Влияние упругости на гидродинамические параметры центробежной жидкой пленки. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.135

Н. Х. Зиннатуллин, И. М. Нафиков, Е. И. Кульментьева

ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЦЕНТРОБЕЖНОЙ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ. ЧАСТЬ 1

Ключевые слова: аномалия вязкости, упругость жидкости, толщина центробежной пленки, интегральные соотношения.

Изучено одномерное течение пленки нелинейно-упруго-вязкой жидкости по поверхности криволинейной центробежной насадки. Определены: длина начального участка, толщина пленки в зависимости от органических свойств жидкости и технологических параметров.

Keywords: viscosity anomaly, liquid elasticity, thickness of centrifugal film, integral relations.

One-dimensional flow of the film of nonlinear viscoelastic liquid over the surface of a curvilinear centrifugal cap has been studied. The length of the initial segment and the film thickness have been determined depending on the physical properties of the liquid and technological parameters.

Введение

В ряде отраслей промышленного производства (химической, нефтехимической и др.) широкое применение находят высокоэффективные аппараты центробежного действия, в которых осуществляются процессы сушки и охлаждения распылением, абсорбция, центрифугирование, смешение и т.д. Обрабатываемые в центробежных аппаратах растворы и расплавы высокомолекулярных соединений проявляют в вязко-текучем состоянии целый комплекс нелинейных свойств, и наряду с аномалией вязкости обладают ярко выраженными упругими свойствами.

Достаточно сложной проблемой является выбор реологического уравнения состояния для упруго-вязких жидкостей. Эти уравнения должны удовлетворять некоторым основным принципам инвариантности [1]. Этим требованиям отвечает уравнение жидкости второго порядка Уайта-Метцнера [2,3].

* 1 ст = -р8 + ц эфВ1 + - PiB2,

(1)

где ст - тензор напряжений; В1, В2 - кинематические матрицы, скоростей и ускорений деформации, соответственно; Р1 - коэффициент нормальных напряжений; цэф - эффективная вязкость; р - давление; 5*-единичный тензор.

Как показано в [4] Pi вязкости:

\2

Ц эф

Pi =

Go

пропорционален квадрату

(2)

Значение цэф определяется исходя из «степенного закона» по формуле:

М- эф

= К • Е

n-1

(3)

где К и п - реологические константы жидкости (определяются из кривой течения), Е - интенсивность скоростей сдвига.

В работе [5] были получены общие дифференциальные уравнения движения для нелинейно-упруго-вязкой жидкости, описываемой (1)-(3), в ортогональной криволинейной системе координат.

Одномерное течение нелинейно-упруго-вязкой жидкости.

Рассмотрим одномерное течение нелинейно-упруго-вязкой жидкости по поверхности криволинейной насадки (рис.1). Систему координат выберем таким образом, чтобы границы рассматриваемой насадки входили в число координатных поверхностей. Итак, систему координат принимаем

41= - Ч2=Ф- 43=8.

Рис. 1 - Схема течения жидкости

Для этой системы коэффициенты Ляме определяются как: Н i = 1, Н ф = г, H § = 1. Форма насадки имеет вид поверхности второго порядка вращения и характеризуется через sina, cosa.

Примем следующие допущения: инерционные силы малы; компоненты скорости имеют следующие соотношения wi~w2>>w3; система координат вращается совместно с поверхностью; течение осесимметричное; геометрия течения такова, что qi, q2>> q3; физические параметры (wi, цэф, p) изменяются по q3 много быстрее, чем по qi, q2.

При этих допущениях получено:

pFt + K —

t 58

K2 _5_ G0 5t

5w / Лn 1 5w /

58

58

(4)

\2n—1

5w / | 5w /

58

58

— K2 f Jf 5w t Л

— G0f7 dt JfsgJ

2n

pF8—^58 = 0.

58

Центробежные силы определяются как:

Т7 2

Ft = ю r • sin а ,

2

(5)

F8 = —ю r • cos а

где ю - угловая скорость вращения.

