Банк цифровых фильтров для многоканальной системы связи с частотным разделением каналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

\ У' Теория сигналов

УДК 621.396.6

В. И. Гадзиковский

Уральский государственный технический университет - УПИ

Банк цифровых фильтров для многоканальной системы связи с частотным разделением каналов

Рассматривается банк цифровых фильтров для приемной части многоканальной цифровой системы связи с частотным разделением каналов с применением квадратурно-зеркальных фильтров, построенных на основе биортогональных вейвлет-преобразований.

Банк фильтров, многоканальная система связи, вейвлет-преобразование, квадратурно-зеркальный фильтр, элайзинг

Спектр Sx вещественного группового сигнала х [п] (п - дискретное время) в системе связи с частотным разделением каналов (ЧРК) представляет собой L неперекрывающихся полос с защитными промежутками между ними (рис. 1).

Канальные ЦФ Н1, I = 1, L , являются полосовыми цифровыми фильтрами-демодуляторами (ЦФДм), настроенными на канальные поднесущие Wl, I = 1, L , которые с помощью квадратурных демодуляторов трансформируют спектры узкополосных канальных сигналов Х1 [п], I = 1, L , в низкочастотную (НЧ) область. Варианты построения ЦФДм, приведенные в [1], показаны на рис. 2, а и б.

В первом варианте (рис. 2, а) частотная селекция осуществляется с помощью канального цифрового полосового фильтра (ЦПФ1). Спектр выделенного канального сигнала Х1 [п], I = 1, L , переносится на низкую частоту, в результате чего формируется его комплексная огибающая у [п], I = 1, L . Во втором варианте (рис. 2, б) частотной селекции сигнала 1-го канала предшествует преобразование частоты входного сигнала х [ п] посредством умножения его отсчетов на дискретную комплексную функцию ехр (^1п), где w = - нормированная "цифровая" частота; fд - частота дискретизации. При этом

спектр 1-го канального сигнала переносится в низкочастотную область, а последующий комплексный цифровой фильтр нижних

S ■

частот (ЦФНЧ1) выделяет комплексную огибающую У1[ п] канального сигнала х1 [п], I = 1, L .

© Гадзиковский В. И., 2009

Wl W2 wз W4

Рис. 1

м>ь ж

0

w

Автором настоящей статьи предложен третий вариант построения ЦФДм (рис. 2, в), в котором одновременно с формированием спектров канальных сигналов осуществляется разделение их комплексных огибающих на квадратурные компоненты:

У1 [п] = У1 с [п] + [п], I = 1, L . НЧ-Фильт-рация квадратурных компонентов выполняется с помощью квадратурно-зеркальных фильтров (КЗФ). Для этой цели могут быть использованы вейвлет-фильтры на биорто-гональных парах, описанные в [2].

Предложенная схема является, по существу, частным случаем схемы на рис. 2, б с тем отличием, что вместо комплексного цифрового ФНЧ используются квадратурно-зеркальные фильтры (КЗФ), содержащие НЧ- и ВЧ-каналы анализа и реконструкции сигналов, что обеспечивает гладкость АЧХ и большее подавление в полосах задерживания. Тем самым практически устраняется межканальная интерференция.

Вариант банка ЦФ для приемной части многоканальной системы связи с ЧРК при использовании КЗФ для НЧ-фильтрации комплексных огибающих канальных сигналов приведен на рис. 3.

Ширина спектра комплексной огибающей канального сигнала У1 [ п], а следовательно, и его квадратурных компонентов У1 с [п] и У15 [п], I = 1, L , значительно меньше ширины спектра группового сигнала х [п], поэтому частоту дискретизации сигналов на выходе ЦФДм снижают в V раз с помощью компрессора частоты дискретизации (КЧД) X V, причем коэффициент компрессии V определяется соотношением ширины спектров группового и канального сигналов.

Извлечение информации ^ из комплексных огибающих канальных сигналов на выходах КЗФ У1 [т] = Ус [т] + уу^ [т], I = 1, L; т = п/V, в зависимости от применяемого вида модуляции осуществляется с помощью цифровых детекторов (ЦД) соответствующих типов. Варианты построения ЦД - амплитудных, частотных, фазовых и др. рассмотрены в монографии автора [3].

Схема, изображенная на рис. 3, пригодна и для случая, когда групповой сигнал является комплексным: х[п]. При этом спектры полосовых сигналов несимметричны относительно соответствующих несущих (поднесущих). Возможны также различные варианты пирамидальной [1] и конвейерной [4] структур ЦФДм.

