Методы повышения быстродействия цифровых систем с линейной обратной связью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 4

УДК 681.5.013 Т. А. Лепихин

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

1. Введение. В настоящее время при рассмотрении вопросов, относящихся к сфере исследования и проектирования систем автоматического управления, центральная роль принадлежит современным компьютерным технологиям. Это связано с тем, что такие системы в подавляющем большинстве базируются на цифровых устройствах, эффективное применение и реализация которых требуют широкого привлечения соответствующих формализованных методов и компьютерных инструментальных средств.

В частности, синтез цифровых законов управления предполагает привлечение теории оптимизации динамических объектов в метрических пространствах. При этом оптимизационный подход чаще всего используется как рабочее средство для достижения желаемых свойств синтезируемой системы. Вопросы практического применения методов оптимизации при анализе и синтезе систем управления представлены в работах [1, 2].

Следует отметить, что в ряде случаев непосредственное применение известных методов оптимизации сталкивается с существенными трудностями, определяемыми особенностями решаемых задач. Например, это связано с проблемами, порождаемыми возможной многофункциональностью и необходимостью адаптации и реализации законов управления в режиме реального времени. В работах [3—5] представлены различные варианты постановки и методов решения соответствующих оптимизационных задач с указанием трудностей, которые возникают на пути их практического использования.

В настоящей статье в центре внимания находится вопрос о выборе коэффициентов линейных обратных связей по состоянию или по измерениям, обеспечивающем повышение быстродействия замкнутой системы с учетом комплекса предъявляемых к ней динамических требований. Предлагаются различные варианты численных методов построения приближенно оптимальных по быстродействию управлений в заданной линейной структуре, которая проста и удобна в реализации. Разработанные методы определяют простые расчетные алгоритмы синтеза, которые могут применяться как в лабораторных условиях, так и в адаптивном режиме реального времени с настройкой на изменяющиеся динамические свойства объекта управления и условий его функционирования.

Для иллюстрации работоспособности и практической применимости принятого подхода в п. 5 приводится пример синтеза приближенно-оптимального закона управления для транспортного судна водоизмещением 5000 т.

Лепихин Тимур Андреевич — ассистент кафедры компьютерных технологий и систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Е. И. Веремей. Количество опубликованных работ: 6. Научное направление: оптимизация динамических систем по быстродействию. E-mail: [email protected].

© Т. А. Лепихин, 2010

2. Метод модального параметрического синтеза. Рассмотрим уравнения математической модели в пространстве состояний цифрового объекта управления

x[n +1] = Ax[n] + Bf(u[n]), (1)

y[n] = Cx[n] + Du[n], ( )

в которых x G Ev - вектор состояния, u G Em - вектор управления, u G Ek - вектор измерения, n G N1 - моменты дискретного времени. Будем считать, что матрицы A, B, C и D имеют постоянные элементы, а компонентами векторной функции f служат функции-срезки

f-(u-) = í Uil если ^ Ui0’ i = 12 m (2)

fi(Ui) = \ Uio ■ sign(ui), если \ui\ < Uio , i = 1 ’ 2’ - ’ m (2)

Кроме (2), предположим, что пара {A,B} вполне управляемая, а пара {A,C} -

вполне наблюдаемая по Калману. Пусть объект (1) замыкается линейной обратной связью (регулятором)

u = W(q, h)y, W(q, h) = Wi(q, h)/W2(q, h) , (3)

где q - оператор сдвига на такт вперед; W - матрица размерности m х к; W2 (q, h) -

характеристический полином регулятора; Wi(q, h) - полиномиальная матрица. Будем считать, что структура связи (3) фиксирована, а ее настройка осуществляется за счет выбора вектора h G Ep варьируемых параметров. На движениях замкнутой системы (1), (3), определяемых начальными условиями x[0] = xo при нулевых начальных условиях по вектору состояния обратной связи, зададим функционал быстродействия

Tp = inf{np : x[n] G M(0,е),Уп ^ np], (4)

