Влияние запаздывающих и нелинейных факторов на динамику национального дохода Текст научной статьи по специальности «Математика»

свойство плохой обусловленности, а в рассматриваемой постановке на каждом шаге для этого имеется распределение виртуальных сценариев поведения объекта, используемое в качестве априорного. ВЫВОДЫ

Основное преимущество рассмотренного подхода состоит в том, что он не налагает никаких ограничений на вид функций в уравнениях динамики и измерений. Основные требования состоят в том, что:

- распределения p(x1), wk и vk известны и допускают моделирование на основе техники Монте-Карло;

- распределение p(zk | Xk) известно.

На выходе фильтра на каждом шаге появляется векторная выборка, которой можно распорядиться различными способами. Например, апостериорную вероятность попадания в некоторую зону можно оценить как долю выборочных значений, попавших в эту зону. Если имеются основания полагать, что апостериорное распределение унимодально, можно получить статистические характеристики каждой компоненты вектора состояний и любой функции от них.

Список литературы

1. Интеллектуальные географические информационные системы для мониторинга морской обстановки //ред. Юсупов Р.М., Попович В.В. - СПб.: Наука, 2013. - 284 с.

2. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. - М.: Мир, 1978. - 560 с.

3. Макшанов А.В. Рестриктивное оценивание в задачах траекторного слежения. - Тр. межд. семинара «Интеграция информации и геоинформационные системы», 25-27 сентября 2005 г., СПб, с.182-187.

4. Макшанов А.В., Поленин В.И., Прокаев А.Н. Решение задачи определения координат положения и параметров движения объекта по данным угловых координат. - Морская радиоэлектроника, 2014, №3(49), с.38-42

5. Carlin B.P., Poison N.G., Stoffer D.S. A Monte-Carlo approach to nonnormal and nonlinear state space modeling. - JASA, 1992, No. 87, pp. 493-500.

6. Dempster A. P. A generalization of Bayesian inference. - Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1968, Vol. 30, pp. 205-247.

7. Doucet A., de Freitas N. (ed.). Sequential Monte-Carlo methods in practice. - New York: Springer, 2001.

8. Gordon N., Salmond D., Smith A. Novel approach to nonlinear/nongaussian state estimation. - Proc. Inst. Elect. Eng., ser.F, 1993, v.40, №2, pp.107-113.

9. Hall D.L., Llinas J. Handbook of multisensor data fusion. - Washington: CRC Press, 2001. 537 pp.

10. Khaleghi B., Khamis A., Karray F.O. Multisensor data fusion: A review of the state-of-art. - Information Fusion, 2011, doi: 10.1016/j.inffus.2011.08.001, pp.117.

11. Valet L., Mauris G., Bolon P. A statistical overview of recent literature in information fusion. - Fusion 2000. IEEE AES, March 2001.

12. Makshanov A.V., Prokaev A.N. Empirical Bayes traejectory estimation on the base of bearings from moving observer. //Information Fusion and Geographic Information Systems. Proceedings of the Third International Workshop. Springer, 2007, pp. 68-72, 182-186.

13. Popovich V.V., Ermolaev V.I., Makshanov A.V., Vlasov S.A. Moving Objects Tracking in Distributed Maritime Observation Systems. // REAL CORP 2014 Proceedings. Tagundsband: Clever Plans for Smart Cities. Springer, 2014.

14. Smith A.F.M., Gelfand A.E. Bayesian statistics without tears: a sampling-resampling perspective. - Amer. Stat., 1992, No.46, pp. 84-88.

15. AnyLogic 7.1. Многоподходное имитационное моделирование. - Электронный ресурс http://www. anylogic.ru.

ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ НА ДИНАМИКУ

НАЦИОНАЛЬНОГО ДОХОДА

Калажоков Хасан Хажмурзович

старший научный сотрудник Института информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН, г. Нальчик

Увижева Фатима Хасановна

научный сотрудник Института информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН, г. Нальчик

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается моделирование и исследование динамики национального дохода с учетом запаздывающих и нелинейных факторов. Представлена динамическая экономико-математическая модель динамики национального дохода с учетом указанных факторов. Показана возможность ее перехода в колебательный режим. Проведена оценка влияния характеристик запаздывающих и нелинейных факторов на качественные характеристики динамики национального дохода. ABSTRACT

The article deals with the modeling and research of dynamics of the national income taking into account delayed and nonlinear factors. The dynamic economic-mathematical model of dynamics of the national income with due regard for the specified factors is presented. The possibility of its transition to an oscillatory mode is shown. The assessment of influence of characteristics of delayed and nonlinear factors on qualitative characteristics of the national income's dynamics is carried out.