у1[п]= ■► = У1с [п] + уУЫ [п]

в

Рис. 2

а

б

:Ы

(w1n) ЦФДм1 У1с [п]

КЗФ

I

КЗФ

У1з уп

[п]

sin ( Wln )

сов (w2n) ЦФДм2 У2с [п]

КЗФ

КЗФ

У2з[п]

iп ( W2n )

у1с [т]

[т]

ЦД1

У1з 1т

у2с [т]

у2з [т]

ЦД2

Л

сов (wмn) ЦФДмМ УМс [п]

КЗФ

I

КЗФ

УМз [п]

1( ^п)

уМс [т]

уМз [т]

ЦД М

ХМ

Рис. 3

Традиционное построение цифровых систем многоканальной цифровой связи при использовании ДПФ в канальных фильтрах [5], [6] приводит к значительному элайзингу (межканальным помехам), что обусловлено относительно большим уровнем боковых лепестков амплитуно-частотных характеристик (АЧХ) (первый лепесток лишь на 13 дБ ниже основного [5]). В системе цифровой связи, построенной с применением КЗФ, элайзинг практически отсутствует.

Рассмотрим особенности КЗФ, структурная схема которого изображена на рис. 4, где символом Т 2 обозначен двукратный экспандер, входной сигнал х [п] и выходной сигнал х [ п] представлены их г-образами X (г) и X (г) соответственно, а блоки ЦФ - передаточными функциями Н (г), Н (г), О (г) и О (г), т. е. z-образами их импульсных характеристик к [п], к [п], £ [п] и £ [п] соответственно. КЗФ представляет собой двухканальную систему анализа - синтеза, состоящую из низкочастотного (фильтры Н и Н ) и высокочастотного (фильтры О и О ) каналов.

Наиболее полно характеристики КЗФ описаны в [2]. Рассмотрим их. Импульсные характеристики блоков КЗФ удовлетворяют соотношениям

к [п] = к [-п]; £ [п] = £ [-п], (1)

т. е. соответствующие импульсные характеристики являются зеркальными. В связи с этим система, состоящая из четырех ЦФ (см. рис. 4) с импульсными характери-

X (г)

Н (г) I 2 Т 2 Н (г)

О (г) I 2 Т 2 О (г)

Рис. 4

I

X

х

V

1

I

X

V

I

X

X

V

2

I

X

V

I

X

V

I

X

V

стиками h [п], h [п], £ [п] и £ [п], и получила название КЗФ.

Описание КЗФ базируется на идее кратномасштабного анализа (КМА) и вытекающего из него вейвлет-преобразования. Под КМА понимается описание гильбертова пространства 1} (R) через иерархические вложенные друг в друга замкнутые подпространства ¥т (т е I), отличающиеся друг от друга перемасштабированием независимой переменной (Я и I - множества действительных и целых чисел соответственно). Эти подпространства должны обладать следующими свойствами:

1. Подпространства вложены: Ут е I: ¥т е ¥т+1.

2. Для любой функции х(г)е¥т ее масштабное преобразование в два раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

Ут е I: х(г) е ¥т о х(2*) е ¥т+1 х(г)е ¥т о х(г/2) е¥т_. (2)

3. Существует некоторая функция ф (г) = фо (г) е ¥д, целочисленные сдвиги которой

по аргументу |фо k (г _ k)| е ¥о образуют ортонормированный базис подпространства ¥о.

Функция фо (г) называется масштабирующей, или скейлинг-функцией, а иногда - "отцовским" вейвлетом.

Из этих условий следует, что если подпространство ¥о имеет ортонормированный базис фо k (г) , то и все остальные подпространства ¥т (т е I) также имеют ортонорми-рованные базисы, которые образуются масштабным преобразованием фо k(г):

фтк (г) = 2т2ф (2тг _ k)е ¥т, т, k е I.

Поскольку ¥о е ¥\, масштабирующую функцию ф(г) = фо о (г)е¥о можно представить в виде разложения по базису k (г) = >/2ф (2г _ kе ¥\\

ф(г) ^л/2 £ кф (2г _ k), (3)

kеZ

где hk = ^ф,ф1 к); (',') - символ скалярного произведения.

Уравнение (3) называется масштабирующим, решение которого дает скейлинг-функцию. В более общем виде его можно записать следующим образом:

фт,о (г) = £ Кфт +1,к (г) . (4)

ке2

Обозначим через Wm подпространство вейвлетов - ортогональное дополнение подпространства ¥т до ¥т+1: ¥т е

Wm ¥т+1; ¥т ^ Wm .

