Метод граничных состояний как эффективное средство решения неоднородных задач теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ КАК ЭФФЕКТИВНОЕ СРЕДСТВО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина*

Липецкий государственный технический университет, кафедра теоретической механики * кафедра прикладной математики E-mail: viktorp@lipetsk.ru, satalkina_lyubov@mail.ru

Метод граничных состояний в сочетании с методом возмущений обнаружил свою эффективность при решении неоднородных задач статической теории упругости. Построены и проиллюстрированы решения основных задач теории упругости для тела геометрической конфигурации «гвоздь», выполненного из неоднородного материала с осесимметричной неоднородностью.

Ключевые слова: гильбертово пространство, коэффициенты Фурье, ортонормированный базис, метод граничных состояний.

Method of Boundary States as an Effective Technique of Solving of Heterogeneous Problems of Elasticity Theory

V.B. Penkov, L.V. Satalkina*

Lipetsk State Technical University,

Chair of Applied Mathematics,

*Chair of Applied Mathematics

E-mail: viktorp@lipetsk.ru, satalkina_lyubov@mail.ru

Method of boundary states in combination with perturbation technique discovers its efficiency on heterogeneous problems of elastostatics. Solutions of problems for body of geometric configuration «peg», produced from heterogeneous material with axisymmetric heterogeneity is performed and illustrated.

Key words: Hilbert space, Fourier coefficient, orthonormal basis, method of boundary states.

1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассматривается задача статической теории упругости, в которой механические параметры среды являются функциями точек среды. Трудности преодолеваются комбинированием метода Пуанкаре с методом граничных состояний (МГС). Это дает возможность построения приближенного аналитического решения указанного класса задач [1].

После приведения к безразмерному виду основные положения статической термоупругости представляются соотношениями:

- уравнениями равновесия

- соотношениями Коши

- обобщенным законом Гука

+ F = 0,

(1.1) (1.2)

(1.3)

СТу = \tf5ij + 2д£у , $ = £кк,

где Су — напряжения, Fi — массовые силы, ч. — перемещения, £у — деформации, А, д — параметры Ламе, V — коэффициент Пуассона, $ — объемные деформации.

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Полагая все параметры упругой среды непрерывно зависящими от х., представим их в виде степенных рядов по малому параметру в:

те

{А, д, V} = {Ао, до, ио} + {А к (х.), Дк (х.), Ук (х. )}вк,

к=1

будем искать характеристики упругостатического поля в виде асимптотических рядов:

= + + • • •;

£у = £у + в£г/ + • • •; ч. = ч0 + в ч1 + • • •; Л = ** + в^1 + •••; $ = $0 + в$1 + • • •

a

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КАЖДОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

3.1. Разложение основных соотношений по малому параметру

Исходные соотношения приводятся к бесконечной последовательности линейных систем уравнений:

1(и9.+и°.Л е1. = I

■г],] ' ~ г ^ г],] 1 ^ г • • • •> ^г] ^V г,] 1 ],гп г] ^V "'г,]

.0 _ л „(Юс , о,. „О „1 „ql , \ „<)0\£ i /о,. „lio.. „О

^¿7,7 ^í (Jíj j + F} 0, . . . , (uí,j ~Ь Uj,í)i 0 (Uí,j Uj,í)i ■ ■ ■ ■>

a0] = Ао^0 5г] + 2йо4 , ^1] = (ЛО tf1 + Ai tf0 )5ц + (2^ el] + 2^4).

Вообще для приближения k имеем зависимости:

aij,j + Ег = °> 4 = é(uíj + UJ, *)' 4 = Aotf% + 2/ioe^- + , = 4,

Sí]* = 0, S] = Ai^ + 2^0,, S] = (Л2+ Ai^1 )5г] + 2(^iei, + ^e07-),...

(3.1)

-г] "1 ~г,у 1 - г]1 " г] у~2" ' '1 _ кг-^ г] 1 г] л • • •

Совокупность соотношений (3.1) определяет последовательность задач, решением которых должны явиться поля соответствующих приближений. Заметим, что структура уравнений одинакова. Однако существенны некоторые отличия: в задаче последующего приближения фигурируют поля предшествующих приближений, их необходимо учитывать при построении решения.

3.2. Декомпозиция решения задачи каждого приближения

Представим искомое поле напряжений стк в виде суммы неизвестной части и известной поправки £гк*. Получим ст] = + , где обозначено = Л0$к5г] + 2д04.

