CC BY
36
И.В. Чернышев, Н.А. Шенкнехт, 2004
УДК 532.582.81
ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ НЕОДНОРОДНЫМИ ПОРИСТЫМИ ЧАСТИЦАМИ
И.В. Чернышев, Н.А. Шенкнехт
В работе получены выражения для внешних и внутренних полей скорости и давления, формирующихся при обтекании неоднородных пористых частиц медленным (Яе <С 1) стационарным потоком вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости.
Для расчета сил взаимодействия случайной совокупности из непроницаемых сферических частиц с однородным потоком жидкости в стоксовом приближении (Яе <С 1) Тэм в работе [1] предложил метод «точечных» сил. Обобщая этот метод, в работе [2] были получены выражения гидродинамических полей в случае обтекания неподвижных однородных изотропных тел пористости е и постоянной проницаемости к. В настоящем исследовании проведено дальнейшее обобщение этой же постановки и считается, что пористая структура частиц радиально-неоднородна (е, к — функции от радиуса частиц). Далее мы полагаем, что частицы неподвижны и расположены случайным образом, а их объемная концентрация не велика (/ < 0,1).
Уравнения в приводимой ниже постановке обезразмерены, в качестве характерных масштабов длины, скорости и давления выбраны соответственно величины: а — характерный радиус частиц, 1Г0 — среднерасходная скорость набегающего потока, ро = /хС/о/а, где ц — динамическая вязкость жидкости.
Внешнее стесненное движение несжимаемой жидкости описывается уравнениями:
ДУ-а2У = УР, У-У = 0, (1)
где V и Р — усредненные по ансамблю частиц скорость и давление жидкости,
а — параметр, учитывающий стесненность течения. Пусть на отдельную пробную
частицу, выделенную из совокупности, в направлении потока со стороны жидкости действует сила:
Т = 0{а,к)1, (2)
тогда параметр о. в уравнении (I) определяется условием самосогласованное.™ задачи:
а2 = J п(а)0{а) к)¿а, (3)
где п(а) — счетная концентрация частиц. Счетная концентрация, коэффициент проницаемости и параметр а в задаче обезразмерены следующим образом: п* = па_3, @ к* = ка2, а* = ааГ1. Сила в формуле (2) обезразмерена на б7фа£/0.
Фильтрационное течение жидкости внутри частицы описывается системой уравнений Дарси:
у — —k(r)Vp, V ■ V = 0, (4)
где V и р — фильтрационная (расходная) скорость и давление.
Граничные условия для нормальной и касательной компонент скорости и давления на поверхности пористой частицы, в сферической системе координат, помещенной в центр пробной частицы, имеют вид [4]:
Vr = vr, Ve-ve = xVk^, Р-2^=р, (5)
or or
где Л — безразмерный параметр, зависящий от физической природы пористого материала частицы и от геометрии ее поверхности. Вторая формула в (5) справедлива только для очень малых значений коэффициента проницаемости на границе. Согласно [1], решение внешней задачи имеет вид
К = ~з (f3 ~ 2В — 2A(l + от)ехр(—ar)) cos в, Р — — а2(1 + Br~3)rcos#,
Vg = — (г3 + В + A(l + ar + a2r2)exp(—ar)) sin#. (6)
Для внутренней задачи в случае стационарного обтекания неоднородной пористой сферической частицы поступательным потоком, согласно работе [3], решение системы (4) можно представить в виде:
р = Ch(r) cos 9, vr = —Ck(r)h'(r) cos 9, vg — sin9, (7)
r
где h(r) — ограниченное при г = 0 решение уравнения: — (кг2g')' + 2kg = 0.
Явные формулы решений для гидродинамических полей получаются после нахождения коэффициентов А, В и С из граничных условий (5).
Рассмотрим эти решения на примере распределения пористости, приближенного степенной функцией. В этом случае коэффициент проницаемости имеет вид
k(r) = (ki — ko)rb + ко, (0 ^ к0, h < 1, b > 0). (8)
Эта формула задает радиально неоднородное распределение пористости со значением коэффициента проницаемости к0 в центре частицы (г = 0) и ki на ее границе (г — а). Если ко = кг, то частица имеет постоянную пористость к (г) — кг, если к0 > ki, то пористость убывает от центра к периферии, если, напротив, к0 < /сь то пористость растет при удалении от центра частицы. В частном случае, когда к0 — 0, k(r) — kirb, частица имеет непроницаемое ядро.
104
И.В. Чернышев, Н.А. Шенкнехт. Внешние и внутренние гидродинамические поля
В этом случае дифференциальное уравнение для функции д(г) принимает вид:
г2((кг - к0)гь + к0)д” + ((Ь + 2)(кх - к0)гш + 2к0г)д' - 2((кг - к0)гь + ко)9 = 0.
