CC BY
34ВЛИЯНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ НА ВЯЗКОЕ КАПЕЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
И.Э. Карпунин1, В.Г. Козлов1, Н.В. Козлов2
1Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
2Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, Ак. Королёва, 1
Разработана экспериментальная установка, предназначенная для изучения динамики вязкого капельного включения в тонком зазоре (в ячейке Хеле-Шоу) при высокочастотном осциллирующем обтекании маловязкой жидкостью. Рассматривается осесимметричная ячейка с круговой боковой границей, в которой заполняющая ячейку маловязкая жидкость совершает осесимметричные радиальные колебания. Установка предназначена для экспериментального моделирования поведения вязких жидкостных включений в пористых средах при высокочастотных колебаниях насыщающей пористую среду маловязкой жидкости. Разработана методика регистрации капельного включения и изучения его временной динамики. Обнаружено, что высокочастотные радиальные колебания маловязкой жидкости приводят к различным осредненным эффектам. Во-первых, при вибрациях вязкое капельное включение меняет свою форму - растягивается в азимутальном направлении, во-вторых, при вибрациях свободное включение дрейфует к центру ячейки. Определяющим в обнаруженном вибрационном явлении является высокий контраст вязкостей жидкостей.
Ключевые слова: капельное включение, вязкая жидкость, пульсирующее течение, ячейка Хеле-Шоу, неоднородное поле скорости, осредненные силы.
© Карпунин И.Э., Козлов В.Г., Козлов Н.В., 2019 БО1: 10.24411/2658-5421-2019-10904
ВВЕДЕНИЕ
Пористые среды и движение жидкости в пористых средах широко распространены в природе и представляют большой интерес, поскольку связаны с множеством отраслей деятельности: с добычей полезных ископаемых, возведением инженерных сооружений. Такие задачи встречаются в промышленности, при орошении и осушении земель, в гидрогеологии и во многом другом. Движению жидкости в пористой среде, а также динамике границы двух несмешивающихся жидкостей посвящено много как теоретических, так и экспериментальных работ [1, 2]. Одно из интересных физических явлений, неустойчивость Тейлора -Саффмана [3], наблюдается при вытеснении из пористой среды менее вязкой жидкостью более вязкой. На границе раздела жидкостей развивается неустойчивость в виде «пальцев» менее вязкой жидкости, которая пробивается через более вязкую.
Большой научный интерес представляет вибрационная динамика многофазных систем в пористых средах в связи с актуальностью задачи управления многофазными системами в пористых средах посредством вибрационного (волнового) воздействия. Связано это с практическим применением в свете возможной интенсификации нефтедобычи. В ряде работ рассматривается вибрационное воздействие на зоны остаточной нефтенасыщенности, позволяющее обеспечить вовлечение их в разработку и увеличить дебит нефти [4-6]. При этом вибрационное воздействие может рассматриваться как механизм воздействия на фронт вытесняющей жидкости, приводящий к подавлению неустойчивости Тейлора - Саффмана.
Для изучения данной задачи используется цилиндрическая ячейка Хеле-Шоу [7]. В ячейке скорость движения жидкости пропорциональна градиенту давления. Данная закономерность позволяет провести аналогию между движением жидкости в ячейке и в насыщенной жидкостью пористой среде, в которой жидкость движется по закону Дарси [2]. Возможность применения ячейки Хеле-Шоу (прямоугольной или цилиндрической) как модели пористой среды рассматривается во многих работах [8, 9]. Влияние инерционного воздействия на границу жидкостей в цилиндрической ячейке было рассмотрено в [10, 11], где показано, что вибрации оказывают стабилизирующую роль на границу раздела. При вытеснении маловязкой жидкостью более вязкой встает вопрос не только о развитой «пальчиковой» неустойчивости, но и о морфологической неустойчивости границы раздела жидкостей с момента начала вытеснения [12, 13].
1. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Установка предназначена для изучения динамики границы раздела двух жидкостей с разными вязкостями в ячейке Хеле-Шоу при гармоническом изменении расхода прокачиваемой через ячейку жидкости. Для этого ячейка включается в гидродинамический контур, осциллирующее движение жидкости в котором осуществляется с помощью гидравлического насоса (рис. 1). Насос состоит из двух полостей, разделенных упругой мембраной, которая совершает поступательные колебания. Камера насоса образована двумя оргстеклянными кольцами и расположенными сверху и снизу от них алюминиевыми крышками. Верхняя крышка 1 представляет собой диск диаметром 150 мм и толщиной 6 мм. Верхнее кольцо 2 толщиной 20 мм имеет внутренний и внешний диаметры 106 и 150 мм соответственно. Нижнее кольцо 3 имеет такие же размеры. Между кольцами зажата мембрана 4 из маслобензостойкой резины МБС толщиной 1 мм и диаметром 150 мм. Между кольцами установлены герметизирующие резиновые уплотнительные кольца 5.
уплотнительное кольцо, 6 - диски, 7 - шток, 8 - нижняя крышка, 9 -прижимное кольцо, 10 - резиновая мембрана, 11 - штуцеры
Для того чтобы задавать вертикальные колебания мембране, последняя зажата между двумя текстолитовыми дисками 6 толщиной 2 мм и диаметром 90 мм. Оба диска приклеены к резине (используется полиуретановый клей) и дополнительно стянуты
болтами по длине окружности. В центре мембраны жестко закреплен шток 7 диаметром 5 мм и длиной 150 мм, присоединенный к столику вибростенда. Вокруг дисков остается свободное резиновое кольцо, способное упруго деформироваться при поступательном движении штока вверх-вниз. Нижняя алюминиевая крышка 8 насоса имеет диаметр 190 мм и толщину 6 мм. Для соединения штока со столиком вибростенда в нижней крышке имеется отверстие диаметром 24 мм, в котором устанавливается еще одна резиновая мембрана 10 диаметром 64 мм. Данная мембрана герметично и соосно закрепляется на штоке и между прижимным кольцом 9 и нижней крышкой. При этом в насосе образуются две герметичные, изолированные и соосно расположенные камеры. Обе камеры насоса заполняются водой, при этом контролируется отсутствие воздуха. Подключение камер к гидравлическому контуру из металлопластиковых труб диаметром 16 мм осуществляется при помощи штуцеров 11.
Рис. 2. Схема экспериментальной установки: 1 - неподвижная площадка, 2 - гайка, 3 - вибростенд, 4 - компьютер, 5 - подвижный столик вибростенда, 6 - воздушный насос, 7 - гидравлический контур, 8 - кювета, 9 - краны, 10 - измеритель расхода, 11 -разделительные фланцы, 12 - насос равномерной подачи жидкости
Нижняя алюминиевая крышка имеет больший диаметр. Это необходимо для крепления насоса к неподвижной площадке 1 (рис. 2), закрепленной, в свою очередь, на корпусе электродинамического вибростенда. Крепление насоса осуществляется при помощи металлических стержней и гаек 2. Таким образом, насос жестко закрепляется на корпусе
электродинамического вибростенда 3 типа ВЭД-200 и остается неподвижным в лабораторной системе отсчета.
Подвижный столик 5 электродинамического вибростенда через шток 7 (см. рис. 1) сообщает поступательные вертикальные колебания заданной частоты и амплитуды подвижной мембране внутри гидравлического насоса, вызывая периодические колебания жидкости в контуре. При движении столика вверх происходит сжатие объема верхней камеры и одновременное увеличение объема нижней. При движении столика вниз все происходит в обратном порядке. Суммарный объем жидкости в гидравлическом контуре ходе колебаний не изменяется.
Электронный генератор сигналов, подключенный к компьютеру 4 (рис.2), позволяет задавать и плавно изменять амплитуду и частоту вибраций. Амплитуда колебаний столика вибростенда изменяется в диапазоне 0.1 -10 мм, частота - в интервале f = 1 -10 Гц (измеряется с точностью 0.01 Гц). Поскольку в процессе работы электродинамический вибростенд нагревается, для охлаждения его подвижной катушки используется центробежный воздушный насос 6.
