CC BY
231
УДК 539.42:623.565.22
ВЛИЯНИЕ ВЫСОТЫ ПОДРЫВА СНАРЯДА НА ФОРМИРОВАНИЕ ОСКОЛОЧНОГО ПОЛЯ
1СУФИЯНОВ В. Г., 1КОРОЛЕВ С. А., 2ЛИПАНОВ А. М., 1РУСЯК И. Г.
1Ижевский государственный технический университет имени М. Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7 2Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, 125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4
АННОТАЦИЯ. В статье представлены результаты математического моделирования разлета осколков и построения осколочного поля в зависимости от высоты подрыва снаряда на траектории. Математическая модель разлета осколков описывается системой дифференциальных уравнений при заданных массовых характеристиках, начальных скоростях и направлениях движения. Начальные скорости движения осколков получены на основе закона сохранения энергии с учетом скорости движения снаряда в точке подрыва. Построение осколочного поля основывается на многократном имитационном моделировании подрыва снаряда на траектории.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическое моделирование, подрыв осколочно-фугасного снаряда, разлет осколков, осколочное поле.
Проблема моделирования осколочного поля имеет важное значение для решения задачи повышения эффективности действия снаряда у цели. Экспериментальные стендовые испытания, проводимые в статике, позволяют определять характер разлета осколков и их основные характеристики: распределение осколков по массе, средний мидель, зависимость меридионального угла от положения осколка относительно дна снаряда и т. п. В динамических условиях постановка эксперимента затруднена, поскольку точка подрыва зависит от многих случайных факторов, что затрудняет расстановку регистрирующей аппаратуры для определения траекторий осколков.
Методика решения задачи разлета осколков при срабатывании снаряда и построении зон поражения состоит из пяти этапов. На первом этапе определяется положение в стартовой
системе координат (х1, у1,)т и скорость движения снаряда в точке подрыва ,¥у ,¥г) , угол наклона траектории 0 , угол пути у. Траектория движения снаряда
рассчитывается в плоскости стрельбы в стартовой системе и преобразуется в земную систему координат.
На втором этапе производится расчет распределения осколков по массе на основе статистического моделирования бимодального гипервейбулловского распределения [1, 2]:
I (т) =
1
(т)
1
Г
т
V та J
ехр
Г
т
V та J
+ (1 —Х)Р-
т т
— ехр — —
V ть J V ть J
(1)
(
1+1
- математическое ожидание массы осколков;
где т = Хта+ а^ + (1 -Х)ть■ р
Т(х) - гамма-функция; та, ть, а, р - характеристические массы и показатели качества основного и сопутствующего спектра, соответственно; Х - коэффициент, устанавливающий соотношение двух частей спектра.
Моделирование массы и количества осколков осуществляется циклически и состоит из трех шагов.
Шаг 1. Задаем массу М метаемой оболочки. Начальная накопленная масса осколков £ = 0 . Номер осколка п = 1.
Шаг 2. Моделируем массу п -го осколка методом суперпозиции вейбуловских распределений основного и сопутствующих спектров. Для этого генерируем л0 и Л -
равномерно распределенные случайные величины на отрезке [0,1]. Если л 0 <Х, тогда
моделируем вейбуловскую случайную величину с параметрами та и а:
тп = та [- 1П )]1 а ,
иначе - с параметрами ть и Ь:
тп = тъ [- 1п)]1/ Р .
Шаг 3. Если £ + тп < М , тогда увеличиваем накопленную массу £ = £ + тп, меняем номер осколка п = п +1 и идем на шаг 2, иначе пересчитываем массу последнего осколка тп = М - £ и заканчиваем итерации.
На третьем этапе производится расчет скорости разлета, положения и направления движения осколков в момент срабатывания снаряда. Максимальные скорости разлета осколков итах неподвижного снаряда определяются на основе физических характеристик
взрывчатого вещества и метаемой оболочки [1].
