CC BY
32
где
q, c0, ci' c2' c3' I0
постоянные параметры задачи.
После некоторых преобразований нелинейную модель (4.1) динамики национального дохода можно рассматривать как задачу с начальными данными для нелинейного дифференциального разностного уравнения первого порядка в виде:
dYs (t) dt
= a+BY (t)+b2Y (t -1)+B3Y; (t -1)
Ys = y; -i < t < о
(4.2)
где
A = q (co +1)) , Bi = q(ci-1)? B2 = qc2
+ b¥s (t -1) = EYs\t -1),
dt
ys * Y0 -1 < t < 0
(4.3)
ж
больше, чем 2 , возникают качественные различия. В случае, когда E ^ 0, устанавливаются колебания конечной амплитуды, описываемые формулой:
Ys (t) = 2R cos
R =
Ж 2
—+ - In R -Уо 2 ж
+ 0
b-Ж|2E 2
(4.4)
В3 = qc3
3 1 3 - постоянные параметры задачи. Рассмотрим случай, когда в задаче (4.2) параметры
A = 0 Д = 0 В2 = -Ъ К = E т ^ и, 1 , 2 , 3 . Тогда нелинейная модель динамики национального дохода с учетом запаздывающих факторов принимает вид:
b-Ж
2 3 E 1 + p1 exp
4ж(Ь -ж)г ж1 + 4
РоР
по-
где
стоянные величины.
Амплитуда приближается к величине
2
b-Ж I/3E
а частота - к % цикла за единицу вре-
мени.
Исследование решения задачи (4.3) рассмотрено в работе [4, стр.180-184]. Отметим, что в интервале
Г, 7 П
0 < Ъ < —
2 решение задачи (4.3) ведет себя так же, как и
(Е = 0)
решение линейного уравнения и стремится к
+ ъ
нулю при возрастании . В случае, когда параметр
Список литературы
1. Калажоков Х.Х., Ашабоков Б.А. К теории уравнений социально-экономической динамики. Известия КБНЦ РАН, №1(6), 2001г.
2. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., «Изограф», 1997 г.
3. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. Изд. ИЛ., М., 1961 г., 248 с.
4. Поманский А.В., Трофимов Г.Ю. Математические модели в теориях экономического цикла. Экономика и математические методы T.XXV, вып.5, 1989 г., 825-840 с.
ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ НЕЙТРОНОВ ОТ РАДИОНУКЛИДНЫХ ИСТОЧНИКОВ
НЕЙТРОНОВ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ДОЗИМЕТРИИ
Федоров Сергей Григорьевич
Младший научный сотрудник, ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и
радиотехнических измерений», МО
АННОТАЦИЯ
Описан алгоритм восстановления спектра нейтронов с использованием нейтронных спектрометров со сцин-тилляционным блоком детектирования, помещенного в шаровой замедлитель. Приведены усредненные энергии спектров от различных радионуклидных источников полученные при использовании различных формирователей.
ABSTRACT
The algorithm of reconstructing the spectrum of neutrons using neutron spectrometer with a scintillation detection unit placed in a ball moderator. These are mean energy spectra of the various radioactive sources obtained using different the shapers.
Ключевые слова: нейтронная дозиметрия, нейтронная спектрометрия, энергетическая зависимость чувствительности, сферы Боннера.
Keywords: neutron dosimetry, neutron spectrometry, energy dependence of sensitivity, Bonner sphere.
Одной из самых существенных проблем в области обеспечения единства измерений дозиметрических величин в полях нейтронного излучения, является проблема определения энергетической зависимости чувствительности соответствующих средств измерений. Т.к. различные нейтронные дозиметры имеют разную энергетическую зависимость чувствительности, необходимо знать спектр
нейтронов, а точнее среднюю энергию спектра. В условиях испытаний средств измерений и их поверки наибольшее применение нашли: источник РиВе с периодом полураспада 87 лет на основе реакции (а,п) и источник спонтанного деления, такие как С^52, из-за большого периода полураспада и выхода нейтронов.
Для обеспечения единства измерений также необходимо знать среднюю энергию не только от источников
нейтронов помещенных в открытую геометрию, но и от источников с использованием различных формирователей. Формирователи позволяют изменить среднюю энергию спектра нейтронов (см. таблица 1).
В качестве средства измерения использовался измерительный блок со сферами Боннера. Измерительный
блок представляет собой сцинтилляционный счетчик с кристаллом LiI цилиндрической формы размером 8х8 мм. Сферы Боннера подбираются таким образом, чтобы они имели различную чувствительность от энергии. На рисунке 1 представлена энергетическая зависимость чувствительности для сфер Боннера разного диаметра.