Гидравлический контур 7 (рис. 2) образован металлопластиковой трубой диаметром 16 мм. Для обеспечения гармонического изменения расхода жидкости, прокачиваемой через кювету 8, гидравлический контур должен быть герметичным. Для удаления воздуха из контура используются краны 9.
Расход жидкости (объем жидкости, прокачиваемой за единицу времени) через гидравлический контур изменяется по закону Q = Q0 cos Wt, где Q0 - амплитудное значение расхода, W = 2pf -циклическая частота колебаний столика. Для измерения объема прокачиваемой через канал жидкости используется измеритель расхода 10, представляющий собой оргстеклянную трубку диаметром 20.6 мм с легким поршнем, плотно прилегающим к стенкам трубки и свободно двигающимся относительно нее. Амплитуда колебаний поршня определяется методом его видеорегистрации скоростной камерой. Точность измерения смещения поршня составляет 0.01 мм. В экспериментах рассчитывается средняя по сечению канала скорость осциллирующего движения с учетом площади поперечного сечения кюветы и амплитуды колебаний поршня.
Для подключения кюветы 8 (рис. 2) к гидравлическому контуру используются разделительные фланцы 11 с упругими мембранами.
Последние разделяют жидкости в кювете и контуре и одновременно сообщают осциллирующее движение жидкости в кювете. Жидкость в кювете при этом не смешивается с жидкостью в контуре [14]. Помимо колебаний жидкости в гидравлическом контуре (в кювете) предусмотрена равномерная подача в полость кюветы одной жидкости и вытеснение другой. Прокачка жидкостей осуществляется насосом равномерной подачи 12, который состоит из подвижного поршня, приводимого в равномерное движение шаговым двигателем.
1.1. Экспериментальная кювета и методика. Конструкция установки определяется поставленной задачей - исследование устойчивости границы раздела двух жидкостей с разными вязкостями. Предполагается изучить вытеснение вязкой жидкости менее вязкой, а также динамику вязкой капли в осесимметричной ячейке Хеле-Шоу (модель пористой среды) в условиях гармонического изменения расхода прокачиваемой жидкости. В данной постановке изучается устойчивость и динамика границы раздела двух жидкостей при равномерном вытеснении вязкой жидкости менее вязкой и в случае, когда отдельное вязкое капельное включение находится в менее вязкой жидкости. Во втором случае изучается временная динамика (изменение формы и осредненное движение) вязкой капли при осцилляциях маловязкой жидкости в кювете.
Рис. 3. Схема экспериментальной кюветы: 1 - стеклянные диски, 2 -металлическая вставка, 3 - фитинг, 4 - кран, 5 - алюминиевые оправы, 6 - видеокамера, 7 - прокладка, 8 - уплотнительное кольцо, 9 - стягивающие болты, 10 - штуцер
Кювета представляет собой плоский слой, образованный двумя стеклянными дисками 1 толщиной 8 мм и диаметром 150 мм (рис. 3). В центре одного из стекол сделано отверстие диаметром 10 мм для подачи вытесняющей жидкости. В отверстии установлена металлическая вставка 2 с фитингом 3 для включения кюветы в гидравлический контур (см. рис. 2). За штуцером установлен кран 4, позволяющий заполнять кювету жидкостью и удалять из полости воздух. С помощью этого крана также осуществляется доступ в собранный слой для внедрения капли вязкой жидкости в кювету через тонкий капилляр.
Стеклянные диски вклеиваются в алюминиевые оправы 5 определенной геометрии, которые обеспечивают параллельность стекол и задают строго определенное расстояние между ними при сборе кюветы. Наблюдение за динамикой в слое может выполняться как со стороны цельного стекла, так и со стороны стекла со штуцером. В экспериментах регистрация фазовых включений проводилось камерой 6 со стороны стекла со штуцером в проходящем свете. При сборке слоя его толщина задается толщиной прокладки 7, размещаемой у внешней границы алюминиевой оправы. Толщина слоя может варьироваться в интервале Н = 0 - 5 мм. Герметичность слоя обеспечивается за счет резинового уплотнительного кольца 8. Две половинки слоя соединяются равномерно распределенными по длине окружности стяжными болтами 9. По периметру образованного стеклянными дисками щелевого зазора в алюминиевой оправе организована полость в форме кольца широкого поперечного сечения. Объем данного кольца в несколько раз превосходит объем жидкости в зазоре. Данное кольцо служит для выравнивания давления по периметру слоя, что позволяет обеспечить осесимметричное радиальное вытеснение жидкости и однородное азимутальное распределение колебаний жидкости в слое. Из кольца выведен штуцер 10 для соединения с гидравлическим контуром.
