Волны Рэлея на гладкой кривой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.62669/17270227.2024.3.36

УДК 539.3:534.2

2.2.8 - Методы и приборы контроля и диагностики материалов, изделий, веществ и природной среды (технические науки)

Волны Рэлея на гладкой кривой поверхности С. В. Леньков

Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Россия, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

Аннотация. Разработана модель описывающая распространение поверхностных волн на гладких криволинейных поверхностях. Данная модель разработана с использованием гиперболического волнового уравнения и применима для исследования распространения поверхностных волн на любой кривой поверхности, описываемой связанной ортогональной криволинейной системой координат и при любых значениях произведения волнового вектора на радиус кривизны. Проведено моделирование поведения волн Рэлея на канонических криволинейных поверхностях (цилиндр, шар), и результаты используются для количественной оценки влияния кривизны на скорость волн Рэлея. Условием существования волны Рэлея является действительность значений волновых векторов К, получаемых из дисперсионных уравнений. Действительные значения волновых векторов К определяют волны, распространяющиеся по поверхности без уноса энергии в глубь тела. Скорость поверхностной волны увеличивается с увеличением кривизны вогнутой поверхности, и уменьшатся на вогнутой поверхности. Волна Рэлея имеет ограниченный рост при уменьшении положительного радиуса кривизны. При положительных значениях радиуса кривизны (внешняя поверхность) при уменьшении радиуса наблюдается максимум, а далее происходит уменьшение скорости волн и наблюдаются изломы кривых при отрицательной кривизне (внутренняя поверхность), что связано с резонансом по окружности огибающей цилиндра или большого круга сферы.

Ключевые слова: кривизна поверхности, радиус кривизны, ортогональная криволинейная система координат, волна Рэлея.

Н Сергей Леньков, e-mail: emp@udman.ru

Rayleigh waves on a smooth curved surface Sergey V. Lenkov

Udmurt Federal Research Center UB RAS (34, T. Baramzina St., Izhevsk, 426067, Russian Federation)

Summary. A model has been developed that describes the propagation of surface waves on smooth curved surfaces. This model is developed using the hyperbolic wave equation and is applicable to studying the propagation of surface waves on any curved surface described by a related orthogonal curvilinear coordinate system and for any values of the product of the wave vector and the radius of curvature. The behavior of Rayleigh waves on canonical curved surfaces (cylinder, sphere) is simulated, and the results are used to quantify the effect of curvature on the speed of Rayleigh waves. The condition for the existence of a Rayleigh wave is the validity of the values of the wave vectors K obtained from the dispersion equations. The actual values of the wave vectors K determine the waves propagating along the surface without carrying the energy deep into the body. The speed of the surface wave increases with increasing curvature of the concave surface, and decreases on the concave surface. The Rayleigh wave has limited growth as the positive radius of curvature decreases. At positive values of the radius of curvature (outer surface), as the radius decreases, a maximum is observed, and then the speed of waves decreases and breaks of curves are observed at negative curvature (inner surface), which is associated with resonance along the circumference of the envelope of a cylinder or great circle of a sphere.

Keywords: surface curvature, radius of curvature, orthogonal curvilinear coordinate system, Rayleigh wave.

Н Sergey Lenkov, e-mail: emp@udman. ru

ВВЕДЕНИЕ

Упругие поверхностные волны являются предметом интенсивных исследований, они не переносят энергию в глубь среды и существуют на границе за счет взаимодействия продольной и поперечной волн. Поверхностная волна Рэлея исследована для случая границы идеального упругого полупространства. При этом волна существует при любых параметрах среды. Ее фазовая скорость определяется из дисперсионного соотношения [1], которое зависит только от коэффициента Пуассона среды. Взаимодействие волн Рэлея с малыми неоднородностями в упругом полупространстве рассмотрено в работе [2]. В последнее время волны Рэлея нашли применение в ультразвуковой неразрушающей оценке конструкций с криволинейными поверхностями [3,4,5]. Хорошо известно, что волны Рэлея способны практически беспрепятственно распространяться вокруг гладкого изогнутого препятствия, облегчая тестирование промышленных изделий сложной формы [6]. Геометрия поверхности может сильно влиять на дисперсию волн Рэлея и глубину проникновения из-за различных

существующих граничных условий [7]. Кривизна влияет на скорость поверхностной волны Рэлея и, в свою очередь, влияет на дифракционное поведение. Дифракцию также необходимо учитывать при измерении коэффициентов абсолютного ослабления, остаточных напряжений и параметров нелинейности материала.

Наиболее общие и математически строгие, но сложные для анализа результаты были впервые получены в работах [8, 9], в которых решение краевой задачи Рэлея для однородных и неоднородных упругих тел произвольной формы представлялось в виде бесконечных лучевых рядов с комплексными эйконалами. Траектории поверхностных лучей определялись при этом с помощью принципа Ферма.

В работах [10,11,12] использован более простой подход к модели распространения гармонических волн Рэлея на трехмерных криволинейных поверхностях, связанный с использованием асимптотических методов, волнового параболического уравнения и метода Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна ^КВ), которые пригодны для достаточно гладких поверхностей, удовлетворяющих условию КЯт >> 1, где К - волновое число рэлеевской волны, Ят - минимальный радиус кривизны поверхности.

