CC BY
3
https://doi.org/10.15350/17270529.2023.3.33
УДК 539.3:534.2
2.2.8 - Методы и приборы контроля и диагностики материалов, изделий, веществ и природной среды (технические науки).
Акустические поверхностные волны в пористо-упругих двухфазных средах С. В. Леньков
Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Россия, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
Аннотация. На основе теории Био предложена модель и проанализированы особенности распространения поверхностных волн в пористо-упругих двухфазных материалах типа изолон и вспененный полиуретан со свободной границей. Разработанная модель двухфазной среды для пористых газонаполненных материалов, позволяет анализировать любые типы объемных, продольных и поперечных волн при произвольных величинах пористости. Методом потенциалов получены решения краевых задач, описывающих распространение волн в двухфазных средах при закрытой и проницаемой границе. Проведен расчет скоростей поперечных волн при различных вариациях параметров пористого тела. Показано, что в случае с закрыто-ячеистой структуры (непроницаемая граница) поперечная поверхностная волна Рэлея существует в достаточно узком диапазоне изменения величины извилистости пор, а в случае открытой ячеистой структуры (проницаемая граница) ограничения на эту величину нет. Показано, что существует диапазон непрерывного значения пористостей от 0 до 0.55, в которых устойчиво существуют волны Рэлея, волновые вектора при этом имеют действительные значения, что соответствует волне распространяющейся по поверхности без уноса энергии в глубь тела.
Ключевые слова: пористая среда, уравнения Био, закрытоячеистые пенополиэтилены, волна Рэлея.
И Сергей Леньков, e-mail: emp@udman.ru
Acoustic surface waves in porous-elastic biphasic media Sergey V. Lenkov
Udmurt Federal Research Center UB RAS (34, T. Baramzina St., Izhevsk, 426067, Russian Federation)
Summary. The aim of the research is to create a biphasic medium for porous gas-filled materials based on the theory of the Bio-model and to carry out the analysis based on the model of transverse wave propagation in these media having free boundaries. The developed model of a biphasic medium for porous gas-filled materials allows analyzing any types of volumetric, longitudinal and transverse waves at arbitrary porosity values. The features of the propagation of surface waves in porous-elastic two-phase materials such as isolon and foamed polyurethane with a free boundary are analyzed. The solutions of boundary value problems describing the propagation of surface waves in biphasic media with a closed and permeable boundary are obtained by the method of potentials. Calculations of the velocities of transverse waves with different variations of the parameters of porous bodies are carried out. It is shown that in the case of a closed-cellular structure (impermeable boundary), the transverse Rayleigh surface wave exists in a fairly narrow range of changes in the magnitude of the tortuosity of the pores, and in the case of an open cellular structure (permeable boundary) there is no restriction on this value. It is shown that there is a range of continuous porosity values from 0 to 0.55 in which Rayleigh waves persistently exist, at the same time the wave vectors have real values, which corresponds to a wave propagating over the surface without carrying energy into the body.
Keywords: porous medium, closed-cell polyethylenes, Bio model, Rayleigh wave.
И Sergey Lenkov, e-mail: emp@udman.ru
ВВЕДЕНИЕ
Упругие поверхностные волны являются предметом интенсивных исследований, они не переносят энергию в глубь среды и существуют на границе за счет взаимодействия продольной и поперечной волн. Поверхностная волна Рэлея исследована для случая границы идеального упруго полупространства. При этом волна существует при любых параметрах среды. Ее фазовая скорость определяется из дисперсионного соотношения [1], которое зависит только от коэффициента Пуассона среды. Взаимодействие волн Рэлея с
неоднородностями в упругом полупространстве рассмотрено в работе [2]. Во многих разных ситуациях необходимо учитывать влияние пространственной неоднородности (двухфазности) полупространства, например, при рассмотрении акустики пористых звукопоглощающих покрытий. Примером широко используемых звукопоглощающих покрытий являются пористые среды, например, пенополиолефин (изолон) и вспененный полиуретан.
Пенополиолефин представляет собой сшитый газонаполненный полимерный материал с закрытой ячеистой структурой. Пенополиолефин получается путём химической или физической сшивки. Химическая сшивка пенополиолефина реализуется за счёт введения в материал химических веществ, при этом он имеет закрытую мелкопористую структуру (размер пор < 1 мм). Физическая (радиационная) сшивка пенополиолефина реализуется путем облучения материала пучком электронов, при этом лист после обработки имеет закрытую микропористую структуру. Размер пор пенополиолефина в дальнейшем зависит от кратности вспенивания материала в вертикальной или горизонтальной печи, которая и определяет кажущую плотность материала.
