Внутренняя алгебра операторов дробного интегродифференцирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка. - Минск: Наука и техника, 1987. -687 с.

2. Hadamar J. Essai sur l’etude des fonctions donnees par leur development de Taylor // J. math. pures et appl. Ser. 4. - 1892. - V. VIII. -P. 101-186.

3. Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т 312 - № 2. - С. 16-20.

4. Чуриков В.А. Дробный анализ порядка 1/2 на основе подхода Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 312. - № 2. - С. 21-23.

5. Гук И.Л. Формализм Лагранжа для частиц, движущихся в пространстве фрактальной размерности // Журнал технической физики. - 1998. - Т. 68. - № 4. - С. 7-11.

6. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

Поступила 01.12.2008 г.

УДК 517.3

ВНУТРЕННЯЯ АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Вводятся пространства операторов Адамара и операторных векторов. Определены операции умножения на число, сложения и умножения, выяснена их алгебраическая структура. Рассмотрены топологические свойства пространства операторов Адамара.

Ключевые слова:

Внутренняя алгебра операторов Адамара внешняя алгебра операторов Адамара, пространство операторов Адамара, операторные вектора.

В работе [1] были рассмотрены некоторые свойства оператора Адамара дробного интегродиффе-ренцирования. Далее рассмотрим свойства оператора Адамара более подробно.

Оператор Адамара носит скорее алгебраический, чем аналитический характер, в отличие от большинства других операторов дробного интегродифферен-цирования, которые, как правило, являются более сложными с математической точки зрения интегральными преобразованиями [2]. Выясним общие алгебраические свойства операторов Адамара.

Алгебраическую структуру операторов Адамара будем делить на две составляющие: на внутреннюю и на внешнюю алгебру операторов Адамара.

Внутренняя алгебра рассматривает алгебраическую структуру, которая возникает только между операторами Адамара, а внешняя - при взаимодействии операторов Адамара и функциями, на которые они действуют.

Вначале введем понятие пространств, основанных на операторах Адамара.

Определение. Операторы Адамара dSix всех конечных вещественных порядков, д;е К, s¡<ж, образуют множество, которое будем называть пространством операторов Адамара, которое будем обозначать как ¿А(К).

Пространство DA(R) представляет объединение трёх множеств

Da(R)=D +a(R)^D A(R)^D a(R).

Здесь DA(R) - множество всех операторов интегрирования; D a(R) - множество всех операторов дифференцирования; DA(R)={d°x} - множество, состоящее из одного элемента - единичного оператора d °x=l.

Очевидно, что каждому вещественному числу s соответствует единственный оператор Адамара dnx порядка п. В силу этого, между множеством вещественных чисел R и пространством операторов Адамара имеет место взаимнооднозначное (биективное) отображение «о-»

RoDa(R).

Биекцию между пространством Da(R) и множеством вещественных чисел R можно осуществить бесконечным числом способов. Наиболее подходящим из таких отображений является одно.

Определение. Биекцию между пространством Da(R) и множеством вещественных чисел R будем называть тривиальной, если каждому оператору Адамара cfx будем ставить в соответствие число s, которое определяет порядок данного оператора.

Далее будем рассматривать только тривиальную биекцию между Da(R) и К.

Биекция RoDa(R) значительно упрощает исследование алгебраических и топологических свойств пространства Da(R).

В частности, очевидна

Теорема. Множество всех операторов Адамара имеет мощность множества континуума К

Пространство ^А(К) является узким и не позволяет последовательно ввести алгебраические операции, такие, как умножение операторов на число и их сложение, так, чтобы результаты операции были замкнуты. Поэтому, необходимо ввести более широкое пространство, чем DA(М).

Определение. Линейные комбинации операторов Адамара dsix будем называть операторными векторами Лх.

Операторные вектора будут выражаться так

йх = ^а^'х = а0 х + а1ё*1 х + а2ё*2 х +

1=0

+... +а_1^'-1 х + а^*'х +...

где £ - предел суммирования может быть как конечным, так и бесконечным, а коэффициенты а -вещественные (комплексные) и конечные числа.

Определение. Множество всех операторных векторов будем называть пространством операторных векторов и обозначать как £А(К).

