О некоторых особенностях движения нагретых сферических частиц в вязких неизотермических газообразных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.72

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ДВИЖЕНИЯ НАГРЕТЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКИХ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ГАЗООБРАЗНЫХ СРЕДАХ

Н.В. Малай1), А.В.Глушак

Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Разработан математический метод решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности) и плотности газообразной среды от температуры. Используя найденное решение, рассмотрена задача о влиянии нагрева поверхности частицы на силу и скорость ее гравитационного движения. При рассмотрении движения предполагалось, что средняя температура поверхности частицы может существенно отличаться от температуры окружающей ее среды. Численные оценки показали, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на силу сопротивления и скорость гравитационного падения. Проведено сравнение с известными данными эксперимента, которое показало расхождение не более 15%, что указывает на правомерность разработанного математического метода.

Ключевые слова: линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса, гравитационное движение, движение нагретой частицы в поле силы тяжести.

I. Решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учётом зависимости коэффициентов переноса от температуры

1. Введение. Вследствие общей нелинейной природы получить точные решения уравнений гидродинамики не представляется возможным [1-3]. До настоящего времени не увенчались успехом усилия, направленные на разрешение принципиальных вопросов, таких как, например, имеют ли уравнения гидродинамики при дополнительных граничных и начальных условиях единственное решение, насколько удовлетворительно описывают получаемые решения реальные течения и др.

Как показано в [1-3], богатейший теоретический и экспериментальный материал, накопленный в гидродинамике, по-видимому, недостаточен для строгого математического анализа происходящих в жидкости и газе явлений.

Многочисленные парадоксы гидродинамики указывают на то, что до окончательной теории здесь еще далеко. Поэтому исследование линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса позволяет найти пути решения общего уравнения движения вязкой неизотермической газообразной среды.

При рассмотрении многих прикладных задач, связанных с описанием движения отдельных частиц в вязких неизотермических газообразных средах возникает, как правило, вопрос о нахождении полей скорости, температуры, давления и т.д., которые определяются путем решения общего уравнения движения вязкой неизотермической среды. Эти поля необходимы для нахождения действующих на частицы сил, скоростей их упорядоченного движения, определения элементов тепло- и массопереноса.

В произвольной ортогональной криволинейной системе координат (ж1,#2,#3) общая система гидродинамических уравнений для квазистацио-нарного случая включает в себя [3-6]:

— уравнение Навье-Стокса (г = 1, 2, 3)

к=1

Нк дхк

Е

к=1

и2хк дНк ихМхг дНг дхг ^ Н^Нк дхк

к=1

_ 1 дР 1 ^

“рК' ~ Жа? ' и

1

д

Н1Н2Н3Н

к=1

Н1Н2Н3 дхк

Нк

(Укк дНк

Нк дхг

уравнение непрерывности

3

1

НхНчНъ^ дх

1 = 1

Е

д /'Н,Н,Н.

\ ч>ч:!

Я,;

рЦхИ = 0,

уравнение конвективной теплопроводности (г = 1, 2, 3)

дТ 1 д

дхг Н\Н2Н^дхг

н'нлКр,т)дт

Нг

дхг

, (1)

(2)

(3)

где через Пх1, Ехг и агк (г, к = 1, 2,3) обозначены физические составляющие массовой скорости и, силы ^ и тензора полных напряжений

+2«к Е

1 д11хг

дхк 3 ихп

+

1 д их,

Н\ дхг дНг 2

1

НН

' дНг тт дНк

и^^4 + итк-

п= 1

НпНг д хп 3

«к Е

п=1

д

дхг

д хк

ЯХН2Нз Нп

х д хг

их

+

(4)

Нг ( х) — коэффициенты Ламэ; Р, Т и р - соответственно давление, температура и плотность вязкой среды; ср, п, т, м и А - соответственно, удельная теплоемкость при постоянном давлении, концентрация, масса, коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности газообразной среды.

Уравнения (1) - (3) вместе с зависимостями коэффициента теплопроводности А = А (р, Т), плотности р = р (Т) и динамической вязкости м = м (р, Т) от температуры, а также определяемые конкретной задачей граничными условиями позволяют полностью описать состояние вязкой среды (газа или жидкости), т.е. позволяют определить давление, плотность, компоненты массовой скорости и температуру при неизотермическом течении вязкой среды. Здесь и далее индексы "е" и "г" будем относить к газообразной среде и частице. Индексом " будем обозначать значения физических величин, взятых при средней относительной температуре частицы, равной Тгв, а индексом "то"

- значения физических величин, характеризующих газообразную среду на далёком расстоянии от частицы.

Как отмечалось выше, вследствие общей нелинейной природы получить точные решения системы гидродинамических уравнений не представляется возможным, т.е. общего метода построения решений для вязкой неизотермической среды не существует. В гидродинамике были разработаны приближенные методы, позволяющие в той или иной мере упростить систему гидродинамических уравнений и приспособить ее к характеру отдельных типов конкретных физических задач. Большинство конкретных задач о движении вязкой неизотермической среды, имеющих тот или иной практический интерес, решены именно на основании приближенных уравнений движения вязкой неизотермической среды. Они получаются из полных уравнений с помощью некоторых упрощений путем отбрасывания (полностью или частично) некоторых членов в уравнениях и граничных условиях. Эти методы основаны обычно на использовании малых параметров, называемых в научной литературе безразмерными комбинациями (числами Рейнольдса, Пекле, Эйлера и т.д.), которые подходящим способом определяются из исходных уравнений, граничных и начальных условий. Малость этих безразмерных комбинаций позволяет упростить полную систему гидродинамических уравнений.

Для решения системы уравнений (1) - (3) сделаем следующие физические допущения.

