Волны во вращающемся волноводе. Эффект Саньяка Текст научной статьи по специальности «Физика»

V. I. Gadzikovsky

Ural state technical university - UPI

Digital filter bank for multi-channel communication with channel frequency separation

Digital filter bank of bi-orthogonal wavelet transform based quadrature-mirror filter for receiving part of a multichannel digital communication system with channel frequency separation is observed.

Filter bank, multi-channel communication, wavelet transform, quadrature mirror filter, aliasing Статья поступила в редакцию 24 июля 2009 г.

УДК 538.3(075.8)

Б. М. Петров

Таганрогский технологический институт Южного федерального университета

| Волны во вращающемся волноводе. Эффект Саньяка

Приведено решение задачи о возможности существования волны магнитного типа во вращающемся цилиндрическом волноводе. Установлены эффекты зависимости длины волны, фазовой и групповой скоростей распространяющихся парциальных гармоник и независимости фазовой и групповой скоростей переотражающихся в поперечном сечении парциальных гармоник от частоты вращения волновода. Строго определена применяемая для оценки результатов опытов в эффекте Саньяка формула для разности фаз парциальных гармоник.

Эффект Саньяка, строгая теория, новые эффекты

Задача о возможности существования направляемых электромагнитных (ЭМ) волн во вращающемся волноводе имеет принципиальное значение для обоснования главных положений электродинамики общей теории относительности (ОТО). Она ставилась в ряде работ, поскольку результаты ее решения необходимы и для объяснения опытов над ЭМ-полями в различного рода интерферометрах [1]-[4], и для расчета лазеров с вращающимися резонаторами [5], [6]. Решения задач получены на основе разного рода допущений, так как ковариантная формулировка уравнений электродинамики либо не применялась [3], [6], либо при ее применении использовались различного рода приближения.

Сложность постановки и решения граничных задач о возможности распространения направляемых ЭМ-волн во вращающихся волноводах связана с тем, что вращающая система отсчета (СО) является неинерциальной, центробежные силы и силы Кориолиса в ней влияют на распространяющееся ЭМ-поле, имеющее инертную массу. Поэтому параметры ЭМ-поля во вращающихся и "неподвижных" (инерциальных) системах отсчета различаются.

В опытах Гарреса, Саньяка и Погани (см. рисунок) интерферометр с приборами вращался с постоянной угловой частотой Q вокруг общей оси, а световой пучок распространялся по замкнутой ломаной линии, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Световой луч, выходящий из источника, разделялся на два луча в точке полупрозрачным зеркалом З1, расположенным под углом 45° к направлению распространения пучка. Оба луча в противоположных направлениях проходили по одному и тому же оптическому © Петров Б. М., 2009 13

пути, получаемому с помощью набора зеркал З2-З4 (опыт Саньяка), в стеклянных призмах (опыт Гарреса) или в наполненной водой трубке (опыт Погани) [3], [4], расположенных на вращающемся диске. В опыте Саньяка лучи отражались от зеркал З2-З4, расположенных по окружности диска; при этом оптический путь лучей в воздухе имел форму многоугольника, который при увеличении количества зеркал стремился к окружности, лежащей на ограничивающей поверхности, имеющей площадь £. Источник света И и интерферометр вместе с зеркалами образовывали единую вращающуюся систему. Считалось, что во всех случаях интерференционная установка позволяет методами классической электродинамики [5] или СТО [3], [4] при малых по сравнению со скоростью света линейных скоростях всех точек диска определить разность времен прохождения одного и того же оптического пути двумя лучами, движущимися в противоположных направлениях. Предполагалось, что для исключения искажений, возникавших от влияния центробежных сил, достаточно было провести два измерения при смене направления вращения. Один из методов измерений состоял в том, что сначала измерялся (с помощью фотографической пластинки Ф) сдвиг фаз между лучами при вращении по часовой стрелке, а затем измерения производились при вращении интерферометра против часовой стрелки.

При постановке опытов проверялась гипотеза остающегося неподвижным и вовлекаемого в движение эфира. Если обозначить через V скорость движения материи в направлении распространения луча, то в рамках теории об остающимся неподвижным эфире предполагалось возможной распространение ЭМ-энергии в направлении вращения со скоростью (Vф - V), меньшей скорости Vф света в среде, заполняющей интерферометр, а

противоположном направлении - со скоростью (Vф + V ^, большей скорости света. В рамках этой гипотезы в [3], [4] получено выражение для разности времен прохождения лучами одинаковых путей в указанных направлениях: А/ = 8тсГ$/с2, где Г = О/2ж - число оборотов интерферометра в секунду.