Для решения уравнения (4) используем метод интегральных соотношений. Как указывает автор в [3] для жидкостей типа (1) поля скоростей могут быть определены из решения соответствующей задачи для аномально-вязкой жидкости. Также можно поступить и в случае течений, не являющихся вискозиметрическими, но близких к ним. Это обстоятельство позволяет принять профиль меридиональной скорости в виде:

w t = Ai

1+n

1 —

1--

(6)

Для метода интегральных соотношений правильный выбор профиля скорости имеет решающее значение. Как известно, Ч.Карман интегральные соотношения получил из общей теории механики, из закона количества движения. Второе интегральное соотношение было установлено Л.С. Лейбензоном путем применения закона сохранения энергии к фиксированному элементу жидкости, а В.В.Голубев обобщил эти соотношения. Задаваясь разными значениями К: 0,1,2,3 и т.д. можно получить целый ряд независимых друг от друга соотношений. Соотношение Кармана получим при К=0. Проведя интегрирование уравнения (4) с учетом (6) получим:

d8o dt

K2 A 2n (1 — 4n)

A2 ,4n+1

3Go

8

o

= PFt —-

KAn

8

2n+1

2n

(7)

KA2 (2n — 1) f 1 dr

3Go8on

r dt

Здесь А2 =| 2п +1 |—; Q - объемный расход жид-^ п ) 2гсг

кости.

Соотношение Лейбензона получим при К=1, после интегрирования соотношение принимает вид:

d8

dt

2

K д2п (6n + 1)(2n +1)(—2n) G0 2 (3n + 1)(4n + 1)84n+1

= PFt —

KAn + K2A2n(4n2 — 1) f 1 dr

(8)

82n+1 G084n(4n +1) lrd/

Граничное условие для решения полученных уравнений (7) и (8) имеет вид:

при t = t н : 8 = 8он

(9)

Возникает проблема определения 80н . Очевидно, значение 8 0н должно быть определено за пределами начального участка, когда весь слой пленки жидкости будет вовлечен в центробежное течение. Чтобы определить tн можно воспользоваться решением Гейзли и Чарват для вязкой жидкости [6], заменив, в нем динамическую вязкость ц на Цэфс:

1

(

t н =

pQ2

Y

4л

2.

М- эфсс

(10)

Более поздние исследования позволили уточнить величину t н. Методом неопределенного параметра, разработанного Булатовым А.А. [7], было

t

получено t н8 = . Нами был использован Бу-

латовский результат. Значение 8 0н предлагается определить экспериментальным путем.

Решение уравнений (7) и (8) было проведено методом Рунге-Кутта.

Поскольку соотношения Кармана и Лейбензона были получены исходя из разных законов механики, их можно считать независимыми соотношениями, хотя они описывают один и тот же процесс. Преимущество того или иного подхода может быть определено только экспериментальным путем. Согласно И.П. Гинзбургу [8], полученные уравнения (7) и (8) возможно рассматривать как систему. Следовательно, можно предложить метод расчета, позволяющий получить алгебраическое уравнение относительно толщины пленки жидкости, не привлекая к расчету экспериментальное значение 80н.

Предположим, что

d8o dt

d8

к=o

dt

к=1

тогда из соотношений Кармана и Лейбензона, переходя к безразмерным параметрам, получим уравнение:

A3(11 Jw4cn - w2cn+1 + A4 = o,

A3 =-

4n2 +1

f K2 Л

24n2 + 8n +1

Go

n — 1 3n—2 2n — 1

r

ю

Qn—123n—1

(11)

2n +1

n

23n+1pFt Qn+1

А4 Кю2п+1г3п +2 я п+1 12п +1„ Необходимо отметить, что если принять коэффициент нормальных напряжений Р! равным нулю, то получим выражение для среднего значения меридиональной скорости в виде:

o

n

+

o

+

n

n

11с

_0_ 2тсг

К

1

п+1

2п +1

п п+1

п+1 2п+1

(12)

Полученное выражение (12) полностью совпадает с зависимостью для аномально-вязкой жидкости в случае одномерного течения при а=90° [9]. Это обстоятельство можно считать косвенным доказательством правомерности предлагаемого допущения.

Результаты расчетов гидродинамических параметров

Был проведен анализ полученных уравнений (7), (8) и (11) при широком диапазоне изменений реологических, режимных и конструктивных параметров. Характерный вид для толщины пленки представлен на рис. 2.