Его значения определяют длительность процесса перевода вектора состояния из положения xo в заданную е-окрестность M(0,е) начала координат, где е - фиксированное вещественное число (обычно принимают е ^ 0,05 || xo ||). Очевидно, что при прочих фиксированных исходных данных введенный функционал (4) превращается в функцию варьируемых параметров h G Ep : Tp = Tp(h). Вопрос о повышении быстродействия замкнутой системы выбором указанных параметров формализуем в виде следующей задачи синтеза:

tp = TP(h) ^ , inf , (5)

he^H

Здесь множество Qh определяет нахождение корней характеристического полинома замкнутой системы (1), (3) в линейной зоне внутри заданной допустимой области Са в единичном круге комплексной плоскости:

Оя = {Ь е й7 : ¿¿(Ь) € С а, г = 1, па}, (6)

в котором § - корни характеристического полинома Дз(г, Ь), п& = degДз. В качестве допустимой области для корней полинома

А(г)Еп -В(г) \

Дз(г, Ь)=det | I (7)

¥1(2, Ь)С ЕтШ2(г, Ь) - ¥1 (г, Ьр )

1шг

Рис. 1. Допустимая область Са расположения корней

примем круг Сд = {г Е С1 : \г\ ^ г}, г Е (0,1) (рис. 1). Здесь А(г) = det(Enz — А), Еп и Еш - единичные п х п и т х т матрицы, B(z) = А^)(Еп z — А)“1 В.

Целесообразность введения указанной области для размещения корней определяется стремлением к ограничению степени устойчивости, дающей некоторые гарантии по быстродействию для произвольных начальных условий. Заметим, что (5) - это специфический вариант задачи нелинейного программирования со сложной целевой функцией, которая в практических задачах чаще всего задается алгоритмически. Кроме того, специфика задачи обусловливается наличием сложных ограничений, связанных с указанными требованиями по расположению корней.

Общая теория и конкретные универсальные методы решения подобных задач в различных вариантах постановки приведены в монографиях [1, 2]. Однако в рассматриваемой частной ситуации эффективность их применения может быть существенно повышена путем трансформации задачи (5) к эквивалентным задачам на безусловный экстремум. Соответствующий метод для оптимизации аналоговых систем предложен в работе [6]. Предлагаемый здесь подход служит его развитием для цифровых систем.

Определение 1. Будем говорить, что структура обратной связи (3) является полной, если степени полиномов в числителях и знаменателях компонентов передаточной матрицы Т^(д, Н), а также размерность и состав компонентов вектора Н таковы, что с помощью выбора этого вектора можно обеспечить произвольный спектр корней характеристического полинома Д3(г, Н) (7) замкнутой системы.

Для построения численного алгоритма решения задачи (5) осуществим параметризацию рассматриваемой области Сд с использованием па-мерных вещественных векторов. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Для любого вектора 7 Е Епл корни полинома Д* (г, 7), построенного по приведенным ниже формулам, находятся внутри области Сд или на ее границе. Обратно, если корни некоторого полинома Д(г) принадлежат области Сд и при этом вещественные корни положительны, то найдется такой вектор 7 Е Еп>i, что Д(г) = Д* (2,7). Здесь

а

Д* (г,т) = П(г2 + а1 (^Ф + а0 (7,г)), (8)

г=1

если па - четное, й = па/2;

А*(г,1) = (г - «^+1(7,г))П(г2 + а1(7,г)г + а0(7,г)), (9)

*=1

если и л - нечетное, ! = [н^/2];

1 (7, г) = _г ехр - Ж + V ^ - 722 + ехр - Ж _ ^ _ 722

(10)

аг0(7,г) =г2ехр(-7г2!), г = 1, с?, ^+1(7, г) = г ехр(-7^0),

7 = {711, 712,721,722, •••, !<и, 7^2, 7<го}• (11)

Доказательство. При четном и& непосредственно следует из элементарных свойств квадратных трехчленов в формуле (8). На самом деле, для любой пары действительных чисел 7л, 7*2 корни г-го трехчлена в (8) имеют вид

*Ь= Г ехр

т. е. ¡г\ 2! ^ г.

Обратно, пусть задан некоторый квадратный трехчлен А* (г) = г2 + в1г + во с корнями ¿1 2 € С д. Будем считать, что они вещественные, причем г1 , 2 > 0. Для того чтобы г1 , 2 € СД, необходимо и достаточно [2] выполнения неравенств

,_£ + Л>0,1-£>0,1 + £ + £>0.

