CC BY
7Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2023. Том 30, № 4
УДК 539.3
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ СРЕДЫ КОССЕРА В СЛУЧАЕ ОДНОРОДНЫХ И УПРУГО-СТЕСНЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Ю. М. Григорьев, А. А. Гаврильева
Аннотация. Исследуется задача о распространении поверхностной волны Рэлея в бесконечном полупространстве в рамках микрополярной теории упругости. Предполагается, что деформированное состояние среды описывается независимыми векторами перемещения и вращения (среда Коссера). Получено общее решение, описывающей распространение поверхностной волны Рэлея. Методом построения мажорант показано, что не существует поверхностных волн Релэя в полупространстве упругой среды Коссера, когда на поверхности заданы однородные граничные условия, соответствующие основным задачам классической теории упругости: «жесткая заделка», «скользящая заделка», «жесткая сетка». Для случаев граничных условий, соответствующих задачам классической теории упругости: «свободная поверхность», «упругого стеснения», методом построения мажорант показано, что существует поверхностная волна Рэлея, когда моментные напряжения равны нулю на поверхности, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу при больших частотах волны; когда вектор вращения равен нулю на поверхности найдены достаточные условия на параметры среды Коссера существования поверхностных волн Релэя, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу при больших частотах волны. Качественный анализ полученных дисперсионных соотношений показал, что поверхностная волна Рэлея обладает дисперсией, упругое стеснение приводит к отсутствию поверхностной волны при малых частотах. В случае микрополярной среды из полиуретановой пены построены численные значения параметров волны и деформации среды. Затухание вектора перемещений с глубиной в микрополярной теории упругости более медленное, чем затухание в классической теории упругости. Значительное отличие в значениях вектора перемещения в классической и микрополярной среде наблюдается по направлению упругого стеснения.
Б01: 10.25587/2411-9326-2023-4-81-104 Ключевые слова: микрополярная теория упругости, среда Коссера, поверхностная волна Рэлея, дисперсионное соотношение, свободная поверхность, жесткая заделка, скользящий контакт, жесткая сетка, упруго-стесненная граница.
Введение
В 1885 г. Рэлей теоретически обосновал существование плоских волн, распространяющихся вдоль свободной поверхности однородного несжимаемого изотропного линейно-упругого полупространства и экспоненциально затухающих
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-2120079).
© 2023 Григорьев Ю. М., Гаврильева А. А.
с глубиной [1], которые сейчас называются волнами Рэлея. При этом волны Рэлея не испытывают дисперсию, скорость волн определяется из трансцендентного дисперсионного уравнения Рэлея, а частицы свободной поверхности движутся по эллипсам. Детальное исследование уравнения Рэлея проведено в [2] и показано, что только одно решение уравнения Рэлея имеет физический смысл. В случае неоднородной среды в монографии [3] детально описаны эффекты гравитации, искривления поверхности.
Экспериментальное и теоретическое изучение поверхностных волн имеет неослабевающее практическое значение. Дело в том, что вскоре после работы Рэлея были обнаружены поверхностные волны, генерированные землетрясениями. Выявлено, что поверхностные сейсмические волны имеют дисперсию и являются основной причиной разрушительных явлений, так как они являются основными переносчиками энергии при землетрясениях [4]. Высокочастотные рэлеевские и другие типы поверхностных волн находят широкое применение в методах неразрушающего контроля при обследовании поверхностного слоя материалов, в акустоэлектронике и для других технических целей [5]. Более того, практическую значимость имеет изучение закономерностей распространения поверхностных волн в тонкостенных элементах конструкций — пластинах и оболочках. На сегодняшний день с целью теоретического объяснения наблюдаемых на практике свойств поверхностных волн исследуются усложненные модели деформируемых сред. В [6] использован формализм Стро при исследовании микрополярных волн Рэлея. В [7, 8] применяется шестимерный подход, отличный от формализма Стро, позволяющий эффективно решать проблемы поверхностных волн в анизотропных средах. Огромное количество работ публикуется по поверхностным волнам типа Рэлея для деформируемых сред с сопряжениями различных физических полей.
В данной работе мы изучаем поверхностные волны в рамках линейной микрополярной теории упругости. Эта модель деформируемого тела представляет собой один из вариантов модели обобщенной среды, когда элемент среды обладает шестью степенями свободы и его кинематика описывается независимыми векторами перемещения и вращения (среда Коссера). В отличие от классической модели деформируемого тела учет вектора вращения позволяет описать поведение материала со сложной внутренней структурой. Идея модели среды с вращательным взаимодействием ее частиц восходит к трудам Фойхта [9] 1887 г. Первая попытка полного построения теорий упругости с несимметричным тензором напряжений и моментных напряжений была изложена в работе Эжена и Франсуа Коссера в 1909 г. [10]. Далее активное развитие микрополярной теории упругости относится уже к 60-м годам XX века. Оно связано с именами В. Гюнтера, К. А. Трусделла, Дж. Л. Эриксена, Р. А. Тупина, Р. Д. Миндли-на, Г. Ф. Тирстена, В. Т. Койтера, А. К. Эрингена, А. Е. Грина, В. Новацкого, Е. В. Кувшинского, Э. Л. Аэро, В. А. Пальмова, Г. Н. Савина [11-16] и многих других.
В обзоре [17] детально разобраны достоинства и недостатки различных обозначений упругих постоянных, применяемые в линейной микрополярной упругости. Отмечено, что неудачные обозначения, используемые Эрингеном [13] и др., приводят к некоторым ошибочным результатам. Учитывая выводы этой работы, мы применяем подход и обозначения В. Новацкого [15]. В этой теории волны Рэлея впервые рассмотрены в [14]. В [18] исследованы микрополярные термоупругие поверхностные волны и, как частный случай, сделаны выводы по микрополярным волнам Рэлея. Отмечается, что результаты статьи [14] по волнам Рэлея являются приближенными и справедливы только для определенного частного случая микрополярной среды. В [19] проведено более полное исследование плоских волн Рэлея, отмечено наличие дисперсии и показан экстремальный характер частотной зависимости минимального по абсолютной величине коэффициента затухания амплитуды. В [20] показано, что поверхностная волна рэлеевского типа может распространяться на микрополярной цилиндрической поверхности, если смещения частиц являются чисто азимутальными и что благодаря микрополярному эффекту скорость волны Рэлея увеличивается. В этой работе отсутствуют ссылки на предыдущие исследования по микрополярным волнам Рэлея. В цикле работ М. А. Кулеша (см. [21,22] и др.) использованы два подхода для изучения микрополярных волн Рэлея, в том числе рассматривались решения в форме волновых пакетов, определяемых спектром Фурье произвольной формы.
Не менее практическую и теоретическую значимость имеют исследования распространения поверхностных волн в случае несвободной от напряжений поверхности. Такие задачи актуальны с точки зрения разработки сейсмических барьеров для защиты сооружений от поверхностных волн [23, 24]. Вместе с тем в работе [25] показана возможность защиты чувствительных к разрушительным волнам Рэлея конструкций. Механизм защиты заключается в том, что разрушительные волны Рэлея перенаправляются микрополярным материалом, накрывающим конструкцию, не достигая защищаемую конструкцию. В настоящее время в случае классической теории упругости показано, что могут возникать трехмерные поверхностные волны в полупространстве в случае смешанных граничных условий на поверхности [26].