1. Движение частицы в газообразной среде рассматривается при значительных (больших) относительных перепадах температуры. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности температуры на

поверхности частицы и температуры области, далёкой от от этой частицы. Относительный перепад температуры считается малым, если выполняется неравенство (Тгв — Те(Х)) /Тето ^ 1. При выполнении этого неравенства коэффициенты молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) и плотность можно считать постоянными величинами. Если (Тгв — Те(Х)) /Тето ~ О (1), то относительный перепад температуры считается значительным. В этом случае уже нельзя считать эти величины постоянными. В работе при описании свойств газообразной среды и частицы рассматривается степенной вид зависимости динамической вязкости и теплопроводности от температуры [7, 8], таким образом

Ме -- ^еж^в, Ае -- Аежге , ре - рeж>te, Аг - Аг^Г1 1

Месю - Ме (Тето) , ресю - ре (Тето) , Аесю - Ае (Тето) , Аг<Х - Аг (Тето) ,

гк = Тк/Теж, к = е, г, 0, 5 < а, в < 1, —1 < ^ < 1-

2. Определяющими параметрами задачи являются коэффициенты ср, ре(Х), Ме>х>,Ае(Х> и сохраняющиеся в процессе движения частицы величины Я, Те(Х), ито. Из этих параметров можно составить две безразмерные комбинации: число Рейнольдса = (ретоитоЯ) /меж> << 1 и тепловое число Пекле Рето = (срижЯреЖ)/Аето << 1, где Я — радиус частицы, иж = \иж\ — характерная скорость задачи.

3. Коэффициент теплопроводности частицы по величине намного больше коэффициента теплопроводности газа. Это допущение приводит к тому, что в коэффициенте вязкости можно пренебречь зависимостью от угла 0 в системе "частица-газ" (предполагается слабая угловая асимметрия распределения температуры) и считать, что вязкость связана только с температурой ге0 (г), т.е. Ме ^е (г, 0)) ж Ме (£е0 (г)). При этом ге (г, 0) = ге0 (г) + ^е (г, 0), где Ые (г,0) ^ ге0 (г), а Ые (г,0) ,ге0 (г) определяются из решения тепловой задачи. Это допущение позволяет рассматривать гидродинамическую часть отдельно от тепловой части, а связь между ними осуществляется через граничные условия.

4. Частица образована однородным и изотропным по своим свойствам веществом.

В рамках сформулированных выше допущений, в работе рассматривается следующая система гидродинамических уравнений, описывающая распределения полей скорости ие, давления Ре и температуры Т вне и внутри нагретой частицы:

дхк е дх^

?-р - —

\ е — п

реСре(ие • v)тe = аіу (Леуте),

(6)

аіу (Л^Ті) = дг,

(7)

где Хк — декартовые координаты, ді — плотность тепловых источников, неоднородно распределенные в объеме частицы, за счет которых и происходит её нагрев.

При математическом описании равномерного движения нагретой частицы в вязкой неизотермической газообразной среде природа сил, вызывающих это движение, нас интересовать не будет. Она может быть гравитационной, магнитной, термофоретической, электрофоретической и т.д., что позволяет распространить разработанный математический метод решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса на очень широкий класс физических задач. Этот вопрос мы подробно рассмотрим во второй части статьи на конкретной физической задаче. Поскольку частица движется равномерно, то мы можем перейти в систему координат, связанную с её центром масс. В качестве системы координат выбираем сферическую систему координат (т,0,р). В этом случае задача сводится к определению обтекания нагретой неподвижной частицы плоскопараллельным потоком газа со скоростью (иж|| Ох).

Все неизвестные функции зависят только от координат г и 0.

В сферической системе координат линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса, описывающее распределение скорости и давления вне частицы равенством (5), имеет вид

где у = г/Я, огг, огв, овв и — компоненты тензора напряжений в сферической системе координат, определяемые равенствами

ду ду уагг у дв у

® 99 Сірір

У

(8)

у дв ду у(7г° у дв у

(9)

(2Т re 2 птте 2 \ /ОД 1 ОД Ш'

= Me ОД + -ctg 6Ug - -div Ue ) , (Jr0 = Me ( +

^ r y ° 3 7 ’ \ dy y d9 y )

Компоненты массовой скорости и давления будем искать в виде разложения по полиномам Лежандра и Гегенбауэра. Они нужны нам для нахождения общей силы, действующей на частицу. Сила определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы и равна [3]

Fz = (-Pe cos 9 + arr cos 9 — are sin 9) r2 sin 9 d9dip. (10)

Js

Используя свойство полиномов Лежандра и Гегенбауэра, легко показать, что эта сила определяется только первыми членами разложений [2]. Поэтому мы можем записать

Щ (y, 9) = U^G (y) cos 9, Щ (y, 9) = —U^g (y) sin 9, (11)

где G (y) и g (y) — произвольные функции, зависящие от радиальной координаты.

Связь между функциями G (y) и g (y) может быть найдена из уравнения непрерывности (2) с учетом зависимости плотности газообразной среды от температуры (уравнение состояния). Эта связь имеет вид

g(y) = G (у) + | {G'{y) — f (y)G (у)), (12)

f( ч 1 dte0(y)

где/Ы = Ы^^'

Тепловая задача решается методом сращиваемых асимптотических разложений [9, 10]. Нулевое приближение для внутреннего разложения поля температуры с учетом третьего допущения равно

/ г \ i/(i+a)

teо (у) =[1 + j) ’ (13)

где Г0 > 0 — постоянная, определяемая из граничных условий на поверхности нагретой частицы.