За счет разности хода ожидалось возникновение разности фаз лучей:

АФ = ш0А/ = 8лШ/сХ0 , (1)

где Шо - частота тока излучающего источника; ^о - длина волны.

Поскольку при выводе формулы для А/ использованы предположения о возможности существования во вращающемся интерферометре скоростей лучей, больших и меньших скорости света, то расчетное соотношение (1) является некорректным. Указанное допущение привело к появлению длительных дискуссий и различного рода теорий, пытающихся объяснить появление формулы (1) [7], [8].

В настоящей статье на основе строгого решения задачи о возможности существования волн магнитного типа во вращающемся металлическом волноводе получено выражение, уточняющее (1), и изучены новые эффекты зависимости параметров поля от частоты вращения.

Постановка задачи. Введем в свободном пространстве инерциальную (декартову) СО К' ( х', у', г', ) = К' (г', ф', г', ) = К' ( х^ ) (/ - мнимая единица; I - время; х^ =

= ( х1 , х2 , х3 , х0 ) , ха =(г' , ф', г'), а ' = 1, 2, 3 - цилиндрические координаты) и покоящую-

ся в ней точку наблюдения P' ( ха , iv^t ). Бесконечно длинная металлическая цилиндрическая

труба радиуса a, вдоль оси которой направлена ось z', заполненная изотропной однородной линейной средой с диэлектрической и магнитной проницаемостями s = SqS ' и д = дод ' соответственно ( Sq и до - электрическая и магнитная постоянные соответственно) вращается относительно точки P' с постоянной угловой частотой Q = 2xF . Введем жесткую вращающуюся СО K (r, ф, z, t) K (x^ ) с осью z = z ', направленной вдоль оси трубы и являющейся осью

вращения. Обозначим через P(xj ) = P(ра,t) ( j = 1, 2, 3, 0; ра= ра(r,ф, z) ), покоящуюся в СО K точку наблюдения ЭМ-поля. Параметры 8, ц и a считаем измеренными в СО K.

Если ха = (r, ф, z) - цилиндрические координаты, то r ' = r, ф ' = ф + Qt; z ' = z . Считаем, что область сторонних источников FH, возбуждающих ЭМ-поле на частоте Qq , измеренной во времени t, расположена при z' ^ -да. Тогда уравнения Максвелла в СО K однородны при ра £ VH и для ковариантного вектора напряженности электрического поля в виде Еа =(Ej, E2, E3 ) = E, контравариантной бивекторной плотности веса +1 - напряженности

^ В i ^ 23 ^ 13 ^ 12 i магнитного поля H аВ = ( H , - H , H ) = H , контравариантной векторной плотности

веса +1 - электрической индукции Dа = (D1, D2, D3) = D и ковариантного бивектора магнитной индукции Вар = (B23, - B13, B12) = B могут быть записаны в трехмерной форме [9]:

rot H = 8tD; rot E = -8tB; div D = 0; div B = 0. (2)

ЭМ-Поле в СО K, удовлетворяющее (2), с помощью электрического ^ и магнитного vu потенциалов Дебая разделяется на ЭМ-поле волн электрического типа (E-волн), для

которых ВГф = r 1B12 = 0, и ЭМ-поле волн магнитного типа (#-волн), для которых

^ z —1 ^ 3

D = r D = 0. Потенциалы Дебая являются решениями волновых уравнений [9]:

^э,м = 0, (3)

г 1 8 f 8^ 1 -В2 82 2В 82 82 1 82 ía п / \

где L =-—I r— I + —2--2 +-+ —^"Т - оператор (^^Аф).

r 8r К 8r J r2 8ф2 Vфr 8q8t 8z2 vф 8t2 v ' 4 /

Введя обозначения vu = v, W = yj^JS, для H-волн имеем

д 82v 8 1 82v д 82v В 82v

Er =-—-.— ; Hф=-—; = W-

r 8t8ф 8r (B8v/8r)' ф r 8ф8^ ф r 8t8r r 8ф8г '

Bz = -и8VrHHr ; Ez = -WBHr; Hz = Ь¿2Ц, +W-H.

r or V 8r J r 2 8ф2 8r8z д T

(4)

В математической модели проводимость стенок трубы считаем идеальной. Тогда на внутренней поверхности цилиндра для ЭМ-поля #-волн должно выполняться граничное условие [9]:

дН2/ дг\г=а = 0. (5)

Составляющие векторов напряженностей и продольная составляющая бивектора магнитной индукции определяются по формулам (4), а потенциал Дебая при г > 0 может быть представлен линейной комбинацией элементарных цилиндрических волн в пространстве, соответствующем СО К [9]:

да

V = £ апХп (хт) е—Ре"^ , (6)

п=-да

где ап - коэффициенты; 1п (-) - функция Бесселя или Ханкеля порядка п; х - параметр,

I 2 2

подлежащий определению; хп = Vкп -х - коэффициент распространения волны порядка

п (К = &n|Vф, ®п =®0 + п°).

