Внешняя алгебра операторов Адамара дробного интегрирования и дифференцирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ АДАМАРА ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассмотрены взаимоотношения между операторами Адамара и функциями, на которые они действуют. Показано, что ряд свойств операторов в традиционном и дробном анализе различаются.

Ключевые слова:

Оператор Адамара, коммутативность операторов, коммутатор. Key words:

Hadamard operator, operator commutability, commutator.

Рассматривая взаимодействие операторов Ада-мара дробного интегродифференцирования с функциями, можно обратить внимание, что алгебраические свойства операторов не всегда соответствуют их внутренней алгебре [1]. Поэтому имеет смысл рассмотреть данный вопрос более подробно. Отношение операторов Адамара к функциям будем называть внешней алгеброй.

Оператор Адамара линейный, т. е. удовлетворяет условиям однородности и аддитивности.

1. Однородность.

В общем случае, для любых функций/(х), выражающихся через дробностепенные ряды [2], справедливо равенство

й°х: а/( х )=аё°х: /(х), а =сош1

В частном случае, для степенных функций данное равенство будет

й*х: ах4 _ ай*х : х9.

Это соотношение легко получить

й*х: ах9 _ Г(9 +1— ах9 + _

Г(д +1 + 5)

= а Г(9 +1) х9+* = ай*х: х9.

Г(д +1 + 5)

В частности справедливы равенства й*х :1/(х )=й*х: /(х),

для воздействия оператора Адамара на число а ёх*:а=аё*х:1, а=сош1;, й*х:0/(х ) = 0, (умножение на ноль).

Выполняется ещё одно важное свойство во внешней алгебре.

2. Аддитивность.

Для сложения функций

й х:( / (х) + g (х)) = й х:/ (х) + й х'^ (х);

для сложения операторов

(й8х+й9х)/(х )=й9х: /(х ) + &х: /(х).

Рассмотрим действие произведения операторов Адамара и их композиций на функции.

Теорема. При последовательном действии операторов Адамара $х-ёгх и композиции й*+гх на функцию /(х) результаты в общем случае различаются.

В общем случае справедливо неравенство йах •йвх: /(х) * йв+ах: /(х).

Покажем это на примере степенных функций. При последовательном действии операторов ё-х и ё~1/2х на константу а получим

й ~1/2 х • й_1х: а _ й ~1/2 х: 0 = 0.

При действии на функцию композиции операторов ё~3/2х даст

Г(1) 0-3/2

d 3/2х: а = -

Щ) ,х-3/2

Г(-3/2 +1) -1

Г(-1/2) 2уЛ'

Из этого следует, что справедливо неравенство

7-1/2 7-1 . 7-3/2

й х • й х: а * й х: а.

Расписав последовательно действие двух дробных операторов, получим

й*х• й7х: х9 _ й*х: Г(9 +1) х +1, =

Г(9 +1 + 7)

Г(9 +1) Г( 9 +1+ у)

х<9+8+У _

Г(9 +1 + 7) Г(9 +1 + у + *) Г(9 +1)

х$ + 8+У й*+У х : х

Г(9 +1 + у + *)

Из этого равенства видно, что оно справедливо при выполнении условий, которые можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Композиция операторов й°х и йгх в оператор й*+гх и декомпозиция оператора $+гх в последовательность операторов $х-ёгх при воздействии их на степенную функцию х9 возможна, когда одновременно выполняются неравенства д+5*-1, -2, -3 ..., 9+г * -1, -2, -3 ..., 9+5+ г * -1, -2, -3 ...

Очевидно, что выполняется равенство &+гх=йг*х, а декомпозиция правой и левой частей

дадут операторы разных последовательностей йтх-й8х и й8х-йтх.

Будут ли эти операторы коммутативны при их действии на функции? Рассмотрим коммутативность операторов Адамара по отношению к функциям, на которые они действуют.

Рассмотрим это на частных примерах й~1/2х • й ^х :1 _ й~1/2х: 0 _ 0.

Вывод данного соотношения

й-1Пх • й-1х: 1 _ й-1Пх: Г(1) х-1 _

Г(-1 +1)

_ й-1/2х: х-1 _ й-1Пх:-х-1 _ йТ1/2х: 0 _ 0.

Г(0) да

Для другой последовательности операторов результат будет

й-х • й~1/2х :1 _—^х-3/2 * 0.

2у1 п

Вывод данного соотношения

й_1х • й~1Пх :1 _ й~'х---------х~1/2 _

Г(-1/2 +1)

_ 1 Г(-1/2 +1) х_1-1/2 _

Г(1/ 2) Г(-1-1/2+1)

_ 1 Г(1/2) х_3/2 _ 1 х_з/2 _

Г(1/2) Г(-1/2) Г(-1/2)

_ тг х* 0.

2у] п

Другой пример воздействия оператора дифференцирования на полином интегрирования С (х)

й_1х: С1/2(х) * 0, й~1/2х • й~1/2х: С1/2(х) _ й-1/2х: 0 _ 0.

Из сказанного можно сформулировать и более общую теорему.

Теорема. Воздействие произведения двух операторов ё5х и йгх на функцию/(х) некоммутативно

й8х-йтх:/(х) * йтх-й8х: /(х).

Рассмотрим случаи, когда коммутативность возможна.