Ключевые слова: динамика национального дохода, запаздывающие и нелинейные факторы, модель, периодическое колебание динамики.

Keywords: dynamics of the national income, delayed and nonlinear factors, the model, periodic oscillation of dynamics.

1. Состояние вопроса

Разработка и исследования математических моделей динамики национального дохода является одной из актуальных задач макроэкономической динамики. Первый серьезный шаг в этом направлении был сделан Дж.М. Кейнсом [1, с. 149-157]. В основе упрощенной модели Кейнса лежат следующие предположения:

1. Состояние всей экономики описывается двумя агрегированными переменными, уровнем национального дохода (предложения товаров и услуг) и спросом на товары и услуги (спрос на инвестиции и на текущее потребление).

2. На макроэкономическом рынке товаров, спрос создает предложение.

3. Предельная склонность к потреблению меньше единицы.

4. Совокупный спрос в текущий момент времени ^ (* )

ик ' равен национальному доходу следующего момента времени, то есть:

Y (t +1) = Y (t)

(1.1)

5.

Спрос складывается из объема потребле-С0 = С(75) „ I = (?)

ния п 4 и капвложений 4 у, т.е. имеет место балансовое соотношение:

Y, (t) = C(Y)+1 (t)

(1.2)

6.

Объем потребления линейная функция

Y

национального дохода S, а капвложения - постоянная ве-

личина, т.е.:

C(Y ) = C + CYS, I(t) = I0> 0

(1.3)

0 < C < 1, C0, C, I0

положительные постоянные ве-

где личины.

Из (1.1) - (1.3) после некоторых преобразований получим следующую разностную модель динамики национального дохода:

Y (t+1) = I0 + C + CYS (t)

(1.4)

где начальное равновесное значение национального дохода вычисляется так:

Y (0) =

10 + a 1 - C

^df1 = I0+C0+(C -1)Y (t),

Y (0) =

К настоящему времени выполнено большое количество исследований, посвященных обобщению базовой модели (1.4 -1.5) в различных направлениях, результаты которых содержатся в обзорной статье [2]. Анализ этих моделей показывает, что главной причиной неравномерного развития динамики национального дохода является колебание спроса.

Наиболее распространенной моделью динамики национального дохода является модель Самуэльсона -Хикса [2, стр.826-828], которая построена на основе теории взаимодействия механизмов мультипликатора и акселератора и условии равенства спроса и предложения в виде:

Y (t) = c (t)+1 (t)+ct (t),

C (t) = aYs (t -1), I (t) = fi[C (t) - C (t -1)], C(t) = I 0 = const,

где

Y (t) , I(t)

- национальный доход

C (t)

(1.6)

- объем потреб-

ления; 4 у - чистые инвестиции в частном секторе; Ст () - государственные инвестиции; & - коэффициент

мультипликации; @ - коэффициент акселерации; ^ - индекс дискретного периода времени. Запаздывание, равное одному периоду времени, одновременно присутствует в процессах мультипликации и акселерации.

Исследование модели (1.6) показывает, что основная причина колебательных процессов в динамике национального дохода - это частные инвестиции, осуществляемые с запаздыванием. Основные уравнения макроэкономической динамики с учетом отклонений временного аргумента рассмотрены в работе [3]. Настоящая работа посвящена исследованию динамики национального дохода с помощью простых макроэкономических моделей с учетом запаздывающих и нелинейных факторов.

2. Модель динамики национального дохода с запаздывающим аргументом Рассмотрим динамику национального дохода в предположении, что скорость изменения во времени национального дохода пропорциональна разности между спросом и предложением в виде:

dt

= q Y(t) - Y(t)], q = const,

(2.1)

dc

Yd = C (Y ) +1 (t), — < 1, dY„

c(Y) = C0 + <\YS (t) + C2Y (t - a), I (t) = I0 = const, a, c0, c1, c2 = const,

Перепишем (2.1) после некоторых преобразовании

в виде:

Модель в виде задачи с начальными данными для дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:

dY dt

+ A + bjs (t) + bYs (t -a) = 0,

(2.2)

(1.5) где

что

A = q(c0 + Io), b0 = -cq b = -c2q.

