CC BY
18
УДК 539.3, 51-72
Влияние размера наноструктур на параметры ротационных полей, инициируемых внешним сжимающим напряжением
И.Ф. Головнев1, Е.И. Головнева1, Л.А. Мержиевский2
1 Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 2 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Данная статья является частью цикла работ, посвященных изучению возникновения и распространения вихревых структур в твердых телах с помощью метода молекулярной динамики. Дана трактовка этому явлению с точки зрения самоорганизации структуры. Авторами исследовано влияние размера структуры на образование ротационных полей и показано, что их появление не является следствием наноразмерной малости образца. При этом показано влияние поперечного размера наноструктуры на энергию ротационного поля.
Ключевые слова: наноструктура, ротационная волна, влияние размера, ударное сжатие, молекулярно-динамическое моделирование
Effect of nanostructure size on parameters of rotational fields induced by external compressive stress
I.F. Golovnev1, E.I. Golovneva1, and L.A. Merzhievskii2
1 Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 2 Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
This paper continues a series of studies on the formation and development of vortex structures in solids using the molecular dynamic method. This phenomenon is interpreted from the viewpoint of structural self-organization. The effect of the structure size on the formation of rotational fields has been studied to show that their appearance is not a consequence of the specimen nanosize. It is shown that the lateral nanostructure size influences the rotational field energy.
Keywords: nanostructure, rotational wave, size effect, impact compression, molecular dynamics simulation
1. Введение
В работе [1] при исследовании явления самоорганизации в наноструктурах при ударном сжатии было обнаружено, что, начиная с определенных значений внешней нагрузки, в структуре формируется ротационное поле, аналогичное турбулентности в газах и жидкостях. Расчеты были проведены для наноразмерных кристаллов в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами 50x5x5 кристаллических ячеек вдоль осейX, Y, Zсоответственно. При этом возник естественный вопрос, не является ли данное явление следствием относительно большого числа поверхностных атомов по сравнению с числом объемных. В связи с этим настоящая работа
посвящена исследованию влияния размеров кристаллов на формирование ротационных полей.
Следует отметить, что исследованию возникновения ротационных полей в твердотельных наноструктурах посвящено единичное количество работ. Даже в работах [2-6], направленных на изучение деформаций, повреждения и разрушения твердых тел, исследование развития трещин, не встречаются упоминания о ротационных полях.
Можно выделить лишь небольшую группу авторов, которые исследуют данное явление в твердых телах. В работе [7] показано, что эти образования кардинально влияют на все процессы в твердом теле. Аналитическая
© Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Мержиевский Л.А., 2016
теория нелинейных волн структурных трансформаций развита в работах [8-10]. Согласно выводам работы [7], управляющим параметром нелинейных волн локальных структурных трансформаций является локальная кривизна в сильнонеравновесной структуре. Другими словами, распространение нелинейных волн локализованного пластического течения недислокационной природы является трансляционно-ротационным процессом. Экспериментальная проверка [11] этого положения при одноосном растяжении плоских образцов металлических материалов с наноструктурированными поверхностными слоями подтвердила предсказания нелинейной волновой теории.
В связи с этим в работах [12-14] были проведены численные исследования этих процессов на микроуровне для случая внешнего сжимающего напряжения, действующего на наноструктуру в течение определенного времени.
Если же говорить про вопрос, поднятый в начале данной статьи, а именно про исследование влияния размеров моделируемой системы на полученные результаты расчетов, то в ряде работ [15-26] в большей или меньшей степени уделено внимание исследованию влияния размеров системы на разрушение (величина критического значения напряжения, распространение трещин, образование пор). Однако следует отметить, что ни в одной из работ не идет речь об явлении возникновения ротационных полей в твердом теле.
2. Физическая система и методика расчета
Исследование влияния размеров наноструктур на ударно-волновые процессы, вызванные компрессионным воздействием, проводились для наноструктур в форме прямоугольных параллелепипедов с числом кристаллических ячеек вдоль оси X равным 50. В поперечном сечении (в плоскости УТ) размеры были 5x5, 10x10 и 15x15 кристаллических ячеек. Для этих размеров доля поверхностных атомов составляла 34, 19 и 14 % соответственно. Сжимающее напряжение прикладывалось к левой торцевой грани, а боковые стороны и правая грань были свободными. Начальная температура наноструктур была практически равной нулю (Т ~ ~ 10-6 К). Начальные данные для координат и импульсов атомов системы находились с помощью метода искусственной вязкости [27]. Ниже рассмотрен случай внешнего напряжения равного 4 ГПа, действующего в течение 6 пс. Временной интервал выбран с учетом того, что упругая волна к этому моменту достигает свободной границы и отражение еще не началось.