При расчете начальных условий движения осколков предполагается, что масса оболочки снаряда равномерно распределена в оболочке цилиндрической формы радиуса Я0 = 0,5В, где В - калибр снаряда (рис. 1, а), при этом распределение массы осколков не
зависит от его расположения на поверхности оболочки и начальные скорости осколков одинаковые:
= итах , г = 1 п .
а) б)
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка (а) и зависимость угла вылета осколка в меридиональной плоскости
от положения осколка вдоль оси снаряда (б)
В экваториальной плоскости сечения оболочки цилиндра осколки имеют равномерное распределение. Предполагается также, что в меридиональной плоскости угол разлета осколков зависит от их положения вдоль оси симметрии снаряда относительно центра оболочки снаряда Ьц: ф = ф(х), х е [0, Ь], где Ь - длина снаряда (рис. 1. б).
Углы вылета осколков в экваториальной плоскости задаются случайным образом:
А,- =Лг12р, г = 1,п,
где Л, 1 - равномерно распределенные на отрезке [0,1] случайные величины.
Положение осколка вдоль оси снаряда равномерно распределено на отрезке [0, Ь]:
Ьг = Л,2Ь , г =1 п,
где Л,2 - равномерно распределенные на отрезке [0,1] случайные величины. Углы в
меридиональной плоскости вычисляются в точках Ьг по зависимости фг = ф(Ьг ), г = 1, п , определяемой на основе экспериментальных данных [1].
Таким образом, для неподвижного снаряда начальные координаты осколков определяются следующими соотношениями:
Л
(0) Л
У* (0)
^ (0)
( L - L Л
i ц
R0 cos Ji V Ro sin Ji у
V" ci J у
а проекции скорости осколков с учетом угловой скорости вращения снаряда W из выражения:
(uxci (0)Л ( u cos j Л ( 0 Л
u
yci
(0)
VUzci (0)
^ cos ji ui cos Ji sin ф V ui sin Ji sin фг. у
+
-WR0 sin -J WR0 cos Ji у
В стартовой системе координат с учетом угла наклона траектории 0 и угла пути у начальные координаты осколков пересчитываются по формуле:
(
X (0)Л
У (0) Л (0)
( cos y cos 0 - cos y sin 0 sin y sin 0 cos 0 0
-sin ycos 0 sin ysin 0 cosy
\fx
■(0)Л
Уа (0) -V z* (0).
fx.\
+
У1
V z1 у
i = 1, n,
а проекции скорости осколков с учетом скорости движения снаряда по формуле:
(0)Л
uyi (0) vuzl (0)
f
cos y cos 0 - cos y sin 0 sin y Л(uxci (0)Л (Vx л
sin 0 cos 0 0
sin y cos 0 sin y sin 0 cos yу
м.
yci V" zci
(0)
+
Vy
vVz у
i = 1, n.
(2)
(3)
На четвертом этапе рассчитываются траектории осколков на основе решения системы дифференциальных уравнений движения с учетом начальных условий (2) и (3):
_ (и — wl)
dt duy dt du„
о 1/3 2/3
2ms P M
-p|u - wl(ux - Wx ) ,
M
FCd (U - W|) | |( ) - 2m 1/3P 2/3 P|U - W| (Uy - Wy )-g ,
PM
Фсй (u - w|)
(4)
dt
2m1/3P2/3
^'"s VM
dx
d = "x •
dy — = "y
dt y
p|u - w|(uz - w), dz
-= u, •
dt z
где и = (их, иу, иг Т - вектор скорости осколка; w = , , )т - скорость ветра; g - ускорение свободного падения; Ф - параметр формы осколка; р - плотность воздуха; рм, т^ - плотность материала и масса осколка соответственно. Коэффициент сопротивления осколка аппроксимируется зависимостью от скорости его движения в соответствии с работой [1 ]:
с л (u ) = <;
0,5, u < 150 м/с, (1,49 + 0,51sin(860 -350lgu))-1, 150 < u < 550 м/с,
0,865| 1 + 50 |, u > 550 м/с.
u
(5)
В качестве базового метода решения уравнения движения использовался метод Рунге-Кутты четвертого порядка аппроксимации [3].
u
Окончание расчета определяется при выполнении одного из условий:
Щи! ()
< Жкр или у г ^)£ Н(хг ), )),
где иг (г) - скорость г -го осколка в момент времени г; Жкр = 100 Дж - минимальная убойная
энергия осколка; у1 (г) - высота г -го осколка в момент времени г; Н(хг (г), (г)) - расстояние
от центра Земли до ее поверхности на траектории движения осколка в момент времени г.