Одно из основополагающих утверждений КМА состоит в том, что для масштабирующей функции (3) найдется функция г)е^, называемая базисным, или "материн-

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5

ским" вейвлетом, такая, что множество функций уm k (t) = 2m' у ( 2m, - k ) œ Wm , m, k g Z образует ортонормированный базис в подпространстве Wm .

При этом подпространства вейвлетов Wm (m g Z) наследуют масштабирующее свойство 2 КМА, аналогичное (2), а именно:

Vm g Z : х ( t )eWm о x ( 2t )g Wm+1; x ( t )g Wm о x ( t/2 )eWm

Так как Wq œ Vi, то "материнский" вейвлет также можно представить через базис {ф1,k(t) = >/2ф(2t - k)}kGZ œ Vi :

у(t) = ylï £ gk4 (2t - k) . (5)

kGZ

Уравнение (5) называется масштабирующим для вейвлетов и по аналогии с (4) может быть записано в более общем виде следуюЩим образом: Уm,0 (t) = £ gk9m+1,k ( t ),

kGZ

где gk = (уm,0,9m+1,k) = (У,Ф1,k) .

Скейлинг-функция, т. е. масштабирующая функция ф ( t ), порождает КМА при вых

полнении условия J ф (t) dt = 1. Напротив, для вейвлета у(t) необходимо выполнение

—х

х

требования J у ( t ) dt = 0.

-х

Разложение функций в вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения m' выполняется по следующей формуле1:

х ( t )= £ cm',k 9m',k ( t )+ £ dm, k У m,k ( t ) , (6)

kGZ m> m ', kGZ

хх

где cm ' ,k = ( х,Фтл) = J x (t) Фm, k (t) dt ; dm,k = ( X У m, ^ = J x ( Z )у m,k (t) dt.

-х -х

Первая сумма в (6) содержит усредненные значения функции x (t) с весовыми

функциями фm k (t) на диадных интервалах [k • 2—m, (k +1)- 2—m ], а вторая - значения флуктуаций на данных интервалах. По мере возрастания значения m длина интервалов уменьшается и уровень детализации функции x (t) увеличивается. На самом детальном уровне m = mmax = M ряд представлен только скейлинг-функцией и в пределах точности

разложения практически совпадает с исходной функцией: x(t) = £ Cm kФм k ( t ).

kGZ

На низшем уровне разрешения (на наиболее широких интервалах) первая сумма (6) содержит всего одно усредненное взвешенное значение сигнала, а вторая сумма показыва-

1 См. Давыдов А. В. Вейвлетные преобразования сигналов // URL: http://prodav.narod.ru/wavelet/app/wavelet.zip

ет флуктуации на всех без исключения уровнях. При каждом увеличении номера масштабного коэффициента т на единицу т = ( 0, М ) количество членов первой суммы ряда (6) на единицу увеличивается, а второй суммы - на единицу уменьшается (при сохранении общего числа членов разложения). Таким образом, выражение (6) показывает возможность аппроксимации произвольной функции х (1) набором простых локальных функций Фт k (1) и Vт k (1) , ортогональных при разных значениях т и полностью покрывающих

пространство 1} (R) за счет смещений k . Переход от т к т +1 эквивалентен замене 1 на 21, т. е. перемасштабированию функций фт k (1) и ут ^ (1) . Первая сумма в (6), т. е.

сумма скейлинг-функций, дает "сглаженные средние" значения функции х (1) на разных масштабных уровнях; вторая сумма, т. е. сумма вейвлетных функций, добавляет к "грубой" аппроксимации сигнала все более подробные детали на все более меньших масштабных интервалах2.

Из формулы (6) следует, что представление функции хт (1) е Ут в виде хт (1) = = хт-1(1) + ут-1(1), где хт-1(1 )е¥т-1, ут-1(1 )еЖт-1, соответствует разделению сигнала хт (1) на две составляющие: низкочастотную хт-1(1) и высокочастотную ут-1(1) . Поэтому в паре фильтров, осуществляющих такое разделение сигнала, ЦФ с импульсной характеристикой к [п] = к-п = к [-п] должен быть низкочастотным, а ЦФ с импульсной характеристикой £ [ п] = £-п = £ [-п] - высокочастотным, что отражено в структуре КЗФ на рис. 4.

Учитывая соотношения (1), исследуем, как связаны между собой частотные характеристики и передаточные функции КЗФ.