В последнее время появились вспененные материалы (пенопласты) и синтактные пены (полимерные сферопластики) с закрытой ячеистой структурой, применяемые при изготовлении элементов конструкций изделий авиационной техники. Формирование структуры таких материалов достигается двумя способами, во-первых, физическим - путем введения полого наполнителя, во-вторых, химическим - путем формирования пористой структуры в технологическом процессе производства за счет введения порообразующих агентов. Важным требованием к таким материалам является обеспечение газонаполненной замкнуто-ячеистой структуры, что является необходимым при их применении в условиях повышенной влажности [3].
Целью работы является создание модели двухфазной среды для пористых газонаполненных материалов, и проанализировать на модели условия существования поперечных волн в изолоне и вспененном полиуретане.
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Инструментом теоретического исследования распространения акустических волн в пористых средах являются уравнения Био [4 - 7], обобщающие уравнения классической теории упругости на случай двухфазных сред. В работах [7, 13] проведен обзор применения теории Био. На основе теории Био поверхностные волны изучались в ряде работ [7 - 13]. В основном работы посвящены поверхностным волнам на границе пористой среды с жидким флюидом и в контакте с жидкостью и газом. Данная работа посвящена анализу распространения поперечных волн в пористых газонаполненных полимерных материалах, контактирующих с газом на свободной границе.
Исходные определения. Предполагается, что материал является двухфазным пористо-упругим (среда Био). Пористость таких материалов в = Ув /у, где ув - объем газовых пор, V - общий объем пористого тела. В соответствии с теорией Био относительные скорость и смещение, результирующее смещение пористого материала, осредненные по объему
соответственно равны V = — W,W = в(И - и), И = (1 -в)и + вИ, где и - вектор
смещения упругой среды, и - вектор смещения частиц газа в поре. Аналогично
ТВ
Сту = Сту + Сту - осредненные компоненты тензора суммарных напряжений, Стут = + 2р,вТ + - осредненные компоненты тензора напряжений для упругой
В Т В
среды, ст = Qe + Яе - осредненные компоненты тензора напряжений для газа в порах, где еТ = &уи,еВ = &уИв - объемные деформации в упругой среде и газе.
Уравнения движения элементарного объема пористого тела [4, 5]
а2 а2
У[(Л + йО&уи + QdivU] + цАи - -^-рпи - -^-р12и = 0
а , (1)
а2 а2
У[^и + RdivU] - -2 Р12и - -2 Р22и = 0
а а
р11 = (1 - в)рх + в(а - 1)рв, р22 = вр в - р12, р12 = в(1 - а)рв - инерционные коэффициенты, а - коэффициент извилистости пор, рх - плотность упругой среды, рв - плотность газа в
а
поре, V = в —(и - и) - вектор относительной скорости. Так как плотность кинетической
энергии должна быть положительной, то должны выполняться соотношения [6]
р11 = ((1 -в)рх +в(а- 1)рв) > 0 р22 =вр ва> 0
2 (2) (р11р22 - р12) = рвв[рХа(1 - В) + рвв(а - 1)] > 0 Константы Л, - макроскопические модули упругости пористой среды,
зависящие от микроструктуры пористого материала (пористости). В предельных случаях при пористости в = 0 и в = 1 макроскопические модули упругости пористой среды выходили бы на свойства ее упругой и газовой фазы [8]
Л(0) = ц(0) = ц8,Я(1) = ^вД(0) = 0^(0) = Q(1) = 0, Л(1) = 0, ц(1) = 0
р12(0) = 0, р12(1) = 0 ( ) где ^ - модуль сдвига материала скелета, ^ - параметр Ламе материала скелета, Хв - упругий параметр газа в порах. К сожалению, экспериментальное определение таких зависимостей от пористости трудно реализовать на практике.