Однородность толщины слоя и симметрия кюветы обеспечивается толстыми стеклами, соосным положением впускного канала и стеклянных стенок канала. Равномерная подача и одновременная откачка жидкости обеспечиваются насосом (рис. 4), представляющим собой цилиндрическую полость 1, в которой поршень 2 с резиновым уплотнителем 3 может перемещаться с заданной скоростью. Поршень приводится в движение металлическим штоком 4, проходящим через сальники 5 с армированной манжетой.
Рис. 4. Насос равномерной подачи жидкости: 1 - цилиндрическая полость, 2 - поршень, 3 - резиновый уплотнитель, 4 - металлический шток, 5 - сальники, 6 - выходные штуцеры, 7 - шаговый двигатель, 8 - длинная гайка, 9 - муфта, 10 - шпилька, 11 - металлическая пластина
Насос подключается к гидравлическому колебательному контуру через выходные штуцеры 6. Движение штока осуществляется при помощи шагового электродвигателя 7 типа РЬ868ТЫ65-2808Л. Со стороны электродвигателя на штоке закреплена длинная гайка 8, а соосно шпинделю электромотора с помощью металлической муфты 9 закреплена шпилька 10. Таким образом, вращательное движение шпинделя шагового электродвигателя преобразуется в поступательное движение штока. Электродвигатель и цилиндрическая полость жестко закреплены на металлической пластине 11.
1.2. Постановка эксперимента. Экспериментально исследуется поведение капельного включения в тонком плоском слое, моделирующем пористую систему. Капля и окружающая ее жидкость не смешиваются. Геометрия кюветы и конфигурация экспериментальной установки позволяют задавать гармонические колебания жидкости в слое без прямого вибрационного воздействия на полость. При воздействии вибраций на жидкость радиальное распределение давления неоднородно. Пульсации скорости жидкости также радиально неоднородны, что приводит к неравномерному обтеканию потоком одной жидкости (менее вязкой) капельного включения другой (более вязкой) жидкости. В результате наблюдается не только изменение геометрической формы капли, но и ее радиальный дрейф с течением времени, которые зависят от амплитуды и частоты вибраций.
Первоначально исследуется поведение капли касторового масла в подкрашенной синим красителем воде. Вязкость масла составляет Ум = 600 сСт, вязкость воды пв = 1.0 сСт. Капля устанавливается в ячейке через тонкую гибкую трубку, введенную через кран 4 (рис.3). Наблюдение осуществляется со стороны стекла (его размер г = 55 мм, см. рис. 3). Толщина слоя к = 2.0 мм. Капля в отсутствие
11
5
ТГ
вибраций имеет круглую форму из-за силы поверхностного натяжения, ее диаметр составляет й = 7.4 мм (рис. 5).
2.1. Деформация «сидящей» капли. Рассмотрим поведение капли вязкого масла при гармоническом изменении расхода прокачиваемой через ячейку маловязкой жидкости. При малой амплитуде колебаний обтекающий каплю осциллирующий поток жидкости не влияет на ее форму. Капля остается неподвижной и сохраняет свою исходную круглую форму. С увеличением амплитуды колебания жидкости наблюдается деформация капли: ввиду неоднородного обтекания капля уплощается и вытягивается в азимутальном направлении, оставаясь при этом на месте. Изменение формы капли с течением времени при / = 4 Гц и
()0 = 12.3 см3 /с показано на рис. 6 и 7.
