Вопросы оптимального планирования нагрузки в распределенных системах запросного типа Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

2 /

Из системы(З), с точностью до слагаемых порядка 2 , можно вывести соотно-

/е^

шение

а, (1 + —у—) = а0, (4)

3 V, (®о)

V, (®0) - фазовая скорость ]-й моды неподвижного источника с частотой ю0.

Будем выбирать частоту неподвижного источника, аппроксимирующего поле движущегося источника, так, чтобы она была близка к принимаемым частотам наиболее энергетичных мод движущегося источника. Введем понятие средней фазовой скорости гидроакустического поля воздушного источника по аналогии с такой же величиной для сигнала водного источника, использующейся в работе [2]

Ъ =ХЛ-2/ ХЛ 4!,, (5)

3=1 / ,=1

где А, - амплитуда}-й моды воздушного источника.

Исходя из структуры соотношения (4) с помощью (5), частоту неподвижного источника будем определять в виде

_ е

ю =

е + V / V,

М /

В заключение отметим, что эффективность предложенной аппроксимации подтверждается численными экспериментами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Горбачёв А.Н., Грудский С.М., РабиновичВ.С., РивелисЕ.А., Хоха Ю.В., Эдельштейн С.Л. Асимптотика акустического поля, создаваемого в океаническом волноводе движущимся воздушным источником// Сб. трудов "Океаническая акустика". М.: 1993. С. 9-12.

2. Грачёв Г.А., Кузнецов Г.Н. О средней скорости изменения фазы акустического поля вдоль плоского волновода// Акуст. ж. 1985. №2. С. 266-268.

А.М.Белевцев

ВОПРОСЫ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ НАГРУЗКИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ЗАПРОСНОГО ТИПА

При построении и организации функционирования распределенных систем запросного типа (РСЗТ) большое значение приобретает рациональное распределение нагрузки между узлами системы [1]. При этом необходимо учитывать, в общем случае, технологические возможности как обрабатывающих, так и исходных узлов (ИУ). Это связано с тем, что стремление переложить работу только на обрабатывающие узлы (ОУ) зачастую приводит к возрастанию непроизводительных затрат и, как следствие, - к снижению производительности системы в целом. Математическое моделирование процессов функционирования системы в такой ситуации позволяет получить рекомендации по рациональному (оптимальному) распределению нагрузки в системе. Рассмотрим соответствующую модель (оптимизационную задачу) в общем виде.

Будем называть технологическим объектом (ТО) некоторую обособленную материальную единицу, рассматриваемую в процессе осуществления взаимодействий между узлами системы как единое целое. Физическая природа ТО может быть различной для

разных РСЗТ. В производственной системе, например, в качестве ТО могут выступать отдельные комплектующие, а также целые изделия. В информационной системе в качестве ТО могут рассматриваться массивы данных, отдельные программы. В коммерческой системе - отдельные предметы потребления или их наборы.

Пусть 1 у - интенсивность внешних запросов на і-й ТО, возникающих в узле \,

где і = 1, I; j = 1Д и і соответствует номеру ТО, а ] - номеру узла.

Собственно числовое значение 1 у уже задает определенную информацию о характере ТО. Так, в производственной системе, где запросы поступают только на готовые изделия, 1 у =0 для всех і, соотносимых с комплектующими ТО; в информационной системе 1 у можно полагать равным 0 для массивов данных и программ, обращение к которым возможно лишь из других программ. При этом 1 у Ф 0 лишь для тех і, которые

определяют головные программы. В целях унификации терминологии подобные Т О будем называть головными вне зависимости от сферы их принадлежности (производственной, информационной, коммерческой и т.д.).

При выполнении запроса на головной ТО следует знать, какие другие ТО необходимы для удовлетворения этого запроса. Такое отношение будем определять с помощью матрицы А = {а^ }, где

1, если при обработке і- го ТО необходимо выполнить а ік = і обращение за к - м;

0, в противном случае.