Макроскопические модули Л, ц, Q, Я вычисляются через модули всестороннего сжатия К8,Кв ,Кс для материала упругого скелета, поровой жидкости (газа заполняющего поры) и пористого образца с сухими порами, которые, как и модуль сдвига ц скелета, можно измерить экспериментально [4 - 13]
_(К8 - Кс)2 4 Г,_К8(К8 - Кс)
Н = ^-+ Кс + -ц, с =
В-К с 3 В-Кг '
2 с с (4)
К2 2
М = -—= К8(1 -в + вК8 /Кв),К8= ^ + - ц
В - Кс 3
Л = Н-2ц-2вс + в2М, Q = вс-в2М, Я =в2М. (5)
Данные по модулям всестороннего сжатия К8=(1.5-2.4)Е8Н/м2, Кв=(1.3-1.7)Е5Н/м2, Кс=(5.2-6.4)Е4Н/м2 и модулю сдвига материала скелета в Н/м2 ц=(2.2-3.1)Е4 Н/м2 при
фиксированных значениях пористости для вспененного полиуретана и данные по изолону взяты частично из работ [9, 14, 15]. В работе [15] предложен метод измерения параметров и определены вязкоупругие свойства изолонов ППЭР3010 и ПСЭВ3005.
Рассмотрим соотношения (4) при построении модели. При изотермическом изменении давления газа в поре модуль всестороннего сжатия Кв = Рп и К8 / Р >> 1, где Р - давление
газа в поре. Использовать соотношения (4) для вычисления модулей (5) при произвольных значениях пористости возможно, если установлена функциональная связь между модулями К, К Анализ данных по модулям всестороннего сжатия К8,Кв ,Кс и ц при фиксированных значениях пористости позволил предложить аппроксимацию связи между модулями К8,Кс равенством Кс = (1 -в)2К. Так как модуль всестороннего сжатия выражается через постоянные Ламе материала скелета К 2ц /3, то аналогично получается связь
постоянных Ламе материала и скелета. Тогда выражения для модулей в уравнении (1) согласно (5) при предложенной квадратичной аппроксимации Кс = (1 — в)2К8 примут вид
Е = А + ^ = (^8 + ц8)(1—в)2 + вР(1 —в)2, 0 = еР(1—в), Я = вР. (6)
При этом соотношения (6) удовлетворяют условию "физичности" модели (3), что позволяет удовлетворительно использовать данную модель. Требованию р12(0) = 0, р12(1) = 0 можно удовлетворить положив р12 = в(1 — в0)(1 — а)рв .
В системе (1) положим, что смещения определяются скалярным и векторным потенциалами [6]
и = ^аё ф + го^И = ^аё ф — ^го^ШуУ = 0, (7)
Р22
где ф, ф - скалярные потенциалы, ¥ - векторный потенциал.
Потенциалы (7) при подстановке в уравнение (1) дают систему
д2 д2 д2 д2 ЕАф + 0Аф = р11 —т ф + р12—^ф, 0Аф + ЯАф = р12—т ф + р22—^Ф,
11 а2 а2 а2 а
22
72
22 = р11р22 — р12
р22 д
{0Аф — р12 + {ЯА — Р22 = 0,
2 2
где у1 у2 - корни уравнения
^Еу2 — рп 0у2- р12 Л
2 2 0У - р12 ЯУ — р22
У
или
2 _ Яр11 + Ер 22_
У1,2 =--^¡ц—-±
±
2(ЯЕ — 02)
У(Ярц + Ер22 — 20р12)2 — 4(ЯЕ — 02)(рир22 — р22) 2(ЯЕ — 02)
(8)
(9)
Представим первые два уравнения в (8) системой равенств
д2 д2 {ЕА — рп —у}ф + {0А — р12 = 0, д д
д2 д2
д1У}ф + {ЯА —р22
После исключения потенциала ф получим уравнение для потенциала ф
д2 д2 д2 [(ЕЯ — 02)АА — (Ярп + Ер22 — 20р12)А-2 + (р^ — р22) ^]ф = 0 . (10)
дГ а2 а2
Проведя факторизацию уравнения (10) получим
9 д2 9 д2
{А + у2 ¿2}{А + У2 ¿2}ф = 0, (11)
= 0, (12)
(13)
Представим потенциалы равенствами
ф = ф +Ф2,ф = В1ф1 + В2ф2 . (14)
Где веса
Вп = —+ р12 = —у2Е + ри . (15)
р22 + УпЯ р12 +уп0
Здесь потенциалы есть решение уравнений [6]
(А + у2 ау}ф1 = 0,{А +V2 ау}ф2 = 0, цА* = р11р22 р22 ау*. (16)
1 а2 2 а2 р22 а2
Пусть акустическая волна в полупространстве распространяется только по оси х, не зависит от координаты у и изменяется по синусоидальному закону. Тогда уравнения для потенциалов (15) превратятся в уравнения для комплексных амплитуд потенциалов
{А^2Ш2}ф* = 0,{А^ 2Ш2}ф*2 = 0, цА* * =-^*(рпр22 - р22)®2 / р22
а2 а2 , (17)
* = ^ А=аХт-аХг
где ю - круговая частота.