Теорема. Воздействие произведения двух операторов й*х и йгх на степенную функцию х9 некоммутативно, когда одновременно выполняются неравенства д+5 * -1, -2, -3 ..., 9+г * -1, -2, —3 ..., 9++г * -1, -2, -3 ...

Для операторов целочисленных порядков выполняются более простые соотношения.

Теорема. Для композиции и декомпозиции операторов Адамара с целочисленными порядками п и т при их воздействии на функции выполняется равенство

йпх-йтх: /(х )=ёт+пх: /(х).

Теорема. Операторы с целочисленными порядками коммутируют с точностью до сложения с полиномами интегрирования

йпх-йтх: /(х )=йтх-йпх: /(х).

Эти утверждения верны по причине попадания сумм порядков операторов интегродифференциро-вания в полюсы гамма-функции.

Причин некоммутативности при воздействии операторов дробного интегродифференцирования на функцию /(х) две. В соответствии с первой не-коммутативность связана с соотношением между порядками операторов дифференцирования и показателями степеней степенных функций.

По второй причине некоммутативность связана с появлением полиномов интегрирования С (х), когда хотя бы один из двух перемножаемых операторов является оператором интегрирования.

Рассмотрим это на примере пары обратных операторов ненулевого порядка, которые можно записать как

ё -х • й*х: х9=ё °х: х9= 1: х9=х9, й8х ё-х:х9= 1:х9+ С (х)=х9+С (х).

Из этих равенств видна некоммутативность, которая характерна для традиционного анализа.

Можно записать и более общие соотношения для функций /(х)

й -х • й*х: /(х )=ё °х: /(х ) = 1: /(х )=/(х), ёх ё-х:/(х) = 1:/(х) + С5(х )=/(х) + С5(х).

В этом случае справедливо неравенство ёх-ё^х:/(х)*ё-х ёх:/(х).

Данный тип некоммутативности удобно выразить через коммутатор

[ёх, ё-х]х9=(ёх ё-х-ё-х• £х)х9=С5(х).

В более общем случае, когда операторы не обратные друг другу, их порядки не равными нулю, и один из них является оператором дифференцирования, а второй оператором интегрирования, коммутативность не выполняется ё^-ё^х * ё^х ёх.

Это можно записать в виде коммутатора

[й9х, й *х\/(х) _ (й9х • й-х -й-х • йх)/(х) _

_ Сч (х) - й~* х: Сч (х).

Покажем это

й-х • й9х: /(х) _ йх(Р(9} (х) + С9 (х)) _

_ й-х :Б(9)(х) + йх: Сд (х)), йчх• й~*х: /(х) _ йчх:/()(х) = |/()(х)йчх + С9(х).

Справедливы соотношения йх: \х) _ й9х: /(\х) = |/(\х)й х,

9—*-1, -2, -3 ..., 5—9*— 1, -2, -3 ...

Рассмотрим данное соотношение для степенной функции

й-*хй9х: х _ й-‘х:

Г(г +1) Г(г + 9 +1) г+9-‘ + й-‘х:

Г(г +1) -хг + + Са(х) |_

Г(г +1 + 9) 9

хг+9-‘ + й~*х: С9 (х) _

Г(г +1 + 9) Г(г + 9 +1 - ‘)

-хг+9-‘ + й-*х: С9 (х)

Г(г +1) хГ+9-* + й-‘ х:.

Г(г + 9 +1 - ‘)

й9х • й-‘х: хг _ й9х: Г(г +1) х- _

Г(г +1 - ‘)

Г(г - ‘ + 1) Г(г + 1) хГ+9-‘ + С (х) _

Г(г + 9 +1 - ‘) Г(г +1 - ‘)

Г(г +1)

-хг+9-‘ + Сч (х),

Г(г + 9 +1 - ‘)

9+г—5*—1, -2, -3...; 9-5*-1, -2, -3... Окончательно получим [й9х, йГ*х\хг _(йРх^йГ*х-йТ-х• йх)х _

_ С9 (х) - й~°х: С9 (х).

Когда операторы дифференцирования и интегрирования в коммутаторе стоят в другом порядке, будет справедливо свойство антисимметричности

[й ‘х, й9х\/(х) = -[Cчx, й ‘ х\/(х) _

_ (й-х^й9х-й^х^сТ*х)/(х) _й-х:С9(х)-С9(х).

Если оба оператора в коммутаторе будут операторами интегрирования, получим

[й‘х, й9х\хг _

Г(г +1)

Г(г + 9 +1 + -)

+й‘х: С (х) -:

9 Г(г + 9 +1 + -)

-й9х: С * (х) _ й‘ х: С9 (х) - й9х: С* (х).

В общем случае будет выполняться равенство [й‘х, й9х\/(х) _ й‘х: С9(х) - й9 х: С* (х).

Также будет справедливо свойство антисимметричности

[йх, й9х\/(х) _ -[й9х, й*х\/(х).

В общем случае произведение операторов и функций не является коммутативным, как это имеет место в обычном анализе

ё 8х: /(х) */(х) ё5х.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чуриков В.А. Внутренняя алгебра операторов дробного инте-гродифференцирования // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 314. - № 2. - С. 12-15.

2. Чуриков В.А. Степенные ряды с дробным шагом и построение дробного анализа на основе оператора Адамара // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и инфор-

матики: Матер. Междунар. Российско-Абхазского симпозиума VII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус, 2009. - С. 237-242.

Поступила 24.06.2009г.