В данной статье мы исследуем влияние кривизны поверхностей на дисперсию волн Рэлея и глубину проникновения при использовании точных подходов и точных решений. Разработана модель с использованием гиперболического волнового уравнения, описывающего распространение поверхностных волн в любой ортогональной криволинейной системы координат. Данная модель применена для исследования распространения и свойств волн Рэлея. Проведено моделирование, получены точные решения, описывающие поведения волн Рэлея на канонических криволинейных поверхностях (цилиндр, шар), и результаты используются для количественной оценки влияния кривизны на скорость волн Рэлея.

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Пусть задана кривая гладкая поверхность S. Введем в произвольной точке О поверхности S ортогональную криволинейную систему координат. Вектора 1 и 2 основного базиса направлены по касательной к поверхности S в точке О, а вектор 3 по нормали к поверхности. Система ортогональных криволинейных координат определяется тремя метрическими коэффициентами §п = ЬЬ, g22 = Ь2Ь2, g33 = Ь3Ь3, где Ь - коэффициенты Ламе [13,14,15].

Уравнения колебания упругого тела в произвольной криволинейной ортогональной системе координат в векторной форме имеют вид [13,14, 15]:

а2

(А + 2^)з-аё(Шуи) - ^(гоШ) = р^ и, (1)

дТ

где А, ^ - параметры Ламе, р - плотность материала, а дифференциальные операторы определены в выбранной ортогональной криволинейной системе координат.

Решение векторного волнового уравнения (1) ищем с использованием скалярного ф и векторного потенциалов у как это принято в [13,14,15].

Градиент скалярного потенциала ф определяет продольные смещения в волне, дивергенция вектора смещений и = (и1,и2,из) определяет объемную деформацию, а ротор векторного потенциала ¥ = (у1, у2, у ) определяет поперечные смещения в волне [13,14,15]:

1 д 1 д 1 д

п, дх, п9 дх9 ь дх,

112233 (2) 1 д 1 д 1 д

ШУИ =--п^зЦ н---ЬЬ^ 4---

Ь^Ьз дх! ЬЬ^з дх2 ЬЬ^з дх

1 5 5 1 5 5

^ = (ШШХ = —— (— - — 2),UT2 = (г01и)2 = - — Ц^Х

ЩЩ 5х2 5х3 п^ 5х3 5x1

/ттч 1 ,5. 5 , ,

UT3 = (го1и)3 = 2

п^ 5х: 5x2

Компоненты вектора вращения [13,14,15], выраженные через компоненты вектора смещения и коэффициенты Ламе

11 л 5 , 5 , ч 1 , ттч

Ш = ХПГИ2Ц2) = -(rotU)l 2 п2п3 5х2 5x3 2

11 5 5 1

ш9 =--(-Пи,--Пи) = — (гоШ), (3)

2 2ПП 5х3 1 1 ^ 3 24

11 ,5 , 5 , ч 1 , ттч

ш3 =Т7-Т- ^п2и2 п1и1) = - (rotU)з

2 5х1 5х2 2

Уравнения движения упругого тела в произвольной криволинейной ортогональной системе координат согласно (1), (2), (3) имеют вид [13,14,15]:

1 5 1 5 5 52

(А + 2ц)—— (ёШ) - 2ц—— (—- ПзШз - —- П2®2) = р-уи1 (4)

П1 5х1 П2П3 5х2 5х3 512

1 5 1 5 5 52

(А + —-— (ё1Уи) - 2ц —— (—- - — Пз^з) = р—и2 (5)

П2 5х2 П1П3 5х3 5х1 512

1 5 1 5 5 52

(А + 2ц)--(ё1уШ - 2ц-(-Ь9ш9 --Ь,ш,) = р —и3 (6)

Ь 5х ЬЬ 5х 2 2 5х 1 л-2 3 4 '

Пз 5х 3 П1П2 5х 1 5х 2 51

Деформации и напряжения в ортогональной криволинейной системе координат выражаются через компоненты вектора смещения и = (и1,и2,%) равные сумме продольных и поперечных смещения и ненулевые символы Кристоффеля [13,14,15]

1 5и 5ш ,

Вч= ^ + -Г^, ац=Ы1уШц + 2цвц,

' я 1 (7)

г =-—г =—г =—

* 2?11 5х1 ' 1 2?11 5xJ ' 11 2?11 5х1 ' Метрические коэффициенты аппроксимируем, согласно [10,11,12], следующими соотношениями: ?ц = Ь^, ?22 = Ь2Ь2, §33 = 1, где Ь1 = 1 + к1х3,Ь2 = 1 + к2х3, Ь3 = 1 -метрические коэффициенты Ламе, кп = 1/Яп - кривизны поверхности, а Яп - радиусы кривизны.

Вектор продольных смещений и = grаd(ф) - градиент скалярного потенциала ф. Подставим выражения для градиента из (2) в уравнения (4),(5),(6), получим уравнение для скалярного потенциала и продольных смещений, так как все вращения (3) в уравнениях (4),(5),(6) будут равны нулю

52

(А + 2ц)втаё(ё1уиь) = р-^ = ?гаё( Ф), (8)

51

2

(А + 2ц)(-^— ^^Ф + ^^Ф + -^^Ф + (г1 + = Р^т Ф (9)

1 5 5 1 5 5 5 5 Л к2ч 5 , 52

Ч---Ф +---Ф +--Ф + ( + )-Ф) = Р-2

Ь1Ь1 5х1 5х1 Ь2Ь2 5х2 5х2 5х3 5х3 Ь1 Ь2 5х3 51

Рассмотрим распространение волны по огибающей прямого кругового цилиндра (трубы) кривизны, при этом к ^ 0, к2 = 0.