Выражения для ф1 ф2 согласно (17) имеют вид
ф* = [с1 ехр(к^) +с2ехр(-к12)]ехр(]Кх), фЦ = [сз ехр(к^) +с4ехр(-к22)]ехр(]Кх) у 2 = [с5 ехр(к^) + сбехр(-к32)]ехр(]Кх), к1 = вяП(К2 +Vl2ш2),k2 = бяг1(К2 +v 2ш2), (18)
к3 = 8ЯП(к2 -Ш2D), В = (р11р22 р22)/ р22Ц
где Сп - постоянные интегрирования, K - волновой вектор при распространении волны по оси x.
Комплексные амплитуды потенциалов согласно (14) и (18) равны ф* = [с1 ехр(к^) +с2ехр(-к^) + с3 ехр(к^) +с4ехр(-к22)]ехр(]Кх)
ф* = [Б1с1 ехр(к^) + в1с2ехр( -к^) + в2с3 ехр(к^) + Б2с4ехр(-к22)]ехр(]Кх) (19)
у 2 = [с5 ехр(к32) + сб ехр(-к32)]ехр(]Кх)
Компоненты напряжений
т с Х , 0 Х , ^ в в ^ а Х , т-> а в Х 0 ,аиХ3 аиХ1Л ст33 = Ее + 2Цвз3 + Qe ,^33 = ^и3 + Я—и^ав = 2Ц(^— + ), (20)
а2 а2 ах а2
где ех = divu,eБ = divUБ - объемные деформации в упругой среде и газе. Краевые условия на свободной поверхности слоя при z=0 примут вид
стХ3(0, ш) + ав3(0, ш) = 0, аХ3(0, ш) = 0,]шш3(0,1) = ¡шв (иХ(0,1) - ив (0,1)) = 0 (21)
Последнее краевое условие в (21) означает, что среда с закрытыми порами.
Смещения элемента скелета
и1 = ¡Кехр(.Кх)[с1 ехр(к^) +с2ехр(-к^) +
+ с3 ехр(к^) +с4ехр(-к^)] -к3с5 ехр(к32) + к3сб ехр(-к32)
и3 = ехр(.Кх)[к1с1 ехр(к^) - к1с2ехр(-к12) +
+ к2с3 ехр(к^) - к2с4ехр(-к22) + ¡К(с5 ехр(к32) + сб ехр(-к32))]
Смещение газа
их = ехр(.Кх)[.К(в1с1ехр(к17) + в1с2ехр(-к17) +
+ в2с3 ехр(к^) + в2с4ехр(-к27)) + (р12 / р22)(к3с5 ехр(к37) - к3сб ехр(-к3/))]
и3 = ехр(.Кх)[к1в1с1 ехр(кх7) - к1в1с2ехр(-к17) +
+ к2в2с3 ехр(к2/)-к2в2с4ехр(-к27)-(р12/р22).К(с5 ехр(к37) + сб ехр(-к^))]
(22)
(23)
(24)
(25)
Анализ неизлучающих волн Рэлея проводится для полупространства в области z<0. При этом рассматривается затухающее решение при z^—да. Для выполнения этого требования необходимо положить в (22), (23), С2 = С4 = С6 = 0. Тогда выражения для смещений упростятся
ц = ехр(]Кх)[]К(С exp(k1z) + С exP(^z)) — к3С5 exp(^z)] и3 = ехр(]Кх)[кС exp(k1z) + exp(^z) + ]КС exp(^z)]
их = exp(jKx)[jK(B1C1 exp(k1z) + В2Сз exp(k2z)) + (р12/Р22Ж3С5 exp(kзz)] из = exp(jKx)[k1B1C1 exp(k1z) + к2В2С3 exp(k2z) — (р12 /р22)jKC5 exp(k3z)]
Деформации скелета тела и газа в порах при этом
втзз = ди3 = exp(jKx)[k1k1C1 exp(k1z) + k2k2C3 exp(k2z) + jKC5k3 exp(k3z)],
дz
Вт11 = ^ = exp(jKx)jK[jK(Cl exp(klz) + Сз exP(k2z)) —^С5 exP(k3z)] _
дx (26)