Для расчета использовалась численная схема, известная как скоростная модификация Верле. Шаг по времени был равен 10-16 с, что на порядок меньше обычно используемого в расчетах. Список Верле обновлялся
каждые 200 шагов по времени, радиус обрезания такого списка был больше радиуса обрезания потенциала на 0.3 нм. Все это позволило уменьшить численную погрешность по энергии до 10-6 % на расчетном временном интервале порядка 500пс.
Для того чтобы найти распределение искомых характеристик в пространстве, использовались неподвижные расчетные ячейки, ограниченные плоскостями, перпендикулярными оси X, вдоль которой действует сжимающее напряжение. Этот прием отличается от осреднения по атомным плоскостям тем, что позволяет проводить расчеты в случае разрушения атомных плоскостей и перемешивания атомов.
Для расчета распределения в пространстве моментов импульса использовался прием, описанный в работах [1, 14]. Все пространство разбивалось на расчетные ячейки в форме прямоугольных параллелепипедов с длиной ребра в основании, равной половине размера кристаллической ячейки. Для определения величины моментов в ячейке вдоль определенной оси боковые ребра этих ячеек располагались параллельно этим осям. Главное отличие от работ [1, 14] состоит в том, что длина расчетных ячеек вдоль осей У и Т в 3 раза пре-
и
Рис. 1. Расположение расчетных ячеек (мезообъемов) для исследования моментов импульса вдоль осей X (а), У (б), Т (в)
вышала размеры наноструктуры вдоль этих осей. Это позволило автоматически сохранять атомы при расширении структуры в плоскости, перпендикулярной оси сжатия, в настоящем случае оси X. В случае расчета моментов вдоль оси X боковые ребра имели длину равную пяти кристаллическим ячейкам. На рис. 1 приведен пример ориентации расчетных ячеек для наноструктуры с размером поперечного сечения 5x5 кристаллических ячеек. Момент импульса в ячейках рассчитывался по формулам
mx = S ((yi - Ус )Pzi - (zi - zc ) Pyi %
i£c
M<Y = S ((zi - zc)Pxi - (xi - xc)PziX 0)
Шс
MZ = S ((x- xc) Pyi- ( yi- Ус) Pxi X
i^c
где суммирование ведется по атомам, находящимся в расчетной ячейке; xi, yi, zi и Pxi, Pyi, Pzi — координаты и компоненты импульса i-го атома; xc, yc, zc — коор-
1а
«ыуькмммммммк 11
-...............
' rW«»VMiVïï«v
1-1-1-г
4 8 12 16 Х,нм
4 8 12 16 Х,нм
Z, нм
4 8 12 16 Х,нм
Z, нм 2.01.51.00.50.00.0 0.5 1.0 1.5 Г, нм
Z, нм 4 -
3 -21 -0 -
0 1 2 3 Г, нм
Z, нм _
4 -2 -0 -
0 2 4 Г, нм
•»•рчч S %
7Л
N ♦ 1 » « I 2 i ♦ /
ч % 4 \ f / * s
/ // '# f I ( \ % \
iiijii vvacK»ooe««v4\ \ * i •»ааааники!«' к-с-% -ч s
я ш
4 8 12 16 Х,нм
Рис. 2. Расположение атомов в плоскости XZ (а, в, д, ж), YZ (б, г, е). Момент времени 6 (а-е), 10 пс (ж). Поперечный размер 5 (а, б), 10 (в, г), 15 кристаллических ячеек (д-ж)
Рис. 3. Зависимость скорости центров масс первой атомной плоскости (1), всей структуры (2), последней атомной плоскости (3) от времени для структур с поперечным размером 5 (а) и 15 кристаллических ячеек (б)
динаты пересечения оси симметрии расчетной ячейки, проходящей через центр основания параллелепипеда, с одной из плоскостей ХУ, ХТ или УТ. Для нахождения энергии вращательного движения атомов в расчетной ячейке использовались соотношения аналитической механики для системы материальных точек:
ERx = (MX )2/( 2IX),
ICX = Е m(( yi- Ус)2 +(z- zc)2)
EÍy = (MCY )V(2IY),
Iy = Е m((X - Xc)2 +(Zi - Zc)2),
(2)
Е^ = М )7(21С),
1<С = Е т((X - хс)2 + (У1 - Ус)2 )-
& С
Для нахождения полной вращательной энергии суммировались энергии отдельных расчетных ячеек:
Екх = ЕЕкх> еяу = ЕЕш> Еш = ЕЕш> (3)
ERt = ERX + ERY + ERZ ■
(4)
Для дальнейшего физического анализа необходимо определить энергию, приходящуюся на один атом. За основу берется усреднение по отдельной расчетной ячейке. Для нее в каждый момент известны каждая составляющая энергии и полное количество атомов в ячейке Nc. Тогда можно ввести такую характеристику, как удельная вращательная энергия ячейки, соответствующая определенной компоненте момента импульса, приходящейся на один атом:
ЕКХа = ERx/Nc , Е<кг& = Е<ку^е ,
(5)
ERZa = ERz/Nc
ERta = ERXa + ERYa + ERZa ■
(6)
Подробное описание физической системы и численного расчета приведены в работе [1], логическим продолжением которой является настоящая статья.