В результате решения системы дифференциальных уравнений получаем траектории осколков в стартовой системе координат:
Т =
± сг
Г Хг (0) Хг (г, )
у г (0) у г (г,)
2 (0) % г (г,)
хг )
у г )
2
, г = 1, п,
где - время, ] = 0, Nг; начальный момент времени г0 = 0 ; N - число итераций.
На заключительном этапе определяются плотность осколочного поля и границы зоны поражения. По расчетным траекториям определяются точки их пересечения с поверхностью земли. Плотность осколочного поля определяется по результатам многократного имитационного моделирования подрыва снаряда. На основе полученной плотности осколочного поля определяются границы зоны поражения.
После расчета координат осколков в стартовой системе можно определить их координаты в земной системе по формуле:
с х 0 х 0 х 0 г соб а ц 0 - Бт а ц ^
= у 0 у0 •• у 0 + 0 1 0 Та , г = 1 п ,
V 2 0 2 0 2 0 у ч бш а ц 0 соБ ац у
где (х0, у0, %0 )Т - координаты точки стрельбы; ац - дирекционный угол стрельбы.
В результате получаем область разлета осколков в земной системе координат (рис. 2).
2
Алгоритм построения зоны поражения и плотности осколочного поля состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Проводится Я -кратное имитационное моделирование разлета осколков. В результате получим К траекторий осколков Тк, к = 1, К .
Шаг 2. По расчетным траекториям Тк, к = 1, К , определяются точки их пересечения с
поверхностью Земли. Если траектория не пересекается с поверхностью Земли, тогда она исключается из рассмотрения. Обозначим множество точек падения осколков Р = {Рк =(хк, Л, ), к = 1,..., К , К'< К}.
Шаг 3. Строится прямоугольная область, которая содержит все множество Р точек падения осколков (см. рис. 2). Данную прямоугольную область разделим на одинаковые ячейки, покрывающие всю область Е = {е,, г = 1,1, у = 1, J}. Площадь ячеек обозначим через Б,, где индексы указывают их место положения, а число осколков, попавших в соответствующую ячейку, - п , , г = 1,1, у = 1, J. Удельная энергия осколков, попавших в ячейку Еу, рассчитывается по формуле:
К' • ти1
W = 16, (pk)-
у " ч^гк / _
к =1 2
где функция 8у (рк) определяет, попал ли к -й осколок в ячейку Еу :
(Рк ) = ^ Е ' ч I1, Рк ;
тк - масса к осколка; ик - скорость к осколка в момент падения.
Шаг 4. Вычисляется плотность падения осколков (плотность осколочного поля):
П,, - -
п у =-,, г = 1,1, ч = 1, J,
R ■ Sj
удельная энергия осколков в ячейке S, :
W _ _
j
R ■ S
Еу = , i = i,i, j = i, J;
общая энергия осколков во всей области осколочного поля:
I j
Es = SS Е j ■ Sj, i=1 j=1
и площадь осколочного поля, в которой удельная энергия превышает заданный критический порог Е*:
S (Е*) = £ £ 6(Ej > E*)Sj,
=1 j =1
где функция 6(е, > Е*)
определяет, превышен ли критический порог удельной энергии Е*
в ячейке S.. :
У
6(е > е-)=I0!'Е >< Ет
Отображение результатов моделирования осуществляется в программном комплексе моделирования полигонных испытаний артиллерийских систем [4 - 7], созданном в среде разработки приложений MS Visual Studio на языке C#.
