Влияние управлящих воздействий в условиях начальной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378.147

ВЛИЯНИЕ УПРАВЛЯЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В УСЛОВИЯХ НАЧАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Тамара Владимировна Мирошникова, Татьяна Евгеньевна Смоленцева Липецкий государственный педагогический университет Предполагаемая рубрика: Интеллектуальные компьютерные обучающие

системы

АННОТАЦИЯ. В работе представлена динамическая система для определения качества обучения с учетом различных параметров. Задачи прогнозирования анализируют неустойчивость или устойчивость систем. На поведение фазовых траекторий динамических систем влияют различные факторы, в том числе и неустойчивость. Выход системы на хаотическое функционирование определяется по поведению автокорреляционной функции. Когда динамическая система имеет аттрактор, возможно определить его размерность и тем самым оценить число степеней свободы системы.

THE SUMMARY. The work presents a dynamic system to assess the quality of training taking into account the different parameters. The problem of forecasting of analyze instability or the stability of the systems. On the behavior of the phase trajectories of dynamical systems is influenced by various factors, including instability. Output of a system in a chaotic functioning is determined by the behavior of autocorrelation function. When the dynamic system has attractor, it is possible to determine its dimension and thereby estimate the number of degrees of freedom of the system.

Ключевые слова: странный аттрактор, динамические системы, фазовые траектории динамических систем, детерминированный хаос.

Keywords: strange attractor, dynamical systems, the phase trajectories of dynamical systems, deterministic chaos

Существует ограниченная область нерегулярных решений, появляющаяся под воздействием формируемого управляющего воздействия, и только некоторые решения могут выходить из этой области. Для таких решений целесообразно использовать теорию качественного анализа нелинейных систем.

Задачи прогнозирования значения параметров изменяющейся во времени динамической системы обязательно анализируют неустойчивость или устойчивость этих систем. На поведение фазовых траекторий динамических систем (детерминированным хаосом) влияют различные факторы, в том числе и неустойчивость. Причем в фазовых пространствах необходимо исследовать предел детерминированной предсказуемости траекторий динамических систем с использованием локальных или глобальных аттракторов. Начнем рассмотрение этой проблемы с общего подхода к исследованию поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве. Под динамической

системой понимаем такую систему, у которой ее состояние изменяется дискретно или непрерывно во времени [2,3].

Выражение (1) определяет изменение состояния динамической системы:

Stx{°) = x(t) (1)

где: x0 = (x1 (0),..., xm (0)) определяет начальное состояние системы в

пространстве состояний,

x(t) состояние системы в дискретные моменты времени t є [t0, tn ].

Обозначим начальное абсолютное непрерывное распределение через Р0 на Rm, с плотностью r(x,0) в начальных данных x0. Во временном интервале t є [t0, tn ] определяется распределение Pt (C ) = P0 (S-C), задающее вероятности для точек x(t), C c Rm, тогда если при t > 0 распределения не изменяются, то решение считается устойчивым, иначе решение неустойчиво.

Теорема о существовании и единственности решения предполагает, что для любых начальных данных x0 є Rm для всех t > 0 начальные данные известны.

По определению Ляпунова условие устойчивости решения, состоит в том, что если по любому положительному числу є, как бы мало оно ни было, можно найти такое положительное число 8, что как только ||x0||<8, то будет

выполняться неравенство ||x(t)||<є для всех t > 0, в противном случае решение неустойчиво[1].

Рассмотрим сферу с некоторым радиусом 4є . Если движение устойчиво,

то для этой сферы должна найтись другая сфера радиуса 48, обладающая следующим свойством.

Изображающая точка M (координаты этой точки определяют отклонения между невозмущенным и возмущенным движением), начав свое движение из любого положения M0, лежащего внутри или на поверхности сферы 8, при своем дальнейшем движении остается всегда внутри сферы є, никогда не достигая ее поверхности. Если же невозмущенное движение неустойчиво, то хотя бы одна траектория изображающей точки M с течением времени пересечет сферу є изнутри наружу при сколь угодно близком положении точки M0 к началу координат.

Практически устойчивость данного невозмущенного движения означает, что при достаточно малых начальных возмущениях 8э возмущенное движение будет сколь угодно мало отличаться от невозмущенного движения. Если же невозмущенное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отходить от него, как бы малы не были начальные возмущения [4].

По Ляпунову устойчивое решение задачи назовем предсказуемым, если 8< 8, где 8. - точность, с которой известны начальные данные, а є -предельно допустимая ошибка в прогнозе траектории, причем все неустойчивые решения будем считать непредсказуемыми, причем допустимая погрешность 8э начальных условий фактически исключает постановку задачи

2

Коши в классических теоремах существования и единственности, доказанных в предположении, что начальные значения х0 известны без всякой погрешности. При ||х0|| < d,, траектории, выходящие из дэ - окрестности начального

состояния, для нас не различимы и следовательно задача Коши не имеет прежнего смысла, так как в качестве начального состояния выступает уже не точка, а некоторая область начальных точек.

В работах А. Пуанкаре отмечалась, что стохастичность вызывается неустойчивостью динамики особенно это зависит от начальных условий, «когда малая ошибка в первых влечет огромную ошибку в последних» [3,4].

В формализованном виде данное условие определяется следующим образом. Пусть х є X, а G - открытое множество, содержащее х. Отображение j обладает существенной зависимостью от начальных условий, если для некоторого d > 0 существует такое целое число n > 0 и такая точка у є G, что d (jn (х), jM( у ))> d[2,5].