3. Макрохарактеристики наноструктур
На рис. 2, а-е приведены картины расположения атомов в плоскостях XZ и YZ в момент времени 6 пс, когда упругая волна доходит до свободной границы. Внешнее напряжение, равное 4 ГПа, действует в течение 6 пс. Для наноструктур с размерами 10 и 15 поперечных ячеек передний фронт трансформационной волны заметно отстал от случая с поперечным размером 5 ячеек. В связи с этим были проведены дополнительные исследования для момента времени 10 пс (рис. 2, ж), когда отражение от свободной границы уже началось, но отраженная волна еще не взаимодействует с волной трансформационных дефектов. Картина расположения атомов в плоскости XZ показала, что к этому моменту времени сформировалась устойчивая бочкообразная форма для размеров 10 и 15 ячеек. Расположение атомов в поперечном сечении качественно совпадает для всех размеров. Необходимо подчеркнуть высокую симметрию расположения атомов во всех случаях.
Проведем сравнение характеристик, которые не должны зависеть от поперечного размера. Иллюстрацию будем проводить для размеров 5, 10 и 15 ячеек в интервале времени до 6 пс, когда отражение от свободной границы еще не началось.
Проведены исследования влияния поперечного размера наноструктуры на координаты и скорости центра масс первой атомной плоскости от времени. Результаты
t, ПС
Рис. 4. Зависимость доли полной энергии, переходящей во внутреннюю энергию, от времени. Поперечные размеры 5 (1), 10 (2), 15 ячеек (3)
Рис. 5. Зависимость скорости центров масс в расчетных ячейках от координаты. Момент времени 6 (а), 10 пс (б). Поперечные размеры 5 (1), 10 (2), 15 ячеек (3)
для всех трех размеров практически совпадают, т.е. поперечные размеры системы оказывают незначительное влияние на эти две характеристики.
Достаточно важную информацию дает сопоставление скоростей центров масс первой и последней атомных плоскостей, а также центра масс всей структуры (рис. 3). Размер структуры очень сильно влияет на процесс отражения волны от свободной поверхности и на движение торцевых граней после прекращения воздействия. Не менее интересна доля полной энергии, переходящая во внутреннюю энергию системы (рис. 4). С увеличением размера доля тепловой энергии уменьшается, а доля кинетической энергии центра масс увеличивается.
чет этих характеристик для размеров 5, 10 и 15 ячеек в моменты времени 6 и 10 пс (рис. 5).