Кроме того, поскольку произведение корней ¿1 • ¿2 положительно, то

а

во > 0-

Найдем такие 7*1 и 7*2, чтобы А* (г) = Аг(г). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получим 7л = у/ — 1п(/?о/ г2), 7й = Vх- 1п(«;г2//30) 1п(«;/30/г2), «; = /3?/2/30 - 1 + у/{01/2/Зо - I)2 - 1 , причем нетрудно проверить, что числа 7л и 7*2 вещественные. Аналогично доказывается обратное утверждение и для случая, когда корни ¿1 , 2 полинома комплексно сопряженные.

При нечетном ил, в соответствии с (9), в состав полинома А* вводится дополнительный множитель, для которого утверждения теоремы очевидны. ■

Теперь воспользуемся доказанной теоремой для формирования вычислительного метода решения задачи параметрического синтеза (5) на допустимом множестве 0.н (6). С этой целью зададим произвольный вектор 7 € Епа и построим вспомогательный полином А*(г, 7) по формулам (8)-(11). Потребуем, чтобы настраиваемые параметры Ь € Ер в (3) обеспечивали тождество

Аз(г, Ь) = А*(г,1), (12)

в котором Аз(г, Ь) - характеристический полином замкнутой системы степени н^. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г в (12), получим систему нелинейных уравнений

L(h) = x(y)

(13)

относительно неизвестных компонентов вектора h, которая при любых 7 Є End является совместной в силу полноты структуры регулятора (3). Будем считать, что в общем случае эта система имеет неединственное решение. Тогда вектор h можно разделить на два вектора: h = {h, hc}, в котором hc Є ЕП:1 - свободная составляющая (назначаемая произвольно), h - вектор, однозначно определяемый решением системы (13) при заданном векторе hc.

Введем обозначение для общего решения системы (13):

h=h* = {hc(hc, 7), hc} = h*(7, hc) = h*(e),

в котором через є = {7, hc} обозначен произвольный вектор независимых параметров размерности Л = dim є = dim 7 + dim hc = nd + nc.

Рассмотрим уравнения замкнутой системы с выбранным вектором h = h* (є) настраиваемых параметров регулятора:

x[n + 1] = Ax[n] + Bf(u[n]),

y[n] = Cx[n] + Du[n], (14)

u = W(q, h*^))y.

При этом функционал Tp (3), вычисляемый на движениях системы (14), становится функцией вектора є:

Tp = Tp({x[n]}, {u[n]}) = T*(W(q, h* (є))) = Tp (є) (15)

и справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Если в задаче параметрического синтеза (5), где QH - допустимое множество (6), экстремум достигается в некоторой точке hko Є QH, то в пространстве Ех найдется такая точка є^, что

hfco = h*(єко), причем єко = arg min T*(є). (16)

єЄЕх F

Обратно: если в пространстве Ех существует точка єк0, удовлетворяющая (16), то вектор hko = h*^ko) является решением задачи (5). Иными словами, в указанном смысле задача (5) эквивалентна задаче на безусловный экстремум

Tp = Tp*^) ^ £mfÄ . (17)

Доказательство. Предположим, что имеют место условия

hko = arg min Tp(h), Tpo = Tp(hko). (18)

При этом замкнутая линейная система (14) в линейной области будет иметь характеристический полином Аз(г, hko) с корнями, расположенными в круге Сд. Следовательно, по теореме 1 найдется такая точка 7 = 7ko Є End, что A3(z, hko) = Д* (z, 7ko), где Д* -полином, формируемый по формулам (8)—(11). Таким образом, в пространстве Ех есть

точка £fco = {Yko, hkoc}, где hk0c - соответствующая составляющая известного вектора hk0, для которой выполняются условия hk0 = h*(ek0), T*(ek0) = Jk0.

Осталось показать, что в Ех не существует точки е01 такой, что Tp(e0\) < Tp0. Действительно, предположим обратное. Но тогда для точки h* (£01) имеет место Tp(h*(е01)) = T*(e01) < Tp0, чего быть не может в силу (18). Аналогично доказывается и обратное утверждение теоремы. ■

Проведенные рассуждения позволяют сформировать последовательность вычислительных операций для решения задачи (5).

