CC BY
52
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 207-215
Механика
УДК 539.3
Основная смешанная задача для сферической полости в упругом пространстве *
В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, А. С. Шульмин
Аннотация. Выполнена постановка основной смешанной задачи для неограниченной упругой среды с полостью. Линия раздела граничных условий принадлежит границе полости. Решены методом граничных состояний осесимметричная и зеркальная осесимметричная задачи о загрузке полости по свободному участку границы. Проанализированы поля напряжений вблизи полости. Сделаны качественные выводы.
Ключевые слова: упругое пространство, сферическая полость, основная смешанная задача, метод граничных состояний.
Метод граничных состояний (МГС) заявил себя как эффективное средство решения задач математической физики, в частности, теории упругости, поскольку обладает рядом преимуществ по сравнению с иными, ставшими уже традиционными методами анализа полей [1]. Ниже он использован для решения основной смешанной задачи теории упругости для неограниченной среды со сферической полостью, на границе которой поставлены смешанные условия.
1. Основные положения метода граничных состояний
В МГС под состоянием среды понимается любое частное решение определяющих уравнений среды [2]. Для теории упругости это уравнение равновесия (1), соотношение Коши (2) и обобщенный закон Гука (3):
оц,з = °> (1)
Ец =0.5 (Пг,з + Пц) , (2)
Оу — \0Sij + 2^вгЦ, в — Екк • (3)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97505).
Принята тензорно-индексная форма обозначения, включая соглашение о суммировании. Здесь — компоненты тензоров напряжений и
деформаций, щ — компоненты вектора перемещений, Л и у — постоянные Ламе, в — объемная деформация, — символ Кронекера.
Состояние среды в области, занятой телом, является внутренним состоянием £. Совокупность всех таких состояний образует гильбертово пространство внутренних состояний 2. Под граничным состоянием 7 понимается след, который оставляет на границе тела внутреннее состояние £. Их совокупность образует пространство граничных состояний Г, сопряженное с 2 гильбертовым изоморфизмом [1, 2].
Внутреннее и граничное состояния могут быть представлены рядами Фурье по элементам изоморфных ортонормированных базисов £(1), £(2), ..., £(га)... € 2, 7(1), 7(2), ..., 7(га)... € Г с общими коэффициентами:
Описываем внутреннее и граничное состояния упругого тела избыточными наборами £ = {иі, }, 7 = {иі, рі} согласованных
характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС). Скалярные произведения в пространствах 2, Г определяются так:
В контексте МГС ставятся и решаются задачи при различных граничных условиях.
Первая основная задача теории упругости состоит в определении НДС тела по поверхностным усилиям Рг1ду. Решение сводится к отысканию коэффициентов Фурье через квадратуры
Вторая основная задача состоит в определении НДС тела по поверхностным перемещениям Піїду. Коэффициенты Фурье рассчитываются через квадратуры
к
к
(4)
(5)
Основная смешанная задача состоит в определении НДС по заданным на одной части границы Бр поверхностным усилиям Рііду и перемещениям пі\ду на другой части границы Би. Задача сводится к решению бесконечной
системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье
ГО
^ к]с3 — Чк, 0к] — 2&3к ак], (6)
3=1
akj = u^pf^dS + p^uf^dS, qk = Uipf^dS + piuf^dS.
Базис состояний для компактного односвязного упругого тела строится на основе общего решения уравнения Ламе в форме Аржаных-Слободянского
Ui = 4(1 - v)Bi + XjBi,j - XiBjj, v = , л , (7)
2(A + ц)
а для неограниченного односвязного тела с компактной границей на основе решения
Щ — 4(1 - V)Бг - (хзВ3),г . (8)
Процедуры наполнения базисов состояний в обоих случаях известны [3]. В рассматриваемых ниже задачах используется базис состояний, построенный на основе решения (8).