Уравнение для скалярного потенциала (9) в этом случае, так как к2 = 0, Ь2 = 1 примет

вид:

_ 1 5 5 5 5 5 5 к 5 ч 52 . (Л, + 2^)(———Ф + —- —- Ф + ——ф + -1 —Ф) = р-^ Ф = 0. (10) п1п1 5х1 5х1 5х2 5х2 5х3 5х3 п1 5х3 51

5

Пусть потенциал изменяется по синусоидальному закону с частотой w и -= 0, тогда

5х2

уравнение (10) упростится и примет вид:

К,2 5 5 к, 5 ш2 _ _2 ,/л ч /цч

"¡ТТФх Ф1 + Фх +7^2Фх = 0,СГ = Р/(^ + , (11)

П2 5х3 5х3 П 5х3 С

где К - волновой вектор волны по оси 1, С - скорость продольной волны.

Решение уравнений (11) осуществляется согласно методу, предложенному в [16]. При этом используется замена переменных Ь1 = 1 + к1х3 = г, к1ёх3= ёг

_5_5Ф+15Ёф+-Ш^ф = 0 (12)

к^г2 5г 5г г 5г к^С^

ш ш К,

Ф1(г) = (Л11, (—г) + Л2У, (—^»еирОКл), у = К (13)

к^с^ кС^ к

При вычислении продольных смещений положим Л2 = 0, так как есть только два

краевых условия для нахождения постоянных интегрирования

иы = ^АЛ (-^МехрСК^) , у = К П к С к,

111 1 (14)

%З = А1 — (JV-! (^=Г п1 ) " :v+1 (^=Г п1 )) ехР(]К1х1 )

Рассмотрим далее уравнения для компонент векторного потенциала, так как при этом вектор поперечных смещений и = го№, то ё1у(Ит = го№) = 0. Отбросим первые слагаемые в уравнениях (5), (6), (7), получим систему уравнений для нахождения поперечных смещений через векторные потенциалы

52

- рго1;(гоШт) = р^ ит,ит = го№, 51

1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 р52

-[~ (^~п2и2 ~ П1и1) - —— П1и1^ — иЗ)] = -, (15)

5 2

2 ч2

^2 5х2 П2Ь1 5х1 5х2 Ь2 5хз п 5хз 5х1 ^ 5г

1 5 , 1 , 5 5 , ,1 5 1 ,5, 51Ч1р52

-П1 й-иЗ-Т" П2и2) ПГ^П2и2^П1и1)] = _

П1 5хз П2 5х2 5хз П1 5х1 П2П1 5х1 5х2 ^

1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 р52

- [ии Я. Ь2^(^Ь1и1-^"и3) — П2и2)] = -ТТ2иЗ . (17)

п1п2 5х1 п1 5хз 5х1 п1п2 5х2 п2 5х2 5хз ^ 5

Рассмотрим поперечную поверхностную волну, распространяющуюся по поверхности

5

вдоль оси х1, тогда ^ = 0, ^ 0, = 0. Считаем, что при этом и2 = 0,-= 0 .

5х2

Преобразуем уравнения (16), (17), (18) и получим систему из двух уравнений и тождественное равенство

1 5 , 1 ( 5 5 р 52

из) = "^2и1, (18)

Ь2 5хз Ь1 5хз 5х1 ^ 5г

12

1 5 Ь2 5 5 р 5

из) = -т-уиз. (19)

п1п2 5х1 п1 5хз 5х1 ^ 5т

Используя соотношения (3) и равенство ^ = 0, = 0,Ь3 = 1, получим связь поперечных смещений и компонент векторного потенциала

1 д , _ 1 д

и1 = Ь2^2,и2 = 0,и3 = ——V2 . (20)

п2 дх3 п дх1

Преобразуем уравнения (18) и (19). Согласно (20) уравнение для компоненты векторного потенциала имеет вид

1 / д , 1 д , д 1 д ч Р д2

^2) = " Т7Т ^2 , (21)

Ь дх3 п2 дх3 д^! п д^! Ц д

1 д д , 1 к д , 1 дд ш2 ^^ I——

-¡-Т—Т—п2^2 "¡Т^П2^2 ^2 + ^2 = 0,С2 = л/Р / Ц , (22)

п2 дх3 дх3 п2 п дх3 ПП дХ д^! С2

где С2 - скорость поперечной волны.

Решения уравнения для векторного потенциала в (22) ищем в виде бегущей волны

= ехр(-т!)ехр(^(Х3) / Ь2 . (23)

Подставим эти выражение в (22) и получим уравнение для Ql

д д к д ш

2

-01 -—КГ01 +—= 0, С2 =

Ц, (24)

Р

дх3 дх3 П дх3 ПП С2 ' ^

где С2 - скорость поперечной волны в плоском теле.