В момент времени 6 пс распределения скоростей для поперечных размеров 5 и 10 кристаллических ячеек очень близки. Имеется сформировавшаяся область с постоянной массовой скоростью с точностью до флук-туаций. Фронт волны трансформационных дефектов четко выражен. Перед фронтом распределение скоростей имеет немонотонный характер с ярко выраженным минимумом. Отличие состоит в том, что для структуры с размером 5 ячеек этот минимум отрицателен, т.е. вещество в этой точке движется навстречу волне, а для размера 10 ячеек — скорость в точке минимума положи-
4. Мезохарактеристики наноструктур
Для анализа распределения термомеханических характеристик по пространству наиболее удобна система неподвижных расчетных ячеек, описанных выше. В работах [1, 14] показано, что наиболее важными характеристиками, приводящими к выводу о существовании ротационных полей, являются скорости центров масс атомов в ячейках и их температура. Ниже приведен рас-
Рис. 6. Зависимость температуры в расчетных ячейках от координаты. Момент времени 6 пс. Поперечные размеры 5 (1), 10 (2), 15 ячеек (3)
МУ7, 10-34 кг • м2/с
200 -
-200-
16 X, нм
Му77, 10-34 кг 200
м2/с
100 -
-100
-200
Рис. 7. Распределение моментов импульса МТ2 в пространстве. Му — черные кружки, МТ — серые точки. Размер структуры 5 ячеек, момент времени 6 (а), 10 пс (б)
ERt, зДж 20 000
15 000
10 000
5000
0
0 2 4 6 8 г, пс
Рис. 8. Зависимость полной энергии ротационной волны от времени. Поперечные размеры 5 (1 ), 10 (2), 15 ячеек (3)
тельна. Для структуры с размером 15 ячеек распределение скоростей от первой атомной плоскости до последней примерно линейное.
В момент времени 10 пс волна трансформационных дефектов сформировалась для всех размеров. Массовая скорость за фронтом волны уменьшается с увеличением поперечного размера структур. В этот момент времени идет отражение от свободной границы. Однако отраженная волна еще не взаимодействует с волной трансформационных дефектов, что позволяет рассматривать саму волну.
Распределение температуры в пространстве (рис. 6) указывает на формирование фронта трансформацион-
Еша, зДж/атом
200
100 0
0 2 4 6 8 г, пс
60040020000 2 4 6 8 г, пс
Рис. 9. Зависимость энергии ротационной волны, приходящейся на один атом, с моментами импульса параллельными оси X (а) и У (б) от времени. Поперечные размеры 5 (1), 10 (2), 15 ячеек (3)
ных дефектов для структур всех размеров. Однако с увеличением размера сам фронт становится более пологим.
5. Влияние размера наноструктуры на ротационные поля
Рассмотрим распределение вихрей вдоль оси сжатия с моментами импульса, параллельными осям У (черные кружки) и Т (серые точки) (рис. 7). Единица измерения момента импульса 10-34 кг • м2/с.
Для структуры с размером 5 кристаллических ячеек (рис. 7) значения моментов вращения по осям У и Т совпадают между собой и до момента прихода упругой волны к свободной границе, и в процессе отражения от нее. Во всем рассматриваемом интервале имеется симметрия относительно оси X, или, другими словами, сумма моментов в расчетных ячейках при фиксированной координате х равна нулю.
При больших размерах структур (10 и 15 кристаллических ячеек) эти свойства сохраняются только до прихода упругой волны к свободной границе (до момента времени 6 пс). Далее наблюдается незначительное отклонение значений моментов вдоль осей У и Т и от строгой симметрии (с момента времени 10 пс).
Распределение моментов импульса, параллельных оси X, до начала отражения упругой волны от свободной границы обладает теми же свойствами симметрии относительно оси X (сумма моментов в расчетных ячейках при фиксированной координате х равна нулю). Далее эта симметрия слабо нарушается.
Представляет интерес зависимость полной энергии ротационного движения атомов от времени в интервале от начала внешнего воздействия до начала взаимодействия волны, отраженной от свободной границы (рис. 8, 10-14 эрг = 10-21Дж = 1 зДж).
К моменту прихода упругой волны к свободной границе увеличение поперечного размера в определенное число раз приводит примерно к такому же увеличению
ЕШа 1600
1200
800
400
0
0 2 4 6 8 г, пс
Рис. 10. Зависимость полной энергии ротационной волны, приходящейся на один атом, от времени. Поперечные размеры 5 (1), 10 (2), 15 ячеек (3)
зДж/атом
зДж/атом
полной энергии ротационного поля (увеличение в 2 и 3 раза). Однако в структурах большего размера во вращательном движении принимает участие большее количество атомов. В связи с этим представляет интерес сравнение значений ротационной энергии, приходящихся на один атом (рис. 9).