тт
2вТ1з = (-+-) = exp(jKx)[jK(C1k1 exp(k1z) + C3k2 exp(k2z)) —k3k3C5 exp(k3z)] +
дx &
+ exp(jKx)jK[k1C1 exp(k1z) + ^Сз exp(k2z) + jKC5 exp(k3z)]
д
8ВП = — Ц = exp(jKx)jK[jK(BlCl exp(klz) + В2С3 exp(k2z)) + (Р12/р22)kзC5 exp(kзz)]
дx д
8Взз = — из = exp(jKx)[k1k1B1C1 exp(k1z) + k2k2B2C3 exp(k2z) — (р12 / р22)jKC5k3 exp(k3z)]
дz
На поверхности тела при z=0 деформация 8Т1з = 0 согласно краевому условию (21) и выражению (26)
8Т1з(0,0)) = jKClkl + jKCзk2 —kзkзC5 + jKklCl + jKk2Cз — KKC5 =
= 2jKk1C1 + 2jK^C — + = 0
Следующее краевое условие замкнутости пор 8jш(uт(0, ш) — иВ(0, ш)) = 0
klCl + k2Cз + jKC5 = klBlCl + k2B2Cз — Р12 / Р22jKC5 ]
(1 — В!) + k2Cз(1 — В2) + jKC5 (1 + Р!2/ Р22) = 0 ( )
Определим краевые условия для нормальных напряжений. Для этого находим дивергенции (объемные деформации)
eT(0,0) = + k2k2Cз — jKC5kз + jK[jK(Cl + С3) +kзC5] =
= Сх (k1k1 — Ж) +С3 (k2k2 — KK)
eB(0,0) = jK[jK(AlCl + А2С3) — (Р12 /Р22)kзC5] + ^АС + k2k2A2Cз + (Р12 /Р22)jKkзC5 =
= (^ — ^В^ + (^—Ж^Са
Напряжения в теле и газе на поверхности при z=0 а33 Т (0,0) = ЕС (^1 — KK) +С — Ж) + + ККС + )] +
+ — ^в^ + (^2—^в^] = = с — кк) + — + 2^^]+
+ — KK) + 0(^2 — + + С^^з
а33 В(0,0) = ОС (^1 — KK) — KK)] +
+ — Ж^С + {k2k2 —Ж^^] = (31)
= ^[0(^1 — Ж) + — ] + С [0(^2^ — Ж) + — ^^ ]
(30)
Сумма нормальных напряжений тела и газа в порах на поверхности при z=0
а3 Зт (0,0)+с33в (0,0) = с [Е(кк - кк)+0(к1к1 - КК)В+]+
+ С3[Е(к2к2 - КК) + 0(к2к2 - КК)В + 2^к2к2] + С52щКк3 + (32)
+- кк)+я(кк - КК)в]+С3[д(к2к2 - кк)+я(к2к2 - кк)В2 ]
Краевые условия согласно (21), (27), (28), и (32) примут вид
кА(1 - во + к2С3(1 - В2) + ]КС5(1 + Р12 /Р22) = 0 (33)
С [Е(кк - кк)+- кк)в++- кк)+- кк)в]+
+ Сз[Е(к2к2 - КК) + 0(к12к2 - КК1)В2 + 2^] + [0(к2к2 - КК) + + Я(к2к2 - КК)В2] + С52^Кк3 = 0 ( )
2]КкС + 2]Кк2С3 - (к3к3 + КК)С = 0 Элементы матрицы однородной системы краевых условий (34) АС = 0
А11 = к1(1 - В1), А12 = к2(1 - В2), А13 = ]К(1 + Р12 / Р22) = 0
А21 = Е(кк - КК) + - КК)В + 2ЦЦ + - КК) + Я(кк - КК)В!
А22 = Е(к2к2 - КК) + 0(1к2к2 - КК)В2 + 2цк2к2 + - КК) + - КК)В2 ^
А23 = ]2^Ккз, Аз! = 2]Кк!, А32 = 2]Кк2,Азз = -(кзкз + КК)
Равенство нулю определителя матрицы (35) определяет дисперсионное соотношение для определения собственных значений волновых векторов K и скоростей поверхностной волны.