Так как к2 = 0, Ь2 = 1, тогда решение первого уравнения в (24) осуществляется согласно методу, предложенному в [16]. При этом используется замена переменных Ь1 = 1 + к1х3 = г, к1ёх3= ёг

ш ш К,

= ^ (—г) + Л4У, (—^^г)) ехр(-КхД V = (25)

к1С2 к1С2 к1 Поперечные смещения вычисляются при А4 = 0, так как есть только два краевых условия на поверхности для нахождения постоянных интегрирования

д ш ш ш

иТ1 2 ="Аз—М - ^+1(—"^СТрО^^

дх^ 2С к с0 к С-,

3 2 1 2 1 2 (26)

1 д -К . т , ш , Л Л

иТ3 = V 2 =-ТГ A3Jv ^Г^ХЧ-^Л)

П д^! п ЦС2

Суммарные смещения при распространении волны по огибающей: -К, ш ш ш ш

их = ии + ип = [^А: V (—- Аз[—М - : Ь^ехраК^)]

П1 к1С1 2С2 к1С2 к1С2

ш ш ш -К ш

из = иЬз + итз = [А1^(^-1(^Ь1)-^^Т^» Аз:V^^=ТЬ1)]ехр(-К1Х1)

Для определения постоянного интегрирования А, А необходимо воспользоваться краевыми условиями для напряжений на свободной поверхности огибающей. Для этого необходимо вычислить деформации и напряжения на поверхности.

Деформации и нормальное и касательное напряжения вычисляются согласно (7) и с коэффициентами Ламе Ь = 1 + кх, Ь = 1 + к2х3, Ь3 = 1 [10,11,12] 1, ди, ди3ч , 1 ,ди9 ди3ч ди3

£13 =-^ + —3) -klU1, В2з = -(—^ + —^833 = —3,

2 дх, дх, 2 дх, дх, дх,

3 1 2 31 3 (27)

^33(х1,х3) = Ф(х1,х3) + 2Ц8зз(х1,хзХ ^13(х1,х3) = 2Ц813(х1,х3)

С1

Проведя вычисления согласно (27), получим выражения для нормальной и касательной компоненты напряжения на поверхности

ЗЗ/ ^ Г — ш2 . т . ш . . . ш ,2/т . ш . „т . ш . т . ш ..

а З(х-хз =0)=[-^ сТ^ V +Л'(5С№ - * V +' ^вд»+

+Т^^к^ -: "■(ка)) - ^^ ехр0—1х1)]

0-З(х. = 0,хз = 0) = 2^2^.I „(^ -1 - V -

ш 1 ш ш ш КК ш

- АЗ (^ „2 (г^") - 21V ( Г^) + 1 v+2 (^)) - АЗ.V (Г^) + (29)

2С2 к1С2 к1С2 к1С2 1 к1С2

+ Аз ^ (.V-! - Jv+1 (-^-))] ехр( ]К1х1)]

С2 к1С2 к1С2 Приравнивая нормальные напряжения на свободной поверхности к нулю, получаем однородную систему из двух уравнений для определения величин Л и Л. Элементы матрицы А

ах1= - — Щ-Jv (—) + (—)2 (JV 2 (—) - 2JV (—) +1v+2 (—)) 11 2|д С2 v(к1С1) (2С1) ( v-2(к1С1) v(к1С1) ^к.С^

а = I—( ш ) - . ( ш )) - ]-1к1 Т ( ш ) а12 = 1 2С (Тv-l(k С ) Тv+l(k С )) 1 ТVЧ С )

1 2С. к.С2 к,С2 1 к,С2

а21=j-1C1(Jv-l(kWг) - т v+l(k1W7)) - (к!^) (30)

а22 = ( ^ (^-2 ( ^ - 2JV ( ^ + Jv+2 (^)) - Jv ( ^ +

2С2 к1С2 к1С2 к1С2 1 к1С2

С2 к1С2 к1С2 Определитель матрицы А, составленный из элементов, приведенных в (30), определяет дисперсионное соотношение для определения собственных значений волновых векторов К = ш/СЯ и скоростей поверхностной волны СЯ при распространении по огибающей цилиндра.

Рассмотрим далее распространение продольной волны по образующей цилиндра ось 2.

5

Пусть к2 = 0, Ь2 = 1 и-= 0, тогда уравнение для скалярного потенциала (10) примет вид:

5хх

т^2 5 5 к. 5 ш2 ,„1Ч

--2ф + ——Ф + -1— Ф+^Ф = 0. (31)

5хз 5хз п, 5хз С

Решение уравнения (31) осуществляется согласно методу, предложенному в [16]. При

этом используется замена переменных Ь, = 1 + к,хз = г, кхёхз= ёг

— 5 5 1 5 ш2

Ф2 ^^Ф2 +"ТФ2 Ф2 = 0,

к2 5г 5г г 5г к С2

ш2 К2

Ф2(х2,хз) = [BlТo (М + В2¥С (М] ехР С—2х2), Ь1 = ^г^ - —)

к1 С1 к1

Уравнение для компоненты векторного потенциала

1 55 1 к, 5 55 ш2

+ + 7^ ^ = 0 (33)

п 5х3 5х3 п п 5х3 5х2 5х2 С2

(32)

Так как к2 = 0, Ь2 = 1, тогда решение уравнения в (33) осуществляется согласно методу, предложенному в [16]. При этом используется замена переменных Ь = 1 + кх3 = г, кёх 3= ёг

1,

2 т/ 2

ш К,

С = .р, Ь2 = зЧг,(кТС-^Х (34)

^1(г) = (Бз^Ьл) + ВД1 (Ь2г)) ехр(-К,х,) Нормальное напряжение и касательное напряжение на поверхности