В расчетах принимались следующие условия: масса метаемой стальной оболочки снаряда - М = 22,7 кг; масса ВВ - тВВ = 3,4 кг; параметры гипервейбуловского распределения осколочного спектра та = 11,4 г, ть = 0,15 г, а = 0,7, Ь = 0,4, Х = 0,25 [1]; угловая скорость вращения снаряда Q = 0 рад/с; скорость снаряда при подрыве - 780 м/с; угол наклона траектории 0 = 0°; угол пути у = 0°; дирекционный угол стрельбы - ац = 0°.
Имитационное моделирование осколочного поля проводилось при Я = 100. В результате проведенных расчетов были построены осколочные поля (рис. 3) в зависимости от высоты подрыва И. В качестве критического порогового уровня, при котором отображалось осколочное поле, было выбрано значение Е* = 7,4 кДж/м , обеспечивающее поражение бронированной живой силы [8].
И = 30 м
И = 20 м
И = 15 м
I 11 = 1П VI
] 11 = 5 м 1 1_1 50 м 1_1
Рис. 3. Форма осколочного поля при срабатывании снаряда на траектории на различных высотах И относительно уровня земли
Как видно из рис. 3, основная масса осколков распределена вблизи подрыва снаряда и сосредоточена в области, имеющей дугообразный вид, что объясняется высокой скоростью разлета осколков и цилиндрической формой разрыва снаряда.
В таблице представлены результаты расчета общей энергии осколков на поверхности земли Е, и площадь области поражения S (Е*) при Е* = 7,4 кДж/м в зависимости от высоты подрыва И .
Таблица
Энергии осколков на поверхности земли Е, и площадь области поражения $ (Е*) при Е* = 7,4 кДж/м2 в зависимости от высоты подрыва И
Высота подрыва И , м Энергия осколков Е,, МДж Площадь поражения $ (Е*), м2
5 7,3 80,9
10 5,1 108,4
15 4,4 128,4
20 3,4 134,9
25 2,8 123,6
30 2,2 104,9
Результаты моделирования при подрыве на высотах от 1 до 30 метров представлены на рис. 4.
Е,, МДж
Б, м2
160 ■
140 120 100 80 60 40 20
И, м
/ > \
/
/
/
•
0 5 10 15 20 25 30
а)
И, м
0 5 10 15 20 25 30 б)
Рис. 4. Зависимость энергии осколков (а) и площади области поражения (б) от высоты подрыва снаряда на траектории
0
Из рис. 4, а видно, что общая энергия осколков на поверхности земли монотонно убывает. Зависимость энергии Е, от высоты подрыва была аппроксимирована экспоненциальной функцией:
Е, (И) = Е0 ехр(- уИ),
где Е(И) - модельное значение энергии осколков от высоты подрыва; Е0, у - оцениваемые параметры функции. Параметры функции оценивались методом наименьших квадратов и были равны Е0 = 8,98, у = 0,0475. При этом, коэффициент детерминации был равен 0,995.
Зависимость площади области поражения от высоты подрыва (рис. 4, б) была аппроксимирована полиномом второй степени:
Б (И) = а0 + а1И + а2 И2,
где Б (И) - модельное значение площади поражения от высоты подрыва; а0 , а1, а2 - оцениваемые параметры полинома. Параметры полинома оценивались методом наименьших квадратов и были равны а0 = 34,79, ах = 10,28, ах =-0,27. При этом, коэффициент детерминации был равен 0,991.
Функция Б (И) достигает своего максимума в точке:
И* = --5- = 19,0 м . 2а2
Таким образом, на основе разработанной методики моделирования процесса разлета осколков и определения области поражения была определена оптимальная высота подрыва снаряда на траектории.
Анализ сходимости алгоритма проводился в зависимости от количества проведения повторных испытаний Я в алгоритме построения зоны поражения. Результаты анализа представлены на рис. 5.