2. Решение основных смешанных задач для сферической полости в упругом пространстве
Ниже выполнено решение двух смешанных задач (рис. 1, 2),
сформулированных для сферической полости радиуса R, параметризованной сферическими координатами: долготой р и широтой в, отсчитываемой от экваториальной плоскости z = 0. Решение выполнено в безразмерной постановке; в качестве масштабного множителя по напряжениям выбран модуль сдвига у, масштаб линейного размера соответствует радиусу сферы, так что А = у = 1, R = 1. Базисы пространств состояний в обеих задачах одинаковы, процедура их наполнения описана в предыдущем параграфе, ортонормированные базисы также идентичны. Различие обусловлено изменением граничных условий как в структурном плане (локализация зон сцепления), так и количественно: коэффициенты и правые части БСУ вычисляются индивидуально для каждой задачи в соответствии с (6).
А. Осесимметричная задача. Граница полости разбита на два класса (рис. 1): на Si (р € [—п, п], в € [0, п/2]) распределены поверхностные усилия p = {0, 0, — p0 sin в}. Граница S2 (р € [—п, п], в € [-п/2, 0]) защемлена: u = = {0, 0, 0}. Выражения (1.6) получают конкретное наполнение:
Окт — I и(к) ■ р(т)йБ + I и(т) ■ р(к)йБ —
51 52
п п/2 п 0
— ^ йр J и( к) ■ р(т) 008 0(10 + J йр J и(т) ■ р(к) 008 0(10
—п 0
-п -п/2
п п/2
У р ■ и( к)й£ + | и ■ р( к')йБ — I йр I рх ■ 4к) 008 0й0,
Чк — у Р ■и
51
52 — п 0
— -р0 81П 0.
Рис. 1. Сферическая полость, защемленная по полусфере
При решении удерживался отрезок базиса в 243 элемента. Решение, построенное при р0 — 1, дало значения коэффициентов Фурье, отображенных графически на рис. 3а. На рис. 3б представлена зависимость суммы Бесселя
! П
Ь — с2 от длины удерживаемого отрезка базиса п, отвечающая за
у *=1
С 2
левую часть неравенства Бесселя ^ ^ ||£|| , где ||£|| — евклидова норма
г
искомого внутреннего состояния тела. Характер насыщения суммы Бесселя свидетельствует в пользу сходимости решения. Среднеквадратическая интегральная невязка решения в сопоставлении с граничными условиями оказалась равной 0.23.
Восстановленное в соответствии с разложением в ряд Фурье внутренне состояние представлено серией купюр (напряжения в сечении у — 0) в табл. 1.
Рис. 2. Сферическая полость, защемленная по «полярным шапкам»
Рис. 3. Результаты решения в осесимметричной задаче: а — коэффициенты Фурье, б — насыщение суммы Бесселя
Защемленная полусфера является экраном, защищающим прилежащие к ней слои материала от деформирования. Радиальные напряжения ахх в сечении являются сжимающими в области, примыкающей к средним широтам полусферы $1 и растягивающими непосредственно вблизи полюса 9 = п/2, а на некотором удалении вдоль полярной оси опять сжимающими. Окружные напряжения ауу — слабо сжимающие в экваториальном поясе, растягивающие на «полярной шапке», а на удалении вдоль полярной оси — опять сжимающие. Осевые напряжения ахх — растягивающие в верхней части полусферы $1, сжимающие в близи экватора. Напряжения сдвига ахх ярко выражены вблизи средних широт верхней полусферы.
Б. Зеркальная осесимметричная задача. Граница полости разбита на три класса (рис. 2): $ (р € [—п, п], 9 € [-п/3, п/3]), £2 (р € [—п, п], 9 € [-п/2, -п/3]), £3 (р € [—п, п], 9 € [п/3, п/2]). На £ распределены поверхностные усилия
Таблица 1
Распределение напряжений вблизи полости в задаче А
Р = [Vx,Vy,Pz} = Ро ^ 1 - 3 sin2 ^ ícos P, sin P, °}-
Границы S2, S3 защемлены: u = {0, 0, 0}. Значения коэффициентов и правых частей БСУ вычисляются по формулам
п п/3 п — п/3
Qkm = J dp J u(k) ■ cos 0d0 + J dp J u(m) ■ p(k) cos 0d0+
—п/3 —п —п/2
п п/2
uv
—п п/3
п п/3
п '11 ь
+ J dp j ■ p(k) cos 0d0,
qk = J dp J (px ■ uXk) + py ■ <)) cos 0d0.