В данной работе сначала методом построения мажорант будет показано, что не существует поверхностных волн Релэя в полупространстве упругой среды Коссера, когда на поверхности заданы однородные граничные условия, соответствующие основным задачам классической теории упругости: «жесткая заделка», «скользящая заделка», «жесткая сетка». Затем для случаев однородных граничных условий, соответствующих задачам классической теории упругости: «свободная поверхность», «упругого стеснения», методом построения мажорант будет показано существование поверхностных волн Релэя, будут найдены достаточные условия на параметры среды существования конечного предела фазовой скорости распространения волны при больших частотах колебания волны и сам
предел. В завершение в случае среды из полиуретановой пены будут построены численные значения параметров волны и деформации среды с целью выявления количественного отличия решений, построенных в классической теории упругости и в микрополярной теории упругости при однородных и «упруго-стесненных» граничных условиях.
1. Постановка задач
Рассматривается упругая изотропная среда Коссера D(p, j, А, a,e,Y,e, j), упруго-динамическое состояние которой, соответствующее массовой силе X и массовому моменту Y, описывается четверткой (u, ш,<г, J) [15]:
V ■ СТ + X = pU, CTT : E + V ■ р + Y = jw;
7 = Vu - E ■ w, x = Vw; (1.1)
CT = 2jCT(s) + 2a7(A) + AI\ (7 )e, J = 27x(S) + 2ex(A) + Ph (x)e.
Исключая ст и J в (1.1), получим уравнение динамики в перемещениях u и вектор вращения ш:
(2 j + A) grad div u — (j + a) rot rot u + 2a rot w + X = pU, (27 + в) grad div w — (7 + e) rot rot ш + 2a rot u — 4aw + Y = jш,
где 7, x — тензоры деформаций и изгиба-кручения; ст, J — тензоры напряжений и моментных напряжений; j, А — постоянные Ламе; a, в, Y, e — физические постоянные материала в рамках упругой среды Коссера; p — плотность; j -плотность момента инерции (мера инерции среды при вращении); EE — тензор Леви-Чевиты третьего ранга; (^)(S) — операция симметрирования; (-)(A) — операция альтернирования; V(-) — набла-оператор; Ii(-) — первый инвариант тензора; е — единичный тензор.
Упругая изотропная среда заполняет полупространство, массовые силы и моменты отсутствуют. Оси декартовых координат x и y направлены по поверхности, а ось z — вглубь полупространства.
Поверхностная волна Релэя ищется в виде
u(x,y,t) = (U*(z), 0, Uz(z)) exp(z(kx — ft)), ( )
w(x,y,t) = (0, Wy(z), 0) exp(z(kx — ft)), ( . )
где i = — мнимая единица; к — вещественное волновое число; / — ве-
щественная круговая частота; Ux(z), Uz(z), Wy(z) — амплитудные функции, зависящие от глубины. Физический смысл имеют вещественные части рассматриваемых комплекснозначных решений.
Далее исследуются 16 краевых задач распространения поверхностных волн Рэлея в упругом полупространстве Коссера в случае однородных граничных условий основных задач микрополярной теории упругости на поверхности, сформулированных В. Д. Купрадзе [27], и 8 краевых задач — в случае граничных условий «упруго-стесненной» поверхности [33].
1.1. Построение общего решения. Все величины приведем к безразмерному виду с использованием характерного размера Х0 и характерной частоты /о:
а + ¡л
А = Хо
с1 =
А + 2м
С2 =
м
В( 7 + е) М
В
сз =
а
а + м
=
7 + £
да!
(1.4)
рХ2/2' ^ рХ2/2' 3 рХ/
Здесь первые две величины, как и две последние, обусловлены наличием новых материальных констант среды Коссера.
Подставляя безразмерное точное решение (1.3) в безразмерное уравнение динамики (1.2), получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка для амплитудных функций их, ия, Шу:
¿г2
+
С2 С1ГХ+ С2 Лг
2 <ШУ ~В ¿г
= 0,
¿г2
+
/2 ,2сз2\тг ,с? - с32 ¿и
■Ьт - & )?7г 1 3
с2
с2
х 2гкС2
с2
¿г
(1.5)
-"1
¿г 2
+
^--к2 -С2
4А2В\ 2А2В ¿их
—1П + —11ь
ИкА2В, В- 1
= о.
Построим общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка (1.5). Применив замену искомых функций в виде
= и2(г) = ^^+{кУ(г), И^у(г) = П(г), (1.6)
¿г ¿г
получим равносильную систему уравнений третьего порядка (1.7)—(1.9):
(¿20 //2 2 4А2В\
¿г2 + V С|
в-11 в- п
0,
(1.7)
с12
¿г I ¿г2
— -к2 С2
У) = 2-
С2 —
с32
¿г
(1.8)
-к2 У
¿г \ ¿г2
Заметим, что сложение продифференцированного по г уравнения (1.9) и умноженного на гк^ уравнения (1.8) приводит к одному уравнению только на искомую функцию Е(г):
сГк2У)+гкШ^ +
11
с2
С2 _ с2
-2¿¿Г3 (1.9)
с2
¿2
¿г2 \ ¿г2
+
II
С2
-к2 ^ -к
¿г2
+
II
С2
к2
^ = 0,
общее решение которого
с2
с2
/2 о /2 о
Уо =
^^-Р/С2, (1.10)
х
¿2и
2
2
где F0, F0, D0, D0 — произвольные постоянные.
с2
Далее, умножаем уравнение (1.8) на -щ и дифференцируем по z, умножаем на i уравнение (1.9). Полученные уравнения подставляем в умноженное на 2 Сзс±2 уравнение (1.7), получим уравнение на искомую функцию Y(z):
С? / f2 4A2B,/ f2 f2 „,, ,„Л
+ ( ( f- - kA( f- - kA - 4A2(£ ~ к2 ) )У = 0.
f<2 / \ f<2 / \ (^2
C4 / \C3 / \C2
Общее решение последнего уравнения
Y (z) = Die-VlZ+D2e-V2Z +D' eVlZ +D2 eV2Z-iC^Foe-^/f 2+iC2F0ekz/f 2, (1.11)
где Di, Z?2, Z?2 — произвольные постоянные, ь>\ = — v2 = ylc^ — a,2,
ai 2 = ^ + 2-éA2 ±
f 2 f 2 ri2 / /^2 /^2 /^2 \ 2 г,2 П2
+AA2f ^
9/^*2 9/^2 /^2 \/ \ (^2 о/^2/^2 ^ I г~<4
2С3 2С4 С3 у у С3 2С3 С4 у С3
Наконец, подставляя .Р (г) (1.10), У (г) (1.11) в (1.6) и в (1.9), получим решение, соответствующее затухающей поверхностной волне Релэя (1.3) исходной системы (1.5):
их(г) = ¿к£0е-^°г + Я^в-"1* + ,
иг (г) = + ¿к£1е-^г + ¿к£2е-^г, (1.12)
^(г) = (В/2)(^(к2 - V? - /2/С2)е-^12 + ^(к2 - - /2/632)е-^),
где _00, _02 — произвольные постоянные; V;!, v2 — положительные вещественные собственные значения, определяемые выражениями
щ = у к2 — /2/С2 > 0, 1/1 = v7^2 - ai > 0, i/2 = v7^2 - a2 > 0, (1.13) в которых
f 2 J-2 / /^2 _ /~<2 \ 2 <^i2 _ /^2
= + 4А2/2—р 62
о/"<2 1 о/"<2 \/ \ ог^2Г^2 •> / 1 «/ Г^2Г^2
2С3 2С4 у у 2С3 С4 у С3 с2
Отметим, что согласно (1.13) фазовая скорость С0д12(/) < т1п(С1, С3,С4) при / го.