Для удобства дальнейших построений целесообразно положить а^ = 1.

Кроме того, для более полного отражения реальной действительности помимо запросов на использование ТО необходимо ввести запросы на корректировку ТО. Физически это означает, например, пополнение запасов хранения ТО в производственной системе либо корректировку хранимых данных в информационной системе.

Рассмотрим вначале случай, когда обращения (взаимодействия) между узлами РСЗТ связаны лишь с запросами на выдачу хранимых ТО, а вся обработка (сборка) производится в узлах, из которых исходят обращения. Иными словами, распределенные нагрузки в РСЗТ в данном случае лишь предполагают распределенное хранение ТО.

Распределение ТО для хранения в системе можно осуществлять различными способами. При этом эффективность функционирования системы может существенно меняться.

Основываясь на принципе локализации обработки [2], для характеристики затрат ресурсов при функционировании РСЗТ для различных вариантов распределения ТО будем использовать суммарный удельный объем взаимодействий между узлами системы.

Введем переменную Хщ , определяемую следующим образом:

Г1, если к - й ТО хранится в j - м узле,

Хк =1п

[0, в противном случае.

При этом полагается, что весь набор ТО обязательно хранится в ОУ, а корректировка ТО осуществляется последовательно для всех хранимых в системе ТО. Тогда суммарный объем взаимодействия в системе выразится следующим образом:

F1 = 111ij I aiknk (1 - xk,.) + 111 Hv'i

I xil 1* j

i j k i j

где v k и v k - средний объем (например, стоимость) одного взаимодействия, соответственно, при обработке запросов и донесений.

В этом случае математическую модель оптимизационной задачи можно сформулировать в следующем виде.

Найти такой набор значений Х *= {x*kj}, при котором

Fl ® min (2)

ixkj}

при ограничениях

Xw kxkj k

j = 1,J,

I xkj ^ nk. k= U-

(3)

(4)

Здесь величины юк и У| - физический объем, занимаемый к-м ТО, и емкость ]-го узла, соответственно. Полагаем, что 1 у ф 0 лишь для головных ТО. Последние обрабатываются обязательно в ^м узле, при этом суммарная загрузка узла не должна превышать допустимой. Величина этой загрузки может быть рассчитана заранее (поскольку 1 ¡1 известны) и учтена при выборе состава технических средств узла; п^ - определяет

оптимальную степень дублирования ТО.

Решение задачи (2)-(4) является исходной информацией для определения числа

ОУ в системе. В самом деле, полагая, что заявки на использование и корректировку ^го

ТО характеризуются затратами времени, соответственно, т к и т' можно вычислить суммарную загрузку всех ОУ

Р = 1111|Iа1к(1 -Хк|)тк +11 1'|т' . (5)

1 1 к 1 1

При этом, как отмечалось выше, полагается, что все ТО дублируются в ОУ (в

_____ /

противном случае второй член в (5) будет иметь вид II(1 -Ху)1ут' .

Рассчитаем следующие величины:

N р= [р / Ркр], (6)

Nп= ^ф] , (7)

где V= I ю 1 , а Vф - емкость одного ОУ, используемого для хранения ТО.

1

Отсюда потребное количество ОУ определяется следующим образом:

N = max{ Nр ^п }. (8)

Теперь рассмотрим случай, когда ОУ обеспечивает обработку ТО, так что ряд запросов реализуется в ОУ, а именно - те запросы, головные ТО которых отсутствуют в соответствующих ИУ. Показатель эффективности для данного случая запишется следующим образом:

/

\

р2=іі^ у [xij і аікп к(і - xkj)+(1 - xij)v іо і+И1;/і хіі

(9)

/

Здесь величина V¡0 характеризует объем взаимодействий с ИУ при реализации запросов в ОУ. При этом полагается, что все ТО также дублируются в ОУ.