—п
—п/3
При решении удерживался отрезок базиса в 147 элементов. Решение при ро = 1 дало значения коэффициентов Фурье и суммы Бесселя, представленные на рис. 4. Невязка решения составила 0.5.
В табл. 2 представлены поля напряжений в первом квадранте в сечении У = 0.
Из рисунков видно, что радиальные напряжения оказывают влияние на волокна, примыкающие к экватору и выше экватора. Основной массив упругой среды почти не деформируются за счет того, что защемленная
а) б)
Сп 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2
” ™ “ 0 20 40 60 80 100 120 11
Рис. 4. Результаты решения в зеркальной осесимметричной задаче: а — коэффициенты Фурье, б — насыщение суммы Бесселя
«полярная шапка» берет нагрузку на себя. Окружные (растягивающие) напряжения охватывают полость почти равномерно, достигая наибольших значений в средних широтах. Осевые напряжения — сжимающие вблизи экваториального пояса и растягивающие в средних широтах. Напряжения сдвига локализуются вблизи линий раздела граничных условий с тенденцией нарастания в сторону средних широт.
Таблица 2
Распределение напряжений вблизи полости в задаче Б
Выводы
1) МГС явился эффективным средством решения смешанных задач, в которых линия раздела граничных условий находится на границе тела;
2) решены две основные смешанные задачи теории упругости для неограниченной среды со сферической полостью, в которых часть границы является неподвижной, построены поля напряжений и представлены в графической форме;
3) достоверность решения подтверждена не только фактами насыщения суммы Бесселя, но и непосредственно оценкой невязки решения с сопоставленными граничными условиями. Замечено, что некоторое
повышение значений невязки обусловлено поведением приближенного решения вблизи линии раздела граничных условий;
4) наличие жестко защемленных участков границы оказывает экранирующее действие на материал среды.
Список литературы
1. Пеньков В.Б., Саталкина Л.В. Итоги и перспективы метода граничных состояний // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 193-211.
2. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2. № 2. С. 115-137.
3. Пеньков В.Б., Саталкина Л.В., Шульмин А.С. Базис пространства состояний многосвязного упругого тела // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 209-211.
Пеньков Виктор Борисович (vbpenkov@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра теоретической механики, Липецкий государственный технический университет, Финансовый Университет при правительстве Российской Федерации (Липецкий филиал).
Саталкина Любовь Владимировна (satalkina_lyubov@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики, Липецкий государственный технический университет.
Шульмин Антон Сергеевич (guru48@inbox.ru), аспирант, Липецкий государственный технический университет.
The basic mixed problem for a spherical cavity in an elastic
space
V. B. Penkov, L.V. Satalkina, A. S. Shulmin
Abstract. Statement of the basic mixed problem for unbounded elastic medium with a cavity is executed. The dividing line of the boundary conditions is the boundary of the cavity. Axisymmetrical and mirror axis-symmetrical problem about loading of cavity on free part of boundary is solved by the method of boundary states. The stress field near the cavity is analyzed. Qualitative conclusions are made.
Keywords: elastic space, spherical cavity, the basic mixed problem, method of boundary states.
Penkov Viktor (vbpenkov@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of theoretical mechanics, Lipetsk State Technical University.
Satalkina Lyubov (satalkina_lyubov@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics, Lipetsk State Technical University.
Shulmin Anton (guru48@inbox.ru), postgraduate student, Lipetsk State Technical University.
Поступила 17.01.2014