Для низкочастотного ЦФ с вещественной импульсной характеристикой к [п] = кп

х>

комплексная частотная характеристика Н (е^ ) = ^ к (k) е~^ , а для зеркального ЦФ

k=-го

/ \ ж ж / \ Н (е^ )= 2 к (^) е-^ = 2 к (k) е^ = Н (е-^ ) . (7)

k=-го k=-го

Аналогично, для высокочастотного ЦФ с вещественной импульсной характеристи-

х>

кой £[п] = комплексная частотная характеристика О (е^ )= 2 £ (k) е~^ , а для

k=-го

зеркального ЦФ

/ \ ж ж / \ О(е^)= 2 £е= 2 £^)еМ = О(е) . (8)

k=-го k=-го

2 См. Давыдов А. В. Вейвлетные преобразования сигналов // URL: http://prodav.narod.ru/wavelet/app/wavelet.zip 8

Отсюда следует, что АЧХ зеркальных ЦФ (низкочастотных и высокочастотных соответственно) одинаковы, а фазочастотные характеристики (ФЧХ) отличаются знаком. В соответствии с выражениями (7) и (8) передаточные функции зеркальных ЦФ связаны между собой соотношениями

Н ы = Н (г~1); О ы = О (г~1). (9)

Наиболее полное исследование свойств КЗФ проведено в работе [2] исходя из анализа масштабирующих уравнений скейлинг-функций (3) и вейвлетов (5). Приведем основные результаты, полученные в [2], используя обозначения для комплексных частотных характеристик, принятые в [3].

1. Условия точного восстановления сигнала на выходе КЗФ: • в терминах передаточных функций \Н ( г ) Н ( г ) + О( г ) О ( г ) = 2, [Н (-г ) Н ( г ) + О (-г ) О ( г ) = 0

или с учетом выражений (9) Н ( г _1) Н ( г ) + О ( г _1) О ( г ) = 2,

<

Н ( г _1) Н ( г ) + О ( г _1) О ( г ) = 0;

• в терминах комплексных частотных характеристик

\Н ( е^ )|2 + О ( е^ )|2 = 2,

[Н* [е ^] Н (е^ ) + О* \_е>(] О (е^ ) = 0.

2. Связь характеристик фильтров низких и высоких частот в структуре КЗФ (см. рис. 4):

• в терминах импульсных характеристик

8п = а/1-п-2k (-1)1-" , 00)

где k е 2 и множитель а = е%т е {-1, 1} выбираются одними и теми же для всех значений индекса п е 2 ;

• в терминах передаточных функций

О Ы = аг^-1Н (-г"1); (11)

• в терминах комплексных частотных характеристик

О(е^) = ае^(и-1)* \_е>(^+л)] . (12)

Отметим, что формулы (10)—( 12) получены из условия точного восстановления сигнала на выходе КЗФ: х [ п] = х [ п].

С учетом отмеченных особенностей запишем выражение для передаточной функции КЗФ (см. рис. 4) при выполнении условий точного восстановления сигнала на выходе:

Т (г) =1 {Н (г) Н (г) + О (г) О (г)} =1 {н (г-1) Н (г) + О (г-1) О (г)} . 2 2

Аналогичное выражение можно получить для комплексной частотной характеристики КЗФ:

T (ejw ) =1 {я ( e-jw ) H ( ejw ) + G ( e-jw ) G ( ejw )}. (13)

Модуль комплексной частотной характеристики КЗФ можно выразить через характеристики НЧ-фильтров анализа H и реконструкции H следующим образом [7]:

T(ejw )| = \н (ejw )H (ejw ) - H [ej(w+^ ] [ej(w+^ ]|. (14)

Рассмотрим в качестве НЧ-фильтров в составе КЗФ биортогональную пару линейно-фазовых нерекурсивных ЦФ (с линейными ФЧХ) нечетной длины Lн, процедура расчета

которых основана на фиксировании числа нулей передаточной функции на частоте w = л, что приводит к максимально плоским АЧХ фильтров.

Комплексная частотная характеристика симметричного линейно-фазового ЦФ нечетной длины Lн может быть представлена в виде комбинации косинусных функций [3]:

/ ■ ч L -1 . „ J M н -1

H (ejw )= 2 hne~jw = e-JwMн J hM^ + 2 £ hn cos [w (MH - n)]'

n=0 I n=0

Mн -1

= e- jwMH

n=0

= e J ""н 2 Cn cos(wn),

hM n = 0;

где MH =(LH -\) 2; Cn = j

[2hMH -n, n = 1, MH.