Рассмотрим далее случай свободной границы и пористого тела с открытыми порами. Согласно [6,7] краевые условия примут вид
аззт = ОДк^ - КК) + 0(^1 - КК)В1 + 2^] + + С3[Е(к2к2 - КК) + 0(к2к2 - КК)В2 + 2^к2к2] + С52^Кк3 = 0
ст33В = С[0(кк1 - КК) + - КК)В] + С3[0(к2к2 - КК) + Я(к2к2 - КК)В2] = 0 (37) 8т1з(0,0)) = 2]КкС + 2_]Кк2С3 - (к3к3 + КК)С = 0 (38)
Элементы матрицы составленной из краевых условий для проницаемой границы (при открытых порах) тела.
ап = [Е(ц - кк)+- кк)В+
А12 = [Е(к2к2 - КК) + 0(к2к2 - КК)В2 + 2дк2к2] Ав = ]2|Жкз
А21 = [0(кк1 - КК) + - КК)В] (39)
А22 = [0(к2к2 - КК) + Я(к2к2 - КК)В2] А23 = 0
А31 = 2]Кк1,А32 = 2]Кк2С3,А33 = -(к3к3 + КК)
Определитель матрицы (38) определяет дисперсионное соотношение для определения собственных значений волновых векторов и скоростей поверхностной волны.
Анализ дисперсионных соотношений = ёе1;(А) = 0 показал, что значения
скоростей не зависят от частоты, что совпадает со свойствами волны Рэлея для упруго плоского тела. Вычисление значений волновых векторов К проводилось с помощью, разработанной программы, в которой вычисление корней определителя проводилось методом деления отрезка пополам. При расчетах феноменологические параметры тел были выбраны близкие к параметрам пористого вспененного пенополиэтилена (изолона) [14, 15] и полиуретана [9].
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА МОДЕЛИ
1. Волны Рэлея существуют в обеих пористых структурах как с закрытыми, так и открытыми порами.
2. Существует диапазон непрерывного значения пористостей от 0 до 0.55, в которых устойчиво существуют волны Рэлея. Корни дисперсионного уравнения Disp = det(A) = 0 есть волновые вектора К, они при этом имеют действительные значения, что соответствует волне распространяющейся по поверхности без уноса энергии в глубь тела. В данном диапазоне происходит непрерывное уменьшение скорости волн с ростом пористости. Есть наличие небольшого окна существования волн около значения пористости 0.7. Комплексные корни дисперсионного уравнения Disp = det(A) = 0 определяют волну, в которой происходит унос энергии в глубь тела.
3. Для структуры с закрытыми порами при значениях параметров Ламе скелета Х=0.83Е9 Па, ^=0.35Е9 Па и плотности материала скелета (изолон) рт=800 кг/м3 волна
существует только при значении извилистости а = 1.
4. Для структуры с закрытыми порами при значениях параметров Ламе скелета Х=0.83Е8 Па, ^=0.35Е8 Па и плотности материала скелета (изолон) рт=800 кг/м3 волна
существует только при значении извилистости в диапазоне 1 < а < 2.5.
5. Для структуры с закрытыми порами при значениях параметров Ламе скелета Х=0.83Е7 Па, ^=0.35Е7 Па и плотности материала скелета (изолон) рт=800 кг/м3 волна
существует только при значении извилистости в диапазоне 1 < а < 6.
5. Для структуры с закрытыми порами при значениях параметров Ламе скелета Х=0.83Е6 Па, ^=0.35Е6 Па и плотности материала скелета (изолон) рт=800 кг/м3 волна
существует только при значении извилистости в диапазоне 1 < а < 15 .
Данное свойство можно объяснить тем, что при уменьшении упругости скелета его сжимаемость становится соизмеримой с упругостью воздуха в порах и начинает происходить упругая деформация оболочки пор.
6. Для структуры с открытыми порами при значениях параметров Ламе скелета от Х=0.83Е6 Па, ^=0.35Е6 Па до Х=0.83Е10 Па, ^=0.35Е10 Па и плотности материала скелета
(изолон) р =800 кг/мз волна существует при достаточно больших значениях извилистости,
например, при 1 < а < 30.
Данное свойство можно объяснить тем, что происходит переток воздуха из данной открытой поры в соседнюю пору, что уменьшает влияние жесткости скелета.
7. Скорости волн при значениях параметров Ламе материала скелета Х=0.83Е8 Па, ^=0.35Е8 Па и плотности материала скелета (изолон) рт=800 кг/м3 при
изменении пористости в диапазоне непрерывного существования волн 0 < 8 < 0.55 лежат в диапазоне 200-140 м/с. При Х=0.83Е7 Па, ^=0.35Е7 Па диапазон скоростей 62-43 м/с.
8. Изменение извилистости в диапазоне 1 <а< 30 слабо изменяет величины скоростей
волн.