0,8 0,6 0,4 0,2

Н- 50)/{5 0н-30к)

/¿С"1

0,2

0,4

0,6 0,8 (гтнЖ-Гн)

Рис. 2 - Изменение относительной толщины пленки по безразмерному радиусу при К=4,2 [Нсп/м2] п=0,52; Go=2,7 [Н/м2]; р=1039 [кг/м3]; ш=105 [с-1]

-5 3 -2

0=4,4-105 [м3/с]; а=90°С; гн=2,5 102 [м] -3

8он=1,06-10 [м]; 1 - по уравнению (7), 2 - по уравнению (8), 3 - по уравнению (11)

Разница 50 при 0 < (г - гн)- гн) < 0,35 , рассчитанных по (7) и (8) не превышает 3-4%, а по (8) и (11) составляет 10%. При рабочих радиусах насадок эта разница мала и стремится к нулю. Разница по толщине пленки вызвана, с одной стороны, принятыми допущениями о незначительности толщины пленки по сравнению с образующей насадки, а с другой -точностью экспериментального определения 5 0н

На рис. 3 представлена зависимость от

технологического параметра А4 для п=0,6 при разных А3. Аз=0 соответствует аномально-вязкой жидкости с нулевой упругостью. Увеличение упругости жидкости (рост А3) ведет к снижению меридиональной скорости и к росту толщины пленки. Вид чаши определяется через Б/. Увеличение п ведет к снижению упругости жидкости и наоборот.

Для расчетов гидродинамических параметров пленочного течения нелинейно-упруго-вязкой жидкости

в поле центробежных сил может быть рекомендована зависимость (11). Точность экспериментального определения 50, лежит обычно в тех же пределах, что и разница 50, определенных по уравнениям (7), (8) и (11).

0.3

0.6

0,4

0.2

/ / V /

4 / / / /у А

/ /л ¡/ХЛ ¡¿г¡У ///

0.2

0.4

06

0.5

А*

Рис. 3 - Зависимость от технологи-

ческого параметра А4 для п=0,6: 1 -

А3=0; 2 - А3=1; 3 - А3=2; 4 - А3=4; 5 - А3=6;----

- для вязкой жидкости

Аналитические зависимости, полученные для течения пленки нелинейно-упруго-вязкой жидкости по открытым поверхностям роторов сложной конфигурации, могут быть использованы для математического моделирования тех же процессов, расчета тех же центробежных аппаратов, для которых предлагалось использовать зависимости, полученные для аномально-вязкой жидкости.

Однако база аномально-вязких жидкостей шире. Нормальные напряжения проявляют, в основном, растворы и расплавы высокомолекулярных соединений.

Физическую основу проявления нормальных напряжений, как правило, связывают с высокоэла-стичностью среды, т.е. с большими упругими деформациями. Обязательным условием появления нормальных напряжений является существование аномалии вязкости. Таким образом, можно утверждать, что к нелинейно-упруго-вязким жидкостям относятся прежде всего растворы и расплавы высокомолекулярных соединений, имеющие гибкие макромолекулы.

Для процессов, которые характеризуются параметрами течения жидкости на самой поверхности ротора (покрытие поверхностей экранов, линз, разистов полимерными материалами, центрифугирование, центробежное литье расплавов полимеров и т.д.) целесообразнее использовать решение с учетом в исходных уравнениях инерционных сил.

Литература

1. Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин Реология полимеров. Химия, Москва, 1977. 438 с.

2. К. Трусделл Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Мир, Москва, 1975. 592 с.

п

3. В.Г. Латвинов Движение нелинейно-вязкой жидкости. Наука, Москва, 1982. 374 с.

4. А.Я. МалкинМеханика полимеров, 3, 506-514 (1971).

5. Н.Х. Зиннатуллин, И.В. Флегентов Труды КХТИ, 48, 140-149 (1976).

6. К. Гейзли, А. Чарват Тепло- и массоперенос, 10, 401-419 (1968).

7. А.А. Булатов, Н.Х. Зиннатуллин, С.Г. Николаев, В сб. Массообменные процессы и аппараты химической технологии. Казань, 1994. С. 97-101.

8. И.П. Гинзбург Теория сопротивления и теплопередачи. ЛТУ, Ленинград, 1970. 375 с.

9. Н.Х. Зиннатуллин, К.Д. Вачагин, Н.В. Тябин Труды КХТИ, 35, 146-153 (1965).

© Н. Х. Зиннатуллин - д-р техн. наук, проф. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, znazif@yandex.ru; И. М. Нафиков - кан. техн. наук, доцент той же кафедры; Е. И. Кульментьева - ст. препод. той же кафедры, elena_kulmenteva@mail .ru.

© N. C. Zinnatullin - doctor of technical science, professor department of processes and devices of chemical technologies KNRTU, znazif@yandex.ru; 1 M. Naficov - assistant professor in the same department; E. 1 Kulmenteva - senior lecturer in the same department, elena_kulmenteva@mail.ru.