Алгоритм решения задачи параметрического синтеза состоит из 6 шагов.

1. Задать начальную точку 7 G End и построить полином A*(z,j) по формулам (8)-(11).

2. В соответствии с тождеством Дэ(г, h) = A*(z, 7) сформировать систему нелинейных уравнений

L(h) = x(y ), (19)

которая всегда совместна и, если ее решение неединственное, назначить произвольный вектор свободных переменных hc G ЕПс.

3. При заданном векторе £ = {y, hc} G Ех решить систему (19), получая при этом точку h*(e).

4. Сформировать уравнения (14) замкнутой системы с вектором параметров h = h* (е) и вычислить значение функционала Tp = T*(e) (3).

5. С помощью любого допустимого численного метода решения задачи (17) на безусловный экстремум задать новую точку е и, повторяя операции 3, 4, минимизировать функцию T*(e).

6. После нахождении точки ek0 = arg min T*(e) определить вектор hk0 = h* (ek0),

eEEx p

который и принять в качестве решения задачи (5).

3. Модальная оптимизация с заданной динамической областью. Один из эффективных подходов к повышению быстродействия цифровых систем состоит в поиске таких значений настраиваемых параметров фиксированной структуры обратной связи, чтобы выходная переменная замкнутой системы как функция дискретного времени не выходила за пределы заданной области. В отличие от предшествующего метода, здесь можно учесть дополнительные динамические требования к переходному процессу.

Существо подхода состоит в следующем. Пусть задан цифровой объект управления с моделью (1), который замыкается регулятором (3). Как и ранее, будем рассматривать допустимое множество (6) стабилизирующих обратных связей, для которых корни характеристического полинома (7) находятся внутри круга Сд = {z G C1 : \z\ ^ r},

r G (0,1) (см. рис. 1).

Введем в рассмотрение скалярную функцию x = {x[n, h]} дискретного времени, определяющую динамическое качество переходного процесса:

x[n,h] = ||y[n,h]|| = vVK h]Ry[n,h],

в котором R - заданная знакоположительная симметрическая весовая матрица.

Для введения требований к качеству зададим две числовые последовательности Х1 = {x1[n]} и Х2 = {x2[n]} такие, что X2[n] < X1[n] Уп G N1. Будем считать, что указанные требования выполнены, если справедливы неравенства

Иными словами, настройка параметров должна обеспечить нахождение последовательности X = {х[п, ь]} в пределах заданной области (рис. 2).

О 1 2 3 4 - N-2 N-1 N п

Рис. 2. Допустимая динамическая область для переменной х

Существует эффективный способ достижения поставленной цели путем постановки и решения следующей задачи конечномерной оптимизации. Введем в рассмотрение специальную функцию а(Ь), определяющую меру выхода последовательности х = {х[п, Ь]} за пределы указанной области:

N

a(h) = ^2 an(h),

(20)

n=0

в которой an (h) - аналогичная мера для n-го отсчета, определяемая формулой

{0, если x2[n] ^ x[n, h] ^ x1 [n], x[n, h] — x1 [n], если x[n, h] > x1 [n], x2 [n] — x[n, h], если x[n, h] < x2 [n].

Поставим оптимизационную задачу

a = a(h) ^ min , he^H

(21)

в которой допустимое множество Пн настраиваемых параметров по-прежнему определяется формулой (6). При этом предполагаем, что нулевая нижняя точная граница функции а(Ь) на указанном множестве достигается.

Смысл задачи (21) состоит в том, что при заданной мере быстродействия, определяемой величиной радиуса г, ее решение дает такой вектор Ь настраиваемых параметров, который обеспечивает нахождение отсчетов сигнала х = {х[п, Ь]} в пределах заданной области.

Естественно, что для повышения быстродействия системы имеет смысл повторять рассмотрение задачи (21) с уменьшающимися значениями радиуса г до тех пор, пока достигается нулевой глобальный минимум функции а(Ь).

Так же, как и в предшествующем подходе, задача (21) может быть сведена к вопросу о поиске безусловного экстремума на базе теоремы 1. Для формирования соответствующего вычислительного алгоритма обратимся к уравнениям (14) замкнутой системы, где вектор h = h*(e) настраиваемых параметров строится в соответствии с решением нелинейной системы (13), e = {y, hc} G E х.