Значения средних энергий спектров нейтронов с различными формирователями
Таблица 1
Средняя энергия <Е>, МэВ
Формирователь «открытая» «коллимированная» D2O Полиэтилен Железо
Cf-252 2,15 1,89 1,42 0,84 1,03
PuBe 4,50 4,25 2,86 1,77 1,70
и О X .0
<и
I-
т
I-
и
т >
т к га х .0
<и
I-
и О X
6 5 4 3 2
0
0,001
70
0,01 0,1
Энергия, МэВ
— 120 --- 200 300
10
150
>242
Рисунок 1. Зависимость чувствительности измерителя со сферами Боннера разных диаметров от энергии нейтронов
Как видно из рисунка 1 в области энергий выше 8 МэВ кривые чувствительности сфер Боннера практически параллельны, что ведет к увеличению систематической погрешности при решении системы уравнений (1)
^ = /0° ^ (Е) • т • dE, 0 = 1,2,... 1) (1)
где: Ri — скорость счета с ьым шаровым замедлителем;
^Е) — дифференциальная плотность потока; wi (Е) — функция чувствительности; 1 — число шаровых замедлителей.
Не смотря на то, что шаровые замедлители изготавливаются из одного материала (полиэтилен), каждая сфера имеет небольшое отличие при измерении скорости счета рисунок 2 и 3.
1
1
2,5 2,0 01 £ 1,5 то ' * <0 1 1,0 и Т 0,5 0,0 4
• • • • • •• • • • • 0
• • • • • / > • • • 1
• • • • • • I .1 / / / • \ Ь \ • у •>
• • • • • У • / /у / \ • • I ч • к
- • • •• • • • • • • • • • • ■ * • ✓ \ • • N • • Ч •• ч
0 7( 5 3 0 Н ом 12 1в 0 Р <а • на • 6 лг • 0 а 20 на 0 л из ат о[ а 3 00 7 0 8
Рисунок 2. Скорости счета измерительного блока для замедлителей на расстоянии 60 см от Cf252 источника
Рисунок 3. Скорости счета измерительного блока для замедлителей на расстоянии 60 см от РиВе источника
Следовательно, для восстановления спектра нейтронов необходимо знать две вещи: зависимость чувствительности сфер Боннера от энергии и скорость счета для каждого шара. Спектр нейтронного излучения рассчитываются с помощью программы MCNP5 (Monte Carlo N-Particle Transport Code). При этом в качестве входных спектров использовались спектры AmBe(t) и Cf252 радио
нуклидных источников, рекомендуемые МОС (ISO 85291.2006). За рубежом ведется жесткий контроль над Pu238, поэтому они используют AmBe источники. Среднюю энергию спектров источников Pu238 и AmBe можно считать одинаковыми. Данные спектры представлены для PuBe источника нейтронов на рисунках 4-7.
о о.
о *
и
0,14 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0
0,1
_к к_
f t
1 т
S \ 4
я t А SZ Т 1
/ л ш «г v\
/ у г V д Sr Д.
/У
\/ V
1 * Л г
> 1 1 _ #
W л— — ■ ■ М я - - — — —
- - — ■ ■■ - - — — — —
ISO
Е, МэВ 1
"коллимированная" геометрия
10
Рисунок 4. Спектры нейтронов от РиВе источника помещенного в контейнер-коллиматор
0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0
о
.
о *
и
fry Ii
I' V л
1
* " S s / /
ч. 1- 1
0,01
0,1
10
Е, МэВ
ISO
D2O
1
Рисунок 5. Спектры нейтронов от РиВе источника помещенного в сферу, заполненную тяжелой водой
Е, МэВ
ISO ■ — полиэтилен
Рисунок 7. Спектры нейтронов от РиВе источника, помещенного в контейнер-коллиматор с формирователем
из полиэтилена
Выводы:
1. Рассмотрены случаи восстановления спектров нейтронного излучения с помощью открытой и закрытой геометрии.
2. Представлена зависимость чувствительности измерителя со сферами Боннера разных диаметров от энергии нейтронов.
3. Представлены спектры нейтронов от РиВе источника, помещенного поочередно: в контейнер - коллиматор, в сферу, заполненную тяжелой водой, помещенного в контейнер-коллиматор с формиро-
вателем из железа, в контейнер-коллиматор с формирователем из полиэтилена.
4. Приведены значения средних энергий спектров нейтронов с различными формирователями.
Список литературы
1. ISO 8529-1, Reference neutron radiations - Part 1.2.3;
2. Масляев П.Ф. Формирование полей нейтронов от радионуклидных источников нейтронов: журнал «АНРИ» №4(71) стр. 32-38 2012.