Из равенства (13) можно получить пару фильтров при следующих ограничениях на свойства ЦФ [7]:

1) симметрии ЦФ в сочетании с их нечетной длиной Lн и

2) определенном (четном) числе нулевых моментов АЧХ фильтров на частоте, равной половине частоты дискретизации w^2 = л .

Поэтому, если на частоте w^/2 = л функции H (eJw ) и H ( eJ ) имеют 2k и 2k нулей соответственно, то из (14) получим [7]:

H (ejw ^ = [1 + cos (w)]k Q [cos (w)]; (15)

H (ejw )| = [1 + cos (w)]kQ [cos (w)],

где Q [cos (w)] и Q [cos (w)] - полиномы от cos (w). Подставив (15) в (14), найдем:

[1 + cos (w)]m Q [cos (w)] Q [cos (w)] + [1 + cos (w)]m Q [- cos (w)] Q [- cos (w)] = 1, (16) где m = k + k .

Удобно записать выражение (16) в виде полинома от х = sin2 (w/ 2) [7]:

(1 - x)mP (х) + xmP (1 - х) = 1. (17)

Далее задача состоит в нахождении полинома Р (х) , который удовлетворяет уравнению (17), и факторизации функции

(1 - х)т Р ( х) = Н (е^ ) Н (е^ ) (18)

на две составляющие, в результате чего будут получены характеристики пары био-ртогональных фильтров [2].

Согласно теореме Безу [8] существует единственный полином Р (х) степени меньше т , являющийся решением уравнения (18). Записав это уравнение в виде

Р ( х) = (1 - х)-т - хт (1 - х)-т Р (1 - х) ,

можно разложить его правую часть в ряд Тейлора. Поскольку Р (х) имеет максимальную степень т -1, в разложении будут участвовать только т первых членов. Поэтому решение уравнения (17) будет иметь вид [7]:

p (x )=Е

m- Y m —1 + i ^

x'

i=0

Подставив данное решение в (18) и записав вместо аргумента x выражение sin2 (w/ 2), получим

(\ / \ m—1 ^ m — 1 + i ^

j) H (ejw ) = [cos (w/2)]¿ . sin2' (w/2). (19)

i=0 V i J

Дальнейший расчет пары биортогональных фильтров заключается в факторизации - выборе степеней гладкости k и k для фильтров декомпозиции H и реконструкции H соответственно и в разделении правой части (19) на две функции. При факторизации (19) комплексные частотные характеристики каждого из двух фильтров H и H имеют свои косинусные члены (при этом обычно выбирают k = k ), а сумма квадратов синусов делится на две части.

Поскольку биортогональная пара ЦФ имеет два различных НЧ-фильтра, необходимо решить, какой из них включить в секцию анализа H, а какой - в секцию синтеза H (см. рис. 4). Обычно в секцию синтеза включают ЦФ с более гладкой характеристикой, что приводит к менее заметным ошибкам квантования.

Пример. Используя изложенную методику, синтезировать КЗФ на паре биортогональных нерекурсивных линейно-фазовых ЦФ, полагая в формулах (15) k = k = 4 (при

этом m = k + k = 8).

Сумма квадратов синусов в выражении (19) равна

1 + 8x2 + 36x4 +120x6 + 330x8 + 792x10 +1716x12 + 3432x14 .

Возможны различные варианты факторизации этого полинома и, следовательно, различные варианты фильтров. Кроме тривиального варианта (0, 14) возможны варианты (2, 12), (4, 10) и (6, 8), где цифры в скобках обозначают порядки соответствующих полиномов после факторизации.

С помощью системы Mathcad получено следующее разбиение на два полинома (6, 8):

\И\

1.2

0.6

\н\

T(ejw)

T(ej0 )

- 25-

- 50-

- 75

- 3 - 2

- 1 0 Рис. 5

w

- 2

- 1 0 Рис. 6

w

(1.752 + 8.816х2 + 27.219 х4 + 6б.41х6 )( 0.

571 +1.694х2 + 3.156х4 + 4.658х6 + 51.679х8) .