ВЫВОДЫ
Разработанная на основе теории Био модель двухфазной среды для пористых газонаполненных материалов, позволяет анализировать любые типы объемных, продольных и поперечных волн. Разработанное программное обеспечение позволяет находить скорости волн при вариации пористости и других заданных параметров тел при условии существования единственного действительного корня дисперсионного соотношения. Показано, что в случае с закрыто-ячеистой структуры (непроницаемая граница) поперечная поверхностная волна Рэлея существует в достаточно узком диапазоне изменения величины
извилистости пор, а в случае открытой ячеистой структуры (проницаемая граница) ограничения на эту величину нет. Существует диапазон непрерывного значения пористостей от 0 до 0.55, в которых устойчиво существуют волны Рэлея. Условием существования волны Рэлея является действительность значений волновых векторов К, получаемых из дисперсионного уравнения Disp = det(A) = 0 . Действительные значения волновых векторов К определяют волны, распространяющиеся по поверхности без уноса энергии в глубь тела.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.
2. Разин А. В. Рассеяние поверхностной акустической волны Рэлея на неоднородности малых размеров в твердом полупространстве // Известия вузов. Радиофизика. 2010.
Т. 53, № 7. С. 464-480.
3. Чурсова Л. В., Соколов И. И., Лукина А. И. Разработка полимерных синтактных и пеноматериалов нового поколения с повышенными эксплуатационными характеристиками // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2017. Т. 60, Вып. 2. С. 67-73. https://doi.org/10.6060/tcct.2017602.5469
4. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. 1. Low frequency range // Journal of the Acoustical Society America, 1956, vol. 28, no. 2, pp. 168-178. https://doi.org/10.1121/1.1908239
5. Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // Journal of Applied Physics, 1962, vol. 33, no. 4, pp. 1482-1498. https://doi.org/10.1063/1.1728759
6. Молотков Л. А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых телах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука, 2001. 348 с.
7. Городецкая Н. С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах //Акустический вестник (Украина). 2007. Т. 10, № 2. С. 43-63.
8. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Влияние пористости на характеристики волн Релеевского типа в многослойном полупространстве // Акустический журнал. 2011. Т. 57, № 2. С. 234-245.
9. Ильясов X. X., Кравцов А. В., Кузнецов С. В., Секерж-Зенькович С. Я. Об особенностях акустических волн в средах с большими значениями пористости в рамках теории Био // Акустический журнал. 2017. Т. 63, № 6. С. 665-669. https://doi.org/10.7868/S0320791917060041
10. Ильясов Х. Х. Распространение неизлучающих волн вдоль свободной поверхности пористой флюидонасыщенной среды // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 12. С. 2268-2275.
11. Городецкая Н. С., Соболь Т. В. Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства // Акустический вестник (Украина). 2008. Т. 11, № 1. С. 3-11.
REFERENCES
1. Viktorov I. A. Zvukovye poverkhnostnye volny v tverdykh telakh [Sound surface waves in solids]. Moscow: Nauka Publ., 1981.
2. Razin A. V. Scattering of a Rayleigh surface acoustic wave by a small-size inhomogeneity in a solid half-space. Radiophysics and Quantum Electronics, 2010, vol. 53, pp. 417-431. https://doi.org/10.1007/s11141-010-9239-3
3. Chursova L. V., Sokolov I. I., Lukina A. I. Razrabotka polimernykh sintaktnykh i penomaterialov novogo pokoleniya s povyshennymi ekspluatatsionnymi kharakteristikami [Study of polymer syntactic and foam materials of new generation with improving operational characteristics]. Izvestiya vuzov. Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya [ChemChemTech], 2017, vol. 60, iss. 2. pp. 67-73. (In Russian).
4. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. 1. Low frequency range. Journal of the Acoustical Society America, 1956, vol. 28, no. 2, pp. 168-178. https://doi.org/10.1121/U908239
5. Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. Journal of Applied Physics, 1962, vol. 33, no. 4, pp. 1482-1498. https://doi.org/10.1063/1.1728759
6. Molotkov L. A. Issledovanie rasprostraneniya voln v poristykh i treshchinovatykh telakh na osnove effektivnykh modeley Bio i sloistykh sred [Investigation of wave propagation in porous and fractured bodies based on effective models of Bio and layered media]. Saint Petersburg: Nauka Publ, 2001. 348 p.