Рассмотрим частный случай (2.2) в предположении,

A = b = 0,a = 1

dYs (t) dt

+ bYs(t -1) = 0,

YS (t) = Y0 при -1 < t < 0.

(2.3)

Таким образом, получим модель динамики национального дохода в виде задачи с начальными данными (2.3) для дифференциального разностного уравнения.

Если для некоторого

х0 > 0

при

Яе 2 > х.

0

предположим, что существуют интегралы вида

I; еж=^(е

ЖУХ (г)

- гг ' _

0 Жг

Жг = 2У (г) - У,

то задача (2.3) имеет единственное решение [4, стр.18-20], которое легко найти методом интегрального преобразования Лапласа в виде ряда:

У (г) = Х(Ь) -

Решение задачи (2.3) может быть получено и в другом виде:

е

У(г) = -УХХ- л .

V гу(1 + гу)

уравнения

г + Ье~г = 0

ЖУ

д У (г) - У, (г)],

Жг

Ув (г) = С (У,) +1 (г), С (У,) = с + а1Уг (г) + С2У, (а(г)), /(г) = 10, У,(0) = У,0,

где

постоянные параметры,

= А + бУз (г)+К2 (г), Жг 8

= а'(г)[ А + Б2 (г) + КУ, (г)],

Ж

Уа (0) = У,0, 2 (0) = 20,

(3.2)

где

2(г) = У, [а(г)], А = д(с0 + /0),Б = де1, к = дс2.

Систему уравнений задачи (3.2) преобразуем в дифференциальное уравнение второго порядка:

й У (г)

Жг

- Б 1 +

йа(г)"] (г) , Жа(г)(Б2_ к2)х

(2.4)

Жг ) Жг Жг

хУ (г) + а1 (Б - К) А = 0,

ж

(3.3)

ЖУ

у (о) = У0, ^

л ' " Жг

= А + БУ + К1п

, 0

(2.5)

г = х + 1у

где , а суммирование проводится по корням

(2.6)

В результате получили модель динамики национального дохода в виде задачи (3.3) с начальными данными для дифференциального уравнения второго порядка.

Жа _ 1

Пример. Пусть а(^) ао ^, Ж . Тогда дифференциальное уравнение задачи (3.3) примет вид:

Решения (2.4) и (2.5) равны друг другу, но решение

(2.4) более удобно, когда г велико.

Корни характеристического уравнения (2.6) найдены в работе [4, стр. 64-67]. Все корни уравнения (2.6) имеют отрицательные действительные части тогда и

А 7 Л

0 < Ь < —

только тогда, когда 2 .

3. Динамика национального дохода с использованием карлемановского сдвига Рассмотрим модель динамики национального дохода в предположении, что скорость изменения во времени национального дохода пропорциональна разности между спросом и предложением с учетом карлеманов-ского (инволютного) сдвига по времени в виде:

ЖУ

Жг2

-(Б2 -К 2)У, = А(Б - К)

(3.1)

а(а(г) ) = г, — ^ 0.

v ж

После некоторых преобразований модель динамики национального дохода (3.1) можно переписать в виде задачи с начальными данными для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

. (3.4)

Решение характеристического алгебраического уравнения однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (3.4), имеет вид: _

Д,2 =±7(Б + К)(Б-К). (3 5)

Проведем качественный анализ траектории развития национального дохода на основе соотношения (3.5).

Пусть Б > К, тогда корни (3.5) действительные числа, поэтому траектории носят экспоненциальный характер.

Если же Б < К, то корни (3.5) мнимые, поэтому траектории носят периодический характер.

Если же Б = К, то корни (3.5) нулевые и траектории носят линейный характер по времени.