Математическая модель данной задачи запишется следующим образом:

Здесь соотношения (13) и (14) связаны с необходимостью обеспечения ограничений на предельную загрузку, соответственно ИУ и ОУ. Причем (14), по сути, неявно задает предельное число ОУ.

Рассмотрим теперь ряд особенностей, возникающих при решении аналогичных задач в конкретных прикладных сферах.

Допустим, что организация занимается обеспечением региональных центров некоторыми изделиями (запасными частями к агрегатам, собственно агрегатами и другими

громоздкими изделиями). Известна интенсивность запросов на изделие I - 1^; 1= 1,1 (в неделю, в месяц и т.п.) В региональных центрах имеются лишь ограниченные возможности по складированию изделий - Wj; у= 1, J . Задача заключается в рациональной поставке изделий в регионы, т.е. обеспечение регионов изделиями должно осуществляться таким образом, чтобы запросы на них, по возможности, удовлетворялись на месте. При такой постановке задачи ее математическая модель, в целом похожая на модель (2) -(4), имеет несколько упрощенный вид по сравнению с последней.

При этом целевая функция (критерий) имеет следующий вид:

Здесь Ху (как и ранее) - булева переменная, единичное значение которой определяет необходимость предварительной поставки (хранения) /'-го изделия в у-м центре; Wj - возможность у-го центра по хранению изделий; Юу - объем запроса на хранение

/-го изделия (например, занимаемая площадь); V у - потери, связанные с отсутствием /-го изделия при поступлении запроса на них в у-м центре.

(10)

(11)

к

(12)

(13)

(14)

(15)

а система ограничений в общем виде запишется так:

I1 і|ЮіХу<

(16)

В некоторых случаях может потребоваться директивное задание обязательности предварительной поставки изделий в региональные центры. Тогда следует организовать дополнительное ограничение типа:

X ауху = N, j=й, (17)

1

где а^ - булева величина, единичное значение которой определяет обязательную предварительную поставку 1-х изделий в_/-й центр, а N - количество таких изделий (обязательной поставки для]-го центра).

Рассмотрим теперь более сложную задачу, связанную с размещением производственных мощностей по выпуску некоторого ассортимента изделий / = 1,1, в регионах ] = 1, J, где на них существует спрос 1 у . Для каждого изделия имеются две возможности:

либо его производство в регионе, либо закупка на стороне (например, за рубежом). Второе решение обходится дороже первого на V ¡к для некоторого к-го комплектующего /го изделия и на величину V ¡0 - для всего изделия. Необходимо отыскать наиболее рациональное решение (в плане стоимости).

Целевая функция математической модели подобной задачи по аналогии запишется следующим образом:

ху Xа1кп¡к( хк))+ху V¡о

^у^“1кмку к) / V 11 / ¡о

к *!

=ХХ1 и ¡ )

Здесь булева величина а^ характеризует наличие к-го комплектующего (а^ =1) в изделии /.

В общем случае математическую модель задачи можно сформулировать таким образом:

F2 ® 1{Ш}, (18)

X W¡ex¡j < V)2, ]= 1,7; 1 = Ц, (19)

¡

ХХРу (1 - хд )= 0 , (20)

¡ )

ХХУуХу = 0 . (21)

¡ )

Здесь W¡e - потребные ресурсы 1 -го типа для производства /-х изделий; Vе - наличные ресурсы 1 -го типа в регионе /

Булевы величины Ру и Уу задают обязательность либо невозможность производства /-го изделия в]-м регионе, если по каким-то причинам это установлено заранее. Возможны и другие ограничения в модели, вызванные учетом реальных факторов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белевцев А.М. Об оптимизации технологических процессов в распределенных системах запросного типа и проектирование электронных устройств// Проектирование и технология электронных средств. 2003.№ 1

2. Белевцев А.М. Логико-физические основания оптимизации технологических процессов в распределенных системах запросного типа. Ж.В.: Электронная промышленность (в печати).