CC BY
60
В. Н. Козлов, И. У. Тросько
УСТОЙЧИВЫЕ РЕЖИМЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ УПРАВЛЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
Данная работа представляет собой обзор работ по хаотическим режимам в системах различного рода. Под хаотическими режимами нами будут пониматься процессы внешней или внутренней синхронизации, многочастотных колебаний, наконец, собственно хаотических колебаний. Ненужный балласт минимален, и вот тут проявляется ряд особенностей.
1. Описания систем всегда являются нелинейными.
2. В линейном приближении они слабо демпфированы (а зачастую даже наблюдается отрицательное демпфирование — за счет особенностей моделируемого явления / процесса или наличия системы управления).
3. В этих системах наблюдается некоторая расплывчатость описания, в том смысле, что некоторые элементы относятся к параметрам системы, а некоторые — к фазовым координатам, но это деление условно и неоднозначно.
Известно, что с уменьшением запасов устойчивости системы, т. е. с уменьшением «способности системы сохранять текущее состояние при наличии внешних возмущений», улучшается ее управляемость (т. е. «возможность перевода системы из одного состояния в другое», причем с минимальными затратами). Однако при этом снижаются ее эксплуатационные качества — проявляется склонность к параметрической неустойчивости, увеличивается «чуткость» к внешним факторам (причем катастрофически, поскольку из одного начального положения возможно управляемое движение, а из другого — нет). Отсюда возникают ограничения на условия применения, запрещенные режимы и прочие эксплуатационные особенности, которые необходимо учитывать при работе с такими системами. Незнание о существовании таких режимов опасно катастрофическими последствиями.
Известные в настоящее время сценарии перехода к хаотическим режимам. Установление в динамической системе хаотического режима движения в результате некоторой последовательности бифуркаций принято называть сценарием установления развития хаоса. Количественные аспекты сценариев перехода к хаосу через квазипериодическое движение можно изучать в рамках ренормализационного анализа, переходя от системы дифференциальных уравнений к дискретному отображению. Однако , после нескольких десятилетий развития нелинейной динамики, были найдены всего три основных сценария перехода к хаосу. Причем все они имеют универсальный характер и распространены как для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных и даже дискретными соотношениями, описывающими динамику систем.
В типичном случае это может происходить путем последовательности бифуркаций удвоения периода предельного цикла, через перемежаемость или разрушение тора (рис. 1).
Перемежаемость, или хаос Помо-Манневиля (1979 г.). Широко распространен механизм возникновения хаотических колебаний (в основе которого лежит сценарий И. Помо и П. Манне -виля), связанный с переходом к хаотическому движению через перемежаемость (рис. 2). При таком движении всплески хаотического движения чередуются (перемежаются) с участками, на которых происходят почти периодические колебания.
В таких системах существует критический параметр дс, причем при д < дс существуют две неподвижные точки, одна из которых устойчива, а другая нет. При д = дс эти точки сливаются в одну, а при д > д исчезают. Это соответствует
Рис. 1. Типичные бифуркации предельного цикла. Здесь а собственное значение в пространстве, определяемом секущей поверхностью
ситуации, когда действительное собственное значение отображения пересекает единичную окружность в точке + 1. При этом перестройка режимов движения в системе представляет собой кризис. Для того, чтобы система, описываемая системой дифференциальных уравнений, могла обладать хаотическим режимом, обусловленным странным аттрактором, число описывающих ее динамических переменных должно быть не менее трех. Если в такой системе перейти к отображению Пуанкаре, то в нем фазовые
х1
траектории будут представлять собой некоторое множество точек, нерегулярным образом заполняющих области секущей поверхности. При сильном сжатии отображение Пуанкаре для многих систем оказывается близким к одномерному, и поведение фазовых траекторий может быть приближенно описано одномерным отображением. Когда отображающая точка такого одномерного отображения долгое время проводит в окрестности начала координат, для динамической системы это означает, что ее поведение
Рис. 2. Типичная временная зависимость динамических переменных xi при переходе к хаосу через перемежаемость
будет почти периодическим. Покинув область с почти периодическим движением, фазовая точка попадает в другую область фазового пространства, характеризующуюся сложной динамикой. Проведя некоторое время там, фазовая точка выбрасывается из нее и вновь попадает в ту область фазового пространства, где происходят почти периодические колебания. При этом фазовая траектория никогда не замыкается и не уходит в бесконечность. Описанный режим с перемежаемостью появляется путем слияния устойчивой и неустойчивой неподвижных точек (через касательную бифуркацию — перемежаемость I рода). Однако возможны варианты — одновременное пересечение двух комплексно-сопряженных собственных значений единичной окружности порождает перемежаемость II рода; при пересечении действительным собственным значением единичной окружности в точке - 1, так что первоначально устойчивая неподвижная точка становится неустойчивой, порождает перемежаемость III рода. Развитие хаоса по этому сценарию наблюдалось и численно, и экспериментально.