7. Gorodetskaya N. S. Volny v poristo-uprugikh nasyshchennykh zhidkost'yu sredakh [Waves in porous elastic fluid-saturated media]. Akusticheskiy vestnik (Ukraina) [Acoustical Journal (Ukraine)], 2007, vol. 10, no. 2. pp. 43-63. (In Russian).
8. Glushkov E. V., Glushkova N. V., Fomenko S. I. Influence of porosity on characteristics of Rayleigh-type waves in multilayered half-space. Acoustical Physics, 2011, vol. 57, no. 2, pp. 230-240. https://doi.org/10.1134/S1063771011020059
9. Il'yasov Kh. Kh., Kravtsov A. V., Kuznetsov S. V., Sekerzh-Zen'kovich S. Ya. Features of acoustic waves in media with large porosity values in the framework of the Biot theory. Acoustical Physics, 2017, vol. 63, pp. 711-715. https://doi.org/10.1134/S1063771017060045
10. Il'yasov Kh. Kh. Propagation of evanescent waves along the free surface of a fluid-saturated porous medium. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2004, vol. 44, no. 12, pp. 2159-2165.
11. Gorodetskaya N. S., Sobol' T. V. Osobennosti poverkhnostnykh voln na svobodnoy granitse poristo-uprugogo poluprostranstva [Features of surface waves on the free boundary of a porous-elastic half-space]. Akusticheskiy vestnik (Ukraina) [Acoustical Journal (Ukraine)], 2008, vol. 11, no. 1, pp. 3-11. (In Russian).
12. Губайдуллин А. А., Болдырева О. Ю. Распространение поверхностных акустических волн вдоль свободной границы насыщенной пористой среды \\ Прикладная механика и техническая физика., 2009. Т. 50, № 5. С. 46-55.
13. Князьков Н. Н., Шарфарец Б. П. Акустика пористо-упругих насыщенных жидкостью сред (Обзор теории БИО) // Научное приборостроение. 2016. Т. 26, № 1. С. 77-84.
14. Bogdan O. P., Zlobin D. V., Muravyeva O. V., Molin S. M., Platunov A. V. Evaluation of non-dimensionality elastic properties of sheets of closed-cell polyolefin foams by acoustic method // Приборы и методы измерений. 2021. Т. 12, № 1. С. 58-66. https://doi.org/10.21122/2220-9506-2021-12-1-58-66
15. Леньков С. В., Молин С. М., Копытов А. Г. Резонансный метод измерения вязкоупругих свойств демпфирующих материалов типа пористых закрытоячеистых пенополиэтиленов // Дефектоскопия. 2014, №3. С. 57-63.
12. Gubaidullin A.A., Boldyreva O.Y. Propagation of surface acoustic waves along the free boundary of a saturated porous medium. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2009, vol. 50, no. 5, pp. 768-775. https://doi.org/10.1007/s10808-009-0105-z
13. Knyaz'kov N. N., Sharfarets B. P. Akustika poristo-uprugikh nasyshchennykh zhidkost'yu sred (Obzor teorii BIO) [Acoustics of porous-elastic liquid-saturated medium (An overview of the BIOT Theory)]. Nauchnoepriborostroenie [Scientific Instrumentation], 2016, vol. 26, no. 1, pp. 77-84. (In Russian).
14. Bogdan O. P., Zlobin D. V., Muravyeva O. V., Molin S. M., Platunov A. V. Evaluation of non-dimensionality elastic properties of sheets of closed-cell polyolefin foams by acoustic method. Devices and Methods of Measurements, 2021, vol. 12, no. 1, pp. 58-66.
https://doi.org/10.21122/2220-9506-2021-12-1-58-66
15. Len'kov S. V., Molin S. M., Kopytov A. G. Resonance measurement technique for viscoelastic properties of damping materials of the porous closed cellular PE foam type. Russian Journal of Nondestructive Testing, 2014, vol. 50, no. 3, pp. 180-185. https://doi.org/10.1134/S1061830914030061
Поступила 07.06.2023; после доработки 11.09.2023; принята к опубликованию 12.10.2023 Received June 7, 2023; received in revised form September 11, 2023; accepted October 12, 2023
Информация об авторе
Сергей Викторович Леньков, доктор технических наук, заведующий лабораторией, главный научный сотрудник, УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация, e-mail: emp@udman.ru
Information about the author
Sergey V. Lenkov, Dr. Sci. (Eng.), Chief Researcher, Head of the Laboratory, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation, e-mail: emp@udman. ru