Представим коэффициент распространения в виде суммы действительной и мнимой частей: хп = Хп - *Хп . Характер волнового процесса в трубе зависит от величин этих частей.

В том случае, когда действительная часть - коэффициент фазы положительна (хп > 0), труба является направляющей системой для ЭМ-поля #-волн. При х'п = 0, Хп > 0 волновой процесс в трубе отсутствует, а все составляющие векторов напряженностей ЭМ-поля затухают по экспоненциальному закону с ростом г; при хп = 0 происходит переотражение

ЭМ-поля между стенками трубы.

Таким образом, необходимо найти решение волнового уравнения (3) при граничном условии (5) и условии распространения волн вдоль направляющей системы.

Решение задачи. Потенциал Дебая V в (6) удовлетворяет уравнению (3), полученному из уравнений Максвелла в ковариантной форме. Учтем, что составляющие векторов напряженностей ЭМ-поля должны иметь конечные значения на оси волновода. При этом условии из (6) имеем

да

V = £ апЗп (хт) е~тфе~^ , (7)

пп

п=-да

где Зп (хт) - функция Бесселя.

Определим составляющую Нг по (4). Подставив выражения для продольной составляющей ВТр и радиальной составляющей Ет в формулу для Н2 в (4), получим

1 -В2

Н = —

| д ( ду ^ | д2у

---г - —

т дт V дт) т 2 др2

- W _1р

+w-р—

т дtдф дт дт

Из волнового уравнения (3) имеем

1 д ( ду1 -р2 д2у + 2р д2у + д2у 1 д2у

т дт V дт) т2 дф2 Уфт дtдф дг2 уф дt2

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5

Подставив это выражение и (7) в правую часть формулы (8) и продифференцировав по ф и t, получим

Н (т, ф, г, t) = £ ап [^кп -х2 1 е",пфЗп (хт) ^.

да

'г V V ~ / , п

п=-да

0кп 2

Граничное условие (5) удовлетворяется, если дJn (хт ^дт |т=а = 0. Корнями этого

дисперсионного уравнения являются значения \пт , т = 1, 2, ____Тогда потенциал Дебая

рассматриваемой задачи

V (т, ф, г, 0 = е^ £ £ anme-,nфJn (к^т) е"« , (9)

п=-да т=1

откуда

дада

Н (р) = £ £ аптАпте~-П(фJn (^т) е-,'хт , (10)

п=-да т=0

где Апт = ^кп -хпт; пт =^пт/а и хпт - поперечный и продольный коэффициенты распространения азимутальной гармоники соответственно.

Найдем продольный коэффициент распространения хпт . Подставив потенциал Дебая (9) в (3), получим

да да

е

£ £

,2 (Рп )2 2р 2 ®0

-кХпт +-п®0 -хпт

т2 уфт уф

п=-да т=0

или после приведения подобных членов

anmJn (к±птт) е",пфе",хт = 0

дада

£

п=-да т=0

V Гк2 -к2 -х2 1 а I (к, г)е-,пфе"г'хптг = 0

/ , Ь п пт &пт \ыпт° п\ пт' )с е и-

Для существования в трубе ЭМ-поля необходимо выполнение условия

anmJn (кХ птт)е~'пфе~'1пт2 * 0 . Тогда к° -к2пт -х1т = 0, откуда хпт = ^-¿[пт .

Анализ решения. Распространяющиеся азимутальные гармоники. При отсутствии джоулевых потерь критическим значением продольного коэффициента распространения является хпт = 0 . При этом кп = пт = Vпт1а , т. е. критическое значение кп зависит от

кр кр кр

номера азимутальной гармоники т. Обозначим его через кпт = 2тс/Хпт , где Хпт - кри-

кр / кр кр

тическая длина волны азимутальной гармоники. С другой стороны, кпт = &0пт /Уф +

кр кр / т

+ пЦ/Уф = 0пткр + пЩУф , где ®0пткр и ^0пткр - критические частота и длина волны генератора соответственно. При этом кпт^^ = 2тсу^0пт]ф + пЩУф =vnm|a . Отсюда определим критические длину волны и ее частоту: X0пткр = 2тс/(V пт - пРа); Ра = Оа/уф; ®0пткр = VфVпт/а - пЦ.