Принимая во внимание, что а > 0 [27], нетрудно показать, что верны следующие оценки.
Оценка 1. 0 < ^ < к. Оценка 2. 0 < v1 < к. Оценка 3. 0 < v1 < Оценка 4. VI > к2 - /2/С|. Оценка 5. V!2 < к2 - /2/С2.
Выпишем размерное затухающее решение для вектора перемещения и поворота:
и = Хо(их, 0,иг)ег(йх-/<), ш = (0,Шу, ОУ^-^,
где их, и2 и Шу из (1.12), /, к, I, х, г — безразмерные величины. Согласно геометрическому соотношению и физическому уравнению (1.1) выпишем размерное решение для тензора напряжений и моментных напряжений
, / 0 мху 0 \
„¿(йх-/*)^ ~ = 7 + £ | „ п (1 | рг(кх-Ю Хо
Ухх 0 Ух2
0 ( уу 0
У2х 0 У 22
0 Мху 0
Мух 0 Му2
0 Мгу 0
(1.15)
где безразмерные амплитудные компоненты тензора напряжений
//2 2/2 \ с2 с2
ахг = - ( 2^ + ^В^-** - ^ + ^ ) В2е^
с22 с12
—^ р-"12 - (2к2 - — с2) 1 V С2
= „е-"0* - ( 2к2 - ^ - [2 к2- ^
угг = (2к2 - /2/с2) £0е-^02 - 2ь>1гкП1в-^12 - 2vзгkDзe-V2Z
2
и безразмерные амплитудные компоненты тензора моментных напряжений
/V = ^ 2" ( - - - %) ^^ - - "2 - )
М.у = | ( ~ " ^ " 4) - и2 (V В2е-»
2 с3 с3 (1.17)
2. Основные однородные краевые задачи
Рассмотрим шестнадцать однородных основных краевых задач динамики микрополярной теории упругости [27], соответствующих основным задачам классической теории упругости с однородными граничными условиями: «жесткая заделка», «скользящая заделка», «жесткая сетка», «свободная поверхность».
2.1. Случай «жесткой заделки» на поверхности. Исследуем краевые задачи: первые три условия соответствуют первой основной задаче в классической теории упругости — «жесткая заделка», последние три условия возникают
У
в микрополярной теории упругости,
их = 0, иу = 0, иг = 0, шх = 0, шу =0, = 0,
(2.1)
их =0, иу = 0, иг = 0, Шх = 0, Шу = 0, Ргг = 0;
их =0, иу = 0, иг = 0, Ргх = 0, Ргу = 0, ргг = 0,
у у (2.2) их = 0, иу = 0, иг = 0, Ргх = 0, Ргу =0, = 0.
Рассмотрим граничные условия (2.1). Подставляя общее решение для вектора перемещения и вектора поворота (1.14) в граничные условия (2.1), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных .О^:
¿к VI \
-^о ¿к ¿к ) ( ) =0. (2.3)
0 01 - /2/С2 02 - /2/С2 / ^2/
Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю ее определителя. Это приводит к следующему дисперсионному уравнению:
^2 - ^)(ю/2/Сз2 - (k2(vо - VI - V2) + ю^)) = 0. (2.4)
Рассмотрим дисперсионную функцию
¿1(/,к) = (V2 - Vl)(vо/2/Сз2 - (k2(vо - VI - V2) + V0V1V2)). (2.5)
1. Пусть v2 > к. В силу оценки 2 верна цепочка неравенств -(к2(^ - v1 -v2) + > (v2 - к)(к - v1) > 0, тогда согласно оценке 3 и ¿1(/, к) > 0.
2. Пусть v2 < к. Согласно оценке 4 и оценке 1
2/С"2 - (к2^о - Vl - V2) + ^^2) > (vl + V2)(k2 - V2Vо) > 0,
тогда согласно оценки 3 и ¿1(/, к) > 0.
Следовательно, дисперсионное уравнение (2.4) имеет только тривиальное решение.
Аналогично рассмотрим дисперсионную функцию в случае граничных условий (2.2):
й(/, к) = (*2 - Vl)(k2(/2/С2 - к2 + V2) + (к2 - + (2.6)
1. Пусть v2 < к. В силу оценок 4, 1 и 3 видно, что ¿2(/, к) > 0.
2. Пусть ^ > к. В силу оценки 1 и оценки 2
-к4 + к2^ + (к2 - ^2)(V2 + VlV^ > (v2 - k)(k2(v2 + к) - ^1^2 + Vl)) > 0,
поэтому согласно оценке 3 ¿2(/, к) > 0.
Следовательно, дисперсионное уравнение для (2.6) имеет только тривиальное решение.
Таким образом, поверхностная волна Рэлея (1.3), (1.12) в случае граничных условиях «жесткая заделка» (2.1), (2.2) на поверхности не существует.
2.2. Случай «скользящей заделки» на поверхности. Исследуем краевые задачи: первые три условия соответствуют третьей основной задаче в классической теории упругости — «скользящая заделка» — и оставшиеся условия соответствуют граничным условиям микрополярной теории:
&хх = 0, &ху = 0, их = 0, шх = 0, шу = 0, шх = 0,
(2.7)
&хх = 0, = 0, Пх = 0, Шх = 0, Шу = 0, ргг = 0;
&хх = 0, &ху = 0, Иг = 0, Ргх = 0, ргу = 0, ргг = 0,
(2.8)
&хх = 0, &ху = 0, Пх = 0, Ргх = 0, ргу =0, Шг = 0.
Рассмотрим дисперсионную функцию в случае граничных условий (2.7):
4(/,к) = /Ч^2 - ^?)/С22. (2.9)
Согласно оценке 1 > 0 и оценке 3 > VI, тогда ¿5(/, к) > 0. Следовательно, дисперсионное уравнение для (2.9) имеет только тривиальное решение.
Дисперсионная функция в случае граничных условий (2.7) будет иметь вид
4(/, к) = ^2 - VI)/2/Сз2 - к2 + v2 + V1V2 + V2)/2/С2. (2.10)
Согласно оценке 1 ^ > 0, оценке 3 v2 > v1 и согласно оценке 5 V2 >к2 - /2/Сз2, откуда видно, что верна оценка снизу
4(/, к) = /4^2 - VI) (/2/С2 - к2 + V2 + VIV2 + V2) > 0.
Аналогично дисперсионное уравнение для (2.10) имеет только тривиальное решение.
Следовательно, поверхностная волна Рэлея (1.3), (1.12) в случае граничных условий «скользящей заделки» (2.7), (2.8) не существует.
2.3. Случай поверхности, армированной жесткой сеткой. Исследуем краевые задачи: первые три граничных условия соответствуют четвертой основной задаче в классической теории упругости, в которой касательные перемещения на границе отсутствуют, а сетка при этом не сопротивляется изгибу; последние три граничные условия возникают в микрополярной теории упругости:
их = 0, иу = 0, &хх = 0, шх = 0, шу = 0, шх = 0
(2.11)
их = 0, иу = 0, &хх = 0, Шх = 0, Шу = 0, рхх = 0; их =0, иу = 0, &хх = 0, Рхх = 0, Рху = 0, Рхх = 0,
их = 0, иу = 0, &хх = 0, Рхх = 0, Рху =0, Шх = 0. Дисперсионная функция для граничных условий (2.11) будет иметь вид
¿7(/, к) = -(V2 - ^)(к2 - /2/б| + 2/С2. (2.13)
Из оценки 5 к2 - /2/С3 > V2, тогда и к2 - /2/С3 + v1v2 > v2 + v1v2 > 0 в силу v1 > 0 и v2 > 0, наконец, из оценки 3 следует, что ¿7(/, к) < 0.