Удельные значения ротационных энергий для вращений вокруг осей Y и Z очень близки и слабо зависят от размеров структур (рис. 9, б). Противоположный эффект наблюдается для ротационных полей с направлением моментов импульса вдоль осиX(рис. 9, а). Энергия поля таких вихрей резко возрастает с ростом поперечного размера системы. Увеличение поперечного размера структуры в 2 и 3 раза приводит к росту энергии ротационной волны ERXa на один атом в 12 и 50 раз соответственно.
Проведем сравнение удельных значений полной ротационной энергии (рис. 10). Так же как и для ротационных энергий для вращений вокруг осей Y и Z, они очень близки и слабо зависят от размеров структур. Значит, удельная полная ротационная энергия может являться универсальной характеристикой наноразмерного кристалла (форма, вещество и т.п.).
6. Заключение
В результате расчетов показано, что поперечные размеры наноструктур оказывают влияние на ударно-волновые процессы, вызванные одноосным компрессионным воздействием. Увеличение размеров структур приводит к увеличению интенсивности формирования ротационных полей и к относительному увеличению энергии ротационного поля с моментами вдоль оси X. Это можно рассматривать как формирование (открытие) вращательной степени свободы вдоль оси сжатия наноструктуры.
До момента прихода упругой волны к свободной границе моменты вращения в расчетных ячейках по осям Y, Z, перпендикулярным направлению ударного сжатия, точно совпадают между собой и имеется симметрия для всех компонент моментов импульса в расчетных ячейках относительно оси X (или сумма моментов в расчетных ячейках при фиксированной координате x равна нулю). Полная удельная энергия ротационного движения (энергия, приходящаяся на один атом) слабо зависит от размеров.
Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 1601-00468.
Литература
1. Golovnev I.F., Golovneva E.I., Fomin V.M. Molecular-dynamics analysis of the rotary field formation in the nanostructure during stretching at a constant deformation velocity // Comput. Mater. Sci. - 2015. -V. 110. - P. 302-307. - doi 10.1016/j.commatsci.2015.08.012.
2. Eidel B., Hartmaier A., Gumbsch P. Atomistic simulation methods and their application on fracture // Multiscale Modelling of Plasticity and Fracture by Means of Dislocation Mechanics. - CISM International Centre for Mechanical Sciences, 2010. - V. 522. - P. 1-57.
3. ZhangL.-Y., Li Y., Cao Y.-P., FengX.-Q., Gao H. A numerical method for simulating nonlinear mechanical responses of tensegrity structures under large deformations // J. Appl. Mech. - 2013. - V. 80. - No. 6. -Art. No. 061018. doi 10.1115/1.4023977.
4. http://www.engin.brown.edu/Faculty/gao/gaogroup/publications.htmL
5. Huang D., Wang M, Lu G. Continuum fracture analysis and molecular dynamic study on crack initiation and propagation in nanofflms // J. Nanomaterials. - 2014. - V. 2014. - Article ID 732434. - doi 10.1155/2014/732434.
6. Ravi-Chandar K. Dynamic Fracture. - Oxford: Elsevier, 2004. - 219 p.
7. Панин B.E., Егорушкин B.E. Солитоны кривизны как обобщенные
волновые структурные носители пластической деформации и разрушения // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 7-26.
8. Егорушкин B.E., Панин B.E., Саеушкин E.B., Хон Ю.А. Сильновозбужденные состояния в кристаллах // Изв. вузов. Физика. -1987. - Т. 30. - № 1. - С. 9-33.
9. Korteveg D.J., de Vries F. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. - 1895. - V. 39. - P. 422-443.
10. Eгорушкин B.E. Динамика пластической деформации. Волны локализованной пластической деформации в твердых телах // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 19-41.
11. Panin V.E., Egorushkin V.E., Panin A.V. Nonlinear wave processes in a deformable solid treated as a hierarchically organized system // Physics-Uspekhi. - 2012. - V. 55. - No. 12. - P. 1260-1267.
12. Голоенее И.Ф., Голоенееа E.K, Мержиееский Л.А., Фомин B.M. Генерация дефектов как явление самоорганизации структуры под влиянием внешних нагрузок // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№ 3. - С. 35-43.
13. Golovnev I.F., Golovneva E.I., Merzhievsky L.A. Modeling of nano-crystal structure transformation under shock loading // The News of Altai State University. - 2014. - V. 1. - No. 1(81). - P. 40-42. - doi 10.14258/izvasu(2014)1.1-08.