Е,, МДж
4 3,5 3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
Я
50
100 а)
150
200
$, м2 160
50
Я
100
150
200
б)
Рис. 5. Зависимость энергии осколков (а) и площади области поражения (б) при подрыве снаряда на высоте 19,0 м в зависимости от количества испытаний Я
0
0
Как видно из представленных результатов, суммарная энергия осколков Е, стабилизируется с ростом количества повторных испытаний Я (рис. 5, а). Площадь области поражения $(Е*) при Е* = 7,4 кДж/м (рис. 5, б) также стабилизируется с ростом количества повторных испытаний Я .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработана методика, позволяющая вычислять траектории разлета осколков и зону осколочного поражения при срабатывании снаряда на траектории.
Проведено параметрическое исследование зависимости площади области осколочного поражения от высоты подрыва снаряда. Показано, что существует оптимальная высота подрыва, обеспечивающая максимальную зону поражения.
Полученные в работе данные могут служить основой для размещения мишеней на полигоне, определения времени подрыва снаряда и расстановки измерительной аппаратуры, что будет способствовать повышению качества экспериментального определения характеристик осколочного действия снаряда и снижению затрат на подготовку и проведение натурных испытаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Физика взрыва / под ред. Л. П. Орленко. Изд. 3-е, испр. В 2 томах. Том 2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
656 с.
2. Харин Ю. С., Степанова М. Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. Минск: Университетское, 1987. 304 с.
3. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
4. Липанов А. М., Вагин А. В., Русяк И. Г., Суфиянов В. Г. К вопросу о моделировании полигонных испытаний артиллерийских систем // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2014. № 4. С. 46-52.
5. Вагин А. В., Липанов А. М., Русяк И. Г., Суфиянов В. Г. Имитационное моделирование осколочного поля при срабатывании снаряда на траектории // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2015. № 4. С. 15-20.
6. Липанов А. М., Русяк И. Г., Тененев В. А., Суфиянов В. Г. Математическое моделирование разлета осколков при срабатывании снаряда на траектории // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2015. № 3. С. 79-84.
7. Суфиянов В. Г., Русяк И. Г., Королев С. А., Белобородов М. Н., Фурсов Ю. С. Моделирование разлета осколков и определение зон поражения при подрыве осколочно-фугасного снаряда // Вопросы оборонной техники. Серия 14. Проектирование систем вооружения, боеприпасов и измерительных комплексов. 2015. № 2. С. 175-177.
8. Балаганский И. А., Мержиевский Л. А. Действие средств поражения и боеприпасов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. 408 с.
INFLUENCE HEIGHT OF PROJECTILE DETONATION TO FORMATION OF FRAGMENTATION FIELD
1Sufiyanov V. G., 1Korolev S. A., 2Lipanov A. M., Rusyak I. G.
1Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
2Keldysh Institute of Applied Mathematics Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
SUMMARY. Modeling of fragmentation field is essential to solving the problem of increasing the effectiveness action of the projectile at the target. In the dynamic conditions of the experiment setting is difficult, since detonation point depends on many random factors. The article presents the methods of mathematical modeling separation of fragments and fragmentation field construction, depending on the height of projectile detonation on the trajectory. A mathematical model separation of fragments is described by a system of differential equations for given mass characteristics, initial velocities and directions of movement. The initial velocity of the fragments obtained on the law of energy conservation, taking into account the speed of the projectile at the detonation point. Construction of the fragmentation field based on multiple simulations of projectile fragmentation on the trajectory. On the basis of fragmentation density field defined boundaries of the affected area, depending on the critical values of specific fragments of energy per unit area.
The paper describes an example construction of the fragmentation field, depending on the height of the detonation. Height of detonation point varied from 1 to 30 meters. The main mass of fragments of the projectile is distributed near the detonation point and is concentrated in a region having an arcuate view that due to the high rate of separation of fragments and form a cylindrical shell. It is shown that with increasing height of undermining the total energy of the fragments is reduced and the square of the affected area behaves non-monotonically and reaches its maximum value at detonation the projectile at an altitude of 19 meters for the given set of conditions. The analysis of the convergence of the algorithm for constructing the affected areas showed that the total energy and the square of affected area is stabilized with an increase of the number of repeat tests.