зз w2

а (х2,хз = 0) = 2 Ф2(х2,х3 = 0) + 2Ц833(х2 , х3 = 0) =

С2

2

ш1

= -а—В1:0 (Ь1)+2ц[-Б1 (Ь1к1 )2 ^ (:0 (Ь1) - :2 (Ь)) - (35)

- Вз-К21ь2к1(:0(Ь2) - :2(Ь2))]ехр(-К2х2)

а13(х2,0) = 2ц8(х2,0) ^-К^Ь^- -Ь^^)--К^Ь^- -

к к к

- Б3[(ь2к1)-2(:-1(Ь2) - 2:0(Ь2)+:2(Ь2)) - -Щ(Ь2)+(Ь2к1/2)(:0(Ь2) - :2(Ь2))-1)] з 11

Приравнивая напряжения на свободной поверхности к нулю, получаем однородную систему из двух уравнений для определения величин В и В . Элементы матрицы системы В

Ьц = -wГJo(Ьl) - (Ь1к1)2 ^(ЬО - :2(Ь1)),

(36)

а ,, Л ,, , л2 1

2ц ^^ - (ь1к1) 2

(37)

Ь12 =- -К22Ь2к1а0(Ь2) - J2(Ь2))] Ь21 = - jK2J1 (Ь1 )Ь1к1 - .¡^ (Ь1 )Ь1к1

Ь22 =-^2) - (Ь2к1/2Г2а-2(Ь2) - 2Jo(b2) + J2(b2)) - (38)

кк к - -Щ^) + (b2kl/2)(Jo(b2) - J2(b2))-2)

Определитель матрицы B, составленный из элементов, приведенных в (37) и (38), определяет дисперсионное соотношение для определения собственных значений волновых векторов К = w / СЯ и скоростей поверхностной волны СЯ при распространении по образующей трубы.

Рассмотрим распространение продольной волны на поверхности сферы. Так как на

сфере выполняются равенства к = к2 = к ^ 0 и Ь = Ь2 = Ь ^ 0, то уравнение (9) для

скалярного потенциала примет вид,

1ЯЯ 1 дд дд 2к д ш2

----ф3+------—= 0 . (39)

ЬЬ дх дх т 3 ЬЬ дх2 дх т 3 дх3 дх3 3 Ь дх 3 С2 Уравнение для потенциала фз согласно (52) для волны по оси 1

1 д д д д 2к д ш2

"¡^^Т^ТФз + ^"Н-Фз + 7^Фз = 0 (40)

ЬЬ дх дх дх3 дх Ь дх С2 Решение уравнения (40) осуществляется согласно методу, предложенному в [16]. При этом используется замена переменных Ь = 1 + кх3 = г, кёх3= ёг

—2 5 5 2 5 ш2

- ку Фз+& Фз+2 Фз+^Фз=0,

1 1 1 ,--(41)

Фз (г) = (О!V (^ г) + ^ (^ г)) ехр (|КЛ ) / ^, V =1 1 + 4(-1)2 кц кц 2 V к

Рассмотрим поперечную поверхностную волну, распространяющуюся по поверхности

5

сферы вдоль оси х1, тогда Т. = 0, Т2 ^ 0, Тз = 0 . Считаем, что при этом -= 0. Уравнение

5х2

для векторного потенциала Т23 имеет вид

1 55, 1 55 Л

+^28 = 0 . (42) п 5х3 5х3 пп 5х 5х1 С1

Решение уравнения в (42) осуществляется согласно методу, предложенному в [16]. При этом используется замена переменных Ь = 1 + кх3 = г, кёх3 = ёг

Т2S = (ОзJv (-^г) + О4Уу г^ехр^Кхх^/л/г, у = 1 1 + 4(-1)2 (43)

кС, кС, 2 V к

Продольные смещения на шаре вычисляются при Б2 = 0

иы = jKlОlТ V г) ехр( ^х,) / (г)з/2, кС,

1 (44)

иЬз = [--О^ V (^г)/(г)з/2 + О,(-—^ ,м(—г) - J v+l(—г))/(г)1/2] ехрСК^).

2 кС 2С кС кС

Поперечные смещения на шаре вычисляются при Б4 = 0

итх = -[-Оз( Ы V (^г)/(г)з/2 + Оз(^а „-х^г) - Т ^(^»/^ехраКл),

2 222 (45)

ит2 = ОзjKТv (-^ г)/(г)з/2ехр(|—1хх) кС2

Полные смещения на поверхности сферы

и, = иы + ит, = [jKlОlТv(-^г)/(г)з/2 + 0,.к^,(^г)/(г)з/2 -

кС 2 кС2

- Оз (^ (ТV-! (^ г) - Тv+l (^ г)) / ехр О—Л ),

1 ш и-, ш ш ш м->

из = ии + итх = [- .ОМ (^г)/(г)з/2 + О, (Т V-, (т^- Ь) - J v+l(-— Ь))/(г)1/2 +

(46)

2 1 ^ кС ^ 2С ^кС^ ^к^

+ 0зjKТv (-^ г) /(г)з/2 ] ехр( |—1хх)

(47)

2

Нормальное напряжение на поверхности сферы

^ — ш2 ш 1 ш ш ш З ш

°ЗЗ(х1,0) =2cf01J • (кС) - ^^^ - Jv+1(kC)) + 4О.Ш • (кС) +

+- 2J •+- ^БСГФ -

1111 1(1 (48)