Далее, дисперсионная функция в случае граничных условий (2.12) будет иметь вид
4(/,к) = /- ^2). (2.14)
Согласно оценке 2 VI > 0 и оценке 3 > VI > 0, так что дисперсионная функция 4(/, к) < 0.
Итак, не существует поверхностной волны Рэлея (1.3), (1.12) в случае поверхности, армированной жесткой сеткой (2.11) и (2.12).
2.4. Случай свободной поверхности. Исследуем краевые задачи: первые три условия соответствуют второй основной задаче в классической теории упругости — «свободной поверхности», и вторые три граничных условия соответствуют микрополярной теории упругости:
Угж = 0, Угу = 0, Угг = 0, ^гх = 0, ^гу = 0, = 0,
(2.15)
Угх = 0, Угу = 0, Угг = 0, = 0, ^гу = 0, Шг = 0;
Угх = 0, Угу = 0, Угг =0, Шж = 0, Шу = 0, Шг = 0,
(2.16)
Угх = 0, Угу = 0, Угг =0, Шх = 0, Шу = 0, ^гг = 0.
Решение (1.3), (1.12), (1.15) удовлетворим граничным условиям (2.15), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных .О^:
2^о 2к2 - /2/С2 2к2 - /2/С2 \/ До \
2к2 - /2/С| -2г^ -2гк^ |( ^ I = 0. (2.17)
0 VI (01 - / 2/С2) 02 - / 2/С2)/ ^2/
Определитель этой системы формирует дисперсионную функцию в виде
¿э(/, к) = ю(/2/С2 + V22 - к2)((/2/С22 - 2к2)2 - 4к2^)
- VI (/2/С2 + V2 - к2)((/2/С22 - 2к2)2 - 4к2^). (2.18)
Покажем, что дисперсионное уравнение для (2.18) имеет нетривиальное решение.
1. Рассмотрим асимптотику дисперсионной функции:
, , с2 (С2 - с22) + с2 (с2 - с2) 2
с1 с2 с3
' .о (с| - с?)/2\2 4А2(с2 - с22)/2 3
2А2 - 1 3 Л7 +- Л^о к' , к —> +схэ.
2 2 2 2 , , 2с3 с4 / с2 с3
Для изотропной упругой среды Коссера ЗА + 2^ > 0, ^ > 0, а > 0 [27], тогда по определению (1.4) с| - с| > 0 и с^ - с| > 0, следовательно, для / > 0 ¿3(/, к) ^ при к ^
2. Пусть выполняется ^(/0, к0) = 0 и v1(/0, к0) > 0, тогда согласно оценке 4 и оценке 5 дисперсионная функция неотрицательна:
ад, к0) = V2 (/(2/с| + V2 - к02) (/(2/с( - 2к02)2
- VI (/02/с32 + V? - к0) (/02/с22 - 2к2)2 > 0.
3. Пусть теперь выполняется случай ^(Д,^) = 0 и ^(Д,^) > 0, тогда согласно оценке 4 дисперсионная функция неотрицательна:
¿з(Д, Ы = ^2(Д2/СЗ2 + (^ - к?))(Д2/С22 - 2к2)2 > 0.
В силу непрерывности дисперсионной функции обязательно найдутся решения дисперсионного соотношения ¿3(Д* , к*) = 0.
Таким образом, в случае граничных условиях (2.15) на поверхности существует поверхностная волна Релэя (1.3), (1.12), где константы связаны соотношениями
п = _2Щу2(а2 - Д2/С32)_п
1 2 (2к*2 - /*2/С2)(г/1(а1 - Д2/С32) - г/2(а2 - Д2/С32)) °
„ _2щу1(а1-Г2/С1)__(2Л9)
При этом фазовая скорость распространения Сд(Д) = Д/к(Д) поверхностной волны Релэя стремится к конечному пределу при Д ^ го.
Действительно, асимптотика дисперсионной функции (2.18) имеет вид
ЫСн, к) ~ 81§п(С2 - с2) А 1 _ £а _ £а
4
2 С2) V С?У С-2
Д ^ го.
Видно, что корнями асимптотики являются СД = С4, СД = 0 и корни полинома третьего порядка й(Сд):
Д(Сд) = (¿2 + щ - щ) + (¿4 - Сд - Щся + ТЩСп> (2-2°)
так как множитель в квадратных скобках однозначно преобразуется в
2 С2) V С2Т С2
С
2 + ^ + (2% С^О^Я 2с| +
я"
Полином Д(Сд) обладает следующими свойствами: 112
д(°) = + д(с?) > д(сз) > О-
С1 С3 С2
Тогда минимальный корень Ср полинома удовлетворяет неравенству 0 < Ср < тш(С1; С3).
7
к
Асимптотическому корню с^ = 0 соответствует тривиальное решение (1.14). Таким образом, предел фазовой скорости при / ^ го
с^ = тш(с£,с4) < го.
Граничные условия (2.16) формирует следующую дисперсионную функцию:
¿4(/, к) = (^2 - VI) ((VI + *2) (/2/с22 - 2к2)2 + 4k2vо (/2/с2 - (VI^2 + к2))) . (2.22)
Покажем, что дисперсионное уравнение для (2.22) имеет нетривиальное решение.
1. Для этого рассмотрим асимптотику дисперсионной функции (2.22):
, , с2 (с32 - с22) + с32 (с2 - с22)
¿4(/,к) ~ -4- 11 3 2> 311 2>
222 с1 с2 с3
2 2 2 2 2с3 с4 с2 с3
Согласно определению изотропной среды и (1.4) всегда с° - с2° > 0 и с° - с2 > 0, следовательно, ¿4(/, к) ^ -го при к ^ +го.
2. Пусть параметры среды таковы, что выполняется случай ^(/0,к0) = 0, ^(/0,к0) > 0, тогда
¿4(/0, к0) = Cз2(vl + V2)(/о2 - 2с2к0)2 > 0.
3. Пусть параметры среды таковы, что выполняется случай V! (/1,к1) = 0, ^(ЛА) > 0, тогда
4^2
«М/ъМЛ)) ~ -^рЛ4 > 0, Д-Ю.
Таким образом, в силу непрерывности обязательно найдутся решения дисперсионного соотношения ¿4(/*,к*) = 0, где /* > 0, к* > 0. Компоненты вектора перемещения и поворота примут вид (1.3), (1.12) с константами
2У0 (д2-Гус2) п 1 (2/г*2 — /*2/С|)(а1 — а2)
П 2,0(а1-Г2/С32) ^
^ " (2/с*2 — /*2/С|)(а1 — а2) При этом фазовая скорость распространения стремится к конечному пределу при / ^ го, только если с4 > ср..
Действительно, асимптотика дисперсионной функции (2.22) выглядит следующим образом:
/ с 2 с 2 к) ~ 81§п(С2 - С2) [-Щ--^
2 \ 2
4
2С| / V С7? V С^
/ ^го,.
7
к
корни которой равны СД = 0 и корням полинома третьего порядка. Аналогично исключаем СД = 0 и существует асимптотический корень
Сд = т1п(Ср,Сх,Сз), С4 > Ср, (2.24)
но если С4 < Ср, то 44(Ся, к) < 0 при / ^ го.
Таким образом, существует поверхностная волна Рэлея в случае граничных условий «свободной поверхности» (2.15), при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу СД = тш(Ср, С4) при / ^ го. Существует поверхностная волна Рэлея в случае граничных условий «свободной поверхности» (2.16), при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу СД = тш(Ср, С1, С3) при / ^ го в том и только в том случае, если С4 > Ср.