Форму капли и степень ее деформации можно охарактеризовать параметром % = а / Ь, где а - тангенциальный размер капли, а Ь -радиальный. Зависимость %(г) представлена на рис. 7. Параметр X с течением времени монотонно возрастает, при этом капля вытягивается в азимутальном направлении. По достижении определенной длины, через четыре секунды после начала эксперимента в нашем случае, края капли начинают совершать колебания в радиальном направлении. На отрезке времени г = 4 - 9.8 с тангенциальный размер капли со временем монотонно увеличивается, амплитуда колебаний X также возрастает. При г = 9.88 с капля перестает растягиваться и совершает колебания в радиальном направлении относительно некоторого среднего положения, сохраняя вытянутую форму.
Рис. 5. Начальное положение капли
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Рис. 6. Деформация капли с течением времени (с): а - 0, б - 1.84, в - 3, г - 4.64, д - 8.14 и е - 9.16
Рис. 7. Деформация капли со временем при / = 4 Гц и е0 = 12.3 см 3/с
Следует отметить, что в рассмотренном эксперименте капля остается на своем месте и не смещается. Это может объясняться тем, что границы капли «зацепляются» за неоднородности на внутренних границах ячейки Хеле-Шоу.
2.2. Осредненный дрейф капли. В рассмотренном выше случае колебания жидкости были относительно слабыми, при этом капля оставалась «прилипшей» к стеклу и совершала колебания. С увеличением интенсивности колебаний (при Q0 = 35.3 см3 /с) капля разрывается на две части. После разрыва капля меньшего размера не изменяет своего положения относительно центра слоя со временем (рис. 8 а), а капля большего размера приобретает подвижность. Подвижная капля изменяет свою форму: степень ее деформации понижается (рис. 8 б). Именно этот момент времени примем за начало отсчета времени (г = 0) при наблюдении за дрейфом капли в пульсирующем радиальном течении.
д
Рис. 8. Положения капли в моменты времени г = 0 (а), 0.88 (б), 2.8 (в), 4.88 (г), 6.64 (д) и 7.64 с (е).
е
Гк, см
5
• 1
4
2
3
1
0
0 2 4 6
t, с
8
Рис. 9. Зависимость расстояния от центра симметрии ячейки до центра капли от времени при / = 4 Гц и = 35.3 см3 /с. Время X соответствует рис. 8
График изменения радиальной координаты капли со временем представлен на рис. 9. По вертикальной оси отложено расстояние от центра полости до центра капли гК (см. рис. 5). Капля совершает поступательные колебания под незначительным углом к радиальной линии. Частота колебаний капли совпадает с частотой пульсаций течения (рис. 9, точки 1). Со временем расстояние до центра кюветы уменьшается, капля дрейфует в направлении центра слоя (см. рис. 8 в-д и точки 2 на рис. 9). Приблизительно за 8 секунд капля достигает кромки штуцера и скрывается под ним (рис. 8 е). Напомним, что положение меньшей капли за это время не изменяется. Характерная форма маленькой капли - в виде сердечка - определяется тем, что в средней своей части капля зацепилась за неоднородность на поверхности стекла, в то время как на обе ее половинки, совершающие свободные колебания, действует та же сила, что и на большую каплю. После «отрыва» меньшей капли, который произошел с задержкой во времени, динамика ее осредненного дрейфа оказалась аналогичной той, которую продемонстрировала капля большего размера.
Огибающая кривая 3 на рис. 9, построенная по средней за период координате капли (точки 2), имеет монотонный нелинейный характер. Это свидетельствует о возрастании скорости осредненного дрейфа капли по мере приближения к центру слоя. Анализ кривой 3 показывает, что капля движется с постоянным ускорением, составляющим приблизительно 0.5 мм/с2. При условии постоянного расхода амплитуда пульсаций скорости радиального течения V0 также линейно возрастает при уменьшении радиальной координаты r. Таким образом, скорость осредненного дрейфа капли также линейно возрастет по мере приближения к центру полости, т.е. определяется положением капли и амплитудой колебаний скорости маловязкой жидкости.