С учетом (13) зависимость динамической вязкости от температуры (см. допущение 3) принимает вид

/ Г \ в(1+а)

Me (у, 0) « /wfo (у) = Меоо ( 1 + ~ ) • (14)

2. Решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов. Подставляя (11) в (8), (9) и учитывая (12) и (3), освобождаясь от давления, предварительно продифференцировав (8) по переменной 9, а (9) - по у, в конечном итоге, было получено следующее однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка для функции С (у):

4 ^4С(у) о, , ..<Л3С(у) 2 , , 2/ (12С(у)

У , 4 +У (8 + ^1 £{у)) з +у (8 + а2£ (у) + а3£ (у)) 1

^у4 у у 1 у^у3 у у ° 4у2

+у (а^£ (у) + а^£2 (у) + а§£3 (у) — 8) —+

в котором

+ («т12 (у) + а813 (у) + аб14 (у)) С (у) = 0, (15)

„г ^ Го 1-2/3 8/3

£ (у) = ———, «1 = —--, «2 =

у + Г0’ 1+ ^ 1+ а’

в2 — 3в — ав + 3 + 3а в — 1

0?3 = ---------------ту------, (14 = 2------- ,

(1+а)2 “+1

Лв2 + в — ав — 3а — 3 6 + 12а + 6а2 + в2 — 5в — 5ав

0?5 = 2--------------^, 0?б = ---------------------5,

(1+а)2 (1+а)3

2 + 2а — /3

«7 — 2—--------~2 , «8 — —2«б

(1 + а)

с краевыми условиями

С (1) = Яь Нш С (у) = 1, р (1) = ^2, Нш р (у) = 1, (16)

у^ж у^ж

где Я1 и Я2 - постоянные, вид которых определяется конкретной физической задачей. Например, в случае классической задачи Стокса имеем Я1 = Я2 = 0, что соответствует условию прилипания на поверхности сферы радиуса Я.

Точка у = 0 для уравнения (15) является регулярной особой точкой [11, 12]. Поэтому будем искать его решение в виде функционального ряда

ж

С(у) = С„Г(у), Со = 0. (17)

п=0

Вычисляя производные, получим

оо

С'(у) = —уР 1 ^ [(п — р) Сп — (п — 1) Сп— 1] ln(y),

п=0

ж

С"(у) = уР 2 ^ ^ [(п — р) (п — Р + 1) Сп — 2 (п — р) (п — 1) Сп—1 +

п=0

+ (п — 1) (п — 2) Сп—2] ^п(у) ,

С"'(у) = — уР 3 [(п — р) (п — р + 1) (п — р + 2) Сп —

п

ж

' [[п — р) (п —

п=0

3 (п р) ( п р + 1) ( п 1) Сп 1 +

+3 (п — р) (п — 1) (п — 2) Сп—2 + (п — 1) (п — 2) (п — 3) Сп—3] ln(У), ж

= уР 4

(31У (у) = уР 4 [(п — р) (п — р + 1) (п — р + 2) (п — р + 3) сп

п р) ( п

п=0

—4 (п — р) (п — р + 1) (п — р + 2) (п — 1) Сп—1 +

+6 (п — р) (п — р + 1) (п — 1) (п — 2) Сп—2 —

— 4 (п — р) (п — 1) (п — 2) (п — 3) Сп—3+

+ (п — 1) (п — 2) (п — 3) (п — 4) Сп—4] ^п(у).

Подставляя ряд (17) в (15) и приравнивая коэффициенты при уР, получаем определяющее уравнение

р (р + 3) (р + 1) (р — 2) = 0 имеющее корни р1 = — 3, р2 = — 1, р2 = 0, р3 = 2. Заметим, что разность корней равна целому числу. Следовательно, согласно общей теории решения дифференциальных уравнений в виде обобщенных степенных рядов (метод Фробениуса) во всех остальных решениях, кроме первого, соответствующего р1 = — 3, появляется дополнительное слагаемое, содержащее множитель 1п у, умноженный на первое решение (см. [11, 12]).

Большему (по модулю) из корней отвечает решение

ж

С1 (?/) = з Е с'«. 1Г(?')' <18>

у п=0

Подставляя (18) в (15), получим рекуррентную формулу для нахождения коэффициентов Спд

Со,1 = 1, Сп,1 = [п (п + 2) (п + 3) (п + 5)]—1 х

х {(п + 2) [4 (п — 1) (п2 + 4п + 1) +

+а1 (п + 3) (п + 4) + а4 — а2 (п + 3)] Сп—1,1 —

— [2 (п — 1) (п — 2) (3п2 + 9п + 4) +

+3а1 (п — 2) (п + 2) (п + 3) —

— 2а2 (п + 2) (п — 2) + аз (п + 1) (п + 2) +

+а4 (п — 2) — а5 (п + 1) + а7] Сп—2,1+

+ [4(п + 1)(п — 1)(п — 2)(п — 3) +

+ 3а1 (п — 2) (п + 2)(п — 3) — а2 (п — 3) (п — 2) +

+2аз (п + 1) (п — 3) — а5 (п — 3) + абп — аэ] Сп—3,1 —

— (п — 3) [(п — 1)(п — 2)(п — 4) +

+а1 (п — 2) (п — 4) + а3 (п — 4) + а6] Сп—4,1} 5

здесь и в дальнейшем мы считаем, что Сп,к = 0, если п < 0.