При этом функция a(h) (23), вычисляемая на движениях системы (14), становится функцией вектора е:

а = a ({x[n]}, {u[nj}) = a* (W(q, h*(e))) = a*(e). (22)

Справедливо следующее утверждение, которое аналогично теореме 2:

Теорема 3. Если в оптимизационной задаче (21) достигается нулевой глобальный экстремум в некоторой точке ha0 G Пн, то в пространстве Ех найдется такая точка ea0, что

ha0 = h*(ea0), причем ek0 = arg min a(e). (23)

eEEx

Обратно: если в пространстве Ех существует точка ek0, удовлетворяющая (22), то вектор ha0 = h*(ea0) является решением задачи (21). В указанном смысле задача (21) эквивалентна задаче на безусловный экстремум

а* = a* (e) ^ inf . (24)

eEEx

Доказательство. Полностью аналогично доказательству теоремы 2. ■

Описанный подход к параметрическому синтезу цифровых алгоритмов обработки информации удобно реализовывать в математической среде MATLAB с использованием пакета прикладных программ NCD-blockset в предшествующих версиях или инструментальных средств Response Optimization в версиях от R2007 и более поздних вариантах [6, 7]. Указанные инструменты позволяют задавать границы допустимого «коридора» в визуальном режиме, обеспечивают вычисление меры выхода за его пределы при заданном векторе h, осуществляют запуск специализированного численного метода решения оптимизационной задачи (23) и находят ее решение, если оно существует.

Необходимо особо отметить, что представленная здесь идеология параметрической оптимизации может быть применена не только к линейным стационарным системам, но и к произвольным дискретным нелинейным цифровым системам.

4. Алгоритм синтеза квазиоптимальной обратной связи. В ряде частных практических ситуаций удается построить более простые, чем приведенные выше, вычислительные схемы повышения быстродействия с помощью линейной обратной связи.

Рассмотрим математическую модель управляемого объекта, движущегося в горизонтальной плоскости, которая представлена системой уравнений

x[n +1] = f(n, x[n],£[n]), ( )

S[n +1] = fu(u), y[n] = cx[n]. ( )

Здесь x = (Vz, ш, ф)' - вектор состояния, Vz - боковая скорость центра масс, ш - угловая скорость, ф - угол поворота объекта, S - угол поворота рулей, и - управление, с = (0 0 1).

Векторная функция f и функция-срезка fu учитывают ограничения

(26)

на угол и скорость поворота рулей.

Поставим задачу о формировании управляющего воздействия

и = к\х\ + &2х2 + кз(хз - ) + к46,

(27)

которое обеспечивает поворот объекта на желаемый угол и стабилизирует соответствующее положение равновесия замкнутой системы (24), (26). Время Т^ перехода в малую окрестность этого положения должно быть сделано минимальным за счет выбора коэффициентов кг, г = 1,4, регулятора (26). Для решения поставленной задачи прежде всего рассмотрим вопрос о приближенном построении программного управления, обеспечивающего наиболее быстрый разворот объекта. Наряду с системой (24) введем в рассмотрение ее линейное приближение

которое с достаточной мерой адекватности представляет динамику в режиме стабилизации или маневрирования с малыми углами .

Пусть целью управления служит перевод системы (24) или (27) из точки хо = х(0) = (0 0 0)' в точку х^ = х(Т^) = (0 0 )', т. е. поворот по углу на заданную величину

, где Т^ - заранее не фиксированный момент дискретного времени. Качество поворота будем оценивать его длительностью, т. е. значением функционала Т^ = Т^(и), заданного на множестве управлений, учитывающем ограничения (29).

Суть классической задачи теории оптимального быстродействия состоит в поиске такого программного управления и = {ис[п]}, удовлетворяющего ограничениям (25), которое обеспечивает минимум функционала Т^ = Т^(и).

Заметим, что поставленная задача для линейной модели в непрерывном времени хорошо изучена [8, 9]. Ее решение базируется на необходимых условиях экстремума в различных аналитических формах. Однако их практическое применение затруднено, поскольку связано с достаточно сложной краевой задачей для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если поиск оптимального управления проводится в исследовательских условиях, решение задачи, в принципе, может быть получено за разумное время. Однако если управление формируется в адаптивном режиме в темпе реального времени на борту, то известные методы практически не применимы, в силу существенной ограниченности возможностей бортовых вычислителей.