The results obtained may provide a basis for the placement of the targets at firing range, determine the time of detonation of the projectile and placement of instrumentation that will improve the quality of experimental determination of the projectile fragmentation and reduce the preparation and conduct of field tests costs.
KEYWORDS: mathematical modeling, detonation of high-explosive shells, fragments emission, fragmentation field.
REFERENCES
1. Fizika vzryva [The physics of the explosion]. Pod red. L. P. Orlenko. Izd. 3-e, ispr. V 2 tomakh. Tom 2. Moscow: FIZMATLIT Publ., 2004. 656 p.
2. Kharin Yu. S., Stepanova M. D. Praktikum na EVM po matematicheskoy statistike [Workshop on the computer in mathematical statistics]. Minsk: Universitetskoe Publ., 1987. 304 p.
3. Samarskiy A. A., Gulin A. V. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Nauka Publ., 1989. 432 p.
4. Lipanov A. M., Vagin A. V., Rusyak I. G., Sufiyanov V. G. K voprosu o modelirovanii poligonnykh ispytaniy artilleriyskikh sistem [To a question of the modeling of ground tests of artillery systems]. Izvestiya Rossiyskoy akademii raketnykh i artilleriyskikh nauk [Proceedings of the Russian Academy of Missile and Artillery Sciences], 2014, no. 4, pp. 46-52.
5. Vagin A. V., Lipanov A. M., Rusyak I. G., Sufiyanov V. G. Imitatsionnoe modelirovanie oskolochnogo polya pri srabatyvanii snaryada na traektorii [Simulation modeling of fragmentation field at operation of a shell on a trajectory]. Izvestiya Rossiyskoy akademii raketnykh i artilleriyskikh nauk [Proceedings of the Russian Academy of Missile and Artillery Sciences], 2015, no. 4, pp. 15-20.
6. Lipanov A. M., Rusyak I. G., Tenenev V. A., Sufiyanov V. G. Matematicheskoe modelirovanie razleta oskolkov pri srabatyvanii snaryada na traektorii [Mathematical modeling of dispersion of fragments by activation of whizbang on trajectory]. Izvestiya Rossiyskoy akademii raketnykh i artilleriyskikh nauk [Proceedings of the Russian Academy of Missile and Artillery Sciences], 2015, no. 3, pp. 79-84.
7. Sufiyanov V. G., Rusyak I. G., Korolev S. A., Beloborodov M. N., Fursov Yu. S. Modelirovanie razleta oskolkov i opredelenie zon porazheniya pri podryve oskolochno-fugasnogo snaryada [Simulation of separation of fragments and identifying the affected areas by blasting high-explosive fragmentation projectile]. Voprosy oboronnoy tekhniki. Seriya 14. Proektirovanie sistem vooruzheniya, boepripasov i izmeritel'nykh kompleksov [Questions of defense equipment. Series 14. The design of weapons systems, munitions and measurement systems], 2015, no. 2, pp. 175-177.
8. Balaganskiy I. A., Merzhievskiy L. A. Deystvie sredstv porazheniya i boepripasov [Action weapons and ammunition]. Novosibirsk: NGTU Publ., 2004. 408 p.
Суфиянов Вадим Гарайханович, кандидат физико-математических наук, доцент, ИжГТУ имениМ. Т. Калашникова, тел. +7(912) 854-57-48, e-mail: vsufiy@gmail.com
Королев Станислав Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, тел. +7(906) 819-27-90, e-mail: stkj@mail. ru
Липанов Алексей Матвеевич, доктор технических наук, академик РАН, главный научный сотрудник, ИПМ им. М. В. Келдынша РАН, тел. +7(916) 657-95-71, e-mail: AML35@yandex.ru
Русяк Иван Григорьевич, доктор технических наук, профессор, ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, тел. +7(912) 856-65-11, e-mail: primat@istu.ru