4. Нелинейная модель динамики национального дохода

Рассмотрим теперь нелинейную модель динамики национального дохода в предположении, что скорость изменения во времени национального дохода пропорциональна разности между спросом и предложением с учетом отклоняющихся временных аргументов в виде:

д У (г)-У, (г)], Ув (г) = С (У,) + / (г),

с(У,) = С0 + схУ, (г) + С2У, (г -1) + с3У/(г -1),

/(г) = /0, У,(0) = У°,

(4.1)

г=0

г

V

0

где

q, c0, ci' c2' c3' I0

постоянные параметры задачи.

После некоторых преобразований нелинейную модель (4.1) динамики национального дохода можно рассматривать как задачу с начальными данными для нелинейного дифференциального разностного уравнения первого порядка в виде:

dYs (t) dt

= a+BY (t)+b2Y (t -1)+B3Y; (t -1)

Ys = y; -1 < t < 0

(4.2)

где

A = q (co +1)) , Bi = q(ci-1)? B2 = qc2

+ b¥s (t -1) = EYs\t -1),

dt

ys * Y0 -1 < t < 0

(4.3)

к

больше, чем 2 , возникают качественные различия. В случае, когда E ^ 0, устанавливаются колебания конечной амплитуды, описываемые формулой:

Ys (t) = 2R cos

R =

f 2 —+ - In R 2 к

+ 0

b-f 12E 2

(4.4)

В3 = qc3

3 3 - постоянные параметры задачи. Рассмотрим случай, когда в задаче (4.2) параметры

A = 0 Д = 0 В2 = -Ь К = E т

^ и, 1 , 2 , 3 . Тогда нелинейная модель динамики национального дохода с учетом запаздывающих факторов принимает вид:

b-f

2 3 E 1 + exp

4f(b -f)t к2 + 4

(Р0Ж

по-

где

стоянные величины.

Амплитуда приближается к величине

2

b-f I/3E

а частота - к % цикла за единицу вре-

мени.

Исследование решения задачи (4.3) рассмотрено в работе [4, стр.180-184]. Отметим, что в интервале

Г, 7 П

0 < Ь < —

2 решение задачи (4.3) ведет себя так же, как и

(Е = 0)

решение линейного уравнения и стремится к

+ ь

нулю при возрастании . В случае, когда параметр

Список литературы

1. Калажоков Х.Х., Ашабоков Б.А. К теории уравнений социально-экономической динамики. Известия КБНЦ РАН, №1(6), 2001г.

2. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., «Изограф», 1997 г.

3. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. Изд. ИЛ., М., 1961 г., 248 с.

4. Поманский А.В., Трофимов Г.Ю. Математические модели в теориях экономического цикла. Экономика и математические методы T.XXV, вып.5, 1989 г., 825-840 с.

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ НЕЙТРОНОВ ОТ РАДИОНУКЛИДНЫХ ИСТОЧНИКОВ

НЕЙТРОНОВ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ДОЗИМЕТРИИ

Федоров Сергей Григорьевич

Младший научный сотрудник, ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и

радиотехнических измерений», МО

АННОТАЦИЯ

Описан алгоритм восстановления спектра нейтронов с использованием нейтронных спектрометров со сцин-тилляционным блоком детектирования, помещенного в шаровой замедлитель. Приведены усредненные энергии спектров от различных радионуклидных источников полученные при использовании различных формирователей.

ABSTRACT

The algorithm of reconstructing the spectrum of neutrons using neutron spectrometer with a scintillation detection unit placed in a ball moderator. These are mean energy spectra of the various radioactive sources obtained using different the shapers.

Ключевые слова: нейтронная дозиметрия, нейтронная спектрометрия, энергетическая зависимость чувствительности, сферы Боннера.

Keywords: neutron dosimetry, neutron spectrometry, energy dependence of sensitivity, Bonner sphere.

Одной из самых существенных проблем в области обеспечения единства измерений дозиметрических величин в полях нейтронного излучения, является проблема определения энергетической зависимости чувствительности соответствующих средств измерений. Т.к. различные нейтронные дозиметры имеют разную энергетическую зависимость чувствительности, необходимо знать спектр

нейтронов, а точнее среднюю энергию спектра. В условиях испытаний средств измерений и их поверки наибольшее применение нашли: источник РиВе с периодом полураспада 87 лет на основе реакции (а,п) и источник спонтанного деления, такие как С^52, из-за большого периода полураспада и выхода нейтронов.

Для обеспечения единства измерений также необходимо знать среднюю энергию не только от источников