K ) = Jd(K0)=Jd = Jd(£0) размера
K
минимального инвариантного эллипсоида.
Таким образом, в статье рассмотрены особенности синтеза цифровых законов управления морскими судами с учетом неопределенностей и предложен алгоритм решения задачи (8).
Литература
1. Веремей Е.И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. - 2009. - № 4. С. 3-14.
2. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими подвижными объектами.- СПб.: Элмор, 1996.- 320 с.
3. Лукомский Ю. А., Пешехонов В.Г., Скороходов Д.А. Навигация и управление движением судов. СПб.: «Элмор», 2002. 360с.
4. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. - СПб: Питер, 2005. -271 с.
+
5. Назин А.В., Назин С.А., Поляк Б. Т. О сходимости внешних эллипсоидальных аппроксимаций областей достижимости линейных дискретных динамических систем // АиТ. 2004. З8. С. 39-61.
6. Смирнов М.Н. Метод учета ограниченных внешних воздействий при синтезе обратных связей с многоцелевой структурой // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 130-140.
7. Смирнова М.А. Обеспечение астатизма в системах управления движением морских судов // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 141-153.
8. Смирнов М.Н. Информационная поддержка процесса обучения при моделировании системы управления шаром на наклонной направляющей // International journal of open information technologies. 2014.T.2, №3. С. 23-28.
9. Смирнова М.А. Вопросы информатизации обучения на примере программного комплекса цифрового управления роботом // International journal of open information technologies. 2014.T.2, №3. С. 29-34.
10. Смирнов М.Н. Использование современных информационных технологий для моделирования системы управления шаром на подвижной направляющей // Современные информационные технологии и ИТ-образование. М.: ИНТУИТ.РУ 2013. №9. С. 728-732.
11. Смирнов М.Н. Оптимизация управления подвижными объектами с ограниченными внешними возмущениями // Современные информационные технологии и ИТ-образование. М.: ИНТУИТ.РУ 2012. № 8. С. 1018-1024.
12. Смирнова М.А. Программный комплекс цифрового управления роботом, имитирующим башню танка // Современные информационные технологии и ИТ-образование.. М.: ИНТУИТ.РУ, 2013. №9. С. 733-737.
13. Смирнова М.А. Многоцелевое управление подвижными объектами в режиме реального времени // Современные информационные технологии и ИТ-образование. М.: ИНТУИТ.РУ 2012. №8. С. 1025-1032.
14. Смирнов М.Н. Динамическая компенсация ограниченных внешних возмущений в системе стабилизации курса судна / / Материалы XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". 2013. С. 364-370.
15. Смирнова М.А. Синтез астатических законов управления с неполной обратной связью для морских подвижных объектов // Материалы XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". 2013. С. 217223.
16. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
17. Смирнов М.Н., Федорова М.А. Компьютерное моделирование системы астатической стабилизации курса морского судна // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2010. С. 495-500.
18. Смирнов М.Н. Алгоритм синтеза управлений, подавляющих ограниченные внешние воздействия на морское судно // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2011. С. 362-368.
19. Федорова М.А. Синтез и компьютерное моделирование астатической системы управления курсом морского судна // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2011. С. 368-374.
20. Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Реализация программного комплекса для динамического управления нелинейным объектом // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2013. C.297-301.
21. Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Современные информационные технологии в процессе обучения технических специалистов // Процессы управления и устойчивость, 2014. T. 1. С. 397-400.
22. Арзуманян Н.К., Смирнова М.А., Смирнов М.Н. Моделирование системы управления тормозными усилиями автомобиля в Simulink // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 357-363.
23. Какорин Н.С., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Моделирование распространения вирусного заболевания на основе данных о взаимодействии индивидов // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 421-425.
24. Королев Е.А., Петрунин В.Н., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Разработка системы шифрования с применением стегано-криптографических методов / / Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 437-441.
25. Смирнов А.Н., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Управление аккомпанементом в процессе воспроизведения // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 497-502.
26. Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Вопросы синтеза стабилизирующих управлений при наличии неопределенных внешних возмущений // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 503-508.
27. Арзуманян Н.К., Смирнова М.А., Смирнов М.Н. Синтез и моделирование обратных связей антиблокировочной системы автомобиля // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В.И. Зубова. Спб, 2015. С. 505-506.
28. Веремей Е.И., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Вопросы устойчивости и качества в управлении движением морских судов // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В.И. Зубова. Спб, 2015. С. 511-512.
29. Веремей Е.И. Алгоритмы решения одного класса задач HC -оптимизации систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2011. — № 3. — С. 52 - 61.
30. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 4. С. 123-130.
31. Назин С. А., Поляк Б. Т., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов. Автомат. и телемех., 2007, № 3, 106-125
32. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // АиТ. 2005. №5. С. 7-46.
33. Поляк Б.Т., Щербаков П. С. Техника D-разбиения при решении линейных матричных неравенств // АиТ. 2006. N11. С. 159-174.
