CC BY
38
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 116-121 Механика
УДК 539.3
Влияние положения сферической полости в упругом шаре на концентрацию напряжений *
В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, М. Р. Рыбакова, К. Ю. Куликова
Аннотация. Метод граничных состояний (МГС) развит на класс задач теории упругости для ограниченного тела с полостью. Использование решения Аржаных-Слободянского для внешности полости наряду с таковым для компактного тела позволило эффективно провести анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) тела, содержащего сферическую полость и нагруженного внешним давлением. Изучено влияние расположения полости на концентрацию напряжений в теле.
Ключевые слова: решение Аржаных-Слободянского, метод граничных состояний, двусвязное тело, полость, шар.
Полость в упругом теле является распространенным концентратором напряжений. Изменение ее дислокации приводит к перераспределению напряжений и сказывается на коэффициентах их концентрации, поэтому исследование взаимосвязи параметра, отвечающего за дислокацию, со значением коэффициента концентрации представляет существенный интерес для «прочнистов». Ниже исследованы метаморфозы, происходящие с полем упругого состояния шара, вызванные варьированием положения сферической полости вплоть до выхода на границу.
1. Концепция состояний в теории упругости
Основные положения теории упругости однородного изотропного тела заключены в соотношениях Коши, обобщенном законе Гука и уравнениях равновесия
= 1/2 К. + и3,г) ,
— \05ij + , в — £кк,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97505).
Стад = О,
где Л, ^ — константы Ламе, в - объемная деформация, щ — компоненты вектора перемещений, егз — компоненты тензора деформации, о^ — компоненты тензора напряжений.
Система определяющих соотношений (1) эквивалентна уравнениям Ламе
№'1,3 3 + (Л + ¿)из,зг = О,
общее решение которых для односвязного ограниченного либо неограниченного тела представляется формами Аржаных-Слободянского (2), (3) соответственно:
Щ = 4(1 - V)Вг + ХзБг,з - хгВзз, (2)
щ = 4(1 - и)Вг - (ХзВз)>и (3)
где V = Л/(Л + ц)/2 — коэффициент Пуассона, Вг — компоненты произвольного гармонического вектора. Общие решения (2), (3) служат эффективным средством формирования базиса пространства состояний для тела.
Под внутренним состоянием упругой среды £ и ему изоморфным граничным состояние 7 понимаем наборы [1]:
£ = [Пг,егз ,агз}, Хг € V, 7 = {щ,Рг}, Рг = ^ Щ, хг € ЗУ,
где щ — компонента внешней нормали к телу. Изоморфизм £ ^ 7 обеспечивается теоремой Сомильяны [2]. Множества возможных внутренних состояний и ему изоморфных граничных состояний тела образуют изоморфные гильбертовы пространства 2 ^ Г со скалярными произведениями
= 1 аз е^щ = \Рк и^,
V дУ
которые равны между собой в силу принципа возможных перемещений
Счетный базис пространства 2 можно эффективно строить [3], используя базис гармонических многочленов для ограниченного тела
Ьк € {х, у, г, уг, хг, ху, х2 - г2, у2 - г2,...} и базис функций, гармонических во внешности окрестности Мо (хо,уо,го,)
Ь ^ Г1 х у г ух хх ху Л
Г = \/(х - Хо)2 + (у - уо)2 + (г - Хо)2.
Любая гармоническая функция Ьк порождает три линейно-независимых вектора В и соответственно три внутренних состояния через определения (2), (3), (1). Будем полагать систему элементов базиса пространства 2 и изоморфную ей систему элементов базиса пространства Г ортонормированными. Любой элемент £ € 2 и изофорфный ему элемент 7 € Г имеют одинаковые разложения в ряды с общими коэффициентами Фурье
Е(к) (к) ^ (к) Ск Щ О;/ =2^ Ск , £ц = 2^ ск Ч/ , к к к
Ск = (е,е(к))з = (7,7(к))г, (е(г),е(/))з = (7(г),7(/))г = ^, (4)
-г = ^ СкП(к), рг = ^ СкР(к), к к
где — символ Кронекера.