Поэтому парциальные Нпт -волны, распространяющиеся в направлении возрастающих значений г и ф (т. е. при п > 0 в (9) и в (10)), имеют следующие критические длину

волны и частоту: X

0|

п тк

= vnm " „Ра ; и

0пт„

= гфУ

фу пт

1а _ пО, а парциальные волны,

распространяющиеся вдоль возрастающих значений г, но при уменьшающихся ф (при п < 0 ), имеют следующие критические длину волны и частоту: X- |п|т = 2ла/У|п|т + |п| Ра ,

и0пткр = гфУ„

1а + \п\ О.

Обозначим длину волны в волноводе через Xв пт (при Х0 < Х+„т ). Тогда

кр

Хв пт = 2л/Х„т = 2л/_ пт = Хп/V1 _(уптХт/2™)2 .

где хп = vф//п; /„ = /0 + ^; /0 = и0/2^; F = О/2^.

Фазовая скорость г-ф пт = ип/Хпт = гф /^-{^^пт^п) = гф /^ -(УптХп/2ла)2 .

Если определить групповую скорость азимутальных гармоник выражением V

гр пт

_1 1 I 2

= (ёХптМи0) и Учесть, что ¿к^йи0 = гф , то ггр „т = гф V1 _(Упт К/2™) . Поэтому

= 2 = 2 / с с

ггр птгф пт = гф = с / 8 М^ .

Таким образом, критическая длина волны, длина волны, фазовая и групповая скорости парциальных Нпт -волн, распространяющихся вдоль вращающегося волновода, зависят от частоты его вращения. Гармоники, распространяющиеся по часовой стрелке и против нее, имеют разные длины волн, разные фазовые и групповые скорости в волноводе (причем фазовые скорости больше, а групповые - меньше скорости света). Вычислим разность фаз АФпт двух пространственных гармоник, распространяющихся в противоположных относительно орта 1ф направлениях. Считаем, что а » Х0 , поэтому

^а » 1 и длина волны генератора значительно меньше критической длины волны Нпт -

2 „ ,.2

+1 „

типа, т. е. Х0 « X,

^0 \п\т , отсюда k_Lпт « k+„| при Ра = ОаДф « 1. В этих условиях на длине L имеем фазовый набег

АФпт =(х+|„|т _Х_|„|т)L = {^к

■\п\т )L = |\/Ч\„\ Ч_пт „ Ч_пт 'L =

1 _1Г пт

2

Л2

V Чп\ У

_ Ч

1_1Гпт

2

V

V „ у

L Лр^ = ^^L. гф Х0гф

Если задать длину L равной длине окружности волновода, т. е. L = 2тса, то эта формула совпадает с формулой (1).

Нераспространяющиеся пространственные "волны". Парциальные волны. В

условиях опытов Гарреса, Саньяка и Погани и др. пространство, в котором распространялась волна, ограничено цилиндром, однако ЭМ-поле вдоль оси цилиндра не распространялось (перенос ЭМ-энергии вдоль трубы был исключен). Таким образом, труба использо-18

+

валась как "запредельный" волновод. В данном случае Х0 > X0пт , поэтому хпт = -,х"пт,

кр

гг /2 2

где хПт = \ кхпт - кп , причем амплитуды продольных составляющих вектора Hz пт в

соответствии с (10) определены как Hz пт (p) = emotanmAnme~mфJn (кхптт) е_хт.

Они затухают вдоль оси г по экспоненциальному закону. Наибольшими по амплитуде являются азимутальные гармоники с индексами п = N и т = М , соответствующими критическому случаю х"пт = Vк±пт - к« = 0 , при котором ехр (-х"птг) = 1, т. е. при

kN = кхММ . (11)

Определим сдвиг фаз полей парциальных волн. Выражение (11) означает, что коэффициент распространения в поперечном направлении кХ^м парциальных азимутальных гармоник с индексом п = N равен к^, а коэффициент распространения парциальных

азимутальных гармоник с отрицательным индексом п = -1N равен = к-|N . Волны

парциальных азимутальных гармоник с положительным и с отрицательным индексами при проходе в поперечном направлении пути длиной L получают разность фаз

Афм = -ЩN ={4уф)(ю1N -ю-1 N) = (^уф)21 ^П.