Второе решение уравнения (15), линейно независимое с решением С1 (у) и соответствующее корню р2 = —1, будем искать в виде

жж

м = - Е + тг* Е (19)

у п=о у п=0

Подставляя (19) в (15), получаем рекуррентную формулу для нахождения коэффициентов Сп,2

0)2 = 1, (71,2 = — д (6СК1 — 2«2 + (14) , С2,2 = 1,

’ о

Сп,2 = [п (п — 2) (п + 3) (п + 1)]—1 х

х |п [4 (п — 1) (п2 — 3) + а1 (п + 1) (п + 2) + а4 — а2 (п + 1)] Сп—1,2

— [2 (п — 1) (п — 2) (3п2 — 3п — 2) +

+3одп (п — 2) (п + 1) — 2а2п (п — 2) +

+ азп (п — 1) + «4 (п — 2) — «б (п — 1) + о?] Сп—2,2+

+ [4 (п — 1)2 (п — 2) (п — 3) + 3одп (п — 2) (п — 3) —

—а2 (п — 3) (п — 2) + +2а3 (п — 1) (п — 3) —

— аБ (п — 3) — а8 + а6 (п — 2)] Сп—3,2

— (п — 3) [(п — 1) (п — 2) (п — 4) +

+ ОД (п — 2) (п — 4) + а3 (п — 4) + а6]Сп—4,2 +

+ (п — к — 1) А/;} ,

п- 2

0 к=0

где

г

р2 = 30 [^а3 ~ а5 + ОІ7 — 2 (4 + 12С^1 — 3«2 + щ) ^1,2] 5

Д* = (4к3 + 30к2 + 62к + 30) С*,і —

— [12 (к2 — 1) (к + 3) + «4+

+аі (3к2 + 18к + 26) — а2 (2к + 5)] С*—і,і+

+ [6 (к — 1) (к — 2) (2к + 3) — 2«2 (к — 2) —

—«б + «3 (2к + 3) + 3од (к — 2) (2к + 5)] С*—2д—

— [4 (к — 1) (к — 2) (к — 3) + 3од (к — 2) (к — 3) + аб + 2а3 (к — 3)] С*_3д.

Третье решение уравнения (15), линейно независимое с решениями Сі (у), С2(у) и соответствующее корню р3 = 0, будем искать в виде

ОО т Ж т СО

Сз (</) = £ С„,3Г + ^ £ а.дГ + ^ £ С„,2Г. (20)

п=0 У п=0 У п=0

Аналогично предыдущему получаем рекуррентную формулу для определения коэффициентов Сп , (п > 4)

(7о,з = 1, С\£ = 0, (72,3 = тт, (7з,з = 1, <^о = 0,

о

Сп,з = [п (п + 2) (п - 3) (п - 1)]-1х х ^ (п — 1) [4 (п — 1) (п — 2п — 2) + одп (п + 1) + «4 — Сп-1,з—

— [2 (п — 1) (п — 2) (3п2 — 9п + 4) + 3а1п (п — 2) (п — 1) +

(п — 1) (п — 2) (а3 — 2а2) + (п — 2) (а4 — а5) + а7] Сп—2,3 +

+

4 (п — 1) (п — 2)2 (п — 3) + 3а1 (п — 1) (п — 2) (п — 3) +

+ (п — 3)(п — 2)(2а3 — а2) + (п — 3) (а6 — а5) + а7] Сп—3,3

— (п — 3) [(п — 1) (п — 2) (п — 4) +

+а1(п — 2)(п — 4) + а3(п — 4) + аб] Сп—4,3 +

1 п— 3

+ ~7г[сК8 — (8 + 12«1 — Зо?2 + СК4) /4] ^ ^ (п — к — 2) (п — к — 1) Д&}.

п1 I ‘

60'

к=0

Четвертое решение С0 (у) уравнения (15), отвечающее корню р4 = 2, согласно методу Фробениуса, следует искать в виде

ОО СЮ

Со (у) = У2 5] С„,4<" + Ц 1п у ^ Cn.lt +

п=0 У п=0

ОО ^'1 1 ^ Г ^ пп I „ 1 „ „ . \ Л /~1 пп

+ - 1п у ]Г С„,2Г + 1п у ^ С„,3Г, С„,4 = 1.

У

п=0 п=0

Поскольку это решение не удовлетворяет краевому условию

Нш С (у) = 1,

у ^ Ю

то его явный вид мы не приводим.

Заметим, что выбор постоянных Сод, С0,2 и С0,3 осуществляется таким образом, чтобы функции С (у), С2 (у) и С3 (у) стремились к соответствующим функциям для сферы при малых относительных перепадах температуры [2, 3], т.е. чтобы при Г0 ^ 0

@1 (у) (у) —> С3 (у) — 1.

У У

Учитывая неравенство

1(у)=< 1,

У + Го - 1 + Г0

можно показать, что ряды, определяющие функции С* (у) , г = 1, 2, 3, равномерно сходятся при у > 1 и определяют ограниченные функции, которые можно дифференцировать нужное число раз. В дальнейшем нам потребуются производные до третьего порядка. Производя необходимые вычисления, получим

О

(У) = т~4 ^ [(п + ~ (п ~ Сп-1,1 г (у),

у п=0

1 оо

&'[ (у) — ^ п + 3) (^ + 4) С^

у п=0

—2 (п + 3) (п — 1) Сп_1д+

+ (п _ 1) (п _ 2) Сп_2,1] 1”(у)'

о

(у) = в [(п + 3) (п + 4) (п + 5) спд

у п=0

—3 (п + 3) (п + 4) (п — 1) Сп—1,1 +

+ 3 (п + 3) (п — 1) (п — 2) Сп—2,1+

+ (П — 1) (п — 2) (п — 3) Сп—3д] ^п(у)

о

Сз (|/) — 2 [(^- + 1) ^,2 — (п — 1) С'п_1 2] (п{'у) +

у П=0

00

+ -ilny^2Cn^n(y) + ^і 1пу С1 (у), У

1ж

^2 (у) — ~ ^2 [(п + 1) (^ + 2) Сп 2

У n=0

_2 (n + 1) (n _ 1) Cn_!,2 +

+ (n _ 1) (n _ 2) Cn_2,2] 1”(у)_

СЮ

[(2^ + 7) Спд — 2 (п — 1) Сп_ід] + и; і lny бд (у)

