CC BY
7
Динамика систем, механизмов и машнн, № 1, 2014
УДК 539.3: 62-405.8
А.Б. Катупан, A.V. KaTitmn, e-mail: thngss@ranMer.ru *С.Н. Поляков, S.N. Polyakov, e-mail: Labl2Q@progress-omsk.ru Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия, Omsk State Technical University, Omsk. Russia
*ФГУП «Няучпо-пропзтюдcmоттое предприятие (¿Прогресс», г. Омск, Россия, FSUE «Scientific and Production Enterprise «ftngress», Omsk, Russia
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОРИСТЫХ ЭЛАСТОМЕРАХ
WAVE PROPAGATION IN POROUS ELASTOMERS
Численное не следование волновых процессов в пористых мастомерах является сложной проблемой при создании надежных вычислительных алгоритмов. В статье представлена постановка задачи. Рассмотрены особенности применения метода конечных объемов, позволяющих реализовать алгоритмы сквозного счета. Для описания поведения эластомера, воздуха и жидкости применена запись тензора напряжений в виде шаровой н девнагорной составляющих. Такой подход позволил в одном алгоритме реалнговать вычисления твердой и жидкой областей.
Numerical study of wave propagation in porous elastomers is a challenging problem in developing reliable computational algorithms. The paper presents the formulation of the problem. The features of the application of the finite volume method that allow to implement algorithms through computation. To describe the behavior of the elastomer. air and liquid applied recording of the stress tensor in the form of spherical and deviatoric components. This approach allowed us to implement an algorithm for the calculation of the solid and liquid regions.
Ключевые слова: Пористые эластомеры, волновые процессы, метод конечных объемов
Keywords: Porous elastomers, wave propagation, finite volume method
Современные требования к расчету конструкций требуют проводить определение напряженно-деформированного состояния н работоспособность конструкций не только при действии статических нагрузок, но и при действии динамических нагрузок как периодических, так и импульсных.
Активное внедрение в качестве конструктивных материалов полимерных материалов, в том числе разнообразных эластомеров, требуют разработки методов исследования конструкций ш таких материалов при стационарном и нестационарном нагруженин.
В работе рассматриваются пористые эластомеры представляют собой эластомеры с сферическими порами, заполненными воздухом.
При импульсном нагруженин конструкций из пористых эластомеров, насколько известно авторам, не рассматривались.
По существу, такая задача относится к классу сопряженных задач (задач взаимодействия твердого деформируемого тела с газом иди жидкостью). В зарубежной практике такие задачи называются FSI - Fluid Structur Interaction Приняты два основных подхода, к решению таких задач [1]: монолитный и последовательный.
При монолитном подходе применяются такие численные схемы, которые позволяют формировать и в последующем решать единую систему алгебраических уравнений. Последовательный подход основан на разделении на две подзадачи и раздельном решении систем уравнений для каждой подзадачи последующим обменом результатов между подзадачи через заданный интервал времени.
Как правило, для вдач гидродинамики применяют метод конечных объемов, а для задач механики деформированного твердого тела - метод конечных элементов [1, 2]. Основное преимущество метода конечных объемов, благодаря которому он получает широкое распро-
охранение в задачах расчета тепловых и газодинамических процессов, является возможность применения поэлементной технологии аппроксимации и построения алгебраической системы. что приближает его к методам конечных элементов [3]. Аналогично матрицам жесткости в методе конечных элементов определяются локальные матрицы баланса, которые затем ассемблируются в глобальную матрицу системы уравнений. Независимое друг от друга вычисление локальных матриц баланса намного упрощает вычислительную сложность реализации многомерных задач.
Ннгегро-балансные аппроксимации могуч быть построены на точечно-ориентированных сетках, когда первичными считаются узлы, или на элементно-ориентированных сетках, предполагающих первоначальное разбиение расчетной области на конечные объемы, после чего внутри каждого из них определяется сеточный узел. Итоговые результаты, при применении этих подходов, могут быть как одинаковыми, так и отличными.
В последние десятилетия метод конечных объемов начинает активно применяться и для задач механики деформируемого твердого тела [4].
В настоящей работе на основе метода конечных объемов применяется монолитный подход, а для решения полученных уравнений применена разностная схема "крест" [5].
Расчетная схема представлена на рис. 1.
в
РШ
111111.11111
м
о
|. 1 2
Рис. 1. Расчетная схема. 1 - поры, заполненные воздухом нлн жидкостью. 2 - эластомер
В качестве модельной задачи рассматривается плоский прямоугольный эластомер (2), содержащий поры (1)? заполненные воздухом или жидкостью. Давление, как функция от времени приложено к верхней поверхности образца (линия АС). Граничные условия на левой (АВ) и правой (СО) границах образца задаются как условия периодичности.
Уравнения законов сохранения приведены в [4, 5]. Особенность предлагаемого монолитного подхода 'заключается в записи соотношений для тензора напряжений, как для твердого тела, так и для газа в виде:
Где р - гидростатическое давление,
- компоненты девиатора тензора напряжений.
\1
}
О Ы]
Такой подход позволяет учитывать в расчетах газ. идеальную жидкость и ньютоновскую жидкость.
Для несжимаемой ньютоновской жидкости тензор напряжении принимает вид:
(
ди £и„
ОХ: ОК.:
где uj - скорость в ?-м направлении;
// - динамический коэффициент вязкости:
-]-я координата.
Давление определяется для твердого тела и жидкости по формуле:
где К - модуль объевшего сжатия,
р, ра - текущая и начальная плотность материала.
В статье представлена постановка 'задачи расчета волновых процессов в эластомерах.
Библиографический список
1. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов. М. : Мир. 1979. - 392 с.
2. LeVeque R.J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. - Cambridge; New York: Cambridge University Pre«. 2002. 558p ill. - (Cambridge texts ш applied mathematics). -ISBN 978-0-521-31087-6; ISBN 978-0-521-00924-9.
3. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. -345 с.
4. Поляков, С.Н. Применение метода конечных объемов для определения напряжен-но-деформированного состояния элементов конструкций летательных аппаратов // Наука, промышленность, Оборона: материалы Российской науч.-техн. конф., 23-25 апреля 2003 г. -Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. техн. ун-та и Межрегиональной ассоциации "Сибирское Соглашение", 2003. - С. 16-18.
5. Уилкинс. МЛ Расчет упругопластических течений /У Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б.Олдера, С.Фернбаха, М. Ротенберга -М. : Мир. -1967. - С. 212263.