1 ш ш ш З ш

--^К-^0 v-l^-—-) - J + -Оз|КЫ V ^-^)}ехр(]К(х()

2 2С кС кС 4 кС2

1 К1 2

у=2/+^

Касательное напряжение на поверхности сферы

,, 1 w w w w

a13(x1,0) = 2I4JKJ--DikJ v Л + - J -

2 кц 2ц кц kCj

w 3 w 3 w

- JKD3JKJ v - 3 JKiDikJ v + 2 D3kkJ v +

w w w w w w

+ JK1D1 — (Jv 1 (—) - Jv+1 (—)) - D3k—— (Jv 1 (—) - Jv+1 (—)) + 1 12Cj v-1 kC/ v+1VkC/ 3 2C2 v kC2 v+^kC2

+ D^k —(Jv )-J v+1(—)-3 2 2C2 v kC2 kC2

w w w w w w

- D3 (Jv-2 - 2Jv (-w-) + Jv+2 Л) - k[JK 1D1Jv (-w-) - D3kJv -

2C kC kC kC kC kC

(49)

w w w 1 K

- D3 (— (Jv 1 (—) - Jv+1 (—))]} exp (Kx1), v = 1.1 + 4(—)2

2C2 v kC2 ^ kC2 2\ k

Приравнивая напряжения (48),(49) на свободной поверхности сферы к нулю, получаем

систему двух однородных линейных уравнений для определения величин D и D .

Матричные коэффициенты системы D

, X w2 т , w ч 1 ^, w /т . w ч т . w _ 3 ,, т . w ч

d11 =----Jv (-) — D1k-(Jv 1(-)-Jv+1(-)) + -kkJ v (-z) +

11 12C2 vkC/ 2 1 2C v-1 kC/ kC/ 4 v kC

w 2 w w w

+(2C) (J "(kC)-2J-(kC)+

(50)

d12=-1(kC)-J »1(kCz))-iAjKkJ - (^z) (51)

1 w w w w

d21 = — JKkJv (—) + JK —(J v )-J v+1^-w))-

21 2J kC/ J 2Cj v-1VkC/ v+1VkC/

3 www w

-3JK1kJ v (—) + J^—(J v bJ^—))- (52)

2 1 kC/ 12Cj v-1 kC/ v+AkC/

w w w w w

-JK12kj, (kC)=-5JKkJ. ^+2JK2C(J - 1(iC)-J.+1(iC)

w 3 www w

d22 = KKJv (—) - 3 A1kkJv (—) + k— (Jv 1 (—) - Jv+1 (—)) -

22 v C2 4 1 v kC2 2C2 v - kC2 v+^kC2

- (^ (Jv-2 (tw) - 2Jv (7^) + Jv+2 (^))]

(53)

2С2 кС2 кС2 кС2

Определитель матрицы D, составленный из элементов, приведенных в (50) - (53) определяет дисперсионное соотношение для определения собственных значений волновых векторов К = w/CR и скоростей поверхностной волны СЯ на сфере.

Расчет скоростей волн Рэлея

Вычисление собственных значений волновых векторов К = w/CR проводилось с помощью разработанной программы, в которой вычисление корней определителей проводилось методом деления отрезка пополам. При расчетах феноменологические параметры тел были выбраны близкие к параметрам реальных материалов. Для нормировки скорости волн Рэлея, приведенных на рисунках, выбрано значение скорости поперечных волн в теле равное 3250 м/с, а диапазон изменения частоты волны от 1 до 5 МГц с шагом 1 МГц.

Поскольку все полученные решения точные и не требуют выполнения ограничений типа KR >> 1, то расчет скоростей корректен при любых значениях радиуса кривизны. Расчеты зависимости скорости волн Рэлея от радиуса проводились в двух диапазонах. При больших значениях радиуса, при этом выполнялось условие KR >> 1, которое использовалось для приближенного вычисления скорости методом WKB [10,11,12] и для малых значений радиуса, так как в данной работе уравнения и решения точные. Сравнение результатов работ [10,11,12] и данной работы в первом диапазоне показало качественное совпадение результатов для положительных значений радиуса кривизны на внешней поверхности тел.

На рис. 1 - 8 приведены зависимости относительных скоростей CR/C2 волн Рэлея от радиусов кривизны и частоты волны от 1 до 5 МГц с шагом 1 МГц, соответствующие указатели цвета графиков datai - data5 показаны на рисунках.

1.25

1.2

1.15

1.1 1.05

0.95 0.9

1 23456789 10 R, m хЮ"3

Рис. 1. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внешней поверхности трубы от радиуса кривизны R в метрах и частоты волны в МГц, при которых выполняется требование KR >> 1

Fig. 1. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 on the outer surface of the pipe on the radius of curvature Rin meters and the wave frequency in MHz, at which the requirement KR >> 1 is met

CR/C2

datai data2 data3 data4 data5

Y \

\ \

\ \

\

CR/C2

1.4

1.2

0.8

0. 6

0.4

0.2

0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2 R x 10-3

Рис. 2. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внешней поверхности трубы

при малых радиусах кривизны

Fig. 2. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 on the outer surface of the pipe at small radii of curvature

5 6 R,m

10 n-3

Рис. 3. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внутренней поверхности трубы от радиуса кривизны R в метрах и частоты волны в МГц, при которых выполняется требование KR >> 1

