Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

© 2008 г. К.У. Хубиев

Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦРАН, 360000, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А, пирта@таП3 33.com

Research Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of Russian Academy of Sciences, 360000, KBR, Nalchik, Shortanov St., 89 A, niipma@mail3 3 3.com

Исследована нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа. Найдены достаточные условия существования и единственности решения данной задачи.

Ключевые слова: задача Бицадзе-Самарского, задача со смещением, краевая задача, нагруженное уравнение, уравнение гиперболо-параболического типа, уравнение смешанного типа, нелокальная краевая задача.

In the paper the non-local boundary value problem of the Bitsadze-Samarski type problem for loaded equation of hyperbolic-parabolic type is considered. Sufficient conditions for existence and uniqueness of solution of the problem are found.

Keywords: Bitsadze-Samarskiy's problem, problem with shift, boundary value problem, loaded equation, equation of hyperbolic-parabolic type, mixed type equation, non-local boundary value problem.

В 1969 г. А.М. Нахушев предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, тесно связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [1-4]. В свою очередь, задачи типа задачи Бицадзе-Самарского [5] имеют непосредственную связь с задачами со смещением [3, 4]. Достаточно полная библиография и анализ работ, посвященных данной тематике, приведены в работе [4].

В данной работе рассматривается аналог задачи Бицадзе-Самарского для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа. Эти результаты обобщают результаты, полученные в [6], где было рассмотрено модельное уравнение гиперболо-параболического типа.

Рассмотрим нагруженное уравнение гиперболо -параболического типа

\Uxx(X> y)~ Uy (x, y)+ d\(x, y)u(x,0)= fi(x, y), y> 0, \uxx(x>y)-Uyy(x,y)+ d2(x,y)u(x,0) = f2(x,y), y< 0, в области Q , ограниченной отрезками AA{), BB0, А0В0 прямых x = 0, x-г , у = h> 0 и характеристиками ЛС:х + у = 0, BC:x-y = r; d^y), d2(x,y), f (x,y), f (x,y) - непрерывные в замыкании области

их определения функции. Через Q+ и Q" обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области О соответственно, а через / - интервал О < х < г прямой у = 0 .

Регулярным решением уравнения (1) назовем функцию и(х,у) е C(Q) пС1 (Q) п С2 (Q \ /), uy(x,0)eL(0,r),

удовлетворяющую уравнению (1) в Q+uQ~.

Задача. Найти регулярное в области Q решение U(x, y) уравнения (1) с непрерывной вплоть до отрезка BB0 производной первого порядка по переменной x, удовлетворяющее краевым условиям:

(1)

иф,у) = ^(у), О <у<И, (2)

[^СуК+АСУ)«] |х=х0=

= [«2ОК + Рг О)"] |*=г+ <5(у) , (3)

и (/2, - х/2^= 1//(х), 0 < х < г, (4)

где х0- фиксированная точка интервала / ; а1 ( у). ДО) (/ = 1.2). (р^ ( у).Л'( у) - заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, у/(х) е С(7) п С2 (/). Обозначим

и(х,0) = г(х), хе/ , и(г,у) = <р2(у), 0<у<к, (5) и (х,0) = |/(х), хе/.

Тогда г(х) е С(7) п С1{1), к(х)еС(/), %(7)еС[0,й], т(0) = 1//(0), г(1) = <р2(0) . Переходя в уравнении (1) и краевых условиях (3) к пределу при у —» +0, получим функциональное соотношение, принесенное из параболической части О смешанной области О :

т"(х) + с^г (х) - (х,0) = 1/(х), (6)

[«1(0)г'(х)+А(0)г(х)] =

(7)

= [а2 (О)г' (х) + ß2 (О)г(х)] |я=г+ ¿(0) .