3. Случай упруго-стесненной поверхности
Сформулируем граничные условия в случае упруго-стесненной поверхности в микрополярной теории упругости. В первом случае нормальное напряжение стесненно в направлении перпендикулярной к поверхности нормали, так что <7гг = Пиг, где п > 0 — коэффициент упругости [33], а касательное равно нулю. Во втором случае нормальное напряжение равно нулю, а касательное напряжение = вих, где в > 0 — коэффициент упругости [33], стесненно. И в третьем случае касательные перемещения на границе отсутствуют, а сетка упруго сопротивляется изгибу стгг = , где п > 0. В микрополярной теории в каждом случае добавляются четыре граничных условия.
В первом случае со стороны упругой заделки действует поперечная сила на поверхность:
О-гх = 0, Огу = 0, Огг - пиг = 0, = 0, ^гу = 0, = 0,
= 0, = 0, Огг - П^г = 0, = 0, ^гу = 0, Шг = 0;
Огх = 0, Огу = 0, Огг - П^г = 0, = 0, Шу =0, Шг = 0,
Огх = 0, Огу = 0, Огг - П^г = 0, = 0, Шу = 0, = 0.
Рассмотрим задачу с граничными условиями (3.1), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных .О^:
(3.1)
(3.2)
2гкю 2к2 - /2/С2 2к2 - /2/С22
2к2 - /2/С| + п^0 - п«к -2^2гк - п^к = 0. (3.3)
0 VI (01 - /2/Сз2) ^2 (02 - /2/С|)
Определитель этой системы формирует дисперсионное уравнение в виде
к) = *2(/2/С2 + V22 - к2)((/2/С22 - 2к2)2 - 4к2^ - п^/2/С22)
- VI (/2/Сз2 + v2 - к2)((/2/С22 - 2к2)2 - 4к2^2 - пvо/2/С^) = 0. (3.4)
В силу того, что вклад от упругой заделки (слагаемое с п) на порядок меньше по / и по к, чем вклад от «свободной поверхности» (п = 0), обязательно найдутся
решения дисперсионного соотношения ¿9(/*,к*) = 0 и фазовая скорость распространения поверхностной волны (3.1) стремится к конечному пределу при больших частотах колебаний волны.
Рассмотрим задачу с граничными условиями (3.2), формирующими дисперсионную функцию в виде
¿ю(/,к) = (*2 - VI)((VI + ц)((/2/С22 - 2к2)2 - 2/С2)
+ 4к%(/2/С2 - (VIV2 + к2))). (3.5)
1. Асимптотика дисперсионной функции ¿10(/, к) ^ -го при к ^ +го, так как вклад от упругой заделки с п = 0 на три порядка меньше, чем в случае П = 0.
2. Пусть тш(С2, С2, С2) = С2, тогда v0 — 0, VI > 0, v2 > 0 и ¿10 — (VI - ^2) (/2/С2 - 2к2)2 > 0 при / ^ го.
3. Пусть тш(С2, С2, С2) = С32, тогда vо > 0, V2 - к2 - /2/С2, V2 > 0 и
¿10 — (V2 - v2)((/2/С2 - 2к2) - 4^^) > 0 при / ^ го, если v2 — 0, то
и2 ~ "т\/2/с2
¿10 > 0.
4. Пусть тш(С2, С2, С42) = С42, тогда vо > 0, V2 - к2 - /2/С42, V2 к2 - /2/С| и ¿ю ~ (V2 - v2)((/2/C22 - 2к2)2 - 4к2г^к2-/2/С2) при / -юо, если С4 > Ср, то ¿10 > 0, но в случае С4 < Ср будет ¿10 < 0 при / ^ го.
Таким образом, в силу непрерывности дисперсионной функции обязательно найдутся нетривиальные решения дисперсионного соотношения для (3.5) при выполнении условия С4 > СР. При этом фазовая скорость стремится к конечному пределу при больших частотах колебаний волны.
Во втором случае исследуем краевую задачу динамики с граничными условиями
- 0м„ = 0, а™ = 0, = 0, н™ = 0, н,У = 0, и„ = 0,
(3.6)
0их = 0, 0"гу = 0, 0"гг = = 0, Нгх = 0,Нгу = : 0, Нгг = 0,
0их = 0, ^гу = 0, ^гг : = 0, Нгх = 0, Нгу = = 0, Ш = 0;
- 0ИХ = 0, = 0, ^гг = 0, = 0, = 0, Шг = 0,
- 0ИХ = 0, СТгу = 0, ^гг = 0, = 0, = 0, Нгг = 0.
(3.7)
Определитель в случае граничных условий (3.6) равен разности определителя в случае граничных условий (2.15) и определителя в случае граничных условий (2.12), умноженного на 0. Вследствие того, что последний на порядок ниже и положителен, краевая задача (1.1), (3.6) будет иметь нетривиальные решения и фазовая скорость распространения поверхностной волны (3.6) стремится к конечному пределу при больших частотах колебаний волны.
Аналогично определитель в случае граничных условий (3.7) равен разности определителя в случае граничных условий (2.16) и определителя в случае граничных условий (2.11), умноженного на 0. В силу того, что последний положителен и на порядок ниже, краевая задача (1.1), (3.7) будет иметь нетривиальные решения и фазовая скорость распространения поверхностной волны
(3.7) будет стремиться к конечному пределу при больших частотах колебаний волны при выполнении достаточных условий С4 > Ср.
Наконец, исследуем задачу упругой заделки с граничными условиями их = 0, иу = 0, огг — пиг = 0, шх = 0, шу = 0, шг = 0,
у у (3.8)
их = 0, Иу = 0, Огг - пиг = 0, Шх = 0, Шу = 0, = 0;
их = 0, Иу = 0, Огг - пиг = 0, ^гх = 0, ^гу = 0, = 0,
(3.9)
их = 0, иу = 0, Огг - пиг = 0, ^гх = 0, ^гу =0, Шг = 0.
Определитель в случае граничных условий (3.8) равен разности определителя в случае граничных условий (2.11) и определителя в случае граничных условий (2.1), умноженного на п. В силу знакопостоянства последнего дисперсионное уравнение в случае граничных условий (3.8) не имеет нетривиальных решений. Аналогично можно показать, что дисперсионное уравнение в случае граничных условий (3.9) не имеет нетривиальных решений.
Таким образом, в полупространстве среды Коссера в случаях упругого стеснения вида (3.1), (3.6) на поверхности существует поверхностная волна Рэ-лея, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу СД = тт(Ср,С4) при / ^ го. В случае упругого стеснения вида (3.2), (3.7) на поверхности будет существовать поверхностная волна Рэлея при выполнении достаточных условий С4 > Ср на физические параметры среды Коссера с асимптотическими свойствами фазовой скорости СД = тш(Ср,С1,С^ при / ^ го. Наконец, в случае упругого стеснения вида (3.8), (3.9) на поверхности не существует поверхностной волны Рэлея.
4. Параметрический анализ решений
Цель параметрического анализа — выявление качественной и количественной взаимосвязей решений рассмотренных в этой работе краевых задач динамики. Параметрами анализа являются «упругий» параметр неоднородных граничных условий п или в и физические параметры среды Коссера (а, в, 7, е).