Заключение. Разработана и изготовлена экспериментальная установка, предназначенная для изучения динамики вязкого капельного включения в тонком зазоре (ячейка Хеле-Шоу) при высокочастотном осциллирующем обтекании маловязкой жидкостью. Установка предназначена для экспериментального моделирования поведения вязких жидкостных включений в пористых средах при высокочастотных колебаниях насыщающей пористую среду маловязкой жидкости. Показано, что высокочастотные колебания маловязкой жидкости приводят к различным осредненным эффектам. Во-первых, под действием вибраций вязкое капельное включение меняет свою форму -растягивается в азимутальном направлении. Во-вторых, в осциллирующем потоке свободное капельное включение дрейфует к центру ячейки. Обнаруженный вибрационный эффект связан с высоким контрастом вязкостей жидкостей.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 17-41-590773 р_а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод // Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, 1952. 676 с.
2. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды // М: Гостоптехиздат, 1960. 250 с.
3. Saffman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. R. Soc. Lond. A. 1958. Vol. 245, No. 1242. P. 312-329.
4. Курленя М.В., Сердюков С.В. Интенсификация добычи нефти при низкочастотном вибросейсмическом воздействии // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2004. № 5. С. 29-34.
5. Пеньковский В.И., Корсакова Н.К., Симонов Б.Ф., Савченко А.В. Остаточные нефтенасыщенные зоны продуктивных пластов и способы воздействия на них с целью вовлечения в разработку // Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. 2012. № 5. С. 41-51.
6. Кузнецов О.Л., Симкин Э.М., Чилингар Дж. Физические основы вибрационного и акустического воздействия на нефтяные пласты // М: Мир, 2001. 260 с.
7. Hele-Shaw H.J.S. The flow of water // Nature. Vol. 58. 1898. P. 3436.
8. Kim H. et al. Viscous potential flow analysis of radial fingering in a Hele-Shaw cell // Physics of fluids. 2009. Vol. 21, No. 7. P. 074106.
9. Park C.W., Gorell S., Homsy G.M. Two-phase displacement in Hele-Shaw cells: experiments on viscously driven instabilities // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 141. P. 275-287.
10. Dias E.G., Miranda J.A. Influence of inertia on viscous fingering patterns: Rectangular and radial flows // Physical Review E. 2011. Vol. 83, No. 6. P. 066312.
11. He A., Belmonte A. Inertial effects on viscous fingering in the complex plane // J. Fluid Mech. 2011. Vol. 668. P. 436-445.
12. Martyushev L.M., Bando R.D., Chervontseva E.A. Metastability at the Loss of the Morphological Stability of the Moving Boundary of a Fluid // JETP Letters. 2018. Vol. 108, No. 1. P. 38-43.
13. Miranda J.A., Widom M. Radial fingering in a Hele-Shaw cell: a weakly nonlinear analysis // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. Vol. 120, No. 3-4. P. 315-328.
14. Вяткин А.А. Стенд для изучения осцилляционной динамики гидродинамических систем в каналах сложной формы // Конвективные течения... Вып. 8. Перм. гос. гум.-пед. ун-т. Пермь, 2017. С. 140-149.
EFFECT OF HIGH-FREQUENCY VIBRATIONS OF LIQUID ON VISCOUS DROPLET IN THE HELE-SHOW CELL
I.E. Karpunin1, V.G. Kozlov1, N.V. kozlov2
Abstract. An experimental setup was designed to study the dynamics of viscous drop inclusion in a thin gap (in the Hele-Shaw cell) with a high-frequency oscillating flow of low-viscosity fluid. An axisymmetric cell with a circular lateral boundary is considered, in which a low-viscosity fluid filling a cell performs ax-isymmetric radial oscillations. The facility is intended for experimental modeling of the behavior of viscous fluid inclusions in porous media with high-frequency oscillations of a low-viscosity fluid saturating the porous medium. A method has been developed for recording drop inclusion and studying its temporal dynamics. It was found that high-frequency radial oscillations of a low-viscosity fluid lead to different averaged effects. First, during vibrations, a viscous droplet inclusion changes its shape and stretches in the azimuthal direction, and secondly, during vibrations, free engagement drifts toward the center of the cell. The high viscosity of liquids is decisive in the detected vibration phenomenon.
Keywords: droplet inclusion, viscous fluid, pulsating flow, Hele-Shaw cell, inhomogeneous velocity field, averaged forces