Решение задачи (1)-(4) в области Q" представимо в виде [7]

т(х + у) + т(х-у) 1Х~/

и(х,у) = -

1 О x-y+ll

J ib^rO-d^nX^dr,. (8)

• У x+y-V

Учитывая (8), (4), после несложных преобразований получим

2

-- ¡v(f)df-

2 x+y

2

х12

т(x)-\v(g)d§ + j

+ j m

x/2

jd2(£,T])dr/

]d2(%,ri)dt]

В области £21 решение первой краевой задачи (2), (5) для уравнения (1) определяется следующим образом [8]:

У У

(9) и(х,у) = \(р1{ф0,{х,у,0^г1-\(р2{ф0,{х,у,г^г1 +

о о

г у г

+ \ т(&0(х, у; -11 в(х, у- £ пШ, Ф<Цс1т1, (14)

О X+ij

= 2^(х)-К0)+ J if2(Z,Tl)d&ri.

—х/2 -71

Подставляя значение v(x) из (6) в (9) и интегри- где (¡(х. у, q, /;) = [4ж(у - /;)|

00

-1/2 ,

руя получившееся выражение от 0 до x, получим следующее интегральное уравнение:

х Е iexp

T(x)-jK(x,f)T(f)df = f(x),

о

где

/(х) = р(х) + т'(0)х,

X

О

(10) (11)

(х-^ + 2 гпУ

-exp

(x + g + 2 гпУ 4(J-?7)

+ 1

J "f2(t,n)dtd?i

d£,,

K(x,S) =

о

+ \(x-Z + t])d2(£,Ti)dr], 0 < < х/2,

+ + фd2(¿,фdт], х/2 < ¿; < х,

причем ядро уравнения АТх. е С(0 < ^ < х < г).

Обращая теперь интегральное уравнение (10), получим

4(7-77)

функция Грина первой краевой задачи, 7) = Л (X у) - d1 (х, у)т(х). Учитывая (14), (3), аналогично [6], получаем уравнение

Р2{у)<р2{у) + ШУЛШп)<1г, = ¥{уХ (15)

о

где ()(у, 77) = ах (у)0^ (х0, у; г, ф +

+А (х0, у; г, 77) - «2 (у)е^ (г, у; г, 77),

= П«1 (х0,7;0,77) + д (Х0,у,О,77) -

о

г

- а2 (г, >>;0,77)]^ (77)а??7 + / (у)вх (х0 ,у;т],0) +

о

+ А (у)6(хо ,У,г],0)-а2 (у)Ох (г, >>; 77,0)]г(77)А7 -<?(»-

У г

-11 [«1 ОО^х (х0 77)+а (>-)С(х0, у, 4, ф-

г(х) = |Я(х,#)/(#)0?# + /(х), о

(12)

- «2 Су)6* <Л J; v)d^drj.

где R(x,f)=£K„(x,f), К1(х,& = К(х,£),

п= 1

л:

Кп (X, £) = JäT(jc, (i, Z)dt,n=2ß...

При выполнении условия РЛу) / " (Г) < V < /г) уравнение (15) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе непрерывных функций. Подставляя значение Дх) из (11) в (12), будем После нахождения функции гр2(у) решение задачи в

области Г2+ определяется однозначно по формуле (14).

иметь г(х) - г' (0)(х) + (х). где т'(0) - неизвестная константа, подлежащая определению,

X X

й(х) = х + \ея(х,№, 82(Х) = р{х) + \К{х^)р{^.

о о

Неизвестная постоянная г'(0) определяется однозначно из условия (7) при выполнении неравенства «1(0№о)+А(0)а(хо)■-«2(0)^'(г)-Д(о(/■) * о (13) следующей формулой: г'(0) =

_ 3(0) + «2 Ш2' (г) + р2 (0)я2 (г) - а, (0)я2' (х0) ■- А (0)я2 (х0)

«1 (0)й' (х0) + Д (0)& (х0) - «2 (0)?1' (г) - р2 (0)?1 (г) После определения г(х) функцию к(х) находим из соотношения (6). Когда определены функции г(х)и к(х). решение задачи (1)-(4) в области £Г определяется однозначно по формуле (8).