Fig. 3. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 on the inner surface of the pipe on the radius of curvature R in meters and the wave frequency in MHz, at which the requirement KR >> 1 is met

0.8 0.7 0.6

1 1.2 R,m

1.8 2

x 10-3

Рис. 4. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 при малых радиусах кривизны на вогнутой поверхности (внутренняя поверхность трубы)

Fig. 4. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 at small radii of curvature on a concave surface (inner surface of the pipe)

1.5 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05

6

R,m

8 9 10

x 10-3

Рис. 5. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внешней поверхности сферы от величины радиуса кривизны R в метрах и частоты волны в МГц, при которых выполняется требование KR >> 1

Fig. 5. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2on the outer surface of the sphere on the radius of curvature R in meters and the wave frequency in MHz, at which the requirement KR >> 1 is met

1.05

0.95

0.9

0.85

0.8

2

3

4

7

8

9

1.3

1.2

1.1

0.9

0.5

0.2

0.4

0.6 0.8

.4

1.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Рис. 6. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внешней поверхности сферы

при малых радиусах кривизны

Fig. 6. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 on the outer surface of the sphere at small radii of curvature

0.93 c

data1 data2 data3 data4 data5

6

R,m

r 8 9 10

x 10-3

Рис. 7. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внутренней поверхности сферы от величины радиуса кривизны R в метрах и частоты волны в МГц, при которых выполняется требование KR >> 1

Fig. 7. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 on the inner surface of the sphere on the radius of curvature R in meters and the wave frequency in MHz, at which the requirement KR >> 1 is met

1

0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5

0.2 0.4 0

0.8 1 1.2 1.4 1.1 R,m

1.8 2 x 10"

Рис. 8. Зависимость относительной скорости Релея CR/C2 на внутренней поверхности сферы

при малых радиусах кривизны

Fig. 8. Dependence of the relative Rayleigh velocity CR/C2 on the inner surface of the sphere at small radii of curvature

1.5

0.5

0

R,m

x 10

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

ВЫВОДЫ

Разработанная модель поверхностных волн Рэлея, позволяет анализировать распространение волн на любых трехмерных криволинейных поверхностях при любых значениях произведения волнового вектора на радиус кривизны KR. Разработанное программное обеспечение позволяет находить скорости волн при вариации заданных параметров и геометрии тел при условии существования единственного действительного корня дисперсионного соотношения. Условием существования волны Рэлея является действительность значений волновых векторов К, получаемых из дисперсионных уравнений

= ёе1;(А) = 0, = ёе1;(В) = 0, = ёеЬ(В) = 0. Действительные значения волновых

векторов К определяют волны, распространяющиеся по поверхности без уноса энергии в глубь тела.

При положительных значениях радиуса кривизны (внешняя поверхность) при уменьшении радиуса наблюдается максимум, а при значениях радиуса после прохождения максимума происходит уменьшение скорости волн и наблюдаются изломы кривых при отрицательной кривизне (внутренняя поверхность), что связано с резонансом по окружности огибающей цилиндра 2лЯ = , где f- частота возбуждаемой волны, СЯ* - скорость

волны Рэлея в точке излома.

Результаты анализа распространения волны по внешней и внутренней образующей трубы оказались тривиальными. Поскольку кривизна к2 = 1/Я2 = 0, то скорость волны не зависит от радиуса и примерно равна скорости поперечной волны в теле.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.

2. Разин А. В. Рассеяние поверхностной акустической волны Рэлея на неоднородности малых размеров в твердом полупространстве // Известия вузов. Радиофизика. 2010.

Т. 53, № 7. С. 464-480.

3. Schmerr L. W. Fundamentals of Ultrasonic Nondestructive Evaluation: A Modeling Approach. Springer Series in Measurement Science and Technology. Softcover reprint of the original 2nd ed. Chapter 7. Propagation of Surface and Plate Waves. Plenum Press, New York, 2016, pp. 197-218.

4. Муравьева О. В., Волкова Л. В., Муравьев В. В., Синцов М. А., Мышкин Ю. В., Башарова А. Ф. Чувствительность электромагнитно-акустического метода многократной тени с использованием Рэлеевских волн при контроле нефтяного сортамента // Дефектоскопия. 2020. №12, C. 48-57. https://doi.org/10.31857/S0130308220120052

5. Муравьев В. В., Гущина Л. В. Структуроскопия витков пружин после высокотемпературной механической обработки на основе измерения скорости Рэлеевских волн // Приборы и методы измерений. 2022. Т. 13, №2. С. 147-154. https://doi.org/10.21122/2220-9506-2022-13-2-147-154

6. Keller J. B., Karal F. C. Geometrical theory of elastic surface-wave excitation and propagation // The Journal of the Acoustical Society of America, 1964, vol. 36, no. 1, pp. 32-40. https://doi.org/10.1121/1.1918908

REFERENCES

1. Viktorov I. A. Zvukovye poverkhnostnye volny v tverdykh telakh [Sound surface waves in solids]. Moscow: Nauka Publ., 1981.

2. Razin A. V. Scattering of a Rayleigh surface acoustic wave by a small-size inhomogeneity in a solid half-space. Radiophysics and Quantum Electronics, 2010, vol. 53, pp. 417-431. https://doi.org/10.1007/s11141-010-9239-3

3. Schmerr L. W. Fundamentals of Ultrasonic Nondestructive Evaluation: A Modeling Approach. Springer Series in Measurement Science and Technology. Softcover reprint of the original 2nd ed. Chapter 7. Propagation of Surface and Plate Waves. Plenum Press, New York, 2016, pp. 197-218.