4.1. Решения, связанные с упругим параметром п. В случае, когда нормальное напряжение стесненно в направлении перпендикулярной к поверхности нормали при п = 0 и а, в, 7, е ^ 0, решение задачи для микрополярной среды со стеснением типа (3.1) сводится к решению задачи распространения волны с тем же типом стеснения в классической среде, рассмотренной М. В. Бе-лубекяном в [33].
В микрополярной среде при п ^ 0 и а, в, 7, е =0 задача распространения волны с упругой заделкой (3.1) сводится к задаче со «свободной поверхностью» (2.15). В классической среде при п ^ 0 и а, в, 7, е = 0 волна с тем же стеснением типа [33] сводится к классической волне Рэлея.
Для микрополярной среды при п ^ го и а,в,7,е = 0 задача с упругой заделкой типа (3.1) сводится к задаче «скользящего контакта» (2.7). Для классической среды, как известно, также при п ^ го и а, в, 7, е = 0 задача с упругой
заделкой рассматриваемого типа сводится к классической задаче «скользящего контакта» [33]. Следовательно, при п ^ го поверхностной волны не существует как для классической, так и для микрополярной среды.
Таким образом, сравниваются задачи упругого стеснения типа (2.15) и типа (3.1) микрополярной среды с соответствующими задачами для классической среды [33]. Из вида дисперсионных соотношений в случае микрополярной среды (2.18), (3.4) и в случае классической среды [33] следует, что скорость волны не зависит от частоты только для классической среды со «свободной поверхностью». В остальных рассматриваемых случаях волна обладает дисперсией. При этом дисперсия волны Релэя (2.18) для среды Коссера согласуется с экспериментальными исследованиями [32]. В случае упругой заделки возникает конечная нижняя граница для (/, к) и (Ся, к) в отличие от случая однородных граничных условий в связи с тем, что в «упругих» дисперсионных функциях (3.4) и [33] «упругий» вклад всегда отрицателен и более низкого порядка относительно «неупругого» вклада.
Для количественного анализа решений возьмем микрополярную среду с физическими постоянными полиуретановой пены с ячейками г = 1.2 мм [31]: р = 30 кг/м3, Л = 1023 Н/м2, ^ = 45 • 103 Н/м2, а = 9093 Н/м2, 7 + £ = 15 Н, плотность момента инерции оценим как ] ~ рг2 = 4 • 10-5 кг/м. Характерные величины Хо = 1, /о = 1. Сплошные линии соответствуют решениям в микрополярной среде, штриховые — для классической среды.
Рис. 1.
На рис. 1(а),(б) представлена зависимость безразмерного волнового числа волны и безразмерной фазовой скорости распространения поверхностной волны от безразмерной круговой частоты колебаний волны. Сравнительный анализ полученных численных решений подтверждают следующие качественные выводы: волновые числа классической и микрополярной сред различаются; скорость
волны не зависит от частоты только для классической среды со «свободной» поверхностью; в случае «упругой заделки» возникает конечная нижняя граница для (/, к) и (Сд, к), т. е. для малых (/, к) и (Сд, к) не существует поверхностной волны; скорость волны в микрополярной среде в случае (2.15) при малых частотах исходит от скорости волны в классическом случае СД ^ 33.94, в случае (3.1) исходит от нижнего предела скорости волны, а при больших частотах скорость волны в случае (2.15) и (3.1) стремится к одному конечному пределу СД ^ 40.5. Зависимости параметров волны в микрополярной среде в случае (3.1) мало отличается от случая (2.15). Зависимости параметров волны в классической среде в случае [33] мало отличаются от классического случая волны Рэлея. А вот зависимости параметров волны в микрополярной среде и классической
и
0о 25 20
10
0
-10
-20
Рис. 2.
Зависимость безразмерных компонент вектора перемещений и вращения от относительной глубины показана на рис. 2(а),(б), глубина отнесена к длине волны (/ = 2000) в случае граничных условий (3.1). Упругое стеснение по направлению г приводит в микрополярной теории упругости к значительному увеличению г-компоненты вектора перемещений, тогда как увеличение х-компоненты вектора перемещений незначительно по сравнению с классической теории упругости. Затухание вектора перемещений и вектора вращения с глубиной в микрополярной теории упругости более медленное, чем затухание в классической теории упругости.
4.2. Решения, связанные с упругим параметром 0. В случае, когда касательное напряжение стесненно при 0 = 0 и а, в, Т, 6 ^ 0, решение задачи для микрополярной среды с таким стеснением (3.6) сводится к решению задачи с соответствующим стеснением, найденному М. В. Белубекяном в [33].
среде относительно большое.
(а)
\ч \ /
\ 4 л! \ у/\ х \ / ^ч иГ3°
Л'ч
уч 4 < ;..........................—_____
г/ \ ГЛиГзо
----- классическая
- микрополярная
0 12 3 кг/(2/г)
Опять-таки в микрополярной среде при 9 ^ 0 и а, в, 1,6 = 0 задача распространения волны с «упругой поверхностью» (3.6) сводится к задаче со «свободной поверхностью» (2.11). В классической среде при 9 ^ 0 и а, в, 7, 6 = 0 волна с «упругой поверхностью» [33] сводится к классической волне Рэлея.
Для микрополярной среды при 9 ^ го и а, в,1,6 = 0 задача с «упругой поверхностью» (3.6) сводится к задаче «жесткой сетки» (2.11). Для классической среды, как известно, при 9 ^ го и а, в,1,6 = 0 граничные условия с «упругой поверхностью» (3.6) сводятся к условиям Навье [33]. Следовательно, при 9 ^ го поверхностной волны не существует как для классической, так и для микрополярной среды.
Таким образом, сравниваются решения задач с граничными условиями (2.15), (3.6) микрополярной среды и соответствующие решения задач для классической среды [33]. Скорость волны также не зависит от частоты только для классической среды со свободной поверхностью. Во всех задачах существует решение дисперсионных соотношений.
7500 г 10000
Рис. 3.
Для количественного анализа решений также возьмем микрополярную среду с физическими постоянными полиуретановой пены. На рис. 3(а),(б) представлена зависимость безразмерного волнового числа волны и безразмерной фазовой скорости распространения поверхностной волны от безразмерной круговой частоты колебаний волны. Сравнительный анализ полученных численных решений подтверждают следующие качественные выводы: волновые числа классической и микрополярной сред различаются; скорость волны не зависит от частоты только для классической среды со «свободной» поверхностью; во всех случаях существует поверхностная волна; скорость волны в микрополярной среде в случае (2.15) при малых частотах исходит от скорости волны в классическом случае С^ « 33.94, в случае (3.6) — от нулевой скорости волны,
а при больших частотах скорость волны в случае (2.15) и (3.6) стремится к одному конечному пределу С^ « 40.5. Зависимости параметров волны в микрополярной среде в случае (3.6) мало отличаются от случая (2.15) только при больших частотах /. Аналогично зависимости параметров волны в классической среде в случае [33] мало отличаются от классического случая волны Рэлея только при больших частотах /. А вот отличие зависимости параметров волны в микрополярной среде и классической среде при увеличении частоты растет.
Рис. 4.
Зависимость безразмерных компонент вектора перемещений и вращения от относительной глубины показана на рис. 4(а),(б), глубина отнесена к длине волны (при / = 2000) в случае граничных условий (3.6). Упругое стеснение по направлению х приводит в микрополярной теории упругости к значительному увеличению х-компоненты вектора перемещений, тогда как увеличение ^-компоненты вектора перемещений в микрополярной теории упругости незначительно по сравнению с классической теорией упругости. Затухание вектора перемещений и вектора вращения с глубиной в микрополярной теории упругости более медленное, чем затухание в классической теории упругости.