В частном случае, когда все коэффициенты а в операторном векторе равны нулю, получим нулевой оператор

0 = ^а^*'х, а = 0.

Здесь dSix операторы Адамара порядков из пространства DA(М).

При воздействии нулевого оператора на функцию с конечной нормой получаем ноль

0: /(х) = 0,|| /(х)|| <с».

Пространство DA(М) является подпространством пространства ¿А(К), DA(М)cZA(М).

Операторы Адамара dSix являются линейно независимыми для разных порядков ^ операторов пространства DA(М) и образуют базис в пространстве ^(М), по которому раскладываются операторные вектора.

Пространство DA(М) образует наиболее простой базис пространства ^(М), когда все коэффициенты базиса равны единице (Д=1), который будем называть нормированным базисом пространства ^(М).

Теорема. Базис пространства ^(М) имеет множество слагаемых мощности континуума К1.

Данное утверждение справедливо в силу того, что пространство DA(М) биективно множеству вещественных чисел М.

Пространство DA(М) образует не единственно возможный базис пространства ^(М). Любое множество операторов ДЛ , где коэффициенты Д отличны от нуля и являются вещественными числами (Д^0, Д, /еМ), образуют базис. Но такие базисы не являются нормированными в пространстве ^(М).

Теорема. Множество всех возможных базисов пространства ^(М) имеет мощность, следующую за мощностью континуума - мощность К2, (К2>К1).

Это следует из того, что числовые коэффициенты Д в операторных полиномах и их индексы / пробегают множество вещественных чисел М, поэтому их можно рассматривать как функции над множеством М, а множество всех функций над множеством вещественных чисел М имеет мощность К2 [3].

В пространстве ^(М) между операторными векторами можно ввести ряд операций, которые будут образовывать внутренне замкнутую алгебраическую структуру операторных векторов, легко выводимых из свойств оператора Адамара.

Операция умножения операторных векторов на число. Число умножается на операторный вектор слева.

Умножения операторных векторов на единицу (унитарность)

СЬ1. 1dx=dx.

Ассоциативность умножения на число СИ2. (ab)dx=a(bdx), а, Ь=сош1

Операцию сложения «+» операторных векторов

Ассоциативность относительно операции сложения операторных векторов

G1. (^х + d2x) + dix=d1x + (d2x + dix).

Сложение с нулевым оператором G2. Лх + 0=dx.

Наличие у каждого операторного вектора Лх противоположного оператора - Лх Gз. Лх - Лх=0.

Коммутативность относительно операции сложения

Gi. Л1х + Л2х=Л2х + Л1х.

Кроме этого справедливы законы дистрибутивности, связывающие операции сложения и умножения D1. (а + b)dx=adx + ЬЛх;

D2. а^х + d2x)=аdx + аАх.

Теорема. Относительно операции сложения операторные вектора образует коммутативную группу над пространством ^(М).

Данное утверждение справедливо в силу свойств G1, G2, Gз, G4.

В силу восьми приведённых свойств СЬ1, СИ2, G1, G2, Gз, G4, D1, D2 для операторных векторов в пространстве ^(М) справедлива

Теорема. Операторные вектора из пространства ^(М) относительно операций умножения на число и сложения образуют линейное пространство.

Операторы Адамара, являются частными случаями операторных векторов, поэтому они образуют в пространстве ^(М) относительно операции сложения коммутативную группу, а относительно операций умножения на число и сложения образуют линейное пространство.

Для реальных вычислений достаточно использовать не полностью пространства DA(М) и ^(М), а их подпространства с конечным или бесконечным счётным числом операторов Адамара или операторных векторов.

Например, в каждой отдельной ветви дробного анализа порядка з удобно работать с базисными операторными векторами на основе операторов Адамара, порядки которых удовлетворяют соотношению д„=ид, зеМ, и=еЪ. Векторные операторы, ветви анализа порядка з, можно обозначить как

й *х = ^апс1тх =

п=0

= а0С0 х + а1С,х + а2 С25 х +... +апСГ х + ....

Здесь а1, а2, а3, ... ап - вещественные (или комплексные) числа.