4. Murav'eva O. V., Volkova L. V., Murav'ev V. V., Sintsov M. A., Myshkin Y. V., Basharova A. F. Sensitivity of electromagnetic-acoustic multiple shadow method using rayleigh waves in inspection of oil country tubular goods. Russian Journal of Nondestructive Testing, 2020, vol. 56, no. 12,

pp. 995-1004. https://doi.org/10.1134/S1061830920120050

5. Muravyov V. V., Gushchina L. V. Strukturoskopiya vitkov pruzhin posle vysokotemperaturnoy mekhanicheskoy obrabotki na osnove izmereniya skorosti Releevskikh voln [Structuroscopy of coils after high-temperature mechanical treatment on the basis of measurements of Rayleigh waves velocity]. Pribory i metody izmereniy [Devices and Methods of Measurements], 2022,

vol. 13, no. 2, pp. 147-154. (In Russian). https://doi.org/10.21122/2220-9506-2022-13-2-147-154

6. Keller J. B., Karal F. C. Geometrical theory of elastic surface-wave excitation and propagation. The Journal of the Acoustical Society of America, 1964, vol. 36, no. 1, pp. 32-40. https://doi.org/10.1121/n918908

7. Rulf B. Rayleigh waves on curved surfaces // The Journal of the Acoustical Society of America, 1969, vol. 45, no. 2, pp. 493-499. https://doi.org/10.1121/1.1911400

8. Бабич В. M. О распространении волн Рэлея вдоль поверхности однородного упругого тела произвольной формы // Доклады Академии наук СССР. 1961. Т. 137, № 6. С. 1263-1266.

9. Бабич В. М., Русакова Н. Я. О распространении волн Рэлея по поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2, № 4. С. 652-665.

10. Крылов В. В. О волнах Рэлея на гладких поверхностях произвольной формы // Акустический журнал. 1979. Т. 25, № 5. С. 754-759.

11. Zhang S., Qin L., Li X., Kube C. M. Propagation of Rayleigh waves on curved surfaces // Wave Motion, 2020, vol. 94, 102517. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2020.102517

12. Biryukov S. V., Gulyaev Yu. V., Krylov V. V., Plessky V. P. Surface Acoustic Waves in Inhomogeneous Media, Springer, 1995, Chapter 9. Rayleigh Waves on Curved Surfaces of Arbitrary Form, pp. 196-216. https://doi.org/10.1007/978-3-642-57767-3

13. Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.

14. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1. М.: Наука. 1970. 492 с.

15. Новожилов В. В. Теория упругости. М.: СУДПРОМГИЗ, 1958, 362 с.

16. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физико-математическая литература, 2001. 576 с.

7. Rulf B. Rayleigh waves on curved surfaces. The Journal of the Acoustical Society of America, 1969, vol. 45, no. 2, pp. 493-499. https://doi.org/10.1121/1.1911400

8. Babich V. M. O rasprostranenii voln Releya vdol' poverkhnosti odnorodnogo uprugogo tela proizvol'noy formy [On the propagation of Rayleigh waves on the surface of an elastic body of arbitrary shape]. DokladyAkademii naukSSSR [Report of Academy of Sciences of the USSR]. 1961, vol. 137, no. 6, pp. 1263-1266. (In Russian).

9. Babich V. M., Rusakova N. Ya. The propagation of Rayleigh waves over the surface of a non-homogeneous elastic body with an arbitrary form. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 2, no. 4, pp. 719-735. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90536-6

10. Krylov V. V. O volnakh Releya na gladkikh poverkhnostyakh proizvol'noy formy [On Rayleigh waves on smooth surfaces of arbitrary form]. Akusticheskiy zhurnal [Acoustic Journal], 1979, vol. 25, no. 5, pp. 754-759.

(In Russian).

11. Zhang S., Qin L., Li X., Kube C. M. Propagation of Rayleigh waves on curved surfaces. Wave Motion, 2020, vol. 94, 102517. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2020.102517

12. Biryukov S. V., Gulyaev Yu. V., Krylov V. V., Plessky V. P. Surface Acoustic Waves in Inhomogeneous Media, Springer, 1995, Chapter 9. Rayleigh Waves on Curved Surfaces of Arbitrary Form, pp. 196-216. https://doi.org/10.1007/978-3-642-57767-3

13. Demidov S. P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1979. 432 p.

14. Sedov L. I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 1. [Continuum mechanics. Vol. 1]. Moscow: Nauka Publ., 1970. 492 p.

15. Novozhilov V. V. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: SudpromGiz Publ., 1958. 362 p.

16. Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnikpo obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow: Fiziko-matematicheskaya literature Publ., 2001. 576 p.

Поступила 15.07.2024; после доработки 03.09.2024; принята к опубликованию 10.09.2024 Received July 15, 2024; received in revised form September 3, 2024; accepted October 10, 2024

Информация об авторе Сергей Викторович Леньков,

доктор технических наук, заведующий лабораторией, главный научный сотрудник, УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация, e-mail: emp@udman. ru

Information about the author Sergey V. Lenkov,

Dr. Sci. (Eng.), Chief Researcher, Head of the Laboratory, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation, e-mail: emp@udman. ru