Для парциальных волн, падающих в поперечной плоскости на поверхность цилиндра под углом к нормали в точке падения, мало отличающимся от тс/2, имеем L « 2тса . Поэтому

АФNтах =(4тс^Уф)|N П, (12)

причем при вращениях трубы по часовой стрелке и против нее разность фаз имеет разный знак. Определим значение N1, соответствующее критическому случаю. Из (11)

имеем к^ = ^^ + ЫЦУф, где к0кр = (^0/Уф ) . Тогда к^ =vnm|a + N1ЦУф . Умножив

это выражение на а, получим (^а= vnm + N1 Ра. При |п| = N1» 1 приближенным зна-

13

чением первого корня vnl является [10]: vnl « п + 0.8086п' . Подставив это значение в предыдущее выражение, получим уравнение для определения N N + 0.8086п' + N Ра « к0а. В первом приближении при ^а » 1, Ра « 1 получим

N1 ~ к0а. Подставив это значение в (12) и обозначив тса2 = 50, имеем АФN тах *[8тс50/(УфХ0 ЦП .

Определим второе приближение индекса N1. Аргумент функции Бесселя Jn (к±пта) в (10) в критическом случае при т = а равен кхмма . Асимптотическое значение этой функции на уровне к определяется при N1» 1, кхмма ^ 1 выражением N = vккхмма = vк (к0а + КРа ), откуда получим N1 = vк^а/(1 - vKРa ) , причем коэффициент vк > 1 [9]. Подставив значение NI в (12), получим

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5======================================

ДФ N

max _ vk {8^0/ [(1 ) уфХ0 .

Это значение разности фаз больше вычисляемого по формуле (1). Оно согласуется с результатами опытов Мачека и Девиса, полученными с помощью вращающихся лазеров [11]. На основании изложеного можно сделать следующие выводы.

В случае распространяющихся вдоль волновода Hnm -волн все параметры ЭМ-поля

(критическая длина волны, длина волны, фазовая и групповая скорости) зависят от его частоты вращения, так как на ЭМ-поле, переносящее энергию вдоль волновода, влияют возникающие из-за вращения трубы гравитационные силы в виде центробежных сил и сил Кориолиса.

ЭМ-Поле нераспространяющихся пространственных гармоник представляет собой наложение парциальных волн, переотражающихся между стенками трубы и имеющих поперечный коэффициент фазы, зависящий от частоты вращения трубы, что приводит к фазовому сдвигу между этими волнами.

Задача о вращающемся интерферометре в настоящей статье решена строго на основе электродинамики. Это решение дало возможность количественно описать ЭМ-явления во вращающихся волноводах и установить зависимости параметров ЭМ-поля от частоты вращения. Результаты, изложенные в настоящей статье, получены без использования понятия эфира или некорректных предположений о скорости распространения ЭМ-поля.

Список литературы

1. Vildiz A., Tang G. H. Electromagnetic cavity resonances in accelerated systems // Phys. rev. 1966. Vol. 146, № 4. P. 2100-2111.

2. Post E. J., Vildiz A. Cavity resonances in accekrated systems. // Phys. rev. let. 1965. Vol. 15, № 5. P. 410-416.

3. Зоммерфельд А. Оптика. М.: Иностр. лит., 1953. 486 с.

4. Вавилов С. И. Собрание сочинений. Т. 4: Экспериментальные основания теории относительности. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 470 с.

5. Белоногов А. М. Электромагнитные колебания в объемном резонаторе во вращающейся системе отсчета // ЖЭТФ. 1969. Т. 39. Вып. 7. С. 1170-1176.

6. Хромых А. М. Кольцевой генератор во вращающейся системе отчета // ЖЭТФ. 1966. Т. 50. Вып. 1. С. 716-721.

7. Логунов А. А., Чугреев Ю. В. Специальная теория относительности и эффект Саньяка // Успехи физ. наук. 1988. Т. 156. Вып.1. С. 137-143.

8. Заказчиков А. И. Возвращение эфира. М.: Изд-во «Компания "Спутник+"», 2001. 228 с.

9. Петров Б. М. Прикладная электродинамика вращающихся тел. М.: Горячая линия - Телеком, 2009. 288 с.

10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. 2-е изд. М.: Наука. 1968. 344 с.

11. Masek W. M., Devis D. T., jr. Rotating note sensing with traveling - wave ring lasers // Appl. phys. let. 1963. Vol. 2. P. 67-68.

B. M. Petrov

Taganrog technological institute of South federal university

Waves in the rotating waveguide. Sagnac effect

Problem of an occurrence of magnetic wave in the rotating cylindrical is solved. Effects of wave-length, phase and envelope velocities ofpropagating partial harmonics dependence on rotating frequency of waveguide and effects ofphase and envelope velocities of re-reflected in the transverse section partial harmonics independence on rotating frequency of waveguide are found out. A strictly valid formula for the phase difference between partial harmonics with a view to estimation of Sagnac experiments results is determined.

Sagnac effect, rigorous theory, new effects

Статья поступила в редакцию 13 августа 2009 г.