Такие операторные вектора будем называть операторными векторами порядка з.

Пространство Е^М) можно разбить на фактормножества Е^М) по порядку векторных операторов з

Е ,(М) = У Е, (К),

V,^еK,|^|<да

П Е, (К) = 0.

VJеK, ,|<да

Для пересечения двух фактормножеств справедливо соотношение

Г0, 5, Ф ,2

Е51 (М) ° Е52 (М) = [Е, (М), ,1 = ,2 ^ Е(М) = Е,2 (М).

Между операторами Адамара введём операцию умножения (произведение, композиция) операторов. Операция умножения будет замкнута внутри пространства DA(М).

Произведение двух операторов порядков з и г можно выразить как один оператор порядка з + г.

tfx:dгx=dX;:tfx=d!+X;=d+sx.

Оператор Адамара порядка з + г можно разложить на произведение двух операторов порядков з и (декомпозиция)

С!+гх=С^х-Сх.

Для оператора Адамара выполняются условия:

• ассоциативности

(dix:dгx) ddx=dix:(dгx:ddx);

• наличия единичного оператора 1=С°х

С>х:С!х=С!х:С>х=С!х или в другой записи 1:йРх=йРх:1=йРх;

• наличия обратного элемента

dsx: Сх= Сх Сх= Сх= 1;

• коммутативности умножения операторов

Сх:Сх=Сх:Сх.

Теорема. Относительно операции умножения операторы Адамара образуют коммутативную группу в пространстве DA(М).

На множестве операторов Адамара можно ввести отношение строгого порядка (> или <), которое удовлетворяет двум аксиомам:

1. Из а<Ь и Ь<с следует, что а<с (транзитивность);

2. Невозможность одновременного выполнения

а<Ь и а>Ь.

Определение. Для двух операторов Сх и С1х больше тот, у которого больше порядок. Из д># следует, что Сх>Сх.

Очевидно, что в случае, когда порядки операторов равны, то равны и сами операторы, т. е. из з=д следует, что Сх=Сх.

Теорема. Отношение строгого порядка над множеством вещественных чисел М гомоморфно отношению строгого порядка в пространстве операторов Адамара DA(М).

В силу равномощности DA(М) и М справедлива следующая

Теорема. Отношение строгого порядка над множеством вещественных чисел М и пространством операторов Адамара DA(М) изоморфны друг другу.

Над пространством DA(М) можно ввести меру р, в качестве которой удобно взять модуль показателя порядка оператора Адамара |з|. В этом случае будут выполняться все свойства меры

1. р(|з|)=0, з=0;

2. р(|з|)>0, зф0;

3. р(Ы, |з2|)<р(|51|)+р(|52|), р(|4 |з2|)=р(|51|-|52|).

Порядок в множестве М является архимедовским [4], что в силу изоморфности между М и DA(М) выполняется и для операторов из DA(М). Тогда для операторов Адамара можно сформулировать

Определение. Если для двух операторов Адамара справедливо неравенство С^х < Сих, то найдётся такой оператор Адамара Смх, ие^ что будет выполняться неравенство С”нх > Сйх.

Теорема. Порядок в пространстве операторов DA(R) является архимедовским.

Кроме того, в силу изоморфности DA(М) и М мы можем говорить, что в пространстве операторов Адамара DA(М) порядок архимедовский, как и над множеством М.

Из биективности М-о^(М) между множеством вещественных чисел и множеством операторов Адамара следует, что в пространстве операторов Адамара можно ввести нетривиальную топологию. Из чего автоматически вытекают самые простые топологические свойства пространства DA(М).

Теорема. Пространство операторов Адамара DA(М) и множество вещественных чисел М топологически эквивалентны (гомеоморфны).

Теорема. Пространство операторов Адамара DA(М) одномерно, ё1ш^(М))=1.

Теорема. Множество операторов Адамара DA(М) плотно.

Теорема. Множество операторов Адамара DA(М) связно.

Для операторов Адамара из пространства DA(М) удовлетворяется аксиома отделимости Хаусдорфа (Т2 - пространство) [5], а значит справедлива

Теорема. Пространство операторов Адамара DA(М) хаусдорфово.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т 312. - № 2. - С. 16-20.