У5

у n=0

ж

^ (у) = 4 [(п + 1) (п + 2) (п + 3) Сп,2

У n=0

_3 (П + 1) (n + 2) (П _ 1) Cn_!,2 +

+ 3 (n + 1) (n _ 1) (n _ 2) Cn_2,2 +

+ (n _ 1) (n _ 2) (n _ 3) Cn~3,2] 1”(у) +

СЮ

Н—g ^ ^ + 24?i + 47) (7пд — 3 {п — 1) (2?1 + 7) Сп—ід+

У6

У n=0

+3 (n _ 1) (n _ 2) Cn_2,l] 1”(у) + ^! ln У Gi (у)

1ж

G3 (у) — [^Сп,3 — (п — 1) Сп-1,з] ^П(у) +

У

n=0

+ ^І1пУ ^ с^£п(у) + ^21п у G[ (у) У

ж

G3 (у) = 72 Y1 [п (п + Ста’3

У2 ^

n=0

_2n (n _ 1) Cn_!,3 +

+ (n _ 1) (n _ 2) Cn~2,3] 1”(у)_

— [(2п + 7) Сщ\ — 2 (п — 1) Сп_ід] + ^21пу (у)

У п=0

1 ГО

(*'з{у) — 3 У> (п+ 1) (п + 2) С„ :і

у3 П=0

_Зп (п + 1) (п _ 1) СП-1,3 +

+ Зп (п — 1) (п — 2) Сп_2,з+

+ (п _ 1) (п _ 2) (п _ 3) Сп_з,з]1П(у) +

СЮ

X] [(Зп2 + 24п + 47) ^

У п=0

—3 (п — 1) (2п + 7) Сп_1,1 +

+3(п _ 1)(п _ 2)Сп_ 2,1] 1””(у) + ^2 1п у С1 (у)-

Таким образом, мы получили общее решение уравнения (15)

С (у) = А1С1 (у) + А2С2 (у) + А3С3 (у) + А0С0 (у) , (21)

где А1, А2, А3 и А0 - произвольные постоянные.

Постоянные А1, А2, А3 и А0 однозначно определяются из краевых условий (16). Очевидно, А0 = 0, А3 = 1. Для определения постоянных А1 и А2 имеем линейную систему уравнений

Г А С1 (1)+ А2С2 (1) = ^ _ Сз (1),

\ А С4 (1)+ А2Св (1) = ^ _ С6 (1) .

Эта система имеет единственное решение, поскольку ее главный определитель отличен от нуля в силу линейной независимости решений С1 (у), С2 (у), С3 (у). Таким образом, имеем

А =

Л _ Сз (1) С2 (1) С (1) *1 _ Сз (1)

*2-66(1) С5(1) А, - - С„(1) *2-С6(1)

С?1 (1) С2 (1) 5 У12 — С1 (1) С2(1)

С4 (1) С5 (1) С4 (1) С (1)

(22)

В результате проведенного исследования доказана следующая теорема.

Теорема. Функция О (у) = А!О! (у) + А2О2 (у) + О3 (у) с коэффициентами, определяемыми формулой (22), является единственным решением уравнения (15), удовлетворяющим краевым условиям (16).

Перейдем теперь к определению компонентов массовой скорости ие (у, 0) и давления Ре (у,0), которые необходимы для нахождения общей силы (10), действующей на нагретую частицу, движущуюся равномерно в неизотермической газообразной среде. Учитывая, что

получаем

где

иГ (у, 0) = и^С (у) сое 0, Щ (у, 0) = _(у) йіп

иГ (у, 0) = и<» сой 0 [А1С1 (у) + А2С2 (у) + Сз

и<9 (у 0) = _иго йіп 0 [А1С4 (у) + А2С5 (у) + С6

1(у) ^ л л , у

(23)

(24)

Ск (у) = 1 +

2 (1 + а)) ^-з(у) + §^_3(у), к = 4, 5, 6. (25)

Поскольку явный вид функций Цг (у,0) и (у,0) нам известен, то мы

можем легко получить выражения для поля давления

Р. = Ресс + 4 { уС'(у) + У

з + ^~тг~у1(у)

с''(у)_

2 - ?/2/'(?у) -1 у2/Чу) + + (Р - 2) ?//(?/)

2

+2

-I/./"(</) + ?//'(?/) (4 + М(у)) - т:/(у)

3

С(у)

(26)

/ (у) =

і(у)

(1 + «) у'

Общая сила, действующая на частицу, интегрированием тензора напряжений по её поверхности в сферической системе координат, определяется по формуле (10). Производя необходимые вычисления, получаем

Рг 4пЯМего и<» А2п,г і

(27)

где п — единичный вектор в направлении оси Ог, А2 — постоянная, которая определяется равенством (22) из граничных условий на поверхности нагретой частицы.

Проведем анализ выражения (27). Различным значениям постоянной А2 соответствуют различные качественные картины движения частицы в неизотермической газообразной среде. Отметим, что сила (27) вычислена в предположении равномерности движения, которое возможно только в случае, если полная сила, действующая на частицу, равна нулю. Поскольку сила (27) пропорциональна скорости и обращается в нуль вместе с ней, то для реализации случая равномерного движения частицы следует предположить наличие некоторой сторонней силы, уравновешивающей силу (27).

В зависимости от параметров задачи сила (27) может быть как силой сопротивления (в этом случае для поддержания движения необходима сила, действующая в направлении скорости, например, сила тяжести), так и силой тяги (тогда для поддержания движения должна существовать сила, действующая в направлении, противоположном скорости).

Возможна и другая интерпретация полученных результатов, когда заданной считается действующая на частицу внешняя сила, например, термофоре-тическая сила, фотофоретическая сила, диффузиофоретическая и т.д. В этом случае из равенства силы (27) внешней силе может быть найдена, например, скорость термофореза, скорость фотофореза нагретой частицы и т.д.

Заключение. В данном разделе исследовалось линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса в сферической системе координат в предположении, что коэффициент теплопроводности частицы намного больше коэффициента теплопроводности газа (слабая угловая асимметрия распределения температуры). Рассматриваемое уравнение может быть сведено к однородному дифференциальному уравнению четвертого порядка, учитывающему зависимость динамической вязкости и плотности газообразной среды от температуры.