Технология решения задач средствами МГС известна [4] и сводится к установлению значений коэффициентов Фурье по информации, заложенной в граничных условиях (ГУ). В частности, в случае первой основной задачи коэффициенты Фурье вычисляются через квадратуры
Ск = ! Рг-и^йБ. (5)
дУ
Изложенное выше позволяет эффективно решать задачи теории упругости для компактных тел, содержащих полости.
2. Исследование напряженно-деформированного состояния шара со сферической полостью в серии положений
Шар безразмерного радиуса К =1 содержит сферическую полость радиуса К/2 с центром в точке 01(0 ,0 , г). Безразмерные константы Ламе равны Л = у = 1. Граничные условия первой основной задачи: поверхность шара нагружена гидростатическим давлением ро, полость свободна от нагрузки. Требуется оценить напряженно-деформированное состояние тела.
Задача решалась для серии значений х0 € [0 ,0.5]. Длина удерживаемого отрезка базиса варьировалась в пределах 90-200 элементов с тенденцией нарастания по мере увеличения го, что обуславливалось необходимостью
обеспечения точности вычисления, оцениваемой среднеквадратической интегральной невязкой решения с ГУ, на уровне 10-2.
В соответствии с (5) коэффициенты Фурье приняли значения
п п/2
Ск = -р0 J йф J {щХ^ со8 в С08 ф + П(к) СОЭ в 8Ш ф + 8Ш в^ СОЭ вйв. --п/2
В таблице представлены линии уровня поименованных напряжений в сечении у = О.
— п
Напряженно-деформированное состояние шара с полостью
На каждом рисунке тон полости соответствует нулевому уровню напряжений. Более темные тона отвечают более низким (отрицательным) напряжениям. Модификацию напряженного состояния можно проследить сопоставлением рисунков по строкам таблицы. Заметно влияние эксцентрического расположения полости по отношению к шару на характер распределения каждого из компонентов тензора напряжений.
В качестве интегральной характеристики, отвечающей за концентрацию напряжений, выбрано значение радиального усилия в точке М (0, 0, го + К/2):
к = | ахх (М)| .
Его зависимость от го представлена на рис. 1. к з
2
1 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 г.;
Рис. 1. График зависимости коэффициента концентрации напряжений
от эксцентриситета го
Наблюдается существенный рост к по мере утоньшения упругой прослойки между поверхностями.
Список литературы
1. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2. № 2. С. 115-137.
2. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТЛ, 1955. 491 с.
3. Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Шульмин А.С. Основная смешанная задача для сферической полости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 207-215.
4. Пеньков В.Б., Саталкина Л.В. Итоги и перспективы метода граничных состояний // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 193-211.
Пеньков Виктор Борисович (vbpenkov@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра теоретической механики, Липецкий государственный технический университет.
Саталкина Любовь Владимировна (satalkina_lyubov@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики, Липецкий государственный технический университет.
Рыбакова Маргарита Рушановна (RybakovaRita@gmail.com), доцент, кафедра сопротивления материалов, Московский университет машиностроения.
Куликова Кристина Юрьевна (kris_ku_93@list.ru), студент, кафедра прикладной математики, Липецкий государственный технический университет.
The influence of the position of a spherical cavity in an elastic
ball on the concentration
V. B. Penkov, L.V. Satalkina, M.R. Rybakova, K. Yu. Kulikova
Abstract. Method of boundary states (MBS) is developed for the class of problems of theory of elasticity for a limited body with a cavity. The solution of Arzhanykh-Slobodskiy for appearance of cavity along with those for compact body has enabled to do effectively the analysis of the stress-strain state (SSS) of a body containing a spherical cavity and loaded by external pressure. The influence of location of the cavity on the stress concentration in the body is studied.
Keywords: solution of Arzhanykh-Slobodskiy, method of boundary states, a doubly-linked body, cavity, ball.
Penkov Viktor (vbpenkov@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of theoretical mechanics, Lipetsk State Technical University.
Satalkina Lyubov (satalkina_lyubov@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics, Lipetsk State Technical University.
Rybakova Margarita (RybakovaRita@gmail.com), associate professor, department of strength of materials, Moscow University of Engineering.
Kulikova Kristina (kris_ku_93@list.ru), student, department of applied mathematics, Lipetsk State Technical University.
Поступила 23.06.2014