Следовательно, неустойчивость растет экспоненциально по t для двух близких начальных точек. В фазовом пространстве нелинейных динамических уравнений появляются странные аттракторы (притягивающие области) возникающие в сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью, которые характеризуются режимом установившихся непериодических колебаний.

Функционирование странного аттрактора существует только в диссипативных системах и будет устойчиво по Пуассону но неустойчиво по Ляпунову.

Пусть y(t) - наблюдаемый сигнал, тогда автокорреляционная функция имеет вид

1 г

C (t) = У (г) У (t+т)dt (2)

¥ Г 0

где:

У (т) = У (t)-У,

- 1 г

у = г J у (t)dt

0

(3)

Для дискретного отображения fl ( у0 ) автокорреляционная функция имеет

вид

1 N

C ( m )= N^ Ут+іУі

N і=0

где:

1 N-1

Уі = Уі- y, у = Nm N £ f (і)( У0)

N і=0

(4)

(5)

3

Для непрерывного отображения корреляционная функция определяет меру корреляции между двумя переменными, разделенными временным интервалом t, а при хаотическом функционировании она экспоненциально убывает. Для дискретного функционирования корреляция стремится к нулю [4].

Для данного случая можно использовать преобразование Фурье y(w) движения y(t) и рассматривать спектр мощности P(w) = |y(w)|2. Если преобразование Фурье спектр имеет нерегулярный характер, тогда y(t)

представляет собой хаотическое движение [5].

Другой метод определения хаотического движения через К-энтропию Колмогорова, которая характеризует среднюю скорость потери информации о поведении динамической системы (если K > 0, то это служит признаком хаоса в динамической системе) и определяется следующим образом. Будем считать,

что Rn динамическая система со странным аттрактором, и пусть y(t), t > 0 определяет траекторию этой системы на аттракторе, которую мы будем рассматривать в дискретные моменты времени jt; j = 1,...,n;t > 0.

Динамическую систему Rn разобьем на ячейки с длиной l. Обозначим через Рчч i совместную вероятность того, что точка у(о) находится в ячейке с

номером i0, точка у(т) в ячейке с номером i1 и т.д. В этом случае средняя

скорость потери информации о функционировании динамической системы определяется по формуле метрической энтропии Реньи:

Ks =-limlimlim-—— ln УPs (6)

S t—0 l—0 N—0 tN S - 1 , i0 ilKin V '

i0 Z1 K ln

В этом случае К-энтропия определяется по временным рядам наблюдений используется соотношение при s = 2

1

K2 =-limlimlim—ln У P2

2 t—0 є—0 N—0 /rfsj . i011 -1j

U\ i0 i1 кin

(7)

Используя формулы Йорка (6) определим через корреляционный интеграл

(8)

1 N (є)

K = limlimlim—ln л>

t—0 є—0 n-

t Сп+1(є)

где:

1 N

Cn(є)» lim777 У Q

■N2

i, j=1

f n-1

є-

У (Уі+k - y j+k):

1 Л

Л 2

V k=0

(9)

Q(z) - функция Хэвисайда, т. е. Q(z) = 1, если z > 0 и Q(z) = 0, если z < 0 .

4

Учитывая то, что К > К2, то значение К2 можно использовать для оценки значения K.

Чтобы определить состояние системы в некоторые моменты времени используется вектор состояния x(k). Состояние системы определяется последовательностью (Q.-). , для которой необходимо учитывать решения на

J 7>U

аттракторе. В этом случае для оценки К-энтропии используются выражения

(7)-(8) для последовательности значений (Qj). при N = m, n = l - количество

J j >U

вычисленных значений Q ■, e = t = At.

Когда фазовое пространство динамической системы бесконечномерно, тогда как аттрактор конечномерен, а для конечномерного фазового пространства размерность аттрактора меньше размерности самого фазового пространства [1,2].

Чтобы определить детерминированный хаос в динамических системах используются следующие методы [3]:

1. Странный аттрактор имеет положительные показатели Ляпунова.

2. При хаотическом режиме в сечении Пуанкаре фазового потока возникает облако точек.

3. Выход системы на хаотический функционирование определяется по поведению автокорреляционной функции.

Когда динамическая система имеет аттрактор возможно определить его размерность и тем самым оценить число степеней свободы системы, если она попала на аттрактор [6]. Определенная размерность аттрактора позволяет определить размерность пространства динамической системы, которое моделирует функционирование этой системы и тем самым оценить параметры исходной системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кононеко А.Ф. Принятие решений в условиях неопределённости / А.Ф. Кононеко, А.Д. Халезов, В.В. Чумаков. - М.: ВЦ АН СССР, 1991. - 196 с.

2. Кузнецов С.П. Динамический хаос.-М.: Физматлит, 2001, - 295с.

3. Кушнир А.Ф., Лапшин В.М. Параметрические методы анализа многомерных временных рядов. М.: ИФЗ, 1986. 291 с.

4. Липаев В.В. Проектирование программных средств. М.: Высшая школа,

1990. 303 с.

5. Малинецкий Г.Г. Новый облик нелинейной динамики // Природа.-2001.-№3.-с.3-12.

6. Юрков Н.К. Интеллектуальные компьютерные обучающие системы. Монография/ Пенза, Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2010, - 304 с.

5