В отличие от линейного быстродействия задача для нелинейной модели (24) вообще не имеет аналитического решения. Здесь возможны лишь численные приближения с большим объемом вычислений, которые совершенно нереально осуществить на борту.

Предлагаемый приближенный подход заведомо ориентирован на бортовую реализацию. Он основан на известном представлении оптимального управления, как релейной функции времени, с количеством переключений, которое, в соответствии с теоремой Фельдбаума, в данном случае не более трех.

Квазиоптимальное управление в виде последовательностей и = {ис[п]} и 6 = {6с[п]} представлено соответствующими огибающими на рис. 3. Его конкретный вид однозначно зависит от командного сигнала, однако имеются общие закономерности, следующие из физического смысла процесса.

х[п +1] = Ах[п] + Ь6[п]), 6[п +1] = и[п], у[п] = сх[п],

(28)

Рис. 3. Управление и отклонение рулей в квазиоптимальном процессе

Вначале руль поворачивается с максимальной скоростью ио до момента времени п = и\. Далее до момента п = п2 идет торможение объекта путем обратного поворота руля с максимальной скоростью. В момент п = п3, когда скорость еще не погашена, опять переключается управление для вывода руля в нулевое значение и завершения сброса скорости. И, наконец, на последнем участке до момента п — п4 руль окончательно приводится в нейтральное положение.

Рассмотрим вопрос о приближенном поиске моментов переключения управления (см. рис. 3). Заметим, что нижней оценкой для минимального времени поворота служит величина по, определяемая равенством ро[по] = рг, где последовательность р = {ро[п]} соответствует движению при условии и[п] = ио.

Учитывая эту оценку, будем выбирать момент п = п\ первого переключения управления в диапазоне п\ Е [[по/2],по]. Очевидно, что если управление переключится на торможение слишком рано (в момент п = пц), то соответствующая последовательность р = {р\ [п]} не достигнет желаемого значения рг. Однако при слишком позднем переключении (в момент п = п12) соответствующее движение р = {р2[п]} превысит указанное значение. Такие последовательности представлены огибающими на рис. 4.

Учитывая приведенные соображения, легко построить итеративный процесс и найти такой момент переключения п = п\, чтобы выполнилось условие тах \р[п]\ = \рг\.

п£ [п0

На рис. 4 этому условию удовлетворяет последовательность р = {р*[п]}, для которой выполняется равенство р* [п*] = рг в момент п = п*.

Полученное вспомогательное значение п = п* можно использовать для поиска момента переключения п = п2, который с очевидностью должен принадлежать отрезку [п**,п*], где п = п** - момент перехода рулей 5С через нуль. Легко видеть, что £** < £*, поскольку причиной изменения знака скорости и может быть только изменение направления отклонения руля. Вычислительные эксперименты показывают, что

Рис. 4. Динамика квазиоптимального процесса

положение точки на указанном отрезке не критично для процесса, поэтому можно принять п2 = [(п* + п** )/2].

И, наконец, третий момент переключения определяется условием приведения руля в нейтральное положение: пз = п2 + [|5С[п2/ио]|].

После формирования программного управления можно перейти к построению искомого линейного регулятора (26) по состоянию. по аналогии с [9] можно утверждать, что его коэффициенты, реализующие движение по найденной программе, должны удовлетворять системе уравнений

и[пх] = кхХх [пх] + к2Х2 [пх] + кз (хз [пх] - Рг ) + ^4$с [пх] = 0,

и[п2] = кхХх [п2] + к2Х2 [п2] + кз (хз [п2] - Рг ) + к4$с [п2] = 0, (29)

и[пз ] = кх Хх [пз ] + к2 Х2 [пз ] + кз (хз [пз ] - Рг ) + к4 ¿с [пз ] = 0.

Система (28) определяется моментами переключения управления, а значения переменных Хъ в эти моменты соответствуют программному движению.