Ограниченные решения этого уравнения можно выписать через гипергеометри-ческую функцию Р(ск,/?,7;х) [5]:
и Г \ п (+ -®1 С2 + В2 С*2 — С\ ¿Д
Цг)=гР1 -----------,--------,1 +---------; 1 , (9)
где Вх,В2 — корни квадратного уравнения у2 — (Ь + 1 )у — 2 = 0, с/ = (ко — кг)/к0 . Используя данное решение, получим:
^П^+1'Н^+1'2+Н- (10>
Для нахождения коэффициентов А, В, С в выражениях для скоростей и давления из краевых условий (5) имеем систему линейных уравнений:
—2(1 + а)е~аА — 2 В + тЬ(1)к\С +1=0,
4(3 + За + а2)с~пА + (12 + а2)В + /г(1 )С + а2 = 0,
2(1 + а + а2 + А;У2А(3 + За + 2а2 + а3))еГаА +
+ (1 + ЪХк\/2)В + Ь(\)кгС + 1 = 0,
где к\ = к( 1), т = Д/(1)//г(1). Откуда
А = — -^-еа(1 + Хк1/2 — к\(А — 4т + а2) — Хк^2а2),
2 а0
В = — (2 + 2а + а2 + АА;|/2(3 + За + 2а3 + а3) -<7о
— (6 + 6а + За2 + а3 — т(6 + 6а + а2 — а3 — а4)) +
+ Хк^^т(3а2 + За13 + 2а* + а°)),
О
С = - , . ■. (2 + 2а + За2 + Л^/2(6 + 6а + 8а2 + 6а3 + 2а4 + а5)),
1г(1 )а0
где ао = 1 + а + 2а2 + Л^'/2(3 + За + 4а2 + 2а3) + £4(771(6 + 6а + 11а2 + а3 + а4) — —За2) + Хтк^2( 18 + 18а + 21а2 + 15а3 + 2а4 + а5).
Выражения (6) и (7) совместно с формулами (9), (10) и найденными коэффициентами А, В, С определяют замкнутое решение для полей скорости и давления около отдельной частицы при обтекании системы неоднородных пористых частиц однородным потоком.
Вычислим проекцию на направление набегающего потока силы сопротивления, действующей на отдельную частицу F — 2тг тгв sin# — Pcos в) sin 0 ¿в, где тгв —
усредненное по ансамблю частиц касательное напряжение на поверхности сферы
= (т
Ттв \ дг г дв г ) г=1 ’
Выражение для безразмерной силы сопротивления выглядит следующим образом:
1 6
D(a, к) = q(a, кг, h( 1). h'{ 1), h"(l), А) = — М{кг(2,
¿=o
где а = /г(1)((1 + а + 2а2) + Хк^2(3 + а + 4а2 4- 2а3) + кх(а3 — За2)) + ХкгЬ'(1)х х (А;У2(18 + 18а + 21а2 + 15а3 + 2а4 + а5) + (6 + 6а + 11а2 + а3 + а4)).
Коэффициенты М0-Мб тоже являются функциями от величин а, А, /г(1), Ь'(1), /г"(1). .В силу громоздкости, явные выражения для этих коэффициентов опущены.
В случае монодисперсной суспензии (все сферы одного размера) уравнение (3) для неизвестного параметра а принимает вид
а2 — ггд(а, кх, Н(1), Ь'(1), А) = 0. (11)
При О < А < 10, / = 47та3«/3 <0,1 уравнение (11), как и в случае однородных пористых частиц, имеет единственный положительный корень, а значит, и единственное значение параметра а для определения вязкого фильтрационного сопротивления.
Используя полученные формулы, были проведены расчеты для некоторых вариантов пористых частиц со степенным распределением пористости при их стесненном обтекании для различных наборов параметров ко, кх, п. При увеличении пористости
тз ттритпр иалтыпит ппи гЬиъ’тчлпгш а иилу оцоисиии упзгЬгЬтлтттдоит'о пплит-тпопляплти и о
I дич-шцш '*'^7 * 1 р * I tvv.il «1 1ЧУ1»» иПи 14,1111/1 Г\ »и/.-У \.|У ^ Г1Г 1 1.1 1 и 1111 X X Ц, С1Ч.1»! V*- I 11 1 1 СД
поверхности к\, сила сопротивления незначительно растет. Этот результат одинаков при различных концентрациях частиц, а при увеличении концентрации частиц, как и ожидалось, величина силы сопротивления возрастает. Анализируя результаты, можно сказать, что наиболее значимо влияние параметра к\. Величина силы сопротивления резко уменьшается с увеличением пористости частиц на границе (увеличение кх), при этом фильтрация жидкости через частицы усиливается.
106
И.В. Чернышев, H.A. Шенкнехт. Внешние и внутренние гидродинамические поля
Для проведения громоздких аналитических выкладок, при вычислении коэффициентов А, В, С, М0-М6 и интегралов для величины F, при проверке соответствия полученных решений исходным уравнениям и граничным условиям и при решении алгебраического уравнения (11) использовалась компьютерная система символьных вычислений Maple 8.
Summary
INTERNAL AND EXTERNAL HYDRODYNAMIC FIELDS, GENERATED BY INTERACTING NONUNIFORM POROUS PARTICLES
I.V. Chernyshev, N.A. Shenkneht
In present paper the analytical expressions for the internal and external velocity and pressure fields generated by nonuniform porous particles in flow at vanishing Reynolds number were obtained.
Литература
1. Tam C.K.W. The dag on a cloud of spherical particles in low Reynolds number flow // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. № 3. P. 537-546.
2. Потапов Е.Д., Серебрякова Н.Г., Трошин В.Г. Взаимодействие пористых сферических тел, обтекаемых медленным потоком вязкой жидкости // Изв. PAFI. МЖГ. 1992. № 3. С. 181-183.
3. Чернышев И.В. Задача Стокса для сферической частицы с радиально неоднородным распределением пористости // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 179-184.
4. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. Fluid. Mech. 1967. V. 30. Pt. 1. P. 197-207. 512 c.
5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.