В каждой конкретной физической задаче, задавая явный вид зависимости вязкости среды от температуры, мы можем исследовать полученные уравнения, что, несомненно, представляет как теоретический, так и практический интерес для поиска аналитического решения полного уравнения Навье-Стокса (1).

В частном случае, когда

, получено однородное дифференциальное уравнение (15) четвертого порядка для функции С (у) с краевыми условиями (16), для решения которого

был применен известный в научной литературе метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений в виде обобщенных степенных рядов (метод Фробениуса). Доказана теорема существования и единственности полученного решения.

II. Гравитационное движение неравномерно нагретой твёрдой частицы сферической формы.

Введение. На входящие в состав аэродисперсных систем аэрозольные частицы могут действовать силы различной природы. Самым распространенным видом движения является гравитационное, т.е. движение аэрозольных частиц в поле силы тяжести, происходящее за счёт отличия их удельных их весов и от удельного веса окружающей среды [2, 3]. На гравитационном движении основаны такие технологические процессы, как флотация, определение гранулометрического состава аэродисперсных систем, тонкая очистка газов и т.п. В частности, при очистке газов от загрязняющих их частиц и обогащении полезных ископаемых важно ускорить процесс выпадения осадка. Этого добиваются различными способами в зависимости от рода частиц и окружающей среды. Основу седиментометрии составляет взаимосвязь между скоростью движения аэрозольных частиц в газообразной среде и их размерами. Скорость движения частиц можно существенно корректировать за счет нагрева их поверхности (например, с помощью лазера), поскольку коэффициенты молекулярного переноса газообразной среды (вязкость, теплопроводность и плотность) существенно зависят от температуры. В связи с этим представляет как теоретический, так и практический интерес описание гравитационного движения неравномерно нагретых частиц в вязких неизотермических средах.

Среднее расстояние между частицами у значительной части, встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше характерного размера частиц. В таких условиях учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить, основываясь на знании законов динамики движения, тепло- и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных частиц. Поэтому изучение закономерностей движения отдельных частиц в вязких средах является важной актуальной задачей. Кроме того, важно отметить, что исследование движения отдельных частиц в неподвижной среде является составной частью изучения их поведения в произвольном потоке.

Постановка задачи. Рассмотрим движение нагретой твердой частицы сферической формы в вязкой газообразной среде в поле силы тяжести. В рамках сформулированных в части I допущений уравнения для скорости, давления и температур вне и внутри частицы запишутся в виде

где (xi, x2, x3) декартовы координаты, q (r, 0) - плотность тепловых источников, неоднородно распределенных в объеме частицы, за счет которых и происходит нагрев частицы. Наличие источников тепла внутри частицы можно связать, например, с протеканием объемной химической реакции, с процессом радиоактивного распада вещества частицы, поглощением электромагнитного излучения и т.д. Наличие источников тепла внутри частицы приводит к тому, что средняя температура ее поверхности может существенно отличаться от температуры окружающей газообразной среды на большом расстоянии от это частицы. Возникающее при этом повышение температуры поверхности частицы оказывает влияние на теплофизические характеристики газообразной среды (вязкость, теплопроводность, плотность) и тем самым может существенно повлиять на распределение полей скорости и давления в ее окрестности и, в конечном итоге, на силу и скорость ее гравитационного движения.

Целесообразно, как и в первой части, ввести систему координат, связанную с центром масс движущейся частицы. В этом случае задача сводится к анализу обтекания частицы радиуса R бесконечным плоскопараллельным потоком газа со скоростью UTO (UTO|| Oz), которая подлежит определению из условий задачи.

Описывать движение будем в сферической системе координат г, 0, ^, полярную ось z = r cos 0 направим по вектору ускорения свободного падения д. Картина набегающего потока и направления координатных осей приведены на рис. 1.

Угол 0 будем отсчитывать против часовой стрелки от точки, где поток набегает на сферу. Распределения скорости, давления и температуры обладают аксиальной симметрией относительно оси Oz. В такой системе отсчета нагретая частица неподвижна, а внешняя среда (газ) — движется (как целое)

+ Fk, m, k, j = 1, 2, 3; (28)

div(pe Ue) = 0 , peCp (Ue -V) Te = div(AeVTe), div(AjVTi) = -q,

(29)

(30)

(31)

в сторону, противоположную направлению фактического движения частицы, со скоростью иж = —ир ( ир - скорость дрейфа нагретой частицы относительно лабораторной системы координат).

Эта система гидродинамических уравнений решается в сферической системе координат (г, 0, ^) со следующими граничными условиями:

Щ (у, 0) \г=Е = Ц# (у,0) \г=Е = 0, Те\г=Е = Тг\г=Е, (32)

Щ дТеТ

ал:

е^-е о

dr

= + оооЛП - Г1)

(33)

т=Е

lim Ue = UTO cos0вт—UTO sin Овв, lim Pe = PeTO, lim Te = TeTO, limT* = to,

т^то т^то т^то т^0

(34)

т.е. мы считаем, что на поверхности частицы (r = R) выполнено условие прилипания для нормальной и касательной компонент массовой скорости Ue, имеют место равенство температур и непрерывность радиальных потоков тепла с учетом излучения на поверхности частицы (a0 - постоянная Стефана-Больцмана, a - интегральная степень черноты тела [13]), а также стандартные краевые условия при r ^ то и r ^ 0.

Наличие больших относительных перепадов температуры между поверхностью частицы и далёкой от неё областью приводит к необходимости учитывать зависимость от температуры динамической вязкости де, теплопроводности Ае и плотности ре:

Me Методе5 Ае Аето^е 5 А* А*ТО^ 5 ре peTO>tei

где Дето — Де (Тето) ; Аето — Ае (ТеТО) ; А*ТО — А* (Тето), р еж — ре (Тето); ^к —

Тк/Тето (к — е, г) - безразмерная температура. Здесь и далее индекс е указывает на газообразную среду, индекс г - на принадлежность частице, а индекс то означает параметры газообразной среды на бесконечности, т.е. на большом расстоянии от частицы.