Хаос Рюэля-Такенса (1978 г.). Допустим, что в результате потери устойчивости предельным циклом в фазовом пространстве динамической системы родился двумерный тор (рис. 3).
Периодический процесс теряет устойчивость и переходит в режим с двумя частотами ш1 и ш2. Геометрическим образом этого движения служит траектория в виде намотки на двумерном торе. Любую траекторию на поверхности тора можно рассматривать как суперпозицию двух движений: по большой окружности с частотой ш1 и вокруг цилиндра, образующего тор, с частотой ш2. Для решения с двумя частотами, аттрактором является тор Т2. Если ш 2 / ш 1 = m / n рациональное число, то орбиты после нескольких витков на торе замыкаются. С последующим изменением критического параметра д, может произойти потеря его устойчивости и рождение трехмерного тороидального многообразия. По-
ведение системы будет характеризоваться тремя независимыми частотами. Дальнейшее изменение управляющего параметра будет приводить к последовательности бифуркаций, в результате которых будут появляться инвариантные торы все возрастающей размерности.
Рождается устойчивый предельный цикл, т. е. квазипериодический режим исчезает и устанавливается новый периодический режим. Это означает синхронизацию колебаний. Синхронизация есть результат взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение и делает его периодическим. Если же ш 2 / ш 1 = т / п иррациональное число, геометрический образ решения — незамкнутая обмотка на торе. Это квазипериодическое движение.
Возможен и другой вариант. Следующая бифуркация добавляет еще одну частоту. Это тор Т3. Если спиралей много, это похоже на хаос. Но уже после трех бифуркаций появляется странный аттрактор: поведение перестает быть квазипериодическим и реализуется детерминистический хаос.
Удвоение периода, или хаос Фейгенбаума (цепочка бифуркаций удвоения) (1977, 1978 гг.). Сценарий Фейгенбаума отвечает ситуации, когда в результате потери устойчивости исходного цикла в фазовом пространстве рождается цикл удвоенного периода. При дальнейшем увеличении управляющего параметра может снова произойти бифуркация потери устойчивости, в результате чего появится цикл учетверенного (по сравнению с исходным) периода, и так далее. В частности, возможна бесконечная последовательность удвоений периода исходного предельного цикла. Эта последовательность удвоений происходит на конечном интервале изменения управляющего параметра и приводит систему от устойчивого периодического движения к хаотической динамике.
Значения управляющего параметра д = дт, при которых происходит очередная бифуркация
Рис. 3. Рождение двумерного тора из теряющего устойчивость предельного цикла
удвоения, образует сходящуюся последовательность:
lim Vm = V«>
m ^^
Когда ¡¡m = ¡¡^ , предельный цикл достигает бесконечно большого периода, т. е. превращается в незамыкающуюся притягивающую фазовую траекторию, из которой при ¡мm > ¡¡^ формируется странный аттрактор. Динамика системы в этом случае характеризуется сплошным спектром и разбеганием близких фазовых кривых.
Скорость сходимости бесконечной последовательности ¡m определяется универсальной постоянной — числом Фейгенбаума:
lim Vm ~Vm-1 = 5 = 4.6692...
m^ Vm+1 -Vm
На рис. 4 приведен переход к странному аттрактору через последовательность бифуркаций удвоения предельного цикла в системе Ресслера при значениях ¡м = 2,6; 3,5; 4,1; 4,18; 4,23 (см. [3]).
Описанному сценарию присуща универсальность: константа Фейгенбаума б не зависит от конкретного вида динамической системы. Сценарий развития хаоса Фейгенбаума хорошо подтверждается численными исследованиями. Правда, в реальных экспериментах и численных расчетах, где всегда имеются физические шумы или ошибки округления, бесконечную последовательность бифуркаций удвоения наблюдать не удается. Вместо этого, после нескольких бифуркаций удвоения, движение сразу становится хаотическим.
В последнее время обнаружено множество реальных систем, поведение которых в той или иной степени может быть понято с привлечением описанных выше механизмов. Так, в работе [4] был описан механизм возникновения хаотических процессов в распределенной моде-
ли реактора при слабом изменении пространственной формы распределения нейтронного поля. В работе [5], являющейся лишь одной, хотя и достаточно типичной работой по данной тематике из большого потока, рассмотрен механизм возбуждения хаотических колебаний в электроэнергетической системе при вариациях параметров линии передачи. Данный эффект был обнаружен еще в 30-е годы и отмечен в книге А. А. Горева но каких-либо реальных мер противодействия возникающим колебаниям предложено не было. Борьба с ними ограничилась нормированием длин линий передачи, применением конкретных схем расположения проводников, увеличением мощности генераторов и другими пассивными мерами.