Будем трактовать уравнения (28) как связи, учитываемые при выборе коэффициентов регулятора (26) для линейного объекта (27). Тогда, как это сделано в работе [10], можно поставить вспомогательную задачу о достижении максимальной степени устойчивости замкнутой системы, которая может быть решена методом, приведенным в [10], что дополнительно приближает синтезируемое управление к оптимальному быстродействию.

5. Пример синтеза. Практическое применение алгоритма синтеза квазиоптималь-ной обратной связи проиллюстрируем на примере системы управления курсом транспортного судна с водоизмещением 5000 т. В качестве линейной математической модели судна, представляющей движение с постоянной скоростью V = 12.5 м/с, примем следующую систему линейных разностных уравнений:

в [п + 1] = ахх в [п] + ах2 и [п] + Ьх 6 [п], и [п + 1] = а2х в [п] + «22 и [п] + Ь2 6 [п], р[п + 1] = Ти[п] + р[п],

6 [п + 1] = Ти[п] + 6 [п],^[п] = р[п].

Здесь в - угол дрейфа, и - угловая скорость по курсу, р - угол курса, 6 - угол отклонения вертикальных рулей. Зададим значения коэффициентов для периода дискретности Т = 1 с: ахх = 0.816, ах2 = 0.421, «2х = 0.0106, «22 = 0.471, Ьх = -0.0438, Ь2 = -0.0234.

Определим желаемый угол поворота рг = 10° и нижнюю оценку п0 = 16 для мини-

мального времени поворота. В результате реализации итеративного процесса находим момент переключения пх = 10, обеспечивающий выполнение условия тах |р[п]| =

пЕ [п0 ,го)

1рг |, а затем моменты переключения п2 = 21 и пз = 22 по указанной выше методике.

р[п]9 град.

Рис. 5. Поворот по курсу на угол ^ = 10о

Решение системы (29) дает следующие значения коэффициентов обратной связи: кх = -0.3, к2 = -66.0, кз = -14.0, к4 = -1, которая обеспечивает устойчивость замкнутой системы при длительности переходного процесса Т^ « 19 с. Динамика замкнутой системы в процессе поворота представлена графиком функции р[п] на рис. 5.

6. Заключение. Представлены результаты исследований, направленных на повышение эффективности цифровых систем, обеспечивающих управление динамическими объектами в режиме реального времени. В центре внимания находится вопрос о синтезе линейных обратных связей по состоянию или по измерениям, обеспечивающем наилучшее быстродействие замкнутой дискретной системы с учетом комплекса предъявляемых к ней динамических требований. Предложены три метода повышения быстродействия, базирующиеся на прямом учете требований к модальным свойствам замкнутой системы. Первый из них носит универсальный характер и требует исходного задания желаемого расположения корней характеристического полинома. Во втором

методе обеспечивается учет дополнительных динамических ограничений на оптимизируемое по быстродействию движение. И, наконец, третий метод реализует синтез приближенно-оптимального управления на базе естественных практических соображений, соответствующих частной ситуации, которая характерна для подвижных объектов. Разработанные методы определяют простые расчетные алгоритмы синтеза, которые могут применяться как в лабораторных условиях, так и в адаптивном режиме реального времени с настройкой на изменяющиеся динамические свойства объекта управления и условий его функционирования. Работоспособность предлагаемого подхода проиллюстрирована на конкретном примере синтеза приближенно-оптимального закона управления курсом транспортного морского судна.

Литература

1. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 336 с.

2. Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск. гос. ун-та, 1996. 432 с..

3. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожее С. В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2002. 370 с.

4. Веремей Е. И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009. № 4. С. 3—14.

5. Fossen T. I. Guidance and Control of Ocean Vehicles. New York: John Wiley and Sons, 1999. 480 p.

6. Веремей Е. И., Коровкин М. В. Применение пакета NCD для решения задач модальной параметрической оптимизации // Труды II Всерос. науч. конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». М.: ИПУ РАН, 2004. С. 884-896.

7. Simulink Response Optimizating 3: User’s guide. Natick (Mass.): The Mathworks, Inc., 2004. 138 p.

8. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

9. Антомонов Ю. Г. Синтез оптимальных систем. Киев: Наукова думка, 1972. 320 с.

10. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 4. С. 123-130.

Статья рекомендована к печати проф. Е. И. Веремеем.

Статья принята к печати 10 июня 2010 г.