Выражения для силы и скорости гравитационного движения нагретой твердой частицы сферической формы. При нахождении силы, действующей на нагретую твердую аэрозольную частицу, и скорости ее движения в гравитационном поле необходимо знать распределение температуры как вне частицы, так и внутри неё.

Интегрируя уравнения теплопереноса и учитывая степенной вид зависимости коэффициентов теплопроводности, получаем

/ Г \ 1/(1+а) te (У, в) = te0 (у) = ( 1 + ~) ’ (35)

и(у,в) = t,o (у) = (В0 + ^ + - f Му) dy - f ^dy) П \ (36)

V У У J y Jy У J

где постоянные Г0, В0 и D0 определяются из граничных условий (31), (32) на поверхности частицы:

,/ч R2 1+ ^ 2 f1 J л

ШУ) = Туу--------Tf,—У Яг dx, X = COS в.

2Aiw T «У — 1

Среднее значение температуры поверхности частицы TiS определяется из решения системы уравнений

<

tiS = teS,

xes, R2 T RTL(f4 ^

-teS — qл гт1—Jo - cr0ai—---[tiS - 1) ,

(37)

1 + a Xis 3AisTe<x Ais

в которой

AeS — Ae<X}teS5 AiS — Ai(xtiS5 tiS — ti0|y=l 5 teS — te0|y=l 5 TiS = tiSTe00, TeS = teSTe00 ,

а интегрирование ведется по всему объему частицы.

Из формулы (35) следует, что температура окружающего частицу газа изменяется с расстоянием от поверхности частицы, поэтому и динамическая вязкость также является функцией расстояния де — Де(у).

Подставляя (35) в выражение для динамической вязкости, имеем

Ме — Мето^о- (38)

Выражение (38) для динамической вязкости совпадает с формулой (14) первой части, и, следовательно, полученное аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса применимо в нашем случае, т.е.

ие (у, в) — ито сов в (А1^1 (у) + А2С2 (у) + С3 (у)) 5 (39)

(у5 в) — —ито в (А1С4 (у) + А2СБ (у) + Сб (у)) 5 (40)

где функции С1 — Сб определены равенствами (18)- (20), (25).

Подставляя (39), (40) в граничные условия (32) - (34), можем определить постоянные А1 и А2. В частности, для коэффициента А2, имеем

Ж2

А2 = Ж' *41*

где N1 — С1(1)С2(1) - С2(1)С;(1), N2 — С1(1)С3(1) - сз(1)с;(1).

Общая сила, действующая на частицу, определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы и в сферической системе координат находится по формуле (27)

Fz — -4пЯметоЦтоА2Пг, (42)

где пх — единичный вектор в направлении оси Ог.

Подставляя в (42) определяемый равенством (41) коэффициент А2, получаем выражение для силы сопротивления неравномерно нагретой сферы

2^

гг = бтгЯ/Хеоо^оо/^, /м = (43)

Сферическая частица, падающая под действием силы тяжести, приобре-

тает постоянную скорость ир, как только действие силы тяжести уравновешивается гидродинамическими силами.

Сила тяжести, действующая на частицу, с учетом выталкивающей силы равна

4

где д — направленный вниз вектор ускорения свободного падения, piS, peS — плотность частицы и газообразной среды, взятые при средней температуре поверхности частицы, равной TiS.

Приравнивая (43) к (44), учитывая, что UTO — — Up, получаем выражение для скорости установившегося падения твердой неравномерно нагретой частицы сферической формы в поле силы тяжести

гт U U 2 (piS — peS) „2 (,|Г\

Up = h^nz, hp = ---------- —R д. (45)

Таким образом, формулы (43) и (45) позволяют оценивать силу, действующую на неравномерно нагретую сферу, и скорость ее гравитационного падения с учетом зависимости плотности газообразной среды и коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры при произвольных относительных её перепадах между поверхностью частицы и далёкой от неё областью.

В случае, когда величина нагрева поверхности частицы достаточно мала, т.е. средняя её температура незначительно отличается от температуры окружающей среды на большом расстоянии от неё (Г0 — 0), зависимостью плотности и коэффициентов молекулярного переноса от температуры можно пренебречь, и тогда

G1(1) — 15 G1(1) — —3 G2(1) — 15 G2(1) — —15 G3(1) — 15 G3(1) — °

Ni — 2 5 N2 — 3 .

В этом случае формулы (42) и (44) переходят в известные выражения для сферы, полученные Стоксом [1, 2],

Fs = 6тгЯдеоо Uи = (46)

9 MeTO

Здесь следует отметить, что коэффициенты молекулярного переноса и плотность берутся при температуре поверхности частицы, равной температуре окружающей среды (в нашем случае TeTO), т.е. эти формулы справедливы при малых относительных перепадах температуры.

Однако, из (35) видно, что константа Г0 зависит от средней относительной температуры teS, которая в случае неравномерного нагрева поверхности определяется из системы уравнений (37) и, следовательно, зависит от плотности тепловых источников, неоднородно распределенных в объеме частицы.