Практическое использование явления детерминированного хаоса. Изложим ряд соображений по практическому использованию явления детерминированного хаоса при решении технических задач. Поскольку хаотическая динамика представляет собой движение в некотором ограниченном объеме фазового пространства, сам собой напрашивается подход к улучшению динамических режимов технических объектов/ систем путем преднамеренного создания хаотического режима с желаемыми характеристиками. При этом естественная, присущая объекту/системе изначально, динамика трансформируется в хаотический режим, который, в силу своих особенностей, может быть более приемлем, чем естественная динамика.
Эффект нерегулярности траектории может быть использован с целью снижения нагрузки на детали, находящиеся в механическом контакте, или для снижения средних по времени характеристик (скажем, средней рассеиваемой мощности). Возможен вариант использования хаотического режима для занятия некоторой позиции в пространстве, обеспечивающей пре-
Рис. 5. Переход к странному аттрактору
имущества в дальнейшем. Так, например, в работе [7] предложен метод выбора начальной позиции для перелета с Земли на Луну путем ожидания удачного стечения координат в ходе хаотического движения на орбите у Земли.
Таким способом можно ограничивать амплитуду автоколебаний в системе, которой такие автоколебания присущи (путем создания нелинейной обратной связи) или гасить их (причем, скорее всего с минимальными усилиями — в силу того, что данный процесс весьма чувствителен к параметрам динамической системы, описывающей технологический процесс). Как раз эта процедура каких либо трудностей теоретически не должна вызывать — это обычная задача управления при наличии достаточных ресурсов. Но у хаотических систем есть особенность — их поведение очень плохо предсказуемо. Более того, линейные модели для них применимы в весьма ограниченных рамках. Это резко ограничивает спектр методов управления. Рассмотрим два подхода к управлению хаотическими системами.
Впервые постановка задачи управления существенно нелинейной системой была проведена в [8], использовавшей сценарий создания хаоса для системы Лурье с монотонной нечетной нелинейностью в обратной связи. Суть подхода состоит в выборе полюсов 52, ..., 8п и нулей z¡, z2, ..., передаточной функции линейной части так, чтобы линейная система, замкнутая обратной связью и = ку обладала при всех к, 0 < к < ^ следующими свойствами:
частичной неустойчивостью (т. е. наличием полюсов, как с положительными, так и с отрицательными вещественными частями);
гиперболичностью (отсутствием полюсов на мнимой оси);
диссипацией (сумма вещественных частей полюсов отрицательна);
непотенциальностью (есть полюса с ненулевой мнимой частью);
При этом наличие хаоса устанавливается по теореме Шильникова.
Теорема Шильникова (1965). Рассмотрим [¡2] поток Ф^ в Я3, имеющий в начале координат положение равновесия, для которого одно из собственных значений вещественно и положительно, а два других ю, ю комплексно сопряжены и имеют отрицательные действительные части.
При этом, если |Яе(ю)|<Х , то поток Ф^ допускает такое возмущение Ф^ , которое обладает го-моклинической орбитой у вблизи у, а отображение возврата для у вблизи Ф^ имеет счетное множество подков.
Линеаризация отображения Пуанкаре (ОСУ метод). Возможность преобразования хаотического движения в периодическое за счет внешнего воздействия на систему была обнаружена еще в середине ¡980-х годов, однако появление интереса к управлению хаотическими системами произошло позже, после публикации работы [9]. В этой работе были высказаны две ключевые идеи: использование при синтезе регулятора дискретной модели системы, основанной на линеаризации отображения Пуанкаре;
использование свойства рекуррентности хаотических траекторий и применение управляющего воздействия только в те моменты времени, когда траектория возвращается в некоторую окрестность требуемого состояния заданной орбиты.
Обратная связь с запаздыванием (метод Пира-гаса). Метод [¡0, ¡¡] был предложен в ¡992 г. в про -цессе решения задачи стабилизации неустойчивой т-периодической орбиты нелинейной системы с помощью закона обратной связи вида
и (г) = К (х (г)- х ( -т)
где К — коэффициент передачи, а т — время запаздывания. Если т равно периоду существующего периодического решения х(1;) уравнения исходной модели системы, то при и = 0 и решении уравнения замкнутой системы, начинающегося на орбите Г = {х($} так и остается на этой орбите для всех г > 0 . Удивительным однако оказывается тот факт, что может сходиться к Г, даже если начальная точка траектории не находится на Г. Несмотря на простой вид алгоритма управления, предложенного Пирагасом, его аналитическое исследование представляет значительные трудности.