Таким образом, доказана следующая Теорема. Если функции а,(у), Д-(у), dj(х,у)

(' = 1, 2) таковы, что (0)^ Ч-\:0) I Д (0)^ (х0 ) -

' - (г) ^ 0, где а(х) - решение

интегрального уравнения Вольтерра II рода

X

l-(x-4)d1(4,0) +

о

+ j(x-g + 77)^2(^,77)^77, 0 < ^ < х/2,

К(х,{) =

+ \(x-^ + фd2(^фd7^, х/2 < ^ < .

X

0

0

0

х

0

0

причем Р2{у)Ф О (О<у<И), ^(0) = 1//(0), то задача (1)-(4) имеет и притом единственное решение.

Отметим, что условие (13) выполняется для достаточно широкого класса коэффициентов уравнения и краевых условий задачи.

Пример 1. Пусть функции ^(х^) =сои5/< 1/4,

с12(х. у) = 0. Тогда уравнение (10) примет вид

т(х) - J [1 - 0?! (X - = f(x).

о

Решение уравнения (16) имеет вид

X

T(x) = f(x) + jR(x,f)f(f)df, где

(16)

R(x,Ç) =

~ А

d1 Ф

х-S

ехр[(х-£)/2], dx =

4 4'

2Ä1=1-^1-4d1, 2Л2 =1 + y¡1- 4d1. Рассмотрим случай, когда dl < 1/4 .

Вычислив

I О ph.x _ 2 р- ,

gl{x) = x + \ÇR{x,Ç)dÇ = ^ =ех/2

Мх

sh/jx

0 ~К M

где 2/.i = Ä2— запишем условие (13) в следующем виде:

Фа2ф)егП[скИг + "}1ИГ

+ А(0)е

r 12

shfjr

v 2//

При б/, =1/4 получим, что g1(x) = xe' вие (13) примет вид

ах (0)ех°/2 (1 + х0 / 2) + Д (0)х0ех°/2 Ф

12

(17)

а усло-

Ф а2 (0)ег ''2 (1 + г / 2) + Д2 (0)ге

rl 2

(18)

Условия (17) и (18) будут выполняться, например, когда «,(()) Д (0) > 0. (/ = 1.2) и Д(0)Д2(0)<0. При d1= 0 условие (17) совпадает с условием [«1(0) + Д(0»ж° -- [а2 (0) + /?2 (0)]е г - Д (0) + ¡32 (0) * О, полученным в работе [6].

Пример 2. Пусть функции ос ¡(у).Д(>'). с/^х.у) а -1,2) таковы, что

^(х,0)<1/г, d2{x,y) > 0, (19)

а1(0) = «2(0) = 0, Д(0)Д2(0)<0. (20)

Тогда условие (13) примет вид Д(0)Я1(х0)-Д2(0)Я1(г)^0. При выполнении условий (19) ядро интегрального уравнения (10) К(х,^)> 0, 0 <х<г,

х

следовательно, К2{х,%) = \К(х,€)К(г,^)с1г > О,

X

Кп(<х,& = \К{х,Г)Кп_х{$,п = 3,4..., и ре-

зольвента ядра Rix, ç) = X Кп (х, с) > 0.

И—1

X

Из этого следует, что g1(x) = x + \ ç Rix. ç)dç > О

о

Vx>0, т.е. gj(x0)>0, gj(r)>0, и с учетом условия теоремы Р2(у)Ф0 (0< у<//) и условий (20) условие (13) всегда выполняется.

Литература

1. Нахушев А.М. Новая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С. 736 - 739.

2. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. T. 12. № 1. C. 103 - 108.

3. Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференциальные уравнения. 1985. T. 21. № 1. C. 92 -

101.

4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., 2006.

5. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739 - 740.

6. Напсо А.Ф. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 186 - 187.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977.

8. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.

Поступила в редакцию

14 декабря 2007 г.

о

1

1

4