Такие преобразования приводят упругую задачу каждого приближения к унифицированной задаче теории упругости при наличии объемных сил:

sfjtj + хгк = 0, 4 = -(ufj + и*г), Sfj = Ло + 2^4-. (3.2)

1 2

где X* = Fгк + ].

Для решения задачи каждого приближения удобно применять МГС.

4. ОСНОВЫ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ

МГС основан на понятии состояния среды, под которым понимается любое частное решение определяющих уравнений среды безотносительно к условиям, поставленным на границе тела [1]. Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния С, если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. Совокупность всех возможных внутренних состояний образует гильбертово пространство внутренних состояний Поэтому внутреннее состояние может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса: С(1), С(2) .. • С^ • • • £

(С(г) ,С(]) )= ¿у:

С = £ Ск с(к), к

где ск = (С, С(к))н — коэффициенты Фурье.

След, который оставляет на границе тела внутреннее состояние С, воспринимается как граничное состояние 7, соответствующее внутреннему. Совокупность всех граничных состояний образует гильбертово пространство граничных состояний Г. Для него также справедливо разложение в ряд Фурье по элементам ортонормированного базиса: 7(1) ,7(2), • • • 7(п) • • • £ Г, (7(г),7(])) = ¿г]-:

7 = Ск 7(к), Ск = (7,7 (к))г • к

Если пространства внутренних и граничных состояний изоморфны в смысле Гильберта:

(С(1) + С(2)) = (7(1) + 7(2)), «С = «7, (7(г), 7(]))г = (С(г) ,С(])Ь,

то изучение внутреннего состояния сводится к изучению соответствующего граничного состояния. При этом базисному набору элементов пространства 2 однозначно соответствует базисный набор элементов пространства Г.

5. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Система уравнений (1.1)-(1.3) эквивалентна уравнениям Ламе в частных производных второго порядка относительно перемещений [2]:

^ouj + (Ао + ^uj + Xk = 0.

В случае потенциальных сил Xk = — П^ уравнение Ламе имеет общее решение (Папковича -Нейбера [2])

uk = 4(1 — ^о)Вг — (xj Bj + Bo ),i + xki, (5.1)

где Пк — потенциал объемных сил k-го приближения, Bi — компонента произвольного гармонического вектора B.

В случае односвязной конечной области уместно общее решение Аржаных - Слободянского [2]:

uk = 4(1 — vo )Bi + Xj Bij — XiBjj + xki. где xk удовлетворяют уравнениям Пуассона

Представим решение (5.1) в виде суммы

Ui = uL + uP, (5.3)

где второе слагаемое полагается в задаче известной частью

UP = X ,i,

а первое слагаемое

uL = 4(1 — voBi + Xj Bi,j — XiBj,j (5.4)

строится методом граничных состояний как результат решения краевой задачи для однородных уравнений Ламе, в которой граничные условия содержат поправку относительно известной величины uL|dV = Ui|dv — uP|dv (вторая основная задача теории упругости) или pL|dv = Pi|dv — pP|dv, РгР|<эу = cr^lay^j, = A0+ $ = e£k, efj = -^{ufj + u^) (первая основная задача).

Под внутренним состоянием £ упругой среды будем полагать набор £ = {ui,eij-, aij-}. Скалярное произведение в пространстве S определяется как

«(1),«(а))н ^ /41» j

V

Выражение (5.4) формально оставляет за нулевым элементом пространства 2 недоопределенность из-за несущественности значения уровня отсчета перемещения, которая легко преодолевается введением нормировки: в некоторой фиксированной точке каждое из состояний пространства должно иметь нулевое значение вектора перемещения.

Базис пространств внутренних состояний набирается в соответствии с (5.1) при отсутствии массовых сил через систему гармонических многочленов. После ортогонализации базиса атрибуты результирующего внутреннего состояния представляются рядами Фурье в соответствии с формулой (3.2)

иг = 2^ скиг'', ац = ск, ^ =

к к к

Под граничным состоянием будем понимать набор функций точек границы 7 = {иг,рг}, где иг|ду, рг|дУ — поверхностные усилия на границе тела: рг = п. Скалярное произведение в пространстве Г определяется как

(7(1),7(2))г = /Рг(1)и(2) Ж.