После факторизации запишем выражения для псевдоАЧХ функций передачи H (ejw ) и H (ejw ) (19):

H ( ejw ) = cos8 ( w/ 2 ) [1.752 + 8.816sin4 ( w/ 2 ) +

+27.219sin8 (w/ 2) + 66.41sin12 ( w/ 2 )]; (20)

H ( ejw ) = cos8 (w/ 2 ) [0.571 +1.694 sin4 ( w/ 2 ) +

+3.156 sin8 (w/2) + 4.658sin12 (w/2) + 51.679 sin16 (w/2)

.16,

(21)

АЧХ фильтров Н и Н, построенные по формулам (20) и (21) с помощью системы Mathcad, изображены на рис. 5.

По формуле (14) рассчитан модуль функции передачи КЗФ, проведена его нормировка по значению Т (е^): \т(е^)/Т( в} )\, а также построена логарифмическая АЧХ

20^ \т(е^ )/Т(в!0 )\ (рис. 6).

Из рис. 6 видно, что на частотах > ^д/4 = тс/2 затухание в КЗФ превышает 70 дБ,

поэтому применение таких фильтров в многоканальных системах связи с частотным разделением каналов позволяет получить очень малый уровень межканальной интерференции (малый элайзинг). Это обусловлено, во-первых, отсутствием у КЗФ боковых лепестков АЧХ и, во-вторых, большим затуханием в полосах задерживания.

Список литературы

1. Витязев В. В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993. 240 с.

2. Умняшкин С. В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов: Учеб. пособие. М.: Изд. дом "ФОРУМ": ИНФРА-М, 2008. 304 с.

3. Гадзиковский В. И. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. М.: Радио и связь, 2004. 344 с.

4. Азаренков Л., Канатов И., Каплун Д. Методы построения банка цифровых фильтров: конвейерное частотное преобразование и взвешенное перекрывающееся сложение // Современная электроника. 2008. № 3. С. 48-51.

5. Прокис Дж. Цифровая связь. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.

6. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. М.: Изд. дом "Виль-ямс", 2004. 1104 с.

7. Воробьев В. И. Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. 204 с.

8. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в МА^АВ. М.: ДМК, 2005. 304 с.

0

1

1

2

V. I. Gadzikovsky

Ural state technical university - UPI

Digital filter bank for multi-channel communication with channel frequency separation

Digital filter bank of bi-orthogonal wavelet transform based quadrature-mirror filter for receiving part of a multichannel digital communication system with channel frequency separation is observed.

Filter bank, multi-channel communication, wavelet transform, quadrature mirror filter, aliasing Статья поступила в редакцию 24 июля 2009 г.

УДК 538.3(075.8)

Б. М. Петров

Таганрогский технологический институт Южного федерального университета

| Волны во вращающемся волноводе. Эффект Саньяка

Приведено решение задачи о возможности существования волны магнитного типа во вращающемся цилиндрическом волноводе. Установлены эффекты зависимости длины волны, фазовой и групповой скоростей распространяющихся парциальных гармоник и независимости фазовой и групповой скоростей переотражающихся в поперечном сечении парциальных гармоник от частоты вращения волновода. Строго определена применяемая для оценки результатов опытов в эффекте Саньяка формула для разности фаз парциальных гармоник.

Эффект Саньяка, строгая теория, новые эффекты

Задача о возможности существования направляемых электромагнитных (ЭМ) волн во вращающемся волноводе имеет принципиальное значение для обоснования главных положений электродинамики общей теории относительности (ОТО). Она ставилась в ряде работ, поскольку результаты ее решения необходимы и для объяснения опытов над ЭМ-полями в различного рода интерферометрах [1]-[4], и для расчета лазеров с вращающимися резонаторами [5], [6]. Решения задач получены на основе разного рода допущений, так как ковариантная формулировка уравнений электродинамики либо не применялась [3], [6], либо при ее применении использовались различного рода приближения.

Сложность постановки и решения граничных задач о возможности распространения направляемых ЭМ-волн во вращающихся волноводах связана с тем, что вращающая система отсчета (СО) является неинерциальной, центробежные силы и силы Кориолиса в ней влияют на распространяющееся ЭМ-поле, имеющее инертную массу. Поэтому параметры ЭМ-поля во вращающихся и "неподвижных" (инерциальных) системах отсчета различаются.

В опытах Гарреса, Саньяка и Погани (см. рисунок) интерферометр с приборами вращался с постоянной угловой частотой Q вокруг общей оси, а световой пучок распространялся по замкнутой ломаной линии, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Световой луч, выходящий из источника, разделялся на два луча в точке полупрозрачным зеркалом З1, расположенным под углом 45° к направлению распространения пучка. Оба луча в противоположных направлениях проходили по одному и тому же оптическому © Петров Б. М., 2009 13