5. Заключение
В настоящей работе в рамках линейной микрополярной теории упругости (среда Коссера) рассмотрена задача о распространении поверхностной волны Рэлея в бесконечном полупространстве, когда на поверхности заданы однородные граничные условия, соответствующие задачам классической теории упругости: «жесткая заделка», «скользящая заделка», «жесткая сетка», «свободная поверхность», «упругого стеснения». Предполагалось отсутствие массовых сил и массовых моментов. Для описания упругих свойств среды Коссера использовались физические постоянные в обозначениях В. Новацкого. Найдено общее
решение в виде затухающей поверхностной волны Pэлея для вектора перемещения (1.З) и вращения (1.12) для несимметричного тензора напряжений (1.16) и моментных напряжений (1.17).
Построением мажорант и асимптотики дисперсионного соотношения доказано, что в случаях однородных граничных условиях «жесткого закрепления» (2.1), (2.2) «скользящего контакта» (2.7), (2.8) на поверхности в случае поверхности, армированной нерастяжимой сеткой (2.11), (2.12), и в случае граничных условий на поверхности, когда касательные перемещения на границе отсутствуют, а сетка упруго сопротивляется изгибу согласно (З.8), (З.9), не существует поверхностной волны Pэлея.
Существует поверхностная волна Pэлея в случае граничных условий «свободной поверхности» (2.15), упругого стеснения (З.1) и (З.6), когда моментные напряжения равны нулю на поверхности, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу (2.21) при больших частотах волны. Найдены достаточные условия на параметры среды Коссера существования поверхностной волны Pэлея в случае граничных условий «свободной поверхности» (2.16), упругого стеснения (З.2) и (З.7), когда вектор вращения равен нулю на поверхности, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу (2.24) при больших частотах волны. Качественный анализ полученных дисперсионных соотношений показал, что поверхностная волна Pэлея обладает дисперсией. Количественный анализ полученных решений для классической и микрополярной сред с физическими постоянными полиуретановой пены, показал, что упругое стеснение вида (З.1) приводит к отсутствию поверхностной волны при малых частотах. Затухание вектора перемещений с глубиной в микрополярной теории упругости более медленное, чем затухание в классической теории упругости. Значительное отличие в значениях вектора перемещения в классической и микрополярной средах наблюдается по направлению упругого стеснения.
В число перспективных направлений применения результатов настоящей работы входит развитие теории возникновения трехмерных поверхностных волн Pэлея.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rayleigh J. W. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Froc. Lond.
Math. Soc. 1885. V. 17. F. 4-11.
2. Hayes M., Rivlin R. S. A note on the secular equation for Rayleigh waves // ZAMF. 1962.
V. 13, N 1. F. 8G-83.
3. Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F. Elastic waves in layered media. New York: McGraw-
Hill, 1957.
4. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. Теория и методы. М.: Мир, 1983.
5. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.
6. Chiripa S., Ghiba I.-D. Rayleigh waves in Cosserat elastic materials // Int. J. Eng. Sci. 2G12.
V. 51. F. 117-127.
7. Kuznetsov S. V. "Forbidden" planes for Rayleigh waves // Q. Appl. Math. 2GG2. V. 6G, N 1.
F. 87-97.
8. Kuznetsov S. V. Surface waves of non-Rayleigh type // Q. Appl. Math. 2003. V. 61, N 3. P. 575-582.
9. Voigt W. Theoretische Studien iiber die Elasticitatsverhaltnisse der Krystalle // Abh. Konig. Gesell. Wiss. Gott. 1887. V. 34. P. 3-52.
10. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Hermann et Fils, 1909.
11. Mindlin D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. V. 16, N 1. P. 51-78.
12. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 7. С. 1399-1409.
13. Эринген А. К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 646-751.
14. Eringen А. С., Suhubi E. S. Nonlinear theory of micro-elastic solids. II // Int. J. Eng. Sci. 1964. V. 2, N 4. P. 389-404.
15. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford; New York; Toronto; Sydney; Paris; Frankfurt: Pergamon-Press, 1986.
16. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 3. С. 401-408.
17. Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224-242.
18. Chandrasekharaiah D. S. Surface waves in micropolar thermoelasticity // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). 1983. V. 92, N 2. P. 109-120.
19. Лялин А. Е., Пирожков В. А., Степанов Р. Д. О распространении поверхностных волн в среда Коссера // Акуст. журн. 1982. Т. 28, № 6. С. 838-840.
20. Mrithyumjaya R. K., Reddy M. P. Rayleigh-type wave propagation on a micropolar cylindrical surface // J. Appl. Mech. 1993. V. 60, N 4. P. 857-65.
21. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера // Прикл. механика и техн. физика. 2005. T. 46, № 4. C. 116-124.
22. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 4. C. 100113.
23. Кузнецов С. В., Мкртычев О. В., Нафасов А. Э. Барьер для защиты застроенных территорий от поверхностных сейсмических волн. Патент РФ на изобретение № RU2475595. 20.02.2013.
24. Godoy E., Duran M., Nedelec J.-C. On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions // Wave Motion. 2012. V. 49. P. 585-594.
25. Khlopotin A., Olsson P., Larsson F. Transformational cloaking from seismic surface waves by micropolar metamaterials with finite couple stiffness // Wave Motion. 2015 V. 58. P. 53-67.
26. Ардазишвили Р. В., Вильде М. В., Коссович Л. Ю. Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах в случае смешанных граничных условий на поверхности распространения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014 № 4. С. 53-64.
27. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
28. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.
29. Манукян В. Ф. О существовании поверхностных сдвиговых волн в микрополярных средах // Изв. НАН Армении. 1997. Т. 50, № 2. С. 75-79.
30. Eremeyev V. A., Lebedev L. P., Altenbach H. Foundations of micropolar mechanics. Heidelberg: Springer, 2013.
31. Rueger Z., Lakes R. S. Experimental Cosserat elasticity in open-cell polymer foam // Philos. Magaz. 2016. V. 96. P. 93-111.
32. Gauthier R. D., Jahmans W. E. A quest for micropolar elastic constants. Pt 2 // Arch. Mech. 1981. V. 33, N 5. P. 717-737.
33. Белубекян М. В. Волна Рэлея в случае упруго-стесненной границы // Изв. НАН Армении. 2011. Т. 64, № 4. С. 3-6.
Поступила в редакцию 3 октября 2023 г. После доработки 17 ноября 2023 г. Принята к публикации 30 ноября 2023 г.