ЗУ

cku(k), (ij = ^ ck , £ij = ^ ck j. (5.5)

Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. Z Формула (5.6) также позволяет представить все атрибуты граничного состояния рядами Фурье:

Ui = ^ CkU k

(k)

v^ (k)

Pi = CkPi •

(5.6)

Оба пространства 5 и Г сопряжены гильбертовым изоморфизмом [3]. Таким образом, набор коэффициентов Фурье определяет упругое состояние в теле. Решение первой задачи теории упругости сводится к отысканию коэффициентов Фурье через квадратуры

Ск = У р^дУи(к) (5.7)

ЗУ

Решение второй задачи сводится к расчету коэффициентов Фурье также через квадратуры

Ск = J и;р|зур(к) дУ

Различные смешанные постановки реализуются через бесконечные системы уравнений, разрешимость некоторых из них доказана [1,4].

6. ЗАДАЧИ О ДЕФОРМИРОВАНИИ НЕОДНОРОДНОГО «ГВОЗДЯ»

6.1. Постановка задачи неоднородной теории упругости

Р

z

б

Рис. 1. Параметры нагружения «гвоздя»: а — первая задача, б — вторая задача

Задача решалась для нетривиального тела: цилиндра, накрытого конусом. Такое тело в дальнейшем будем называть «гвоздь» (рис. 1). «Гвоздь» безразмерного радиуса 1 параметризован цилиндрической системой координат x = rcosy = rsinz = z, r e [0,1], ^ e [—n,n), z e [—1,1 — r). Материал среды характеризуется механическими параметрами Ламе, являющимися функциями точек границы, что в безразмерном представлении имеет вид:

ф, y,z) = 1 + — {x2 +у2), А(х, y,z) = - + — {х2 + у2). Граница разбита на три участка (основание, цилиндр, конус): dV = Si U S2 U S3.

Рассматриваются две механические постановки задачи: 1) поверхность сектора нагружена распределенным усилием:

p|Sl = {0, 0,po}, p|s2 = {0,0, 0},

Р1 S3 = Po

(—3 + 3 r)cos ^ (—3 + 3 r) sin ^ (—3 + 3 r)

V2

2) точки поверхности тела перемещаются в соответствии с условиями

и^ = {0, 0,ио}, и|52 = {0, 0, -йог}, и^ = {0, 0, 0}.

Требуется построить напряженно деформированное состояние в условиях первой и второй основных задач.

6.2. Формирование базисов пространств состояний

Рассмотрим процесс формирования базисов внутреннего и граничного состояний на примере одного из элементов ([5], элемент 15 из табл. 1.1)

Вектор перемещения строим по формуле (5.1) при отсутствии объемных сил (х = 0), где гармонический вектор есть В = {0, 0, —х2у + уг2}.

3

0

r

r

0

0

а

Получаем

и(15) =

( — 2хух ^

—2у2х \\{?Лх2у + 21ух2))

Из соотношения Коши находим компоненты тензора деформаций:

е(15) =

( — 2ух

—хх

36

—хх —4ух

\

— т^(31ж2 + 10у2 - 21г2)

+ 10у2 - 21г2)

42

Чу*

/

Компоненты тензора напряжений строим в соответствии с законом Гука:

(15) =

Ух

\

(—^■уг —2хг -2хх -Щуг -Ы31х2+ 10у2-21г2)

\ —2хх

5 72

—ух

92

/

Полные линейно-независимые наборы векторов и и тензоров е и а определяют базис внутреннего состояния.

Построим граничное состояние, изоморфное внутреннему. Значение вектора перемещения на границе установим как его предельное значение изнутри области. Перемещения на границах $1, $2, $3 вычисляем, используя соответствующую параметризацию:

и(15) |51

Sl =

( 2г2 соэ < эт <

22 2г2 эт <

\^4.2г эт < — 6.2г3 соэ2 < эт <у

(

и(15) к = —2г эт <

/

—2х соэ < эт < \ — 2х эт2 < \^4.2х2 эт < — 6.2 соэ2 < эт <у

г соэ <(1 — г) \

г эт <(1 — г) \(—2.1 + 4.2г — 2.1г2 +3.1г

„2 | з 1 г2 соэ2 <)у

Находим усилия на границе (удержано два знака в дробной части)

Р(15)к = а(15) к ■ П1 =

/ 14.4г2 соэ < эт < ^

—4.2 + 6.2г2 соэ2 < + 2г2 эт2 <

Р(15) к = а(15) к ■ П2 =

У 18.4г эт < у

( —4.4х соэ < эт < \

—2хсоэ2 < — 6.4хэт2 < \jsin <(4.2х2 — 2.6 соэ2 < — 2 эт2 <))

Р(15) к = а(15) к ■ пз =

/ г соэ < эт <(3.11 + 7.07г) \

2.97эт < — г эш <(5.94 — 2.97г + соэ2 <(1.41 + 2.97г) + эт3 <(4.53 — 3.11г))

V

эш <(2.97 + 7.07г — 10.04г2 — 14.57соэ2 < — 1.41гэт2 <)

/

Скалярное произведение в пространстве граничных состояний (5.5) с учетом параметризации поверхности приняло форму

п 1

п 0

п 1

(7(1)л(2)) = (1<р р[1)и[2)гёг+ / / р[1]и{р <1х + л/2 Ы< / рг(1)иг(2)г<1г.