Отсюда следует, что и функции С2 и т.д. также зависят от плотности теп-

Чтобы оценить, какой вклад внутренние источника тепла (нагрев поверхности) оказывают на скорость гравитационного движения аэрозольной частицы сферической формы, можно рассмотреть наиболее простой случай, когда частица поглощает излучение как черное тело [13]. В этом случае поглощение происходит в тонком слое толщиной ОЛ << Л, прилегающем к нагреваемой части поверхности частицы. При этом плотность тепловых источников внутри слоя толщиной ОЛ определяется равенством

Таким образом, задавая интенсивность падающего излучения, мы можем оценить среднюю температуру поверхности частицы:

Из этой формулы следует, что средняя температура поверхности твердой частицы сферической формы зависит от ее радиуса и интенсивности падающего излучения. На рис.2 приведены значения функции /м в зависимости от интенсивности падающего излучения 10. Численные оценки проводились для частиц меди радиусом 100 мкм, взвешенных в воздухе при нормальных условиях.

Представляет также интерес сравнение полученных формул для силы сопротивления твердой нагретой частицы сферической формы с экспериментом, приведенным, например, в [14]. В экспериментальной работе [14] исследовалось влияние температуры газовой среды и температуры горящих угольных частиц (разогретых антрацитовых частиц) на коэффициент аэродинамического сопротивления с погрешностью не более 20%. Температура частиц, взвешенных в нейтральной (азотной) и в окислительной (воздушной и кислородной) газовых средах, изменялась от 200С до 8000С . Размеры угольных частиц в опыте менялись в пределах от 0,1 мм до 1,0 мм.

Яг(г,0)

0,

где 10 — интенсивность падающего излучения.

с\

В этом случае, вычисляя интеграл д* , получим ^ ~ пЛ 10.

(47)

В частности, если на частицу падает поток монохроматического излучения (длина волны Ао) интенсивностью 10, то поглощаемая ею энергия равна пЯ210Кр, где Я - радиус частицы, К^ - фактор поглощения [13, 15], и эта энергия распределяется по объему сферы равномерно. Сферу можно считать равномерно нагретой. Это допущение справедливо в том случае, если коэффициент теплопроводности частицы намного больше коэффициента теплопроводности внешней среды и А0 ^ Я. В экспериментальной работе [14] была предложена формула расчета коэффициента аэродинамического сопротивления частицы в неизотермических условиях

„ 52 ( То \т фр ^ сп( То чт

С* = — ф* = 52 , _ , ,

р ке\теоо у ие’ ^ \теоо; 7

где т =1, 7, Т0 — температура поверхности частицы.

Если привести формулу (43) к аналогичному виду, то она примет вид

Ср = Фр = 52/^5 •

Яе

На рис. 3 проведено сравнение коэффициентов фр и фр в интервале температур от 2730К до 12730К. В диапазоне температур от 2730К до 8730К значения коэффициентов практически совпадают, а в диапазоне от 8730К до 12730К различие с экспериментальными данными составляет до 15%.

Заключение. Получены аналитические выражения для силы, действующей на нагретую твердую частицу сферической формы, а также и для скорости ее движения в поле силы тяжести при произвольных относительных

3.

1 -т--------т---------,---------,

2~3 -ГЗ 6"3 8~3 1073 1273

Т^К

Рис. 3: График зависимости функции фр от средней температуры поверхности

частицы Tis.

перепадах температуры. Указанные выражения являются аналогом формул Стокса.

Проведенный с помощью полученных формул численный анализ показал, что сила и скорость гравитационного движения существенно зависит от средней температуры поверхности частицы и показателей вязкости а и теплопроводности в. Сравнение полученных результатов с экспериментом показало, что различие с экспериментальными данными (относительная погрешность) составляет не более 15%.

Работа второго автора выполнена при поддержке РФФИ, проект № 07 -

01 - 00131.

Литература

1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости / О.А.Ладыженская. - М.: Наука, 1970.

2. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хап-пель, Г.Бреннер - Москва: Мир, 1960.

3. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. - М.: Наука, 1986.

4. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления / Н.Е.Кочин. - М.: ОНТИ, 1965.

5. Петкевич В.В. Основы механики сплошных сред / В.В.Петкевич. - М.: УРСС, 2001.

6. Победря Б.Е. Основы механики сплошных сред. Курс лекций / Б.Е.Побед-ря, Д.В.Георгиевский. - М.: Физматлит, 2006.

7. Бретшнайдер С., Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета / С.Бретшнайдер. - М.: Химия, 1966.

8. Варгафтик Н.Б., Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б.Варгафтик. - М.: Наука, 1977.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М.Ван-Дейк.

- М.: Мир, 1967.

10. Найфе А. Введение в методы возмущений / А.Найфе. - М.: Мир, 1984.

11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э.Камке. - М.: Наука, 1976.

12. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А.Коддингтон, Н.Левинсон. - М.: Иностр. лит-ра, 1958.

13. Борен К. Поглощение и рассеяние света малыми частицами / К.Борен, Д.Хафмен. - М.: Мир, 1986.

14. Бабий В.И. Аэродинамическое сопротивление частицы в неизотермических условиях / В.И.Бабий, И.П.Иванова. - М.: Теплоэнергетика, 1965.

15. Береснев С.А., Кочнева Л.Б., Суетин П.Е. // Оптика атмосфры и океана.

- 2002.- 15. - С.5-6.

SOME PECULIAR PROPERTIES OF HEATED SPHERICAL PARTICLES IN VISCOUS NONISOTERMIC GASEOUS MEDIA

N.V. Malay1), A.V.Glushak

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

The mathematical method of the velocity linearized Navier-Stokes equation solution with the account of molecular transfer coefficients (viscosity, thermal conductivity) and gaseous medium density on the temperature is developed. Using the obtained solution, the problem of the particle surface heating influence on the medium strength force and on the velocity of gravitational motion is studied. It is supposed that the average temperature of particle surface may be essentially differ form the surrounding temperature. Numerical estimates have shown that the heating of particle surface influences essentially on the the medium strength force and on the velocity of gravitational fall. The comparison with known experimental data is done which has shown the divergence being no more than 15%. It points out on the correctness of the developed mathematical method.

Key words: velocity linearized Navier-Stokes equation, gravitational motion, motion of the heated weight particle.