Григорьев Юрий Михайлович
Гаврильева Анна Андреевна ФГБУН ФИЦ «Якутский научный центр Сибирского отделения Российской академии наук», Институт физико-технических проблем Севера
им В. П. Ларионова Сибирского отделения Российской академии наук, ул. Октябрьская, 1, Якутск 677980 [email protected]
Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2023. Том 30, № 4
UDC 539.3
PROPAGATION PROBLEM OF A RAYLEIGH
SURFACE WAVE IN THE HALF-SPACE OF A COSSERAT MEDIUM IN THE CASE OF HOMOGENEOUS AND ELASTICALLY CONSTRAINED BOUNDARY CONDITION Yu. M. Grigor'ev and A. A. Gavrilieva
Abstract: The problem of propagation of a Rayleigh surface wave in an infinite halfspace is studied within the framework of the micropolar theory of elasticity. It is assumed that the deformed state of the medium is described by independent vectors of displacement and rotation (a Cosserat medium). A general solution describing the propagation of a surface Rayleigh wave is obtained. Using the method of constructing majorants, it is shown that there are no surface Rayleigh waves when boundary conditions are specified on the surface corresponding to the main problems of the classical theory of elasticity: "rigid embedding", "sliding embedding", and "rigid mesh". For the cases of boundary conditions "free surface" and "elastic constraint," corresponding to the problems of the classical theory of elasticity, it is shown by the method of constructing majorants that there is a surface Rayleigh wave when moment stresses are zero on the surface, while the phase velocity of the wave tends to a finite limit at high wave frequencies; when the rotation vector is equal to zero on the surface, sufficient conditions are found for the parameters of the Cosserat medium for the existence of surface Rayleigh waves, while the phase velocity of the wave tends to a finite limit at high wave frequencies. A qualitative analysis of the obtained dispersion relations showed that the Rayleigh surface wave has dispersion; the elastic constraint leads to the absence of a surface wave at low frequencies. In the case of a micropolar medium made of polyurethane foam, numerical values of the parameters of the wave and deformation of the medium are constructed. The attenuation of the displacement vector with depth in the micropolar theory of elasticity is slower than the attenuation in the classical theory of elasticity. A significant difference in the values of the displacement vector in the classical and micropolar environments is observed in the direction of elastic constraint.
DOI: 10.25587/2411-9326-2023-4-81-104 Keywords: micropolar theory of elasticity, Cosserat medium, Rayleigh surface wave, dispersion relation, free surface, rigid embedment, sliding contact, rigid mesh, elastically constrained boundary.
REFERENCES
1. Rayleigh J. W., "On waves propagated along the plane surface of an elastic solid," Proc. Lond. Math. Soc., 17, 4-11 (1885).
2. Hayes M. and Rivlin R. S., "A note on the secular equation for Rayleigh waves," ZAMP, 13, No. 1, 80-83 (1962).
3. Ewing W. M., Jardetzky W. S., and Press F., Elastic waves in layered media, McGraw-Hill, New York (1957).
© 2023 Yu. M. Grigor'ev, A. A. Gavrilieva
4. Aki K. and Richards P. G., Quantitative Seismology, Theory and Methods, Freeman, San Francisco, CA (1980).
5. Viktorov I. A., Sound Surface Waves in Solids [in Russian], Nauka, Moscow (1981).
6. Chiripä S. and Ghiba I.-D., "Rayleigh waves in Cosserat elastic materials," Int. J. Eng. Sci., 51, 117-127 (2012).
7. Kuznetsov S. V., ""Forbidden" planes for Rayleigh waves," Q. Appl. Math., 60, No. 1, 87-97 (2002).
8. Kuznetsov S. V., "Surface waves of non-Rayleigh type," Q. Appl. Math., 61, No. 3, 575-582 (2003).
9. Voigt W., "Theoretische Studien über die Elasticitatsverhältnisse der Krystalle," Abh. König. Gesell. Wiss. Gott., 34, 3-52 (1887).
10. Cosserat E. and Cosserat F., Theorie des Corps Deformables, Hermann et Fils, Paris (1909).
11. Mindlin D., "Micro-structure in linear elasticity," Arch. Rat. Mech. Anal., 16, No. 1, 51-78 (1964).
12. Aero E. L. and Kuvshinsky E. V., "Basic equations of the theory of elasticity of media with rotational interaction of particles [in Russian]," Fiz. Tvyord. Tela, 2, No. 7, 1399-1409 (1960).
13. Eringen A. C., "Linear theory of micropolar elasticity," J. Math. Mech., 15, No. 6, 909-923.
14. Eringen A. C. and Suhubi E. S., "Nonlinear theory of micro-elastic solids, II," Int. J. Eng. Sci., 2, No. 4, 389-404 (1964).
15. Nowacki W., Theory of Asymmetric Elasticity, Pergamon-Press, Oxford; New York; Toronto; Sydney; Paris; Frankfurt (1986).
16. Pal'mov V. A., "Basic equations of the theory of asymmetric elasticity [in Russian]," Prikl. Mat. Mekh., 28, No. 3, 401-408 (1964).
17. Hassanpour S. and Heppler G. R., "Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations," Math. Mech. Solids, 22, No. 2, 224-242 (2017).
18. Chandrasekharaiah D. S., "Surface waves in micropolar thermoelasticity," Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 92, No. 2, 109-120 (1983).
19. Lyalin A. E., Pirozhkov V. A., and Stepanov R. D., "On the propagation of surface waves in the Cosserat medium [in Russian]," Akust. Zhurn., 28, No. 6, 838-840 (1982).
20. Mrithyumjaya Rao K. and Reddy M. P., "Rayleigh-type wave propagation on a micropolar cylindrical surface," J. Appl. Mech., 60, No. 4, 857-865 (1993).
21. Kulesh M. A., Matveenko V. P., and Shardakov I. N., "Construction and analysis of an analytical solution for a Rayleigh surface wave in the framework of the Cosserat continuum [in Russian]," Prikl. Mekh. Tekhn. Fizika, 46, No. 4, 116-124 (2005).
22. Kulesh M. A., Matveenko V. P., and Shardakov I. N., "Dispersion and polarization of Rayleigh surface waves for a Cosserat medium [in Russian]," Izv. Akad. Nauk, Mekh. Tvyord. Tela, № 4, 100-113 (2007).
23. Kuznetsov S. V., Mkrtychev O. V., and Nafasov A. E., "A barrier to protect built-up areas from surface seismic waves [in Russian]," RF Patent No. RU2475595. 20.02.2013.
24. Godoy E., Duran M., and Nedelec J.-C., "On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions," Wave Motion, 49, 585-594 (2012).
25. Khlopotin A., Olsson P., and Larsson F., "Transformational cloaking from seismic surface waves by micropolar metamaterials with finite couple stiffness," Wave Motion, 58, 53-67 (2015).
26. Ardazishvili R. V., Vilde M. V., and Kossovich L. Yu., "Three-dimensional surface wave in halfspace and edge waves in plates in the case of mixed boundary conditions on the propagation surface [in Russian]," Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, No. 4, 53-64 (2014).
27. Kupradze V. D., Hegelia T. G., Basheleishvili M. O., and Burchuladze T. V., Three-Dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity [in Russian], Nauka, Moscow (1976).
28. Erofeev V. I., Wave Processes in Solids with Microstructure [in Russian], Izdat. Mosk. Univ., Moscow (1999).
29. Manukyan V. F., "On the existence of surface shear waves in micropolar media [in Russian]," Izv. NAN Armenii, 50, No. 2, 75-79 (1997).
30. Eremeyev V. A., Lebedev L. P., and Altenbach H., Foundations of Micropolar Mechanics, Springer, Heidelberg (2013).
31. Rueger Z. and Lakes R. S., "Experimental Cosserat elasticity in open-cell polymer foam," Philos. Magaz., 96, 93-111 (2016).
32. Gauthier R. D. and Jahmans W. E., "A quest for micropolar elastic constants, Pt. 2," Arch. Mech., 33, No. 5, 717-737 (1981).
33. Belubekyan M. V., "Rayleigh wave in the case of an elastically constrained boundary [in Russian]," Izv. NAN Armenii, 64, No. 4, 3-6 (2011).
Submitted October 3, 2023 Revised November 17, 2023 Accepted November 30, 2023
Yuri M. Grigor'ev
Anna A. Gavrilieva
Larionov Institute of the Physical-Technical Problems of the North
of the Siberian Branch of the RAS,
Division of Federal Research Centre
"The Yakut Scientific Centre of the Siberian Branch
of the Russian Academy of Sciences,"
1 Oktyabrskaya street, Yakutsk 677980, Russia