14. Голоенее И.Ф., Голоенееа E.И., Мержиееский Л.А., Фомин B.M., Панин B.E. Молекулярно-динамическое исследование кластерной структуры и свойств ротационной волны в твердотельных наноструктурах // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 4. - C. 41-48.
15. Zhuo X.R., Beom H. G. Size-dependent fracture properties of cracked silicon nanofilms // Mater. Sci. Eng. A. - 2015. - V. 636. - P. 470475. - doi 10.1016/j.msea.2015.04.015.
16. Sadeghian H., Goosen J.F.L., Bossche A., Thijsse B.J., van Keulen F. Effects of size and surface on the elasticity of silicon nanoplates: Molecular dynamics and semi-continuum approaches // Thin Solid Films. - 2011. - V. 520. - No. 1. - P. 391-399. - doi 10.1016/ j.tsf.2011.06.049.
17. Huang D., Qiao P. Mechanical behavior and size sensitivity of nanocrystalline nickel wires using molecular dynamics simulation // J. Aerospace Eng. - 2011. - V. 24. - No. 2. - P. 147-153. - doi 10.1061/ (ASCE)AS.1943-5525.0000006.
18. Tang T., Kim S., Horstemeyer M. F., Wang P. Atomistic modeling of crack growth in magnesium single crystal // Eng. Fract. Mech. -2011. -V. 78. - No. 1. - P. 191-201. - doi 10.1016/j.engfracmech.-2010.11.009.
19. Tang T., Kim S., Horstemeyer M. F., Wang P. A Molecular Dynamics Study of Fracture Behavior in Magnesium Single Crystal // Magnesium Technology Series. Conference on Magnesium Technology held during TMS 140th Annual Meeting and Exhibition, 2011. - P. 349355.
20. Tang T., Kim S., Horstemeyer M.F. Molecular dynamics simulations of void growth and coalescence in single crystal magnesium // Acta Mater. - 2010. - V. 58. - No. 14. - P. 4742-4759. - doi 10.1016/ j.actamat.2010.05.011.
21. Sadeghian H., Yang Chung-Kai, Goosen J.F.L., Bossche A., Staufer U., French P.J., van Keulen F. Effects of size and defects on the
elasticity of silicon nanocantilevers // J. Micromech. Microeng. 20th Micromechanics Eur. Workshop (MME 09). - 2010. - V. 20. - No. 6. -Article No. 064012. doi 10.1088/0960-1317/20/6/064012.
22. Sadeghian H., Goosen J. F. L., Bossche A., Thijsse B.J, van Keulen F. Size-Dependent Elastic Behavior of Silicon Nanofilms: Molecular Dynamics Study // IMECE 2009: Proc. the ASME Int. Mechanical Engineering Congress and Exposition. - 2010. - V. 12. - P. 151-156.
23. I-Ling C., Yu-Chiao C. Is the molecular statics method suitable for the study of nanomaterials? A study case of nanowires // Nanotech-nology. - V. 18. - No. 31. - Article No. 315701. - doi 10.1088/09574484/18/31/315701.
24. Golovnev I.F., Golovneva E.I., Fomin V.M. The influence of a nano-crystal size on the results of molecular-dynamics modeling // Comput.
Mater. Sci. - 2006. - V. 36. - P. 176-179. - doi 10.1016/j.commat-sci.2004.12.082.
25. Potirniche G.P., Horstemeyer M.F., Wagner G.J., Gullett P.M. A molecular dynamics study of void growth and coalescence in single crystal nickel // Int. J. Plast. - 2006. - V. 22. - No. 2. - P. 257-278. -doi 10.1016/j.ijplas.2005.02.001.
26. Wu H.A., Soh A.K., Wang X.X., Sun Z.H. Strength and Fracture of Single Crystal Metal Nanowire // Advances in Fracture and Failure Prevention. Conf. Book Ser. Key Engineering Materials / Ed. by K. Kishimoto et al. - 2004. - V. 261-263. - P. 33-38.
27. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Моделирование квазистатических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6 - № 6. - С. 5-10.
Поступила в редакцию 04.03.2016 г.
Сведения об авторах
Головнев Игорь Федорович, к.ф.-м.н., снс, снс ИТПМ СО РАН, golovnev@itam.nsc.ru Головнева Елена Игоревна, к.ф.-м.н., снс ИТПМ СО РАН, elena@itam.nsc.ru Мержиевский Лев Алексеевич, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, merzh@hydro.nsc.ru