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка. - Минск: Наука и техника, 1987. - 687 с. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.-М.: Наука, 1974. - 480 с.

Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука, 1987. - 128 с.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1977. - 496 с.

Поступила 01.12.2008 г.

2

УДК 519.17

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ГИПЕРГРАФА НА ПЛОСКОСТИ

В.В. Быкова

Институт математики Сибирского федерального университета, г. Красноярск E-mail: [email protected]

Доказана теорема, определяющая достаточные условия существования планарной реализации гиперграфа. Предложена эффективная процедура построения такой реализации. Показано, что в классе планарных гиперграфов реализуемость на плоскости -симметричное и монотонное свойство.

Ключевые слова:

Реализации гиперграфов, планарность, полиномиальная вычислимость.

Гиперграф и ассоциированные с ним графы

Гиперграф - это такое обобщение обыкновенного графа, когда ребрами могут быть не только двухэлементные, но и любые подмножества конечного множества вершин, включая пустые и одноэлементные. Интерес к подобным математическим объектам связан с тем, что они естественным образом возникают в конструкторском проектировании радиоэлектронной и вычислительной аппаратуры, лингвистической трансляции, исследовании слабоструктурированных систем, анализе и синтезе распределенных реляционных баз данных, формировании трафика компьютерных сетей и др. [1, 2]. Для разных приложений желательны те или иные структурные свойства гиперграфа. Так, в производстве интегральных схем важна топологич-ность гиперграфа - реализуемость на плоскости. Математически обосновано, что в общем случае задача распознавания возможности реализации гиперграфа на плоскости является NP-полной [3]. В данной статье выделяется класс планарных гиперграфов и доказывается, что для него данная задача полиномиально разрешима.

Введем необходимый минимум понятий теории гиперграфов, сохраняя терминологию и обозначения, принятые А.А. Зыковым в работе [4]. Пусть X

- некоторое конечное множество, а U - конечное семейство подмножеств множества X. Пара H=(X,U называется гиперграфом с множеством вершин X и множеством ребер U, при этом H=(0,0) считается пустым гиперграфом. Если вершина хеХпринадлежит ребру ие U, то говорят, что они инцидентны. Сопоставим каждой вершине

хеХ гиперграфа Н множество П(х) всех инцидентных ей ребер, а каждому ребру ие и - множество Х(и) всех инцидентных ему вершин. Две вершины х1,х2еХ являются смежными в Н, если существует ребро ие и, которое содержит обе эти вершины, т. е. х1,х2еХ(и). Аналогичным образом, два ребра и1,и2е и смежные в Н, если Х(и1)пХ(и2)ф0. Число | и(х)| определяет степень вершины х, а число |Х(и)|

- степень ребра и. Если |и(х)|=0, то вершина х называется изолированной. Ребро степени 0 считается пустым. Элемент гиперграфа степени 1 именуется висячим.

Если Х=(х1,х2,...,х„|, и>1, и={и1,и2,...,им|, т>1, то гиперграф Н=(Х, Ц) однозначно описывается матрицей инциденций А(Н)={а}. а=1 при хД Х(и); а=0 при х;еХ(и;); /=1,2,...,и; у=1,2,...,от. Гиперграф Н=(Х, V) с матрицей инциденций А(Н*) = АТ(Н) -двойственный (симметричный) гиперграф для Н=(Х, и). Для изучения структурных особенностей гиперграфов используются вспомогательные обыкновенные графы: ЦН) - реберный граф или граф смежности ребер гиперграфа; Ь(2)(Н) - граф смежности вершин гиперграфа; К(Н) - кенигово представление или граф инциденций. Двойственный гиперграф Н* по определению сохраняет отношение смежности и инцидентности между элементами гиперграфа Н. Оттого он наследует все свойства гиперграфа Н, основанные на этих отношениях. Справедливо отношение равенства между графами смежности для Ни Н [5]: ЦН)=Ь(2)(Н‘), И2)(Н)=Ь(Н). Кенигово представление гиперграфа Н=(Х, и) - двудольный граф К(Н), отражающий отношение инцидентности элементов гиперграфа, с