Математически два приведенных выше подхода базируются на леммах Пью и Аносова, сформулированных ниже. С целью увеличения строгости теории, следуя [¡], введем ряд определений.
Определение 1. Замкнутое множество О.^Яп называется аттрактором системы, если суще-
ствует подмножество П0 сП открытое и такое, что все траектории системы, начинающиеся в П0 , определены для всех t > 0 и стремятся к П при t ^ Никакое собственное подмножество П этим свойством не обладает.
Определение 2. Аттрактор называется хаотическим, если он ограничен и любая начинающаяся на нем траектория неустойчива по Ляпунову.
Определение 3. Система называется хаотической, если у нее существует хотя бы один хаотический аттрактор.
Неустойчивость по Ляпунову характеризует основное свойство хаотических колебаний, называемое «сверхчувствительностью» от начальных условий — любые две сколь угодно близкие траектории обязательно удаляются друг от друга на конечное расстояние. Для управления существенное значение имеет свойство траекторий, называемое «рекуррентностью»: со временем эти траектории попадают в сколь угодно малую окрестность своего положения в прошлом.
Определение 4. Функция х: Я1 ^ Яп называется рекуррентной, если при любом е > 0 существует такое Те > 0, что для любого t > 0 имеется Т^, е), такое, что 0 < Т(^ е) < Те что ||х^ + Т^, е)) — х(01 < е.
Такие траектории обладают двумя важными свойствами, выражаемыми леммами С. С. Пью и Д. В. Аносова.
Лемма С. С. Пью [2]. Пусть х(), t > 0 рекуррентная траектория системы обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей гладкую правую часть ¥(х). Тогда для любого е > 0 имеется гладкая функция Ф(х), такая что ||ф (х)|| +\\БФ (х)| <8
и х^) решение системы
§ = Р (х ) + Ф (х)
с тем же начальным условием х(0) = х(0) является периодическим.
Лемма Д. В. Аносова [6]. Пусть х(), t > 0 рекуррентная траектория, имеющая гладкую правую часть ¥(х). Тогда для любого е > 0 имеется
х*, такое, что х - х() <8 и решение х^) с начальным условием х(0) = х* является периодическим.
Эти леммы показывают, что хаотический аттрактор является замыканием всех содержащихся в нем периодических траекторий, что следует из сформулированного в 1927 г. Биркго-фом следующего критерия рекуррентности.
Теорема Биркгофа. Любая траектория, принадлежащая компактному минимальному инвариантному множеству, является рекуррентной. Любое компактное инвариантное минимальное множество является замыканием некоторой рекуррентной траектории.
Из теоремы Биркгофа непосредственно следует, что любое решение, начинающееся из своего ш-предельного множества является рекуррентным. При выполнении дополнительного предположения о том, что ш-предельное множество хф является аттрактором, следует, что любая хаотическая траектория, начинающаяся в его ш-предельном множестве рекуррентна и, следовательно, может быть приведена к периодической траектории путем возмущения правой части уравнений, описывающего систему или изменения начальных условий внутри малой окрестности хаотического режима.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Андриевский Б. Р. Управление хаосом: методы и приложение. Ч. I. Методы. _Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. — М., 2003.
2. Charles C. Pugh. An Improved Closing Lemma and a General Density Theorem // American Journal of Mathematics, 89(4): 1010-1021, 1967.
3. Лоскутов А. Ю. Основы теории сложных систем /_А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. — М.: Институт компьютерных исследований, 2007.
4. Постников Н. С. Импульсный хаос в ядерных реакторах и кусочно-линейных системах / Н. С. Пост -ников // Математическое моделирование и оптимальное управление. — Новгород, 2001.
5. Harb A. M., Widyan M. S. Modern nonlinear Theory As applied to SSR of the IEEE second Benchmark Model // Bologna PowerTech 2003 Conference. — Bologna, 2003.
6. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кри-
визны / Д. В. Аносов // Тр. матем. инст. им. В. А. Сте-клова АН СССР. Т. 90. 1967.
7. Erik M. Bollt, James D. Meiss Targeting chaotic orbit to the Moon through recurrence // Physics Letters A 204 (1995) 373-378.
8. Vanecek A., Ctlikovsky S. Chaos synthesis via root locus // IEEE Trans. Circ. Sysy. V. 41. - 1994. - P. 5960.
9. Ott E., Grebogi C., Yorke J. Controlling chaos // Phys. Lett. V. 64. - 1990. - P. 1196-1199.
10. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett.A. V. 170. — 1992. — P. 421-428.
11. Pyragas K. Control of chaos via an unstable delayed feedback controller // Phys. Rev. Lett. A. V. 86. — 2001. — P. 265-2268.