-п 0

-п -1

-п 0

Описанный процесс формирует изоморфные исходные базисы пространств состояний.

6.3. Решение основных задач

Решение первой задачи сводится к вычислениям по следующей цепочке действий:

1) нахождение массовых сил Бк^- для каждого приближения в соответствии с (3.1) ($0/ = 0);

2) восстановление потенциала объемных сил Щ методом наименьших квадратов;

3) построение частного решения уравнения Пуассона (5.2);

4) декомпозиция решения (5.3), где up = х ,i(u¡P = 0) и определение е

-P

pP по цепочке

действий, описанной в п. 5;

5) поправка в ГУ: pL = p — pf;

6) расчет коэффициентов Фурье в соответствии с (5.7), переписанной для границы «гвоздя»:

п 1 п 0 п 1

Ск = dip pfu![rdr + dip pfuidz + s/2 dip pfu^rdr]

—i

7) построение внутреннего и^, е-, и граничного и^|ЗУр^|дУ состояний в соответствии с (5.5), (5.6) соответственно;

8) суммирование полей, помеченных «£» и «Р»:

L P Ui — Uj I Up ,

'-ij eL + е pj,

,гз , -ги = + , иг|ЗУ = и^|ЗУ + |ЗУ, Рг| ЗУ = Р^ |ЗУ + Р^ |ЗУ.

Результатом решения задачи явились поля перемещений, деформаций и напряжений в теле и перемещения и усилия на границе тела. По результатам асимптотических приближений построены конечные суммы полей. Ввиду громоздкости выражений результаты решения задачи представлены в графической форме.

На рис. 2 представлен график зависимости напряжений охг(как наиболее характерного представителя поля) первой основной задачи, построенный по суммам начальных асимптотик (0 — тонкая сплошная, 0 + 1 — толстая, 0 + 1 + 2 — точечная). Распределения построены на луче, исходящем из начала координат в направлении {1,0, — 1}. Характер зависимости свидетельствует о достаточности двух асимптотических приближений для описания состояния тела.

На рис. 3-6 изображены купюры полей в осевом сечении для результирующих асимптотических приближений первой и второй основных задач. Незначительные качественные отличия в приближениях в первой основной задаче наблюдается только в радиальных перемещениях, хотя количественные отличия налицо. В задаче о смятии «гвоздя» проявляются качественные отличия в приближениях в полях напряжений.

0.15

0.05

0.25 0.5 0.75

Рис. 2. Напряжения axz

-0.5

-0.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

а б в

Рис. 3. Перемещения и изохромы первой основной задачи: а — радиальные, б — осевые, в — наибольшие касательные напряжния

о

о

— п

—п

— п

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г а

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

б

Рис. 4. Напряжения первой основной задачи: а — осевое, б — сдвиговое

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г а

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

б

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

в

Рис. 5. Перемещения и изохромы второй основной задачи: а — радиальные, б — осевые, в — наибольшие касательные напряжения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

а

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

б

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г

в

Рис. 6. Напряжения первой основной задачи: а — радиальное, б — осевое,

в — сдвиговое

ВЫВОДЫ

1. Означенные классы задач имеют как самостоятельное значение, так и вспомогательное: к таким задачам часто приводятся нелинейные постановки после проведения декомпозиции. Технология решения этих задач методом граничных состояний заслуживает специального внимания.

2. Разработанный метод может эффективно применяться для решения задач термоэластостатики с несвязанными температурными и механическими полями, а также с полями, связанными в граничных условиях.

Библиографический список

1. Пеньков В. Б., Пеньков В. В. Метод граничных состо- 4. Пеньков В. Б., Рожков А. Н. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Даль- яний в основной контактной задаче теории упругости невосточный мат. журн. 2001. Т. 2, № 2. С. 115-137. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информа-

2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. тика. 2005. Т. 11, вып. 2. Механика. С. 101-106.

940 с. 5. Харитоненко А. А. Моделирование состояний гар-

3. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории монических сред и разработка метода распознавания функций и функционального анализа. М.: Физматлит, состояний: дис. ...канд. физ.-мат. наук. Тула, 2006.

2004. 571 с.

100 с.